Esempio: distribuzione di frequenze. =, Pagina 90. Esempio: distribuzione di frequenze

Transcript

1 Esempio: distribuzioe di frequeze Distribuzioe degli studeti di SDC frequetati la facoltà ell a.a. 001/00 per Num. Corsi Frequetati 83 K 7 = = = Num. Corsi Freq. i Totale 83 i i 1*15=15 *43=86 3*103=309 4*80=30 5*3=160 6*8=48 7*=14 95 (115) ( 43) (3103) (480) (53) (68) (7 ) 95 3, = σ 7 = = =, Pagia 90 Esempio: distribuzioe di frequeze Distribuzioe degli studeti di SDC frequetati la facoltà ell a.a. 001/00 per Voto di aturità 40 K 4 = = = σ = = =, Voto aturità i Totale 40 i i Pagia 91

2 Proprietà della media aritmetica E espressa ella stessa uità di misura dei dati perché è il risultato di ua operazioe matematica; può o essere ua modalità umerica della variabile realmete osservata el collettivo i esame E sempre compresa tra la modalità miima e la modalità massima del carattere La somma delle differeze tra le modalità del carattere per ciascua uità statistica e la media aritmetica è uguale a 0 = = =80,8 σ = =(98-80,8)+(100-80,8)+(70-,+ +-80,8)= =17,+19,-10,8-8,8-10,8+19,+4,-15,8-0,8+7,=0 u.s. Voto aturità ( i -) , , , , , , , , , , 0,0 Pagia 9 Proprietà associativa della media aritmetica aschi Femmie h = σ = = =, h = σ = 9 = =,1 h + =, +, Voto aturità i Totale 16 i i =, = σ = 9 = h h + Voto aturità i Totale 3 = + = i i =80,08 Pagia 93 =,08

3 segue proprietà associativa della media aritmetica La media di u collettivo è la media aritmetica delle medie dei sottogruppi i cui si può ripartire il collettivo stesso poderata per le umerosità dei sottogruppi Gruppo 1 3 h L edie 1 3 h L Numerosità 1 3 h L L hh L h 1 co h1 h Pagia 94 Distribuzioe di ua variabile divisa i classi Car. X i ( 0, 1 ] 1 ( 1, ] ( i -1, i ] i ( K -1, K ] K Totale Distribuzioe di laureati di SDC ell a.a. 003/004 per Voto di Laurea Voto Laurea i [87-98] 18 (98-10] 7 (10-105] 5 ( ] 35 ( ] 5 Totale 130 Pagia 95

4 Distribuzioe di ua variabile divisa i classi : classe odale Se il carattere è ua variabile divisa i classi Classe modale: classe di modalità a cui corrispode la ma desità media di frequeza Desità media di frequeza d i per la classe di modalità ( i-1, i ): è il rapporto tra la frequeza assoluta e l ampiezza della classe calcolata come d i = estremo sup - estremo if = i - i-1 Pagia 96 Esempio: classe modale Distribuzioe di laureati di SDC ell a.a. 003/004 per Voto di Laurea Voto Laurea i [87-98] 18 (98-10] 7 (10-105] 5 ( ] 35 Qual è la classe modale? ( ] 5 Totale 130 Voto Laurea i a i d i [87-98] ,64 (98-10] 7 (10-105] 5 ( ] ,75 8,33 8,75 La classe modale è ( ] ( ] 5 1,50 Totale 130 Pagia 97

5 Variabile divisa i classi: media aritmetica Distribuzioe semplice di frequeze assolute del carattere X raggruppato i classi Car. X i ( 0, 1 ] 1 ( 1, ] ( i -1, i ] i ( K -1, K ] K Totale Valori cetrali c 1 c c i c K = + = = σ = Pagia 98 Esempio Distribuzioe degli studeti di SDC frequetati la facoltà ell a.a. 001/00 per Voto di aturità 83 K 5 Voto aturità i [60-70] 7 (70-80] 78 (80-90] 65 (90-95] 18 (95-100] 50 Totale 83 c i 65,0 75,0 85,0 9,5 97,5 c i i = + = σ = i 1 = c 1 = = = =, 65 Pagia 99

6 Rappresetazioe grafica della distribuzioe di ua variabile quatitativa : istogrammi Ogi barra corrispode ad ua classe di valori della variabile Nell esempio, le basi delle barre hao uguale ampiezza come le classi di valori e l altezza è proporzioale alla frequeza di ogi classe di valori Per classi di ampiezza diversa la base di ciascua barra dovrebbe essere proporzioale all ampiezza della classe La somma delle aree di tutti i rettagoli è uguale alla frequeza totale del carattere Ache l asse delle ascisse è graduato Pagia 100 Istogramma Distribuzioe di frequeza di caratteri quatitativi, i particolare variabili cotiue raggruppate i classi Cosiste el riportare tati rettagoli cotigui quate soo le classi Il rettagolo associato ad ua geerica classe ha base uguale (o proporzioale) all ampiezza della classe corrispodete area totale uguale o proporzioale alla frequeza (assoluta o relativa o percetuale) corrispodete 101

7 Costruzioe di u istogramma Le classi di modalità possoo avere ampiezza differete Si cosideri la geerica i-esima classe ( i-1, i ): il rettagolo che rappreseta tale classe ha Base = ampiezza della classe = Altezza = desità media di frequeza = o = o = Area = frequeza ( i o f i o p i ) 10 Esempio Classe di età j f j p j a j d j [30, 40) [40, 49] (49, 59] ed oltre (59, 80] Totale La classe 60 e oltre è stata chiusa a

8 Puti deboli della media aritmetica Robustezza: sesibilità ai valori estremi Rappresetatività ei cofroti di distribuzioi asimmetriche La media aritmetica è u valore rappresetativo ei cofroti di distribuzioi simmetriche che soo speculari rispetto ad u asse verticale OK Pagia 104 Esempio Distribuzioe dei titolari di ua carta di fedeltà per classi di spesa (euro) Classi i f i N i c i c i i (0,100] 143,0 0,81 143, (100, 00] 10,0 0,36 63, (00,300] 57,0 0,11 30, (300,400] 48,0 0, , (400,500],0 0, , (500, 600] 1,4 0,04 40, (600, 700] 1,4 0,04 414, (700, 800] 1,4 0,04 47, (800, 900] 1,4 0,04 439, (900, 1000] 1,4 0,04 45, (1000, 1100] 11,4 0,0 463, (1100, 100] 11,4 0,0 474, (100, 1300] 11,4 0,0 486, (1300, 1400] 11,4 0,0 497, (1400, 1500] 11,4 0,0 509, ,0 1, = σ = = =, e= 193,33 105

9 Istogramma di frequeze relative: classi di uguale ampiezza (100 euro) 361, e 193, La media aritmetica o è rappresetativa di distribuzioi asimmetriche Pagia 107

10 Variabilità o Dispersioe Defiizioe Attitudie di u feomeo ad assumere diverse modalità Pagia 108 Le medie o bastao Esempio: caratteri quatitativi Codomiio A u.s. Numero televisori u1 8 u 8 u3 8 u4 8 u5 8 e==8 Codomiio B u.s. Numero televisori u1 3 u 5 u3 8 u4 10 u5 14 e==8 Le due distribuzioi hao medie uguali ma la tedeza delle uità statistiche ad assumere valori diversi dalla media aritmetica è diversa ei due collettivi Pagia 109

11 La variabilità La variabilità o la mutabilità di ua distribuzioe esprime la tedeza dei caratteri o dei feomei ad assumere differeti valori o determiazioi Requisiti di u idice di variabilità: assume valore miimo se tutte le uità presetao uguale modalità del carattere positivo se c è variabilità o dispersioe aumeta all aumetare della diversità tra modalità Attezioe ogi idice di variabilità esprime u cocetto diverso pertato o è corretto cofrotare la variabilità otteuta co idici diversi Pagia 110 Idici di variabilità e dispersioe Idici di variabilità La variabilità si misura cosiderado tutte le differeze tra le modalità della distribuzioe presetate dalle u.s. prese due a due Differeze edie Idici di dispersioe La dispersioe si misura co gli scarti tra le modalità presetate dalle u.s. e u idice di dimesioe della distribuzioe ( o e) Variaza Scostameto (scarto) quadratico medio Pagia 111

12 Esempio: calcolo della variaza U.S. Temperatura iima A 9 B - C 4 D -3 E - F 0 G 6 H 4 I -4 J 9 ( i -) 6,9-4,1 1,9-5,1-4,1 -,1 3,9 1,9-6,1 6,9 ( i -) 47,61 16,81 3,61 6,01 16,81 4,41 15,1 3,61 37,1 47,61 18,90 10 = σ = = Deviaza =, = = σ = =, =, Variaza 1,89 4,679 Pagia 11 Esempio: calcolo della variaza per distribuzioi di frequeza Distribuzioe degli studeti di SDC frequetati la facoltà ell a.a. 001/00 per Num. Corsi Frequetati Num. Corsi i Freq Totale 83 i i ( i - ) ( i - ) i ,57 1,85 0,13 0,41,69 6,97 13,5 83,55 79,55 13,39 3,80 86,08 55,76 6,50 377,63 83 = σ 7 = K 7 = =, Deviaza = σ 7 = =, =1,33 1,33 1,15 Pagia 113

13 Pagia 114 Scarto quadratico medio e variaza Distribuzioe uitaria Scostameto quadratico medio (deviazioe stadard) Variaza (o ha la stessa uità di misura del carattere) Deviaza Deviaza K K i i 1 1 K K i i 1 1 K K i i Deviaza 1 1 Distribuzioe semplice di frequeze Scostameto quadratico medio (deviazioe stadard) Variaza (o ha la stessa uità di misura del carattere) Deviaza