7. ASSOCIAZIONE TRA CARATTERI

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1 UNIVERSITA DEGLI STUDI DI PERUGIA DIPARTIMENTO DI FILOSOFIA SCIENZE SOCIALI UMANE E DELLA FORMAZIONE Corso di Laurea i Scieze per l'ivestigazioe e la Sicurezza 7. ASSOCIAZIONE TRA CARATTERI Prof. Maurizio Pertichetti Statistica sociale

2 Come già aticipato, ell'aalisi dei dati si è sempre più spesso iteressati a compredere se tra due o più caratteri, che si presetao cogiutamete sulle uità statistiche di ua popolazioe, vi possa essere u qualche legame e, el caso, quale sia il grado di di tale relazioe. I questa sede, limitatamete alle modalità o classi di modalità di due caratteri, ci occuperemo delle relazioi di : 7. ASSOCIAZIONE TRA CARATTERI dipedeza (o idipedeza) assoluta o stocastica attraverso l'aalisi delle sole frequeze, particolarmete utile quado la distribuzioe fa riferimeto alle combiazioi di frequeze associate a due mutabili. Il grado di relazioe fra le due variabili viee misurato co diversi idici statistici che, el cocreto, rappresetao la distaza tra la situazioe effettivamete osservata e quella teorica riferita all'ipotesi di idipedeza. Gli idici i tal modo otteuti per misurare tale legame associativo soo detti idici di coessioe; dipedeza (o idipedeza) iterpolativa attraverso l'idividuazioe di ua fuzioe aalitica capace di esprimere la relazioe esistete tra due variabili, posta come implicita l'esisteza di ua atecedeza logica di ua variabile rispetto ad u'altra. Co il termie regressioe si itede il modello atto a descrivere la relazioe esistete tra ua variabile dipedete e ua o più variabili idipedeti o esplicative. Oltre alla dipedeza tra caratteri, la teoria delle relazioi statistiche studia l'iterdipedeza, ossia il legame reciproco tra due variabili, e il termie che sprime tale particolare relazioe è quello di correlazioe. Riprediamo la distribuzioe doppia di frequeze e la corrispodete tabella a doppia etrata. Carattere X y x riga madre di Y distribuzioe di Y codizioata a riga distribuzioe margiale di Y coloa madre di X freq assoluta distribuzioe di X codizioata a totale coloa distribuzioe margiale di X totale riga i. cogiuta ij coloa. j Si sa dalla teoria che ua variabile Y si dice idipedete da ua variabile X se la prima rimae costate al variare dei valori assuti dalla secoda. I caso cotrario si dice che Y è fuzioe di X. L'asseza di ua qualsiasi relazioe tra due caratteri X e Y desumibili da ua distribuzioe doppia di frequeza è detta idipedeza assoluta, e si evice esamiado le distribuzioi codizioate. Più precisamete, riprededo la tabella precedete: Idipedeza di Y da X Carattere X x Carattere X 0,333 0,667 1,000 0,333 0,667 1,000 x 3 0,333 0,667 1,000 0,333 0,667 1,000 il carattere Y si dirà idipedete dal carattere X se le frequeze relative delle distribuzioi codizioate di Y risultao uguali tra loro e uguali alle frequeze margiali relative, per cui al variare della modalità X la distribuzioe relativa di Y è la medesima.

3 Idipedeza di X da Y Carattere Carattere X X ,167 0,167 0, ,333 0,333 0,333 x x 3 0,500 0,500 0, ,000 1,000 1,000 aalogamete il carattere X si dirà idipedete dal carattere Y, se le frequeze relative delle distribuzioi codizioate di X risultao uguali tra loro e uguali alle frequeze margiali relative, per cui al variare della modalità Y la distribuzioe relativa di X è la medesima. Il cocetto di idipedeza è simmetrico per cui, se il carattere Y è idipedete dal carattere X, allora vale ache la relazioe cotraria, ovvero ache il carattere X è idipedete dal carattere Y. Pertato due caratteri X e Y si dirao idipedeti se è verificata l'uguagliaza:.j da cui si ottegoo le frequeze teoriche di idipedeza ij i. 11 ' 32 ' 1. x.1 10 Per cotro la macata validità per le frequeze assolute cogiute dell'uguagliaza di cui sopra, implica l'esisteza di ua situazioe di dipedeza. La dipedeza perfetta è aturalmete l'atitesi della idipedeza. I particolare: 3. x.2 ij ' i. x.j Come si può evicere la tabella utilizzata si riferisce a due caratteri tra loro idipedeti, i quato per ogua delle frequeze assolute cogiute vale la suddetta uguagliaza: Carattere X x x Il carattere Y dipede perfettamete dal carattere X se ad ogi modalità del carattere X è associata ua ed ua sola modalità del carattere Y: Carattere X x tale relazioe di dipedeza o è biuivoca. Il carattere X dipede perfettamete dal carattere Y se ad ogi modalità del carattere Y è associata ua ed ua sola modalità del carattere X: Carattere X y 3 y x

4 La perfetta iterdipedeza, o se vogliamo la dipedeza reciproca, può essere raggiuta solo el caso di tabella quadrata: y 3 Carattere X x e si ha quado: ad ogi modalità del carattere X corrispode ua e ua sola modalità di Y e, cocomitatemete, ad ogi modalità del carattere Y corrispode ua ed ua sola modalità di X. Ovvero quado per ogi riga e coloa si ha u solo valore. Gli idici statistici i grado di evideziare l'idipedeza di u carattere statistico da u altro soo basati sul cofroto (sulla distaza) tra le frequeze osservate e quelle teoriche, sotto l'ipotesi di idipedeza, e soo deomiati idici di coessioe. Tali idici assumoo valori tato più piccoli, quato più esiste idipedeza tra i caratteri studiati. U idicatore i grado di misurare l'associazioe tra due caratteri è dato dall'idice chiquadrato, χ 2, la cui espressioe aalitica è: r c ( χ 2 Σ Σ ij ij ' ) i1 j1 ij ' La differeza ( ij ij ') tra la frequeza osservata e la frequeza teorica è deomiata cotigeza. Si tratta di u idice assoluto che ammette valore miimo 0 se ij ij ', ossia se esiste idipedeza tra i caratteri, ma o ammette valore massimo i caso di dipedeza, quado ij ij '. Per cui, ella misura di associazioe si fa riferimeto all'idice ormalizzato V di Cramer dato da: 2 V χ 2 x mi[(r1);(c1)] Dove x mi[(r1);(c1)] sta a sigificare che il totale delle osservazioi va moltiplicato per il valore più piccolo tra r, umero delle righe, e c, umero delle coloe detratto 1. Tale idice varia tra 0, el caso di idipedeza, e 1, el caso di massima dipedeza. Esempio di calcolo dell'idice chiquadrato e dell'idice ormalizzato di Cramer. Data la tabella di frequeze osservate Caratt X y x

5 Sulla base dell'uguagliaza ij ' i. X.j Carattere X y 3 1,813 2,333 4, ,853 4,667 3,813 0 x 3 2,667 2,333 0, si procede alla costruzioe di ua uova tabella dove, fermi restado i valori delle righe e coloe margiali, al posto delle frequeze cogiute osservate si sostituiscoo le frequeze cogiute teoriche ell'ipotesi di idipedeza dei due caratteri. Caratt X x 3 22*13/ 28*13/ 25*13/ 13 22*25/ 28*25/ 25*25/ y 3 22*37/ 28*37/ 25*37/ ( ij ij ' ) ij ' Caratt X x 3 4,333 8,333 y 3 3,813 4,853 Si prosegue poi co l'elaborazioe della tabella delle cotigeze ( ij ij '). Ed ifie teuto coto dell'espressioe 7,333 9, ,853 13,813 12,333 2 si perviee al calcolo del chiquadrato Carattere X y 3 0,862 0,742 1,584 3,189 0,150 2,333 1,053 3,536 x 3 1,641 0,653 0,009 2,303 2,653 3,729 2,646 9,028 e quidi della V di Cramer: χ 2 9,028 χ2 V x mi[(r1);(c1)] 9,028 0,060 0,245 Dal risultato di V si evice che tra i due caratteri vi è ua bassa coessioe. Nel caso di ua tabella quadrata e di caratteri che presetao solo due modalità totale totale a b a+b c d c+d a+c b+d a+b+c+d l'idice chiquadrato e l'idice ormalizzato di Cramer possoo essere calcolati ricorredo ache alle segueti espressioi: χ 2 (axd bxc) 2 x (a+b)x(c+d)x(a+c)x(b+d) V (axd bxc) (a+b)x(c+d)x(a+c)x(b+d)

6 Esempio dei diversi modi di calcolare l'idice Chiquadro e l'idice ormalizzato di Cramer. Data la tabella di frequeze osservate ,000 14,000 12,000 12,000 26,000 26,000 0,6429 0,6429 0,00 0,00 1,3929 1, ,000 24,000 52,000 1,2857 1,5000 2,7857 χ 2 (OssTeo) 2 /Teo 2,786 x mi tra (r1);(c1) 52 x (21) 52 χ V ,786 52,000 0,0536 0,231 a b a+b a x d 255 c d c+d b x c 99 a+c b+d a+b+c+d χ 2 (axdbxc) 2 x ( ) 2 x (a+b)x(c+d)x(a+c)x(b+d) ,786 V (axdbxc) ( ) 156 (a+b)x(c+d)x(a+c)x(b+d) ,231