Le principali procedure inferenziali: nozioni, schemi di procedimento ed esempi di applicazione

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1 Complemeti per il corso di Statistica Medica Le pricipali procedure ifereziali: ozioi, schemi di procedimeto ed esempi di applicazioe IC al livello (-α) % per la media µ Ipotesi: ella popolazioe il feomeo si distribuisce secodo ua Normale co media µ (icogita) e variaza σ ota Formula valida ache per il caso di ua popolazioe o Normale SE il campioe è grade ( 3) Formula valida ache se o si coosce la variaza della popolazioe σ SE il campioe è grade ( 3) (al posto di σ si usa la variaza calcolata el campioe) Formula: x z α σ, x + z α σ Quatile: N(,) α z α 9%.64 95%.96 Nota: quado o si coosce la variaza σ e il campioe è piccolo si usao i quatili della distribuzioe T di Studet co (-) gradi di libertà

2 T-test su ua media al livello di sigificatività α5% H : µ µ Ipotesi: ella popolazioe il feomeo si distribuisce secodo ua Normale co media µ (icogita) e variaza σ ota Formula valida ache per il caso di ua popolazioe o Normale SE il campioe è grade ( 3) Formula valida ache se o si coosce la variaza della popolazioe σ SE il campioe è grade ( 3) (al posto di σ si usa la variaza calcolata el campioe) Statistica test: la media calcolata el campioe, stadardizzata: t X µ σ Calcolare il p-value sulla tavola della N(,) oppure Cofrotare t co il limite della regioe di rifiuto z: H z µ > µ ( µ < µ ) +.64 (-.64) µ µ ±.96 Nota: quado o si coosce la variaza σ e il campioe è piccolo si usa la distribuzioe T di Studet co (-) gradi di libertà T-test per cofrotare medie da campioi idipedeti al livello di sigificatività α5% H : µ µ vs H : µ µ Ipotesi: i due gruppi provegoo da due popolazioi rispettivamete co mediaµ e µ (icogite) e uguale variaza σ icogita; etrambi i campioi soo gradi (, >3) Calcolare: s ( ) s + ( ) + s Statistica test: la differeza delle medie calcolate el campioe, stadardizzata: y y t s + Calcolare il p-value sulla tavola della N(,) oppure Cofrotare t co il limite della regioe di rifiuto z.96

3 Cofroto di gruppi idipedeti o appaiati I gruppi soo idipedeti quado le uità statistiche del primo gruppo o coicidoo co quelle del secodo gruppo, o comuque o codividoo co esse alcu possibile fattore esplicativo co quelle; i due gruppi possoo avere umerosità diverse I gruppi soo dipedeti o appaiati quado si tratta degli stessi soggetti, oppure di soggetti (o uità statistiche, o osservazioi) che codividoo u importate fattore esplicativo; i due gruppi hao la stessa umerosità. Esempi: Misurazioe del peso (dei WBC; della pressioe;...) prima e dopo la terapia Cofroto fra due gruppi di fratelli (codividoo fattori geetici / ambietali) Cofroto fra orgai o parti di orgai dello stesso paziete (es i occhi, lembi di pelle, etc) Osservazioe dell outcome i studi sperimetali co cross-over, o i studi osservazioali co matchig idividuale (vd. Epidemiologia) Esistoo test specifici per dati appaiati Metodi parametrici e o-parametrici I test parametrici valgoo sotto certe ipotesi sulla distribuzioe dei dati (ad es: Normalità) o ei gradi campioi. I test o-parametrici o hao bisogo di ipotesi restrittive sulla distribuzioe da cui provegoo i dati. Essi soo preferibili quado le ipotesi o soo verificate o verificabili, e co piccoli campioi. Tuttavia, u test parametrico usato quado valgoo le ipotesi ha maggiore poteza di u test o-parametrico. Ossia, i o-parametrici soo test più coservativi : solo ua forte evideza porta al rifiuto dell ipotesi ulla, ache se essa è falsa. 3

4 Cofroto di medie fra gruppi idipedeti: altre situazioi Osservado k gruppi idipedeti di uità, si vuole verificare l ipotesi che le medie delle popolazioi da cui provegoo siao fra loro tutte uguali, cotro l ipotesi che siao diverse (ossia, che almeo fra k medie siao diverse) I pricipali test di riferimeto soo: k gruppi k> gruppi Parametrici T-test per campioi idipedeti ANOVA No-parametrici Wilcoxo; Ma-Whitey Kruskal-Wallis T-test e ANOVA fao ipotesi di Normalità e Omoschedasticità (uguale variaza ei gruppi). Esistoo test e altri metodi per verificarle: Normalità: Metodi grafici (es. Normal Probability Plot); Test di Kolmogorov-Smirov o di Shapiro-Wilks Omoschedasticità: Test F; test di Levee Lavorare su ua trasformata dei dati può redere le ipotesi valide (Es. se Y ha distribuzioe asimmetrica a destra, logy può avere distribuzioe simmetrica) IC al livello (-α) % e test al livello 5% per la prob. π Ipotesi:il campioe è grade ( 3) Formula IC95%: ) π z α ) ) π ( π ) ), π + z α ) ) π ( π ) Quatile: N(,) α z α 9%.64 95%.96 Statistica test per H : ππ : la proporzioe calcolata el campioe, stadardizzata: t ˆ π π ˆ( π ˆ) π Calcolare il p-value sulla tavola della N(,) oppure Cofrotare t co il limite della regioe di rifiuto z: H z π > π ( π < π ) +.64 (-.64) π π ±.96 Nota: i sostaza, si tratta la probabilità come la media di u campioe, SE il campioe è grade. Si può usare ache il T-test per cofrotare probabilità da campioi idipedeti e GRANDI, l alterativa o-parametrica è il test Chi- Quadrato (e, per campioi piccoli, il test F di Fisher) 4

5 Test Chi-Quadrato per l associazioe fra due caratteri qualitativi (tabella doppia rxc) H : X (r modalità) e Y (c modalità) idipedeti vs H : X,Y associati Ipotesi: ella tabella doppia, tutte le frequeze attese soo >5 Calcolare le frequeze attese sotto l ipotesi H di idipedeza: ~ i.. j tot riga tot coloa ij ovvero, per ogi cella: Attesa tot geerale Statistica test: χ ( ) ij ~ ij i, j.. ~ ij ( Osservate Attese) Attese Calcolare il p-value sulla tavola del Chi-quadrato co gradi di libertà (r-)(c-) oppure χ Cofrotare X co il limite della regioe di rifiuto z: solo per tabella x: α z Studio dell associazioe fra caratteri cotiui I pricipali metodi di riferimeto soo: relazioe lieare misura del grado di relazioe e test associati (Covariaza) Coefficiete di Correlazioe Lieare di Pearso (r) cov r xy i xy ( xi x)( yi y) x cov xy std std y i xi yi x y relazioe o-lieare Coefficiete di regressioe (pedeza della retta di regressioe) Idici Rho di Spearma o Tau di Kedall std b ˆ r xy std y x Itercetta: aˆ y bx ˆ 5

6 Es: IC 95% per la media Si vuole stimare il valore medio della pressioe saguiga fra i soggetti sottoposti ad u certo trattameto farmacologico. Si dispoe di u campioe di 3 soggetti, co media campioaria pari a 6 e deviazioe stadard pari a 5. Data l ampiezza del campioe, è possibile applicare la formula dell itervallo di cofideza usado le tavole della Normale; scegliamo il livello 95% x 6 s 5, 3 s. e.( X ) 5/ z α ( x.96 σ, x +.96 σ ) 95% CI ( , ) (55.7,64.3) Assumedo che i ua popolazioe di soggetti sai il valore della pressioe saguiga si distribuisca secodo ua distribuzioe Normale co media 5 e deviazioe stadard pari a 5, e osservado u campioe di soggetti co media campioaria pari a 6, verificare l ipotesi che tali soggetti siao stati estratti da quella popolazioe, cotro l ipotesi che siao soggetti ipertesi. Ipotesi e tipo di Test: Es: test su ua media. i) p-value Ipotesi del test: la distribuzioe è Normale e la variaza è ota: soddisfatte. Calcolo della statistica test: H : µ 5 vs H : µ > 5 x µ 6 5 z σ 3.35 ; T-test per la media.98 Metodo del p-value: Φ(.98).999 p - value (sulle tavole) (.999). Coclusioe: Il valore osservato è sigificativamete diverso da 5: possiamo cocludere che i soggetti osservati soo ipertesi rispetto alla orma. 6

7 Es: test su ua media. ii) regioe di rifiuto Assumedo che i ua popolazioe di soggetti sai il valore della pressioe saguiga si distribuisca secodo ua distribuzioe Normale co media 5 e deviazioe stadard pari a 5, e osservado u campioe di soggetti co media campioaria pari a 6, verificare l ipotesi che tali soggetti siao stati estratti da quella popolazioe, cotro l ipotesi che siao soggetti ipertesi. Ipotesi e tipo di Test: Ipotesi del test: la distribuzioe è Normale e la variaza è ota: soddisfatte. Calcolo della statistica test: H : µ 5 vs H : µ > 5 x µ 6 5 z σ 3.35 ; T-test per la media.98 Metodo delle regioi di rifiuto: Fissiamo α.5; trattadosi di u test a ua coda, la zoa è la coda destra, ed è delimitata dal valore.64 (proprietà della Normale: Φ.64.9 ) La statistica test vale.98: cade ella zoa di rifiuto Coclusioe: (come prima) ( ) 5 Esempio: test su due medie Due gruppi di soggetti assumoo rispettivamete il trattameto A o B. Si misura il valore della pressioe saguiga, che si assume si distribuisca secodo ua distribuzioe Normale co stessa variaza. I risultati ei campioi soo i tabella. Verificare l ipotesi che o ci sia differeza fra i due gruppi. gruppo A B 3 36 y 94 9 s 8 6 Ipotesi e tipo di Test: : µ A µ B vs H : µ A B ; T-test per medie H µ Ipotesi del test: valgoo Normalità e omoschedasticità (secodo il testo) Calcolo della statistica test: s 4.6 t Metodo delle regioi di rifiuto: Fissiamo α.5; il test è a due code; il valore soglia è.96: La statistica test cade ella zoa di rifiuto. Coclusioe: rigettiamo l ipotesi di uguagliaza dei gruppi rispetto alla pressioe. 7

8 Si osserva u gruppo di 6 pazieti co leucemia acuta mieloide; di essi ottegoo la remissioe completa dopo u ciclo di ua chemioterapia sperimetale. Duque la percetuale di successi osservata è pari al 69%. Si può cocludere che il trattameto è più efficace della chemioterapia stadard, che ha ua probabilità di successo del 6%? Ipotesi e tipo di Test: Esempio: test su ua probabilità Ipotesi del test: il test è valido: il campioe è grade (6) Calcolo della statistica test: H : π.6 vs H : π >.6 ˆ( π ˆ) π.69.3 ˆ π π z.5 6 ˆ( π ˆ) π.36 Metodo del p-value: Φ(.5).994 (sulle tavole) p - value (.994). 6 ; test di tipo T Coclusioe: Il valore osservato è sigificativamete maggiore di 6%, possiamo cocludere che il uovo trattameto è superiore al trattameto stadard. Esempio: test Chi-Quadrato I segueti dati soo relativi all utilizzo di atibiotici registrato i u ao i due gruppi di uomii e doe. Si vuole verificare se esiste ua differeza sigificativa ei due gruppi. sesso M F tot atibiotici No Si tot Ipotesi e tipo di Test: H : sesso e atibiotici soo idipedeti, H : soo associati; Test Chi-Quadrato freq attese 5 6 Ipotesi del test: tutte le frequeze attese soo >5: il test è valido. Calcolo della statistica test: ( L) χ 9.8 Metodo delle regioi di rifiuto: Fissiamo α.5; il test è sempre a ua coda, a destra; il valore soglia i corrispodeza di grado di libertà (letto sulle tavole) è La statistica test cade ella zoa di rifiuto. Coclusioe: rifiutiamo l ipotesi di idipedeza. 8