Senza reimmissione. Le n v.a. non sono più indipendenti e identicamante distribuite. Campionamento da universo
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- Cipriano Gioia
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1 STATISTICA A K (60 ore Marco Riai mriai@uipr.it Ifereza statistica Dal campioe alla popolazioe Co quale precisioe si possoo descrivere le caratteristiche di ua popolazioe sulla base delle iformazioi desute dal campioe? Estesioe avviee i termii probabilistici Campioameto da uiverso fiito Esperimeto aleatorio estrazioe di u campioe di umerosità Modo di estrazioe degli elemeti Co reimmissioe (Beroullia a a a Prima dell estrazioe: variabili aleatorie idipedeti e ideticamate distribuite Campioameto da uiverso fiito Seza reimmissioe a a a - -- Le v.a. o soo più idipedeti e ideticamate distribuite 4 Criterio i base al quale si distiguoo due campioi: differiscoo almeo per l ordie (a, b, c (a, c, b differiscoo almeo per u elemeto (a, b, c (a, b, d SPAZIO DEI CAMPIOI = Ω = isieme di tutti i possibili campioi di elemeti estraibili dall uiverso Esempio: = (a, b, c, d = 4 = Estrazioe co reimmissioe (o beroulliaa Quati soo i possibili campioi di umerosità = sel ordie lordie cota? Disposizioi = ( = 4 = 6 5
2 Esempio: = (a, b, c, d = 4 = Estrazioe seza reimmissioe (i blocco due campioi soo diversi solo se differiscoo per almeo u elemeto Quati soo i possibili campioi di umerosità = se l ordie o cota? Le distribuzioi campioarie Combiazioi C,! 4! = = = 6!(!!(4! 8 La v.a. media campioaria ( Esempio = peso i grammi = 4 (oggetti = (0, 0, 4, 8 μ= VAR = = = = (0, 0, 4, 8 spazio dei campioi (estrazioe beroulliaa Distribuzioe di ell uiverso f i 4 0,5 8 0,5 4 9 (4,4 (8,4 (4,8 (8,8 0 = (0, 0, 4, 8 Distribuzioe di ell uiverso f i 4 0,5 8 0,5 4 V. A. I elemeto del campioe (prima dell estrazioe p i 4 0,5 8 0,5 4 V. A. II elemeto del campioe p i 4 0,5 8 0,5 4 Coclusioe ; ;...; ; campioe prima dell estrazioe può essere cosiderato come ua successioe di v.a. idipedeti, ideticamete distribuite e co distribuzioe uguale a quella del feomeo ell uiverso
3 0 0 4 xi (4,4 4 (8, (4,8 6 (8,8 8 p i p i ( xi -μ p i 0 4 0,5 5,5 4 0,5 5,5 0, ,5 7,5 0,5 6 0,5,5,5 8 0,065,75, ,5 = (0, 0, 4, 8 E(=µ= VAR(= = DISTRIDZIOE DELLA V.A. MEDIA CAMPIOARIA E( = = μ (media dell uiverso VAR( = 5,5 = = campioaria da u uiverso (µ = ( E ( =? VAR( ( =? campioaria da u uiverso (µ = ( E ( =? E ( = E ( E ( = [ E( E( E( E( E( = [ μ μ μ μ] = μ = μ ] campioaria da u uiverso (µ = ( VAR ( =? VAR ( = VAR ( VAR ( = [ VAR( VAR( VAR( VAR( VAR( = [ ] = = ] campioaria Premessa: qualsiasi combiazioe di v.c. ormale è distribuita i maiera ormale Se iverso~(µ ~ ( μ, Errore stadard della v.a. media campioaria ~ ( μ, ( = L errore stadard ella media quatifica la variazioe della media campioaria da campioe a campioe
4 = feomeo ell uiverso~(µ Obiettivo ~ ( μ, Aalizzare la distribuzioe della v.a. media campioaria quado l uiverso da cui gli elemeti campioari provegoo preseta forma igota 9 Covergeza i legge Siao, v.a., idichiamo co F, F F F le rispettive fuzioi di ripartizioe. Diremo che coverge i legge a se e solo se per ogi puto di cotiuità di F limf ( x = F( x I simboli Teorema cetrale del limite Sia ua successioe di v.a. idipedeti e ideticamete distribuite co media µ e variaza. Sia S la somma di queste variabili aleatorie S = E(S =E( =E( E( E( = µ VAR(S = VAR( =VAR( VAR( VAR( = S E( S (0, var( S Teorema cetrale del limite e v.a. media campioaria = ( S E( S (0, var( S = = 4 Distribuzioe di E( (0, var( Approssimazioe sufficiete per >=00 = 5 4 4
5 Relazioe tra v.a. Biomiale e v.a. ormale = Biomiale = Somma di v.a. Beroulliae (, idipedeti e ideticamete distribuite co Pr successo pari a π Teorema cetrale del limite La biomiale stadardizzata ~(0, π π ( π (0, E( Estrazioe i blocco = μ VAR( = ( = =.B. lim = 6 Esercizi da risolvere per luedì aprile Esercizio umero di esami sosteuti da 4 studeti del ao di ua certa facoltà = (, 4, 4, 5 Calcolare la distribuzioe delle medie campioarie (= el caso di -estrazioe beroulliaa -estrazioe i blocco Calcolare la distribuzioe della variaza campioaria (estrazioe beroulliaa 8 S Variaza campioaria S ( i i= = Calcolare teoricamete E(S Esercizio = feomeo dicotomico ( A = acquirete, A = o acquirete =( A, A, A, A, A Distribuzioe di? E(? VAR(? Spazio dei campioi (estrazioe Beroulliaa co =? Calcolo della distribuzioe della frequeza relativa campioaria (P e del umero di successi (S? E(P? VAR(P? E(S? VAR(S? Distribuzioe approssimata (asitotica di P e S? 5
6 Esercizio I ua città i cotribueti che hao presetato il modello 70 soo stati.000 ed il reddito medio è stato di euro, co s.q.m. pari a euro. Estraedo da tale uiverso u campioe casuale di 00 cotribueti si determii la probabilità che la media campioaria i sia compresa tra e euro: ell ipotesi di estrazioe co reimmissioe (beroulliaa el caso di estrazioe seza reimmissioe Si illustrio ioltre le assuzioi che redoo possibile il calcolo. Esercizio 4 test per l ammissioe ad u corso di laurea a umero chiuso cosiste i 00 domade, per ciascua delle quali soo idicate 4 possibili risposte, di cui ua sola esatta. cadidato assolutamete impreparato, rispode semplicemete barrado a caso ua risposta per ogi domada. Qual è la probabilità che egli forisca almeo 40 risposte esatte? ( Si idichi dapprima l espressioe esatta per il calcolo di tale probabilità e la si determii poi avvaledosi di u teorema appropriato 6
Statistica, a.a. 2010/2011 Docente: D. Dabergami Lezione 6
X c () 0 0 0 0 t dx e x t altrove x e x x f x t x X = =4 =8 E[X] = Var[X] = Teorema Z, Z,, Z N(0 ; ) e idipedeti X= Z + Z + +Z c () Nota Esistoo tavole dei puti percetuali delle distribuzioi chi-quadro
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