Probabilità e Statistica (LT in Matematica) Prof. P. Dai Pra, prova scritta 27/03/2008. TEMA B

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1 Probabilità e Statistica (LT i Matematica) Prof. P. Dai Pra, prova scritta 7/0/008. Cogome: Nome: Matricola: Firma: TEMA B ESERCIZIO. L Esame di Stato che coclude i corsi di scuola media superiore comprede ua prova di Italiao, che costa di tre possibili temi, che idicheremo co A, B e C. Ciascuo studete deve scegliere e svolgere uo dei tre temi proposti. Lo scorso ao i tre temi soo stati scelti dagli studeti i uguali proporioi. È ioltre risultato che il 5% degli studeti che hao scelto il tema A lo hao svolto i maiera isufficiete, metre tale percetuale è stata del 5% per coloro che hao scelto il tema B e del 0% per coloro che hao scelto il tema C. I miei ii mi hao detto che mio cugio Claudio è risultato sufficiete ella prova di Italiao. Sulla base di questa iformaioe, qual è la probabilità che Claudio abbia scelto il tema A? Suluioe. Itroduciamo gli eveti I dati del problema soo A := {Claudio ha scelto il tema A}, B := {Claudio ha scelto il tema B}, C := {Claudio ha scelto il tema C}, E := {Claudio è risultato isufficiete ella prova di Italiao}. P (A) = P (B) = P (C) =, P (E A) = 0.5, P (E B) = 0.05, P (E C) = 0.0, e di coseguea P (E c A) = 0.85, P (E c B) = 0.95, P (E c C) = Dobbiamo calcolare P (A E c ). Per la formula di Bayes P (A E c ) = P (Ec A)P (A) P (E c ) = 0.85 P (E c ). Per calcolare P (E c ), usiamo la formula delle probabilità totali applicata agli eveti {A, B, C}: P (E c ) = P (E c A)P (A) + P (E c B)P (B) + P (E c C)P (C) = = Di coseguea P (A E c ) = 0.85 P (E c ) =

2 ESERCIZIO. U équipe di ricercatori vuole codurre u idagie su u campioe di idividui affetti da daltoismo. No avedo a disposiioe u eleco di idividui daltoici, i ricercatori decidoo di cotattare per via telefoica delle persoe scelte casualmete. È oto che il daltoismo è presete el % della popolaioe i esame. Usado opportui metodi di approssimaioe, si rispoda ai segueti quesiti. a) Quati idividui dovrao essere cotattati affiché, co probabilità maggiore o uguale di 0.75, almeo 40 di essi siao daltoici? b) Qual è la probabilità che tra i primi ceto idividui cotattati ci siao al massimo tre daltoici? Soluioe. a) Sia { se l i-mo idividio cotattato è daltoico X i = 0 altrimeti. Notare che X i Be(0.0). Si tratta di determiare i modo tale che ( P X > 40 ) Usado l approssimaioe ormale e la correioe di cotiuità: ( P X > 40.5 ) ( ) ( ) X = P Φ Quest ultima quatità è maggiore o uguale di 0.75 se e solo se Φ (0.75) cioè Risolvedo la precedete, come equaioe di secodo grado i, si trova 50. b) Sia Y = X + X + + X 00 B(00, 0.0) P o(). Pertato [ P (Y ) e ]

3 ESERCIZIO. Siao X Be(p), Y Ge(q) e Z Ge(r) variabili casuali idipedeti (ricordiamo che P (Y = ) = q( q) per IN := {,,...}). Defiiamo W := XY + ( X)Z. a) Sea fare calcoli co desità, calcolare media e variaa di W, e la covariaa Cov(W, Y ). b) Determiare la desità cogiuta di (W, Y ), e la desità margiale di W. Soluioe a) E(W ) = E(XY ) + E(( X)Z) = E(X)E(Y ) + ( E(X))E(Z) = p q + ( p) r. Osservado che X( X) 0 e che X = X, ( X) = X, si ha ( E(W ) = E(X)E(Y ) + ( E(X))E(Z ) = p q q da cui si ottiee ) + ( p) ( r ), r V ar(w ) = p q q + ( p) r ( r + p( p) q ). r Ifie da cui ( E(W Y ) = E(XY ) + E(( X)ZY ) = p q ) + ( p) q q r, Cov(W, Y ) = E(W Y ) E(W )E(Y ) = p q q. b) P (W = k, Y = h) = P (W = k, Y = h, X = 0) + P (W = k, Y = h, X = ) = ( p)p (Z = k, Y = h) + pp (Y = k, Y = h) = ( p) q( q) h r( r) k + p {0} (k h) q( q) k. Da cui si trova P (W = k) = P (W = k, Y = h) = P (W = k, Y = h) + P (W = k, Y = k) h IN h k = ( p) q( q) h r( r) k + p q( q) k = ( p) r( r) k + p q( q) k. h IN

4 ESERCIZIO 4. Siao X, Y U(0, ) idipedeti, e siao a) Calcolare la desità di W. W := X Y, Z := X mi(x, Y ). b) Calcolare la fuioe di ripartiioe di Z. (Sugg.: coviee calcolare P (Z > ), per. Può essere utile esprimere Z i fuioe di W.) c) Mostrare che Z o è é ua variabile casuale discreta é ua variabile casuale assolutamete cotiua. Soluioe a) Possiamo scrivere W = X + Y dove abbiamo posto Y := Y. Si oti che Y U(, 0) e che X, Y soo idipedeti. Applicado la formula di covoluioe si ha f W (w) = f X (w t)f Y (t) dt = (0,) (w t) (,0) (t) dt = (w,w) (t) (,0) (t) dt. Si oti che se w o w l itegrado è ideticamete ullo, per cui f W (w) = 0. Per w (, 0] si ha metre per w [0, ) I defiitiva, possiamo scrivere f W (w) = f W (w) = w 0 w dt = + w, dt = w. f W (w) = ( w ) (,) (w). b) Si oti che se W 0 (cioè X Y ) si ha Z = 0, metre se W > 0 (cioè X > Y ) si ha Z = X Y = W. I altre parole, vale la seguete relaioe: Z = W {W >0}. Si oti che i ogi caso Z 0, per cui P (Z > ) = 0 per < 0. Per 0 si ha P (Z > ) = P (W > ) = f W (w) dw = Se segue che P (Z > ) = 0, metre se 0 < per cui P (Z > ) = ( w) dw = ( ) w 0 < 0 F Z () = + 0 <. ( w) (,) (w) dw. = +, 4

5 c) La variabile Z o è assolutamete cotiua perché P (Z = 0) = F Z (0) F Z (0 ) = > 0. Dato che F Z () è cotiua per 0, si ha che P (Z = ) = F Z () F Z ( ) = 0 per ogi 0, per cui P (Z = ) = P (Z = 0) =. Questo mostra che Z o può essere ua variabile casuale discreta (i tal caso la somma dovrebbe fare uo). 5