1 Sulla dimostrazione del Teorema di Carathéodory

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1 Sulla dimostrazioe del Teorema di Carathéodory Ricordiamo che la dimostrazioe del Teorema di Carathéodory procede secodo diversi passi, riassuti dal seguete diagramma: (A, P ) (B, P ) (P (Ω), P ) (C, P ) dove i vari simboli soo spiegati elle dispese. Lo scopo dell esempio che segue è di mostrare l importaza del primo passo, cioè l estesioe di P a B. Sia A l algebra dei pluri-itervalli, di tutte le forme (chiusi, semiaperti ecc.). I sigoletti, i particolare, appartegoo ad A. Sia P ua probabilità fiitamete additiva defiita su A che possiede desità f rispetto alla misura di Lebesgue, el seso che vale P (A) = f (x) dx per ogi A A. Suppoiamo come sempre f (x) dx =. R Proviamo a sviluppare la costruzioe del teorema di Carathéodory seza itrodurre la famiglia B. Procediamo quidi a defiire, per ogi isieme C R, P (C) = if {P (A) A A, C A} A (ivece che estedere prima P a B e poi defiire P (C) = if {P (B) B B, C B}). Cosideriamo l isieme C = Q. Se A A cotiee C, A dovrà essere uguale ad R salvo al più u umero fiito di puti. Pertato P (A) = f (x) dx =. Quidi R P (C) =. Possiamo ora dimostrare che P ristretta a σ (A) o è σ-additiva (cioè crolla la costruzioe del teorema). Ifatti, C σ (A) (perché σ (A) cotiee i sigoletti e C è uioe umerabile di sigoletti), per cui se P ristretta a σ (A) fosse σ-additiva, siccome i sigoletti hao misura zero secodo P (verificarlo), allora sarebbe P (C) = 0. Remark Il cotroesempio o fuzioa se si sbiluppa il passo relativo a B. Ifatti, si verifica facilmete che, ell ambito dell esempio appea sviluppato, Q B; quidi co la defiizioe P (C) = if {P (B) B B, C B} si trova P (Q) = 0, seza alcua cotraddizioe.

2 2 Esempi di applicazioe del lemma di Borel- Catelli I Sia (X ) N ua successioe di v.a. defiite su uo spazio probabilizzato (Ω, F, P ). Suppoiamo che siao ideticamete distribuite. Ci chiediamo: esiste ua successioe (positiva e divergete) (a ) N tale che X a defiitivamete? Dove co questo termie itediamo che per quasi ogi ω Ω esista 0 (ω) tale che valga X (ω) a per ogi 0 (ω)? Vediamo ua prima risposta sotto l ipotesi E [ X p ] <, per u certo p. Vale per la disuguagliaza di Chebyshev, P ( X > a ) Pertato, se suppoiamo prima vale E [ X p ] = E [ X p ]. <, per il lemma di Borel-Catelli parte X a defiitivamete. I coclusioe, abbiamo risolto il seguete: Exercise 2 Mostrare che, se (X ) N è ua successioe i.i.d. co E [ X p ] <, allora X a defiitivamete, per ogi successioe divergete positiva (a ) N tale che <. I particolare, per ogi ɛ > 0, vale X p +ɛ defiitivamete. Se poi vale E [ e λ X ] < per u certo λ > 0, allora per ogi ɛ > 0 vale X +ɛ λ log defiitivamete. L ultima parte dell esercizio è lasciata al lettore. Vediamo u esercizio simile ma co altra fialità. Sia (X ) N ua successioe di v.a. ed X ua v.a., tutte defiite su uo spazio probabilizzato (Ω, F, P ). Suppoiamo (ache se sarà cosegueza delle prossime ipotesi) che X teda ad X i probabilità. La fialità dell esercizio è di trovare codizioi suffi cieti affi ché X teda ad X quasi certamete. Sia (ɛ ) N ua successioe ifiitesima di umeri positivi. Vale P ( X X > ɛ ) E [ X X p ] ɛ p. Su questa base, è facile completare la risoluzioe del seguete: 2

3 Exercise 3 Mostrare che, se esistoo ua successioe ifiitesima di umeri positivi (δ ) N ed u umero p tali che E [ X X p ] δ allora X tede a X quasi certamete. < Elaboriamo questo esercizio ella direzioe della Legge Forte dei Gradi Numeri. Sia (Y ) N ua successioe i.i.d. co E [ Y p ] < (co p almeo ) e sia X = Y+...+Y. Posto µ = E [Y ], ci chiediamo se vale E [ X µ p ] δ per qualche successioe ifiitesima di umeri positivi (δ ) N. Co p = 2 abbiamo già fatto il coto: quidi [ E X µ 2] = V ar [X ] E [ X µ 2] = V ar [X ] δ δ che diverge. La poteza p = 2 o basta. Proviamo co p = 4: [ Y Y ] [ 4 Z E µ i=y i µ Z Z ] 4 = E = 4 E i,j,k,h= I questa somma ci soo poteze quarte (i = j = k = h); esse ammotao a i= E [ Zi 4 ] [ ] = E Z 4. Z i Z j Z k Z h. Poi ci soo poteze terze per u fattore diverso (es. i = j = k h); il loro valore atteso è ullo (per l idipedeza e la cetratura). Lo stesso accade per le quartie co idici tutti diversi e per quelle co due idici uguali e due diversi. Restao le quartie co due idici uguali e gli altri ache uguali, ma diversi dai precedeti. Per ciascua di esse il valore atteso è pari a E [ 2. Z] 2 Quate soo? U sottocaso è Zi 2 Zk 2 i,k= 3

4 il cui valore atteso è 2 E [ 2. ( Z] 2 Ci soo 4 2) casi di questo tipo. I defiitiva, possiamo dire che 4 E Z i Z j Z k Z h C 2 4 = C 2 i,j,k,h= per u opportua costate C > 0. Otteiamo così la soluzioe del seguete: [ Exercise 4 Mostrare che, se (Y ) N è ua successioe i.i.d. co E Y 4] <, allora Y+...+Y E [Y ] quasi certamete. 3 Esempi di applicazioe del lemma di Borel- Catelli II Exercise 5 Sia (X ) N ua successioe i.i.d. di v.a. B (, p), p (0, ), defiita su uo spazio (Ω, F, P ). Mostrare che, per q.o. ω Ω, il umero di compare ifiite volte ella sequeza (X (ω)) N. Poiamo A = {X = }. Soo eveti idipedeti, aveti probabilità p > 0, da cui P (A ) = +, quidi per il lemma di Borel-Catelli II, per quasi ogi ω Ω, vale ω A per ifiiti idici ; ovvero X (ω) = per ifiiti idici. L esercizio è risolto. Su questa falsariga, si ottegoo risultati meo ituitivi, come mostra il seguete esempio. Ivetiamo u poema, che cosista i ua sequeza be precisa di caratteri (icludedo spazi e puteggiatura come caratteri). Suppoiamo che il poema sia lugo caratteri. Suppoiamo di avere ua macchia da scrivere co u tasto per ogi carattere (miuscolo, maiuscolo, spazio ecc.). Diamo tale macchia ad ua scimmia piuttosto logeva, che premerà i tasti a caso per lugo tempo. Suppoiamo che i tasti scelti elle diverse battute siao idipedeti, ideticamete distribuiti e ogi tasto abbia probabilità positiva di essere scelto. Exercise 6 Mostrare che aspettato abbastaza a lugo, ella sequeza scritta comparirà il ostro poema scritto per be 00 volte (co probabilità uo). Mostriamo che, co probabilità uo, il poema comparirà ifiite volte. Sia (X ) N ua successioe i.i.d. di v.a. che possoo assumere come valori i simboli dei diversi tasti, co le probabilità dette sopra. Itroduciamo gli eveti { } A = (X ),...,0 5 è il poema } A 2 = {(X ) è il poema 05+,...,2 0 5 } A 3 = {(X ) è il poema =2 05+,...,

5 Essi soo idipedeti e P (A ) = p i dove p i è la probabilità dell i-esimo 0 5 i= carattere del poema. Siccome P (A ) > 0, basta ripetere quato detto sopra ell esercizio più semplice. Nota: aturalmete quato asserito ell esercizio è irrealistico perché il tempo che si deve attedere per avere la prima versioe del poema è eormemete più lugo della vita, o per lo meo della pazieza, di ua scimmia. 4 Esempi di relazioi tra misure. Quado pesiamo ad ua desità, abbastaza giustamete pesiamo al caso di misure di probabilità defiite da desità rispetto alla misura di Lebesgue (questo è il caso pricipale per il ostro corso). Tali desità, dovedo essere itegrabili all ifiito, soo i geere ifiitesime, all ifiito (itegrabile o implica ifiitesima, ma egli esempi questo accade praticamete sempre). Esistoo esempi i cui, ivece, lim x f (x) = +? Certamete, ma o bisoga pesare alle probabilità rispetto a Lebesgue. Sia ν la misura defiita dalla desità gaussiaa caoica p (x) = 2π e x2 2, rispetto alla misura di Lebesgue µ. Allora, µ è assolutamete cotiua rispetto a ν e dµ dν = 2πe x Nella defiizioe di misure sigolari ν, µ si dice che esiste u isieme misurabile A tale che ν è portata da A e µ da A c. Questo fa pesare che i "supporti" (qualuque cosa sigifichi questa parola) di ν e µ siao disgiuti. Modulo il fatto che o abbiamo defiito il termie "supporto", vediamo u esercizio che all appareza può sembrare cotro-ituitivo. Exercise 7 Trovare due misure sigolari ν, µ portate da due isiemi misurabili B, B 2 co B B 2. L esercizio si risolve co ν = Lebesgue e µ = δ 0. Soo sigolari, perché R\ {0} porta ν ed il complemetare porta µ. Ma soo portate ache da B = R, B 2 = {0}, che o soo disgiuti, e da tate altre scelte o disgiute. Ci si accorge quidi che l esercizio o è raffi tato, è solo u igaevole gioco di parole. Se defiiamo "supporto" di ua misura il più piccolo isieme chiuso che porta la misura, otteiamo u oggetto uivoco. Chiediamoci ora: se due misure soo sigolari, i supporti soo disgiuti? L esempio precedete ega ache questa affermazioe: il supporto di ν è R ed il supporto di µ è {0}. Questo esempio mette i guardia: o possiamo defiire la sigolarità usado la disgiuzioe del "supporto" così defiito. Serve il cocetto u po ambiguo di isieme che "porta" la misura. 3. La codizioe di assoluta cotiuità di misure ν << µ si può riformulare usado solamete la massa dei puti, cioè dicedo che µ (x) = 0 implica ν (x) = 0? No, basti pesare el piao alle leggi dei vettori gaussiai (X, X) e (X, X), 5

6 co X N (0, ). La legge del primo è portata dalla bisettrice del primo quadrate; quella del secodo dalla bisettrice del secodo quadrate, quidi soo sigolari (basta escludere l origie da uo dei due); e tutti i puti del piao hao misura ulla per etrambe, quidi la codizioe "µ (x) = 0 implica ν (x) = 0" è verificata. 6