Primo appello di Calcolo delle probabilità Laurea Triennale in Matematica 22/01/2018

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1 Primo appello di Calcolo delle probabilità Laurea Trieale i Matematica 22/0/20 COGNOME e NOME... N. MATRICOLA... Esercizio. Siao X e Y due variabili aleatorie idipedeti, co le segueti distribuzioi: X Uif(0, ) e Y Esp(). Siao assegate ioltre le segueti v.a. Z = max(x, Y ) W = mi(x, Y ) T = Y X (a) Calcolare la probabilità P (X > Y ). (b) Calcolare la fuzioe di ripartizioe delle v.a. Z e W. (c) Calcolare la fuzioe di ripartizioe della v.a. T. (d) Le v.a. Z, W, T soo assolutamete cotiue? Se lo soo calcolare la desità. Soluzioe. (a) P (X > Y ) = e (b) F Z (z) = F W (w) = 0 z < 0 z( e z ) 0 z < e z z 0 w < 0 ( w)e w 0 w < w (c) (d) { 0 t < 0 F T (t) = e t 0 t t 0 z < 0 f Z (z) = e z + ze z 0 z < e z z f W (w) = 0 w < 0 (2 w)e w 0 w < 0 w { 0 t < 0 f T (t) = (t+)e t 0 t t 2

2 Esercizio 2. Costruire, se esiste, u esempio di successioe di variabili aleatorie {X } N idipedeti tali che per ogi si abbia E[X ] = 0, V ar(x ) = e posto Y := X X valga: Y q.c. 0 Soluzioe. Ci soo tatissimi modi per costruire u esempio. U idea è la seguete: cerchiamo delle variabili aleatorie X che hao ua probabilità molto grade di essere ulle, ma hao ache media zero e variaza uo. Per comiciare vogliamo: P (X = 0) = 2 poi siccome le vogliamo a media ulla allora suppoiamo che possao assumere ache due valori opposti a e a P (X = a ) = 2 P (X 2 = a ) = 2 2 Le tre probabilità fiora defiite sommate fao soo positive e defiiscoo i maiera uivoca la distribuzioe di X, ioltre la codizioe E[X ] = 0 è soddisfatta. A questo puto occorre determiare a i modo da soddisfare ache la codizioe variaza di X uguale a uo. V ar(x ) = E[X 2 ] (E[X ]) 2 = a Quidi co a = 2 2 soo soddisfatte tutte le ipotesi del problema. Siao allora {X } N delle variabili aleatorie idipedeti tali che P (X = 0) = 2 P (X = 2 2 ) = 2 Poiché: P (X 0) = P (X 2 = 2 2 ) = 2 2 = < + allora posso applicare il lemma di Borell-Catelli. Per quasi ogi ω Ω esiste tale che per ogi vale X (ω) = 0 allora per tale ω vale lim Y (ω) = lim X (ω) X (ω) + X (ω)... + X (ω) = = lim X (ω) X (ω) = 0 2 2

3 Esercizio 3. Sia {X } N ua martigala rispetto ad ua filtrazioe {F } N. Per ogi sia G := σ(x,..., X ). È vero che {X } N è ua martigala rispetto alla filtrazioe {G } N? Soluzioe. Si è vero. X è F misurabile. IPOTESI E[ X ] <. E[X F ] = X ioltre per costruzioe vale: σ(x ) G F. X è G misurabile. TESI 2. E[ X ] <. 3. E[X G ] = X Dimostrazioe: La prima codizioe é vera per costruzioe. La secoda é vera per ipotesi. Verifichiamo la terza: E[X G ] = E[E[X F ] G ] = E[X G ] = X q.c. Dove la prima uguagliaza è u applicazioe della proprietà torre. 3

4 Esercizio 4. Sia (Ω, F, P ) uo spazio di probabilità. Siao A e B due eveti co P (A) = /2, P (B) = /3 e P (A B) = /4. Sia ifie G := σ(a, B). Data X variabile aleatoria i L e Y := E[X G] dimostrare che la variabile aleatorie Y può assumere al più 4 valori distiti. Soluzioe. Ω A B C C 2 C 3 C 4 Siao C = A/B, C 2 = A B, C 3 = B/A, C 4 = (A B) c come i figura. Allora C,..., C 4 soo ua partizioe di Ω e vale: G := σ(c, C 2, C 3, C 4 ) Si verifica facilmete che gli eveti C i hao tutti probabilità positiva e quidi soo o vuoti. Ioltre poiché C,..., C 4 è ua partizioe allora gli elemeti D di G soo tutti e soli quelli della forma D = i J C i co J {, 2, 3, 4}. I particolare G possiede al più quattro elemeti o vuoti disgiuti. Poiché Y := E[X G] allora deve essere G misurabile. Suppoiamo che Y assuma valori distiti y, y 2,...,y. Siao D i := Y (y i ). Gli isiemi D i soo elemeti o vuoti e digiuti di G quidi per quato detto prima puó essere al più 4. 4

5 Esercizio 5. Giacomo gioca a testa e croce co u amico. Vice ua moeta quado esce testa e perde ua moeta quado esce croce. All iizio ha ua sola moeta. Decide di cotiuare a scommettere fiché o esce testa per 3 volte di seguito oppure fiché o resta co zero moete. Idichiamo co X 0, X,..., X,... il umero di moete che possiede Giacomo dopo scommesse (Cosicché X 0, X {0, 2},...). Idichiamo co τ l istate i cui decide di smettere di giocare e co {F } N la filtrazioe data da: F := σ(x,..., X ). (a) Dimostrare che τ è u tempo di arresto. (b) Dimostrare che P (τ < + ) =. (c) Dimostrare che {X } N è ua martigala rispetto a {F } N. (d) Dimostrare che E[τ] <. (e) Quato vale E[X τ ]? Soluzioe. La cosa più importate è la costruzioe del modello. Per iiziare cosideriamo ifiiti laci di ua moeta equilibrata, sia { + se l i-esimo lacio è testa T i := se l i-esimo lacio è croce sia per ogi Y := + T + T T allora per quato visto a lezioe poiché {Y } N è somma di variabili aleatorie idipedeti a media ulla (traa la prima) allora è ua martigala rispetto alla filtrazioe G := σ(t,..., T ). Dove stiamo suppoedo Y 0 = e G 0 = {Ω, }. Per quato riguarda τ abbiamo τ = if{ Y = 0 oppure Y Y 3 = 3} dove per semplicità di otazioe abbiamo supposto Y 2 = Y =. Vale {τ } = k= ({Y k = 0} {Y k = Y k 3 3}) quidi τ è u tempo di arresto rispetto a {G } N. Ioltre per quato detto sopra si ha: X := Y τ e quidi essedo ua martigala stoppata {X } N è a sua volta ua martigala rispetto a G := σ(x,..., X ). (a) Si verifica facilmete che vale {τ } = k= ({X k = 0} {X k = X k 3 3}) quidi τ è u tempo di arresto rispetto a {F } N. (b) il quesito (d) implica quello (b) dimostreremo solo (d). (c) I maiera uguale a quato fatto ell esercizio 3 si ha che {X } N è ua 5

6 martigala rispetto a F := σ(x,..., X ). (d) Utilizzeremo la disuguagliaza E[ Z ] k=0 P ( Z > k). τ > 3 = Y 3k Y 3k 3 < 3 k, 2,..., ho cosiderato solo le variabili Y 3k Y 3k 3 co k, 2,..., perché le volevo idipedeti. poiché P (Y 3k Y 3k 3 < 3) = 7 allora si ha: ovvero e quidi [ τ E 3] P (τ > 3) ( τ ) P 3 > P (τ > k) k=0 ( ) 7 ( ) 7 k=0 ( ) 7 = < (e) Poiché E[τ] < e vale X + X q.c. opzioale di arresto si deve avere: allora per il teorema E[X τ ] = E[X 0 ] = 6

7 Esercizio 6*. Sia (Ω, F, P ) uo spazio di probabilità. Sia {X } N ua martigala rispetto ad ua filtrazioe {F } N. Sia G ua σ-algebra iclusa i F. Per ogi defiiamo le uove variabili aleatorie Y el seguete modo. Y := E[X G] È vero che {Y } N è ua martigala rispetto alla filtrazioe {G } N? Dove G := σ(y,..., Y ). (Sugg. Per dimostrare che i geerale o è vero occorre trovare u cotroesempio.) Soluzioe. Sia {T } N ua successioe di variabili aleatorie idipedeti co P (T = ) = P (T = +) = /2. Sia X = T T F := σ(t,..., T ) G = σ(x 2 ) Il processo {X } N è ua martigala rispetto ad ua filtrazioe {F } N. Per u teorema visto a lezioe le variabili Y essedo σ(x 2 ) misurabili si devoo poter scrivere come fuzioe di X 2. Si verifica che valgoo le segueti cose: Y 0 = 0 Y = X 2 /2 Y = X 2 2 Vediamole ua alla volta. per 2 ivece si ha Y 0 := E[X 0 G] = E[0 G] = 0 Y = E[X G] = E[X 2 + T T G] = E[X 2 G] + E[T 3 G] E[T G] = E[X 2 σ(x 2 )] + E[T 3 σ(x 2 )] E[T σ(x 2 )] = X 2 Il caso più difficile è dimostrare Y = X 2 /2. Suppoiamo per semplicità che le variabili T assumao i maiera certa solo i valori + e. La distribuzioe di X 2 è la seguete P (X 2 = 2) = P (T =, T 2 = ) = 4 P (X 2 = 0) = P (T =, T 2 = +) + P (T = +, T 2 = ) = 2 P (X 2 = +2) = P (T = +, T 2 = +) = 4 7

8 E[X X 2 = 2] = E[T {T = } {T 2 = }] = = X 2 /2 E[X X 2 = 0] = E[T ({T = } {T 2 = }) ({T = } {T 2 = +})] = 0 E[X X 2 = +2] = E[T {T = +} {T 2 = +}] = + = X 2 /2 A questo puto per cocludere la dimostrazioe bisoga mostrare che Y o é ua martigala. E[Y 2 G ] = E[Y 2 σ(y )] = E[X 2 σ(x 2 /2)] = 2E[X 2 /2 σ(x 2 /2)] = X 2 = 2Y