Traccia delle soluzioni degli esercizi del fascicolo 3

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1 Traccia delle soluzioi degli esercizi del fascicolo 3 Esercizio I ua procedura di cotrollo di produzioe, processori prodotti da u processo idustriale vegoo sottoposti a cotrollo Si assuma che ogi pezzo, idipedetemete dagli altri, abbia probabilità p 0, ) di essere difettoso Se u processore è fuzioate supera sicuramete il test di cotrollo, se il processore è difettoso fallisce il test co probabilità q 0, ), idipedetemete dagli altri Sia X umero di processori che hao fallito il test Determiare la distribuzioe di X Basta osservare che la probabilità che u pezzo fallisca il test è pq, e usare lo schema delle prove ripetute idipedeti, per otteere p X k) k ) pq) k pq) k Esercizio Due dadi truccati soo tali che la probabilità di otteere u sei è il doppio della probabilità di otteere ogi altro puteggio Qual è la media del puteggio otteuto laciado i due dadi? Sia X i il puteggio del dado i-mo, sicché il puteggio totale X è dato da X X + X X i assume i valori,, 3, 4, co probabilità /7, e co probabilità /7, e perciò EX i ) 7/7, da cui EX) 4/7 Esercizio 3 Da u ura coteete r pallie rosse e v pallie verdi, si estraggoo successivamete, seza reitroduzioe, k pallie, co k mir, v) Per i,,, k, sia { se l i-ma pallia estratta è rossa X i 0 altrimeti, e X X + + X k a Determiare la distribuzioe di X b Determiare le distribuzioi delle X i c Mostrare che la desità cogiuta delle X i è data da p X,,X k x,, x k ) rr ) r k i x i + )vv ) v k + k i x i + ) r + v)r + v ) r + v k + ) d Calcolare EX) a X è il umero di pallie rosse estratte i k estrazioi seza reitroduzioe, e quidi ) ) ) r v r + v p X ) / k b Idetifichiamo l isieme delle pallie co {,,, r + v}, coveedo che le pallie rosse siao le prime r Lo schema di estrazioi seza reitroduzioe si può modellare scegliedo, come spazio campioario, Ω isieme delle permutazioi di {,,, r + v}, co la probabilità uiforme Allora {X i } {σ Ω : σi) {,,, r}}, che ha cardialità rr + v )!, e quidi probabilità r/r + v I coclusioe p Xi ) p Xi 0) r r + v

2 c Per iduzioe su k Per k la risposta è già i b Altrimeti, se x x,, x k, x k ) {0, } k, P X x) P X k x k X k x k,, X x )P X k x k,, X x ) Per P X k x k,, X x ) si usa l ipotesi iduttiva, metre P X k X k x k,, X x ) r k i x i r + v k +, da cui si giuge alla coclusioe d Essedo EX i ) r/r + v, si ha EX) kr/r + v) Esercizio 4 U ura cotiee pallie biache e pallie rosse Si eseguoo estrazioi ripetute seza reimmissioe Itroduciamo la variabile casuale X umero di pallie biache estratte prima di estrarre ua pallia rossa, la cui desità discreta verrà idicata co p X k) P X k) a) Mostrare che, per k 0,,,, p X k) k + ) + ) + ) b) Calcolare EX) ricordare le formule k k +) e valide per ogi ) k k +)+), a) Cosideriamo gli eveti A la k + -ma pallia estratta è rossa, B le prime k pallie estratte soo tutte biache Si ha P X k) P A B) P A B)P B) k) k + + ) + ) + ) k+), k b) dove ell ultimo passaggio si soo eseguite le dovute semplificazioi EX) + ) + ) k0 k k + ) + k + ) + ) k + ) + k k + ) 3 + ) 3 Esercizio Per, sia X ua variabile casuale che assume, co la stessa probabilità, i valori,,,, Se f è ua fuzioe cotiua, sia m EfX ))

3 Mostrare che lim m + 0 fx)dx Si osserva che EfX )) fk/), k che è ua somma di Riema per l itegrale 0 fx)dx Esercizio Siao X, X variabili uiformi discrete sull isieme {,, }, dove N, tra loro idipedeti Defiiamo la variabile Y : mi{x, X } a) Si calcoli P Y k) per ogi k N b) Si mostri che, per ogi t 0, ), si ha che lim P Y t) t t a) Chiaramete P Y k) 0 per k > Coviee iazitutto calcolare, per k {,, }, la probabilità P Y k) che è data da ) k + P Y k) P X k, X k) P X k) P X k) k ) Si ha duque P Y k) P Y k) P Y k+) b) Dalla formula per P Y k) calcolata al puto a) si ottiee P Y t) P Y > t) P Y > t ) ) k + ) k + k ) e dato che t )/ t per, per ogi t 0, ), si ha che lim P Y t) t) t t t ), Esercizio 7 Siao X, Y variabili casuali a valori i N, defiite sullo stesso spazio di probabilità Giustificare l idetità P X + Y ) Basta osservare che e usare la σ-addidività {X + Y } k0 + k0 P X k, Y k) {X k, Y k}, 3

4 Esercizio 8 Sia X ua variabile casuale a valori i N Allora EX) P X ) P X ) k k P X k) kp X k) EX) k k P X k) Esercizio 9 Siao X, Y variabili aleatorie discrete, a valori i N, co desità cogiuta p X,Y, m) c λ µ m ν m!m! dove λ, µ > 0, 0 < ν, e c è u opportua costate quella per cui,m p X,Y, m) ) a Calcolare le desità margiali di X e Y b Calcolare le probabilità codizioate P X Y m) c Mostrare che gli eveti {X }, {Y m} soo idipedeti per ogi coppia, m N se e solo se ν a Sommado p X,Y su e usado la serie espoeziale si trova p Y m) cµm e λνm m! Il calcolo di p X è del tutto aalogo b Usado la defiizioe di probabilità codizioata e il puto a P X Y m) p X,Y, m) p Y m) λ ν m e λνm! c Se ν, si trova p X,Y, m) p X )p Y m), che equivale all idipedeza degli eveti assegati Viceversa, assumiamo p X,Y, m) p X )p Y m) per ogi, m I altre parole cioè cλ µ m ν m!m! c λ µ m e λνm +µν ),!m! ν m ce λνm +µν ) Posto m 0, si ricava c e λ ν Sostituedo, e scegliedo m, 0, si trova da cui ν e λν ), 4

5 Esercizio 0 Si cosideri la seguete classica strategia per il gioco della roulette Gioco sempre sul rosso Alla prima giocata puto u dollaro Se perdo raddoppio la giocata, se vico smetto I ogi caso, dato che il mio capitale iiziale è 03 dollari, se perdo 0 volte di seguito devo smettere Sia X la differeza tra il mio capitale alla fie del gioco e il capitale iiziale Calcolare EX) Notare che X 03 se perdo 0 volte di seguito, il che avviee co probabilità ) Altrimeti, se vico i uo dei primi 0 tetativi, u facile calcolo mostra che X Il calcolo della media è allora immediato: EX) 03 ) [ ) ] Esercizio U gioco a premi ha u motepremi di $ Vegoo poste ad u cocorrete 0 domade Ad ogi risposta errata il motepremi viee dimezzato Alla prima risposta esatta il cocorrete vice il motepremi rimasto Se o si da alcua risposta esatta o si vice ulla U certo cocorrete rispode esattamete ad ua domada co probabilità p 0, ), idipedetemete dalle risposte alle altre domade Sia X la vicita di questo cocorrete Determiare la desità p X di X La variabile casuale X assume i valori 0,,,, 3,, 9 Per 0 k 9, il valore 9 k viee assuto se le prime k risposte soo errate, e la k + -ma è corretta Ciò avviee co probabilità p) k p Ifie il valore 0 viee assuto se tutte le 0 risposte soo sbagliate, il che avviee co probabilità p) 0 Riassumedo per 0 k 9, e p X 0) p) 0 p X 9 k ) p p) k Esercizio I u cocorso vegoo assegate le idoeità per u dato servizio Si assuma che ogi partecipate, idipedetemete dagli altri, abbia probabilità p 3 4 di otteere l idoeità Al termie del cocorso, a 0 tra gli idoei viee assegato u posto di lavoro se gli idoei soo meo di 0 vegoo assegati tati posti di lavoro quati soo gli idoei) Suppoiamo che al cocorso partecipio persoe, e sia X il umero dei partecipati che ottegoo l idoeità ma o il posto di lavoro a Determiare la distribuzioe di X b Calcolare EX) a Notare che, se X > 0, allora X è il umero di idoei meo 0 Allora, se Y è il umero di idoei: ) ) 3 ) 4 P X ) P Y ) 4 4 Aalogamete: ) ) 3 ) 3 P X ) 4 4 ) ) 3 3 ) P X 3) 3 4 4

6 e, ifie, P X 0) b ) ) 3 4 ) P X 4) ) 3 P X ) 4 i P X i) EX) ip X i) 4774 i0 Esercizio 3 Si cosiderio ure idetiche, ogua coteete ua pallia rossa e quattro pallie verdi Ogi ura viee assegata ad uo di cique giocatori, e ogi giocatore estrae ua pallia dalla propria ura U motepremi di 3000 Euro viee diviso tra i giocatori che estraggoo la pallia rossa a Sia X il umero di Euro viti da ogi giocatore vicete X 0 se essu giocatore estrae la pallia rossa) Determiare la desità e la media di X b Si suppoga di cosiderare uo dei cique giocatori, chiamiamolo Tizio, e sia Y il umero di Euro viti da Tizio Si determiio la desità e la media di Y a Sia Z umero di giocatori viceti Chiaramete Z B, 0) Abbiamo: da cui si calcola P X 0) P Z 0) 08) P X 3000) P Z ) 08) 4 0) P X 00) P Z ) P X 000) P Z 3) P X 70) P Z 4) P X 00) P Z ) EX) 3000P X 3000) + 00P X 00) + 000P X 000)+ 70P X 70) + 00P X 00) b Si oti che Y 0 se Tizio o estrae la pallia rossa, quidi P Y 0) 4/ Ioltre, per k 0,,, 3, 4, si ha che Y 3000 k+ se Tizio ha estratto la pallia rossa, e altri k giocatori hao estratto la pallia rossa Si ha, perciò P Y 3000 ) 4 k + k ) ) k ) 4 4 k Allora EY ) k + k k0 ) ) k ) 4 4 k Esercizio 4 Si sceglie a caso u campioe di oggetti da u lotto di 00 di cui 0 soo difettosi per effettuare u cotrollo di qualità Sia X il umero di oggetti difettosi coteuti el campioe Determiare la desità discreta di X

7 La variabile X assume solo i valori 0,, X k sigifica che el lotto di oggetti k soo difettosi Possiamo calcolare PrX k) ricooscedo che X ha ua distribuzioe ipergeometrica oppure calcolare questa probabilità come casi favorevoli su casi possibili Casi possibili: ci soo ) 00 modi di scegliere oggetti tra 00 Casi favorevoli: devo scegliere oggetti di cui k difettosi Scelgo prima i k difettosi tra i 0 difettosi i ) 0 k modi, poi scelgo i rimaeti k oggetti tra i rimaeti o difettosi i ) 90 k modi I defiitiva i casi favorevoli soo: ) 0 90 k k) e quidi: ) PrX k) 0 ) 90 k k 00 ), k 0,,, Facedo u po di coti si ottiee: PrX 0) 083, PrX ) 0340, PrX ) 0070, PrX 3) 0007, PrX 4) PrX ) 0 Per essere sicuri di o aver sbagliato i coti su può fare la verifica k0 PrX k) Esercizio Sia N e sia Ω l isieme dei sottoisiemi o vuoti di {,,, N} I altre parole Ω : {ω {,,, N} : ω } Se ω Ω sia Xω) : maxω) il massimo elemeto di ω e Y ω) : miω) il miimo elemeto di ω Ifie, sia P la probabilità uiforme su Ω i) Mostrare che, per {,,, N}, P X ) N ii) Calcolare la fuzioe geeratrice dei mometi di X iii) Determiare la desità cogiuta di X, Y ) iv) Determiare la desità di X Y i) Azitutto, è oto che Ω N, visto che u isieme di N elemeti ha N sottoisiemi, di cui uo è l isieme vuoto Ioltre, Xω) se e solo se ω, e ω \ {} {,,, } Perciò ii) {ω : Xω) } {ω : ω {,,, }}, da cui si ottiee la formula richiesta γ X t) E [ e tx] N e t N et N N m0 e t ) m e t N e t ) N e t 7

8 iii) Ovviamete, per ogi ω Ω, Xω) Y ω) Pertato, per N m dobbiamo calcolare P X, Y m) Si oti che Xω), Y ω) m se e solo se, m ω e ω\{, m} {m+,, } Perciò, il umero di ω per cui Xω), Y ω) m è uguale al umero di sottoisiemi di {m +,, } Notare che quest ultimo isieme è vuoto se m, altrimeti ha m elemeti Perciò { se m P X, Y m) N m se > m N iv) L eveto {X Y k}, che è o vuoto per k 0,,, N, si può scrivere come uioe disgiuta come segue: {X Y k} {Y m, X m + k} N k m Usado allora quato mostrato al puto iii), { N m P X Y k) N k m k N N N N se k 0 k N k) se k > 0 N Esercizio Sia N, 3 e idichiamo co S il gruppo delle permutazioi di {,, }, muito della probabilità P uiforme Gli elemeti di S sarao idicati co σ σ),, σ)) Itroduciamo le variabili casuali scalari X, Y defiite su S : Xσ) : σ), Y σ) : σ) Si mostri che, per ogi i, j {,,, }, la desità cogiuta di X, Y ) è data da se i j p X,Y i, j) c, 0 se i j dove c è u opportua costate che è richiesto di determiare *) Si determii la desità della variabile D : Y X [Sugg: basta calcolare p D m) per m > 0, poiché per simmetria p D m) p D m)] Idichiamo ora co Z, W due variabili casuali scalari idipedeti, defiite su u altro spazio di probabilità Ω, P ), ciascua co distribuzioe uiforme ell isieme {,, }: i altri termii, P Z i), per ogi i {,, }, e aalogamete per W 3 Si calcoli P Z W ) 4 Si mostri che, per ogi i, j {,,, }, si ha che P Z i, W j Z W ) p X,Y i, j) 8

9 Per defiizioe di spazio di probabilità uiforme p X,Y i, j) P X i, Y j) {σ S : σ) j, σ) j} S Chiaramete p X,Y i, j) 0 se i j, perché le permutazioi soo biuivoche e duque o si può avere σ) σ) Per i j, le permutazioi σ S tali che σ) j, σ) j soo i corrispodeza co le applicazioi biuivoche da {3,, } a valori i {,, } \ {i, j}, di cosegueza {σ S : σ) j, σ) j} )! e si ottiee p X,Y i, j) )!! c, dove c : ) Si oti che c {i, j) {,, } {,, } : i j} X, Y )S ) ) Chiaramete i valori possibili per la variabile D soo DS ) { ),, )} \ {0} Per m DS ), co m > 0, si ha {D m} {X k, Y k + m}, m k e dato che gli eveti che appaioo ell uioe soo disgiuti segue che per ogi m {,, } P D m) m k P X k, Y k + m) c m) m ) Co aaloghi argometi oppure per simmetria) si ha P D m) P D m) per m < 0, per cui la formula geerale è P D m) m ), per ogi m { ),, )} \ {0} 3 P Z W ) P Z W ) P Z i, W i) i 4 Chiaramete P Z i, W j Z W ) 0 se i j Per i j, co i, j {,, }, si ha P Z i, W j Z W ) P Z i, W j) P Z W ) P Z i) P W j) P Z W ) ) p X,Y i, j) c 9

10 Esercizio 7 Siao W, T variabili casuali idipedeti, co la seguete distribuzioe: P T 0) P T ), P W ) p p), N : {,, }, dove p 0, ) è u parametro fissato I altri termii, T Be ) metre W Gep) Defiiamo la variabile X : W {T 0} + W {T }, che può duque assumere come valori i umeri aturali e i reciproci dei umeri aturali, ossia XΩ) N { } N, dove N {,, } 0 escluso) Si determii la desità discreta di X Si mostri che la variabile Y : /X ha la stessa distribuzioe di X 3 Si calcoli EX) [Ricordiamo le relazioi x log x) e x x), valide per x < ] La desità discreta di X vale p X ) P W, T 0) p p), per N,, p X ) P W ) p, ) p X P W, T ) p p), per N, Si ha Y Ω) N { } N Dal puto precedete è chiaro che P X ) P X ), per ogi N; di cosegueza p Y ) p X ) p X) e p Y ) p X) p X ) 3 Si ha EX) x XΩ) x p X x) p X p p) + p + p p) p) + p ) + p X ) + p p) p) p X ) p p) log p + ) p Esercizio 8 Lacio u dado regolare a sei facce ua prima volta: se esce u umero i {,, 3, 4, } mi fermo, altrimeti rilacio il dado; se el secodo lacio esce u umero i {,, 3, 4, } mi fermo, altrimeti rilacio il dado ua terza volta; e così via Idichiamo co T il umero totale di laci effettuati, co X i il risultato dell i-esimo lacio per i N : {,, }) e co Y : X T il risultato dell ultimo lacio 0

11 Si determii la legge cioè i valori assuti e la desità discreta) delle variabili T e X i Per ogi valore di N e a {,, 3, 4, }, si esprima l eveto {T, Y a} i termii delle variabili aleatorie X,, X Si calcoli duque la desità cogiuta delle variabili casuali T, Y ) 3 Si determii la legge di Y Le variabili T e Y soo idipedeti? T è l istate i cui avviee il primo successo i uo schema di prove ripetute e idipedeti, i cui la probabilità di successo i ogi prova vale Di cosegueza, T Ω) N {,, } e per N si ha p T ) ) Per si ha {T, Y a} {X a}, per cui p T,Y, a) Per possiamo scrivere {T, Y a} i {X i } {X } e per l idipedeza delle variabili X i si ottiee p T,Y, a) ) ) I defiitiva, si ha p T,Y, a) ) per ogi N e a {,, 3, 4, } 3 Chiaramete Y Ω) {,, 3, 4, } La legge margiale della variabile Y è data da p Y a) N P T,Y, a) ) 0 ), per ogi a {,, 3, 4, } Per quato determiato ai puti precedeti, per ogi N e a {,, 3, 4, } si ha p T,Y, a) ) per cui le variabili T e Y soo idipedeti ) p Y a) p T ),