(i) si calcoli la probabilità di non perdere soldi; P(X > 0) = P(X 1 = 1) + P(X 1 = 1, X 2 = 1, X 3 = 1) =

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1 1 Esercizi settimaa 2 Esercizio 1. Si cosideri la seguete strategia per il gioco della roulette. Si scommette 1 sul rosso. Se esce rosso (si ricordi che la roulette è da 37 umeri, di cui 18 rossi e 18 eri, più lo 0 che è eutro) il giocatore riscuote la vicita di 2 e smette di giocare. Se ivece perde deve scommettere 1 sul rosso per i 2 giri successivi e poi smettere di giocare. Sia X la vicita al termie del gioco. (i) si calcoli la probabilità di o perdere soldi; (ii) la precedete è ua strategia vicete? Soluzioe. La probabilità richiesta è P(X > 0). Deotiamo co X i la vicita al giro i = 1, 2, 3. Tale probabilità è data da P(X > 0) = P(X 1 = 1) + P(X 1 = 1, X 2 = 1, X 3 = 1) = ( ) Noostate la precedete probabilità sia di circa 0.6 o può essere cosiderata vicete. Ifatti i questa situazioe si vicerebbe 1e. Tuttavia c'è ua probabilità strettamete positiva di perdere 3e, fatto che rede tale strategia i media perdete. Esercizio 2. Si cosideri ua moeta equilibrata e si cosideri ua serie di laci. probabilità Si calcoli la (i) di otteere testa per la prima volta al lacio esimo; (ii) dopo laci si sia già otteuta almeo ua testa; (iii) dopo laci si siao otteute almeo due teste; (iv) dopo laci si sia otteuto lo stesso umero di teste e croci. Esercizio 3. U dado ha due facce rosse, due blu e due biache. (i) qual è la probabilità che essua faccia biaca appaia ei primi laci? Qual è la probabilità che essua faccia biaca e essua faccia blu appaia ei primi laci? (ii) qual è la probabilità che almeo u colore o sia apparso ei primi laci? (iii) sia T il umero di laci ecessari aché tutti e tre i colori siao apparsi almeo ua volta. Qual è la legge di T? Esercizio 4. Si cosideri ua processo di produzioe di processori. Si assuma che ogi pezzo, idipedetemete dagli altri, abbia probabilità p di essere difettoso. Si assuma ioltre di cotrollare se i vari processori siao difettosi, e si sa che se u processore è fuzioate supera sicuramete il cotrollo, se ivece è difettoso fallisce il test co probabilità q. Sia X la variabile aleatoria che descrive il umero di processori che hao fallito il test. Si determii la legge di X. Soluzioe. La probabilità che u processore fallisca il test è dato da pq. Sia X la v.a. che deota il umero di processori che hao fallito il test, allora X B(, pq) e duque la probabilità richiesta è data da ( ) p(k) = (pq) k (1 pq) k. k

2 2 Esercizi teorici Esercizio 5. Si calcoli la costate C aché le segueti siao desità discrete: geometrica p() = C2, N; logaritmica p() = C 2, N; quadratica iversa p() = C 2, N; Per ogua delle precedeti desità discrete si trovi il massimo valore assuto. Suggerimeto: si ricordi che aché ua fuzioe sia ua desità discreta deve valere p() = 1. Soluzioe. geometrica deve essere valido N C 2 = 1, da cui segue utilizzado la somma di ua serie geometrica 2C = 1, da cui C = 1 2. Essedo 2 decrescete segue che il massimo valore viee raggiuto per = 0; logaritmica ricordado l'espasioe otevole log(1 x) = x, segue usado x = 1 2 che 2 ( = log 1 1 ) = log(2), 2 da cui C = 1 = 1; log(2). Essedo 2 quadratica iversa dato che segue che C = 6 π 2. Essedo 2 = 1; decrescete segue che il massimo valore viee raggiuto per 2 = π2 6, decrescete segue che il massimo valore viee raggiuto per Esercizio 6. Sia X B(3, p), si dimostri che la desità discreta associata è ua desità discreta. Si dia ua rappresetazioe graca della desità associata. Soluzioe. Si veda la gura 1.

3 3 B( ) B( ) B( ) B( ) B( ) B( ) Desità B( ) Desità Desità B( ) Desità Desità B( ) Desità Ripartizioe B( ) Ripartizioe Ripartizioe B( ) Ripartizioe Ripartizioe B( ) Ripartizioe Figura 1: Desità e fuzioe di ripartizioe di ua v.a. biomiale Esercizio 7. Sia X Ge(p), si dimostri che la desità discreta associata è ua desità. Si trovi il valore N per cui la desità associata assume il valore massimo e si dia ua rappresetazioe graca della desità associata per alcui valori di p [0, 1]. Suggerimeto: si ricordi che vale l'uguagliaza q = 1 1 q, q < 1. Soluzioe. Si ricordi che la desità di u v.a. geometrica è data da Dobbiamo vericare che p() = p(1 p), = 0, 1,.... p() = 1. Notado che 1 p (0, 1) e utilizzado la somma di u serie geometrica otteiamo p() = p(1 p) 1 = p p = 1. Essedo la distribuzioe geometrica decrescete segue che il valore massimo viee assuto per = 0. Si veda la gura 2. Soluzioe. Esercizio 8. Sia Ω u isieme tale per cui Ω = N <. Si dimostri che la fuzioe p() := 1 Ω = 1, = 1, 2,..., N, N deisce ua desità discreta (deita variabile aleatoria uiforme ). Tale v.a. verrà deotata X U(1,..., )). Si trovi il valore per cui la desità associata assume il valore massimo e si dia ua rappresetazioe graca della desità associata.

4 4 GeM( 0.1 ) GeM( 0.3 ) GeM( 0.8 ) Desità GeM( 0.1 ) Ripartizioe Desità GeM( 0.3 ) Ripartizioe Desità GeM( 0.8 ) Ripartizioe Figura 2: Desità e fuzioe di ripartizioe di ua v.a. geometrica modicata Soluzioe. Sia {1,..., N} e sia p() = 1 N, = 1,..., N, segue che N k=1 1 N = 1, da cui la tesi. La desità p() è costate. Si veda la gura 3. Soluzioe. Esercizio 9. Sia X Ge(p), si dimostri che la v.a. Y := X + 1 GeM(p). Soluzioe. Si ricordi che la desità associata a X Ge(p) è data da p X () = p(1 p), = 0, 1,..., metre la desità associata a Y GeM(p) è data da p Y () = p(1 p) 1, = 1, 2,.... (0.1) Dobbiamo duque dimostrare che la desità di X + 1 è data dall'equazioe (0.1). Abbiamo allora che { p(1 p) 1 = 1, 2,..., p Y () = P(Y = ) = P(X + 1 = ) = P(X = 1) = p X ( 1) = 0 altrimeti.

5 5 U(1,... 5 ) U(1, ) U(1, ) Desità U(1,... 5 ) Ripartizioe Desità U(1, ) Ripartizioe Desità U(1, ) Ripartizioe Figura 3: Desità e fuzioe di ripartizioe di ua uiforme Esercizio 10. Siao X e Y due v.a. a valori discreti, si deisca d T V (X, Y ) := k P(X = k) P(Y = k). Si dimostri che d T V soddisfa: (i) d T V (X, Y ) = d T V (Y, X) 0; (ii) d T V (X, Y ) = 0 se e solo se P(X = Y ) = 1; (iii) per ogi v.a. a valori discreti Z, vale d T V (X, Y ) d T V (X, Z) + d T V (Z, Y ). Remark 1. Deotado co S lo spazio delle v.a. a valori discreti, si è appea dimostrato che d T V è ua metrica sullo spazio delle classi di equivaleza di S, co l'equivaleza X Y se P(X = Y ) = 1; d T V viee chiamata distaza variazioe totale, (total variatio distace ). 0 Legeda: : esercizio da sapere all'esame; : esercizio dicile