Probabilità 1, laurea triennale in Matematica II prova scritta sessione estiva a.a. 2008/09

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1 Probabilità, laurea trieale i Matematica II prova scritta sessioe estiva a.a. 8/9. U ura cotiee dadi di cui la metà soo equilibrati, metre gli altri soo stati maipolati i modo che, per ciascuo di essi, la probabilità di otteere è /. U dado viee estratto a caso e laciato più volte. Idichiamo co X i il risultato dell i-esimo lacio. i Calcolare la probabilità di avere all i-esimo lacio, ovvero P X i. ii Calcolare la probabilità di avere ei primi laci. iii Calcolare la probabilità di avere al terzo lacio, sapedo che si è avuto ei primi due laci. iii Sia Z la v.a. che cota il umero di laci ecessario per otteere la prima volta. Qual è la probabilità che Z k, co k itero positivo?. La v.a. bidimesioale X, Y ha la seguete desità cogiuta: px, y. { P X x, Y y 6 se x y e x, y {,, 3} altrimeti i Trovare le desità margiali di X e di Y, EX, EY e V arx, V ary ; X e Y soo stocasticamete idipedeti? ii Trovare la desità discreta di Z X + Y. iii Trovare la desità discreta di W maxx, Y. 3. La trasmissioe di u segale può avveire utilizzado due diversi caali A e B co la stessa probabilità, A trasmette sempre il segale correttamete, metre B trasmette il segale correttamete co probabilità 3/4. i Qual è la probabilità di ricevere u segale corretto? ii Avedo ricevuto u segale corretto, qual è la probabilità che esso sia stato trasmesso da B? 4. i Sia X ua v.a. co distribuzioe di Poisso di parametro λ > ; calcolare Ee X, se esiste. ii Siao X i v.a. idipedeti e di Poisso di parametro λ, per i,,..., 5. Se Z X + X X 5, calcolare P Z 3.

2 Gli studeti degli ai precedeti esame co 5 CFU devoo svolgere ache i due esercizi segueti, tralasciado l esercizio Ua v.a. ha desità: fx αα + x α x, x, e fx se x /,, dove α è u umero positivo. i Calcolare media e variaza di X. ii Per quali valori di α la v.a. X ha speraza matematica fiita? I questo caso, quato vale E X? iii Calcolare la desità della v.a. Y log X. 6. Suppoiamo che il tempo di vita di u certo modello di processore per computer sia ua v.a. di media µ e deviazioe stadard σ 5, dove l uità di misura è ao. Si provao processori di questo tipo: sia T T T / la media campioaria dei tempi di vita osservati. Utilizzado il teorema limite cetrale, stimare approssimativamete: i P T > 9.5; ii P 9.5 T.5.

3 Soluzioi della II prova scritta sessioe estiva a.a. 8/9. i Siao D p e D t, rispettivamete, gli eveti il dado scelto è perfetto e il dado scelto è truccato. Si ha P D p P D t /. La probabilità cercata è: P X i P X i D p P D p + P X i D t P D t ii La probabilità richiesta è: P X X... X P X X... X D p P D p + P X X... X D t P D t iii La probabilità cercata è: P X 3 X, X P X X X 3 P X X iv Si ha Z umero di laci per otteere la prima volta. Se il dado scelto è quello perfetto, Z è l istate di primo successo i ua serie di prove idipedeti e Beroulliae, i cui la probabilità del successo è p /6; se il dado scelto è quello truccato Z è il tempo di primo successo i prove idipedeti, i cui la probabilità del successo è p /. Pertato, per k,,... : Duque: P Z k D p p p k, P Z k D t p p k. P Z k P Z k D p P D p + P Z k D t P D t e, sostituedo le probabilità codizioali calcolate sopra, si ottiee ifie P Z k 5 6 k 6 + k.. i Si ha: p X x y {,,3},y x px, y 6, x {,, 3}; 3

4 p Y y x {,,3},x y px, y 6, y {,, 3} 3 Duque, sia X che Y soo uformemete distribuite ell isieme {,, 3}. Quidi EX EY ; EX EY Pertato V arx V ary EX EX Siccome, se x y, x, y {,, 3}, risulta p X xp Y y 9 px, y 6, le v.a. X e Y soo stocasticamete dipedeti. ii La v.a Z X + Y può assumere co probabilità positiva solo i valori 3, 4, 5. Si ha: P Z 3 P X, Y + P X, Y p, + p, ; P Z 4 P X, Y 3 + P X 3, Y p, 3 + p3, ; P Z 5 P X, Y 3 + P X 3, Y p, 3 + p3, ; Pertato Z è uiformemete distribuita i {3, 4, 5}. iii Se W maxx, Y, allora W può assumere solo i valori,, 3. Si ha: P W px, Y p, P W P X, Y + P X, Y + P X, Y Ifie P W 3 P X, Y 3+P X 3, Y +P X, Y 3+P X 3, Y + +P X 3, Y Siao A l eveto il segale è trasmesso dal caale A, B l eveto il segale è trasmesso dal caale B e C l eveto si riceve u segale corretto. i Occorre calcolare P C; si ha: P C P C AP A + P C BP B ii Occorre calcolare P B C e per la formula di Bayes, si ha: P B C P C BP B P C i Siccome P X k e λ λ k /k!, k,,..., si ha: < Ee X k e k λ λk e k! e λ eλ k e λ e λe e λe < + k! k ii Per il teorema di addizioe di v.a. di Poisso idipedeti, la v.a. Z risulta di Poisso di parametro 5, per cui P Z 3 3 k 5 5k e k! e

5 5.i Si ha: αα + EX xαα + x α xdx [ ] x x α x α+ α+ dx αα + α + xα+ α + αα + α + α α + α +. Quidi: ii Risulta: αα + EX αα + x αα + x α xdx x α+ x α+ dx αα + α + α + 3 V arx EX [EX] E [ ] x α+ α + xα+3 α + 3 αα + α + α + 3. αα + α + α + 3 α α + α α + α + 3. X x αα + xα xdx αα + αα + x α x α dx dx x α x α dx Affiché i due itegrali siao covergeti, devoo essere soddisfatte etrambe le codizioi: α < e α <, da cui si ricava α >. Duque, per α >, riprededo il calcolo, si ottiee: [ ] x α E αα + X α xα α + α α. iii Troviamo prima la fuzioe di distribuzioe di Y. Siccome X prede valori i,, risulta Y <. Quidi, per y < :. F Y y P Y y P log X y P X e y F X e y.

6 Derivado, si ottiee la desità di Y, per y < : se y, si ha f Y y. f Y y d dy F Y y f X e y e y αα + e α y e y e y αα + e αy e y. 6. Per, se T i rappreseta il tempo di vita dell i esimo processore i,..., si ha: i T T P > 9.5 P T T > 9.5 T T µ P σ > 9.5 µ σ. Se Φ deota la fuzioe di distribuzioe di ua v.a. Gaussiaa stadard, per l approssimazioe ormale forita dal teorema limite cetrale, la probabilità di sopra vale circa µ, σ 5: 9.5 µ Φ Φ Φ.843. σ ii P 9.5 T T.5 P 9.5 T T µ P σ T T µ σ.5 Φ Φ 5.5 µ σ.5 Φ Φ Φ Φ 5 Φ