P(X = k) = (k 1). 2 Infatti, le uniche sequenze di lunghezza k (di T e C) possibili sono

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1 Prima Prova Itermedia testo co soluzioi 5 Aprile 09 Elemeti di Probabilità e Statistica, Laurea Trieale i Matematica, 08-9 M Romito, M Rossi Problema 0 Ua moeta equa viee laciata fio alla prima volta i cui appare la sequeza TC T=testa, C=croce Determiare la legge della variabile aleatoria che idica il umero di laci ecessari, e calcolare il suo valore atteso Ua moeta equa viee laciata fio alla prima volta i cui appare la sequeza TT T=testa Determiare la legge della variabile aleatoria che idica il umero di laci ecessari, e calcolare il suo valore atteso Soluzioe 0 Sia X la variabile aleatoria che cota i laci ecessari per far apparire la sequeza TC Osserviamo che X prede valori ell isieme {, 3, } Sia k {, 3, }, allora PX = k = k Ifatti, le uiche sequeze di lughezza k di T e C possibili soo C } {{ C} T } {{ T} T C volte m volte co, m 0 e + m + = k, e la probabilità di ciascua sequeza di questo tipo è k Quidi Si ha k k PX = k = PC } {{ C} T } {{ T} T C = =0 k =0 E[ X ] = E[X] = + k= kk = k = 4 Per qualche spiegazioe i più vedere ache Remark alla fie Sia Y la va che cota i laci ecessari per avere la sequeza TT, otiamo che Y prede valori ell isieme {, 3, } Troviamo la legge di Y Per k {, 3, } PY = k = A k A, dove A k deota l isieme delle k-uple che termiao co TT e i cui o compare la sequeza T T elle prime k posizioi ota che i posizioe k 3 abbiamo ecessariamete ua C, e A deota l isieme di tutte le k-uple possibili Allora A = k Si ha immediatamete PY = =, PY = 3 = 3

2 Calcoliamo ora la cardialità di A k per k {4, 5, }: questa è data da a k 3, dove a è la cardialità dell isieme delle -uple seza TT cosecutivi Si ha Poiamo poi a =, a = 3 b = cardialità dell isieme delle -uple seza TT cosecutivi che termiao per T, c = cardialità dell isieme delle -uple seza TT cosecutivi che termiao per C Allora a = b + c e da cui b + = c, c + = a a + = b + + c + = c + a = a + a che implica a = F + Si ha quidi ricordado ache PY = k = F k, k {, 3, } k Calcoliamo ora il valore atteso di Y ; ricordiamo che F = ϕ ψ 5 dove ϕ = + 5 e ψ = 5 = ϕ = ϕ Si ha E[ Y ] = E[Y ] = k Studiamo la prima serie k k ϕk k = kpy = k = k k k F k k = k ϕ k k = ϕ, k ϕk ψ k 5 k quidi E[Y ] = 5 ϕ = 6 ψ Problema 0 Ua scatola cotiee pallie rosse e pallie blu Le pallie vegoo estratte seza reiserimeto due per volta, fio a svuotare la scatola Sia X il umero di volte i cui le due pallie estratte soo di colore differete Determiare tutti i possibili valori di k per cui PX = k > 0 Calcolare la probabilità che X = 0 e che X =

3 3 Calcolare il valore atteso di X Soluzioe 0 Osserviamo che ecessariamete 0 k Duque PX = k = 0 per k < 0 oppure k > Ioltre, dato k {0,,, }, PX = k > 0 se e solo se k ha la stessa parità di Calcoliamo PX = 0 per pari se dispari, PX = 0 = 0 Cosideriamo l isieme A di tutte le parole diverse che si possoo formare co lettere R pallie rosse e lettere B pallie blu La cardialità di questo isieme è A =!!! Ora cosideriamo l isieme A 0 di tutte le parole diverse che si possoo formare a partire da sequeze del tipo RR e sequeze del tipo BB, si ha A 0 =!!,! allora PX = 0 = A 0 A =!!! Cosideriamo ora l isieme A di tutte le parole diverse che si possoo formare co sequeze del tipo BR o RB Si ha A =, duque PX = = A A!!! =!!! 3 Ua possibilità è calcolare la legge di X per trovare poi la media Sia k {0,,, } co la stessa parità di Troviamo la cardialità dell isieme A k di tutte le parole diverse che si possoo formare co k coppie del tipo BR o RB e k coppie di cui k soo del tipo RR e le altre k soo del tipo BB Abbiamo Quidi E[ X ] = E[X] = k PX = k = A k A = kpx = k = k k k! k! k!!! k 0! k k k! k! k k Vista la complessità di questa somma, ragioiamo i u altro modo Per i =,,, sia Y i la va che vale se all estrazioe i-esima ottego BR o RB, 0 altrimeti Allora X = Y + +Y Le va soo ideticamete distribuite, di legge di Beroulli di parametro 3!!!!

4 = o soo idipedeti! No serve calcolare la legge cogiuta di Y,, Y i quato vogliamo solo calcolare la media di X: E[X] = E[Y ] + + E[Y ] = = Problema 03 Siao X, Y va discrete co la seguete desità cogiuta: per x, y Z, λ λx γe, x, y = x, x! PX = x, Y = y = λ λx γe x!, x, y = x, 0, altrimeti dove λ > 0 e γ 0, Calcolare E[Y X ] Verificare che la va U = X + Y /X è be posta e scrivere la desità cogiuta di X e U X e U soo idipedeti? 3 Determiare, se esiste, γ tale che E[XU ] = Soluzioe 03 Verifichiamo che Y X ammette media E[ Y X ] = yx PX = x, Y = y x,y Z = x xx PX = x, Y = x + x λ x xx PX = x, Y = x λ x = xx γe λ x! + xx γe λ x! x x λ x = e λ xx x! = e λ x j 0 jj + λj j! = λ + λ < +, dove ell ultima uguagliaza ricordiamo che il mometo secodo e la media di ua variabile aleatoria di legge di Poisso di parametro λ soo, rispettivamete, λ + λ e λ Aalogamete troviamo il valore atteso E[Y X ] = yx PX = x, Y = y = γ λ + λ x,y Z La va U è be posta perché PX = 0 = y Z PX = 0, Y = y = 0 Calcoliamo la }{{} =0 desità cogiuta di X e U Osserviamo che U prede valori i {, 3} e X prede valori i {,, } Per u {, 3} e x {,, } si ha PX = x, U = u = P X = x, X + Y = u X { γe λ λ x x! =, se u = 3 λ λx γe se u = x! 4 = P X = x, Y = xu x

5 Da questo deduciamo che le va X e U soo idipedeti, ifatti la legge cogiuta si spezza el prodotto delle leggi margiali: per ogi x, u {, 3}, PX = x, U = u = PX = xpu = u, λ λx co PX = x = e e PU = = γ, PU = 3 = γ x! 3 Si ha, grazie all idipedeza di X e U, E[XU ] = E[X]E[U ] = k = j 0 λ λj j + e j! ke λ λ x γ + 9γ x! + 8γ = + λ + 8γ, dove ell ultima uguagliaza ricordiamo che la media di ua va di legge di Poisso di parametro λ è λ Ora, γ = λ 0, se e solo se λ < ricordiamo che λ > 0 ed i tal 8+λ caso soddisfa E[XU ] = Problema 04 Dato u itero, sia X i i=,,, ua famiglia di variabili aleatorie idipedeti co legge comue di Beroulli di parametro p [0, ] Calcolare, per ɛ > 0, lim P Xk p > ɛ + k= Sia f : {0, } {0, } tale che f0 = e f = 0 Qual è la legge di fx? Calcolare lim P fx k p + k= Soluzioe 04 Se p = 0 o p = si coclude facilmete Per p 0,, osserviamo che X,, X è ua famiglia di va idipedeti, i quato X,, X lo è Ioltre Xk segue ua legge di Beroulli di parametro p i quato ha la stessa legge di X k Per la Legge dei Gradi Numeri, essedo Xk k ua famiglia di va idd co media e variaza fiite, si ha, per ogi ɛ > 0, lim P Xk p + > ɛ = 0 Si coclude osservado che P Xk p > ɛ = P k= k= Xk p > ɛ P k= Xk p > ɛ k= 5

6 Se p = 0 o p = si coclude facilmete Suppoiamo p 0,, le va fx,, fx soo idipedeti i quato X,, X lo soo Ioltre fx k è ua va di legge di Beroulli di parametro p Per il Teorema Limite Cetrale, essedo fx k k ua famiglia di va idd co media e variaza fiite E[fX ] = p e VarfX = p p, i particolare [a, b] R, a < b, si ha lim P + a fx k p p p k= Si coclude osservado che P fx k p = P k= p p b fx k p p p k= = b e x / dx π a p p Remark Sia Y la va che cota i laci ecessari per avere la sequeza TT Iiziamo a ragioare u po sulla legge Iazitutto osserviamo che Y Facciamo u po di coti: PY = = PT T =, PY = 3 = PCT T =, PY = 4 = PCCT T + PT CT T =, PY = 5 = PCCCT T + PCT CT T + PT CCT T = 3, PY = 6 = 5 e così via Ci 3 6 accorgiamo che PY = =, 3 PY = 3 =, 4 PY = 4 =, 5 PY = 5 = 3, 6 PY = 6 = 5 che ci ricorda i primi termii della successioe di Fiboacci Dimostriamo ora rigorosamete la ostra ituizioe La va Y prede valori i {, 3, } e, per k {, 3, }, si ha dove F k deota il k -esimo umero di Fiboacci PY = k = F k k, 3 F 0 = 0, F =, F = F + F, Per dimostrare 3 possiamo ragioare el modo seguete: calcoliamo a k := PY > k co k Si ha a = PY > =, i quato per otteere TT occorroo almeo due laci, e a = PY > = PT C + PCC + PCT = 3 6

7 Troviamo ora ua formula ricorsiva per la successioe a k k Fissiamo k 3 e idichiamo co X i il risultato del lacio i-esimo i =,,, k a k+ = PY > k + = PY > k +, X k+ = T + PY > k +, X k+ = C = PY > k +, X k+ = T, X k = C + PY > k +, X k+ = C = PY > k, X k+ = T, X k = C + PY > k, X k+ = C = PY > k PX k+ = T PX k = C + PY > kpx k+ = C 4 = 4 a k + a k, dove ella peultima uguagliaza abbiamo usato le proprietà degli eveti idipedeti Ora si ha b k := PY = k = PY > k PY > k = a k a k Per dimostrare che k b k = F k è sufficiete otare che b = a a = = F, 3 b 3 = 3 a a 3 = = F ed ioltre per k 3 ricordado 4 k b k + k b k = k a k a k + k a k a k = k+ a k a k+ = k+ b k+ 7