Analisi Matematica I modulo Soluzioni prova scritta preliminare n. 1

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1 Aalisi Matematica I modulo Soluzioi prova scritta prelimiare 1 Corso di laurea i Matematica, aa ovembre (a) Calcolare il seguete limite: **A***** Soluzioe Si ha ( + log ) ( + log ) lim ( ) [ ( + log 1 + log ) log e + ] log + (b) Calcolare il seguete limite: **B***** Soluzioe Si ha ( e 1 + e ) ( 1 + e e ( ) e lim 1 + e ) [ ( e ) (1+e ) e ] 1+e 0 1 (c) Calcolare il seguete limite: **C***** ( ) 4 4 lim Soluzioe ( ) 4 4 [ ( 1 1 ) 4 ] 1 4 e 1 1

2 (d) Calcolare il seguete limite: **D***** ( ) lim + Soluzioe ( ) ( ) ( ) + (a) Si cosideri la successioe 1 + [ ( ) ] (+1) +1 e 1 ***A**** a cos 7π(1 + ) Determiare i possibili limiti delle estratte covergeti (ovvero trovare l isieme dei valori limite) Soluzioe Notiamo che si ha 7π(1 + ) 7 π + 7π 7 π + ε dove ε 7π/ è ua successioe che tede a zero Cosideriamo le sei diverse successioi di idici k 6k + j co j 0,, 5 Le corrispodeti estratte a k soo ( ) 7π(6k + j) a k cos + ε k cos (14kπ + 7 ) πj + ε k ( ) ( ) 7 7 cos πj + ε k cos πj Al variare di j 0,, 5 abbiamo duque otteuto i segueti limiti cos(0) 1, cos(7π/) cos(π/) 1, cos(14π/) cos(π/) 1, cos(1π/) cos(π) 1, cos(8π/) cos(4π/) 1, cos(5π/) cos(5π/) 1

3 Abbiamo quidi trovato 4 diversi valori limite: 1, 1, 1, 1 Sicuramete o ci soo altri valori limite diversi da questi, ifatti presa ua qualuque estratta a k, la successioe di idici k deve avere ifiiti idici i comue co almeo ua delle sei estratte k 6k + j che abbiamo cosiderato I coclusioe l isieme dei valori limite è: { 1, 1, 1, 1} (b) Si cosideri la successioe ***B**** a si 7π(1 + ) Determiare i possibili limiti delle estratte covergeti (ovvero trovare l isieme dei valori limite) Soluzioe La soluzioe è aaloga all esercizio precedete L isieme dei valori limite risulta essere {si(7πj/): j 0,, 5} {, 0, } (c) Si cosideri la successioe ***C**** a cos 7π(1 + ) +1 Determiare i possibili limiti delle estratte covergeti (ovvero trovare l isieme dei valori limite) Soluzioe La soluzioe è aaloga a quella dell esercizio (a); l isieme dei puti limite è: { 1, 1, 1, 1} (d) Si cosideri la successioe ***D**** a si 7π(1 + ) +1 Determiare i possibili limiti delle estratte covergeti (ovvero trovare l isieme dei valori limite) Soluzioe La soluzioe è aaloga a quella dell esercizio (b); l isieme dei puti limite è: {, 0, } (a) Sia x R u parametro fissato Si cosideri la successioe defiita ****A*** per ricorreza: { a 1 x a +1 (a ) i Determiare i valori di x per i quali la successioe a risulta essere costate ii Determiare il limite della successioe a el caso i cui x 10 iii Determiare il limite el caso i cui x 1

4 iv Determiare il limite el caso i cui x 6 Soluzioe Siamo el caso i cui a +1 f(a ) co f(x) (x ) La successioe a è costate se e solo se si ha f( x) x L equazioe di secodo grado f(x) x ha due soluzioi x 1, 7 ± Duque la successioe è costate solo el caso i cui x sia uo di questi due valori I geerale, se suppoiamo che esista lim a a, passado al limite ell equazioe a +1 f(a ) si ota che gli uici valori per a soo a + oppure a R, f(a) a cioè a x 1, Notiamo che si ha f(x) > x x > x o x < x 1 ioltre f è crescete sull itervallo I (x, + ) e quidi f(i) I Nel caso x 10 > x si ha a 1 I e quidi la successioe a è sempre iclusa ell itervallo I ed è strettamete crescete Di cosegueza a ammette limite a a, ed essedo a crescete dev essere a a 1 10 > x Duque ecessariamete deve essere a + Passiamo ora al caso x 1 I questo caso cerchiamo u itervallo I coteete il puto x 1, i cui f risulti essere decrescete e tale che f(i) I Perché f sia decrescete dev essere I (, ] Notiamo che f() 0 e che f(0) 4 < Duque l itervallo I [0, ] ha le proprietà richieste Di cosegueza le estratte co idici pari a e quelle co idici dispari a +1 verificao l equazioe a + f(f(a )), a + f(f(a +1 )) Visto che f(f(x)) è crescete, etrambe queste estratte soo mootòe e duque le due estratte covergoo a due valori dell itervallo I Etrambi questi valori devoo però soddisfare l equazioe f(f(x)) x che per esteso risulta essere ua equazioe di quarto grado: x 4 8x + 1x 11x Per risolvere questa equazioe osserviamo che le soluzioi di f(x) x soo ache soluzioi di f(f(x)) x e duque il poliomio di quarto grado deve essere divisibile per il poliomio f(f(x)) x Ifatti si ha x 4 8x + 1x 11x + 4 x 7x x x + 1

5 Duque le soluzioi di f(f(x)) x soo le soluzioi di f(x) x (che abbiamo già determiato) più le soluzioi di x x Visto che quest ultima equazioe o ha soluzioi, possiamo cocludere che l equazioe f(f(x)) x ha due soluzioi: x 1 e x L uica di queste due soluzioi che appartiee all itervallo I [0, ] è x 1 e quidi cocludiamo che se x 1 si ha a x 1 (7 )/ Cosideriamo ora il caso x 6 Notiamo che f((1 )/) x e che x 6 < 1 Duque (ricordado che f è decrescete per x ), si ha a f(a 1 ) f( x) > x Ne cosegue che da a i poi la successioe a è maggiore di x ed è strettamete crescete Duque, come per il caso x 10 si ottiee a + (b) Sia x R u parametro fissato Si cosideri la successioe defiita per ricorreza: { a 1 x a +1 (a+) i Determiare i valori di x per i quali la successioe a risulta essere costate ii Determiare il limite della successioe a el caso i cui x 1 iii Determiare il limite el caso i cui x 1 iv Determiare il limite el caso i cui x 6 Soluzioe Si procede i maiera aaloga al caso precedete Le soluzioi costati si hao per x 7 ± Per x 1 si ottiee ua successioe a Nel caso x 1 si ha a 7+ Nel caso x 6 si ha a (c) Sia x R u parametro fissato Si cosideri la successioe defiita per ricorreza: { a 1 x a +1 ( a ) i Determiare i valori di x per i quali la successioe a risulta essere costate ii Determiare il limite della successioe a el caso i cui x iii Determiare il limite el caso i cui x iv Determiare il limite el caso i cui x 18 Soluzioe La soluzioe è aaloga al caso (a) I questo caso le soluzioi costati si hao per x 1 ± ****B*** ****C*** 5

6 Sia el caso x che el caso x 18 si ha a + Nel caso x si trova a 1 (d) Sia x R u parametro fissato Si cosideri la successioe defiita per ricorreza: { a 1 x a +1 ( a + ) i Determiare i valori di x per i quali la successioe a risulta essere costate ii Determiare il limite della successioe a el caso i cui x 1 iii Determiare il limite el caso i cui x iv Determiare il limite el caso i cui x 1 Soluzioe La soluzioe è aaloga al caso (a) I questo caso le soluzioi costati si hao per x 1 ± Sia el caso x 1 che el caso x 1 si ha a + Nel caso x si trova a 1 ****D*** 4 (a) Calcolare, o dimostrare che o esiste, il limite di fuzioe *****A** lim si( + x 0 log(x )) Soluzioe Cosideriamo la successioe x exp(π/4 π/ 1) Se il limite i questioe esistesse, visto che x 0, ache il limite della successioe corrispodete dovrebbe esistere ma si ota che a si( + log(x )) a si(π/ π) ( 1) e quidi a o ammette limite I coclusioe il limite cercato o esiste (b) Calcolare, o dimostrare che o esiste, il limite di fuzioe lim cos(1 + x 0 log(x4 )) Soluzioe Si procede come el caso precedete, poedo Il limite o esiste x exp( π/4 1/) 6 *****B**

7 (c) Calcolare, o dimostrare che o esiste, il limite di fuzioe *****C** lim si(1 + x 0 log(x )) Soluzioe Si procede come el caso precedete, poedo x exp(π/4 π/ 1/) Il limite o esiste (d) Calcolare, o dimostrare che o esiste, il limite di fuzioe *****D** lim cos( + x 0 log(x4 )) Soluzioe Si procede come el caso precedete, poedo Il limite o esiste x exp( π/4 1/) 7