Istituzioni di Matematiche (CH-CI-MT) V o foglio di esercizi

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1 Istituzioi di Matematiche (CH-CI-MT) V o foglio di esercizi ESERCIZIO. Si determiio le soluzioi dell equazioe x x + 5 = 0. Idicata co z 0 la soluzioe co parte immagiaria positiva, si disegi el piao di Argad-Gauß l esagoo di vertici z 0, z 0 ζ, z 0 ζ, z 0 ζ 3, z 0 ζ 4, z 0 ζ 5, ove, ζ, ζ, ζ 3, ζ 4, ζ 5, soo le soluzioi dell equazioe x 6 =. Si determii l area di tale esagoo. Svolgimeto. Le due radici del poliomio x x + 5 soo ± i e quidi z 0 = + i. I base alle formule di de Moivre, le soluzioi dell equazioe x 6 = soo tutte e sole le poteze del umero complesso ζ = cos π 6 + i si π 6 = + i 3 ; ovvero i umeri complessi ζ = 3 + i, ζ = ζ = 3 + i ζ 4 = ζ 4 = i 3, ζ 5 = ζ 5 = i, ζ 3 = ζ 3 =, 3, ζ 6 = ζ 6 =. Questi sei umeri formao u esagoo regolare iscritto ella circofereza uitaria del piao di Argad-Gauß, ovvero l esagoo tratteggiato della figura qui a fiaco. L area A di questo esagoo è 6 volte l area del triagolo di vertici 0,, ζ, ovvero A = 3 si π 6 = 3 3. Moltiplicare per il umero complesso z 0, sigifica dilatare questa figura del fattore z 0 = 5 e ruotarla dell agolo Argz 0 = arctg (cf. la figura a fiaco). Le rotazioi soo isometrie e perciò lasciao ivariate le aree, duque per otteere l area richiesta, dobbiamo moltiplicare l area A dell esagoo tratteggiato per il fattore z 0 = 5 e quidi l area cercata è uguale a 5 3. z 0 ζ z 0 ζ ζ 3 z 0 ζ ζ 0 ζ 4 ζ 5 z 0 ζ 3 z 0 ζ 4 z 0 ζ 5 Ciò coclude la discussioe. ESERCIZIO. Si disegi el piao di Argad-Gauss il triagolo avete come vertici le soluzioi dell equazioe z 3 iz + (5 + i)z i = 0, e si determiio il cetro ed il raggio della circofereza passate per i tre vertici del triagolo. Svolgimeto. Il poliomio dato è divisibile per z + e quidi si ha z 3 iz + (5 + i)z i = (z + )(z 3i)(z + i ), ( ) ( ) ( ) 0 da cui si coclude che i vertici del triagolo soo i puti P =, P 0 = e P 3 3 =. Il cetro della circofereza circoscritta al triagolo è il puto di itersezioe delle rette perpedicolari ai lati, passati per il puto medio degli stessi (gli assi di tali segmeti); Duque cosiderado i lati P P e P P 3, si determiao le equazioi degli assi a : x + 3y = 4 = 0 ed a : x y =.

2 MAURIZIO CANDILERA Il cetro della circofereza cercata è quidi il puto C = ( ) 7/4 e quidi il raggio è uguale alla distaza 3/4 di C dai tre vertici del triagolo, ovvero: r = d(p, C) = d(p, C) = d(p 3, C) = ESERCIZIO 3. Si disegio el piao di Argad-Gauß le soluzioi dell equazioe (x x + 5)(x + x + ) = 0 e si determii (se esiste) la circofereza passate per questi puti idicadoe il cetro, il raggio e l equazioe cartesiaa. Svolgimeto. Le soluzioi dell equazioe proposta soo i umeri complessi z = + i, z = i, z 3 = i, z 4 = i. Nel piao di Argad-Gauß si tratta quidi dei vertici di u trapezio isoscele. Ua geerica circofereza del piao ha equazioe (x x 0 ) +(y y 0 ) = r, ove il puto (x 0, y 0 ) è il suo cetro ed il umero reale positivo r è il raggio. Impoedo le codizioi che la circofereza passi per i quattro puti dati, si ottiee il sistema ( x 0 ) + ( y 0 ) = r ( x 0 ) + ( y 0 ) = r ( x 0 ) + ( y 0 ) = r. ( x 0 ) + ( y 0 ) = r z 4 z 3 C z z Il sistema è verificato per x 0 = 3 4, y 0 = 0, r = 65 6 ; si tratta quidi della circofereza di equazioe x + y 3x 7 = 0. ESERCIZIO 4. Si disegio el piao di Argad-Gauß i puti z, z, z 3, corrispodeti alle soluzioi dell equazioe z 3 8i = 0. Siao w, w, w 3, i puti simmetrici rispetto all origie dei tre puti dati e si scriva l equazioe di cui w, w, w 3 soo le soluzioi. Si determii ifie l area del poligoo covesso avete i sei puti come vertici. Svolgimeto. Dobbiamo determiare le radici cubiche del umero complesso 8i. Scritto i forma trigoometrica, si tratta del umero 8(cos π + i si π ) e quidi, applicado le Formule di de Moivre, si ottiee che le sue radici cubiche soo w 3 z = (cos π 6 + i si π 6 ) = 3 + i, z = (cos 5π 6 + i si 5π 6 ) = 3 + i, z 3 = (cos 9π 6 + i si 9π 6 ) = i. z z Due puti del piao di Gauß soo simmetrici rispetto all origie se, e solo se, rappresetao umeri complessi opposti e quidi i tre puti w, w, w 3 soo w = z = 3 i, w = z = 3 i, w = z 3 = i; w w z 3 ed i tre puti soo quidi le soluzioi dell equazioe z 3 + 8i = 0.

3 Istituzioi di Matematiche V o foglio di esercizi 3 Il poligoo covesso avete i sei puti come vertici è u esagoo regolare, iscritto ella circofereza di cetro ell origie e raggio z = (si veda la figura qui sopra). Duque la sua area A è sei volte l area del triagolo di vertici 0, z, w, (triagolo equilatero di lato ) cioè A = 6 3. ESERCIZIO 5. Si disegi el piao di Argad-Gauss il triagolo avete come vertici le soluzioi dell equazioe z 3 + z + (i )z i = 0, e se e calcolio il perimetro e l area. Svolgimeto. Si ha z 3 + z + (i )z i = (z )(z + z + + i) = (z )(z + i)(z + i). Quidi si tratta( di) calcolare( il perimetro ) ( e l area ) del triagolo 0 di vertici P =, P 0 =, P 3 =. Si ha quidi P 3 ed perimetro = P P + P P 3 + P P 3 = 3 + 0, area = P P P P 3 =, P P e ciò coclude la discussioe ( ). ESERCIZIO 6. Si disegi el piao di Argad-Gauss il triagolo avete come vertici le soluzioi dell equazioe z 3 ( + i)z + (7i )z = 0, e si determii l area di tale triagolo. Svolgimeto. ESERCIZIO 7. Si disegio el piao di Argad-Gauss i quattro puti corrispodeti alle soluzioi dell equazioe z i = 0, e si determiio il perimetro e l area del quadrilatero (covesso) avete tali puti come vertici. Svolgimeto. Si tratta di determiare le quattro radici quarte del umero complesso 7 + 4i. Se z è ua di queste radici, i quattro umeri cercati soo z, iz, z, iz, che formao i vertici di u quadrato, cetrato ell origie e co la diagoale uguale a z. Duque, l area ed il perimetro del quadrato soo rispettivamete z e 4 z. No ci resta quidi altro da fare che determiare z = +i, tramite due successive estrazioi di radice quadrata, e cocludere che Area = 0, Perimetro = 4 0. A fiaco tracciamo il disego della situazioe. La risposta è ora completa. z ( ) Si poteva ache otare che i vettori P P e P P 3 soo perpedicolari tra loro e quidi area = P P P P 3

4 4 MAURIZIO CANDILERA ESERCIZIO 8. Si disegio el piao di Argad-Gauss i quattro puti corrispodeti alle soluzioi dell equazioe z 4 + 4( + i)z i = 0, e si determii l area del quadrilatero (covesso) avete tali puti come vertici. Svolgimeto. ESERCIZIO 9. Si cosideri l isieme { I = z i C z i } 3, i =,, 3, 4. Si disegi il poligoo covesso avete come vertici gli elemeti di V = { z I z = } e se e calcoli il perimetro. Svolgimeto. ESERCIZIO 0. Si disegi el piao di Argad-Gauss il triagolo avete come vertici le soluzioi dell equazioe z 3 + (3 i)z + 4 i = 0, e se e determii il baricetro. Svolgimeto. ESERCIZIO. Si disegio el piao di Argad-Gauss i quattro puti corrispodeti alle soluzioi dell equazioe z 4 + 3iz = 0, e si determii il raggio del più piccolo disco chiuso, cetrato ell origie, coteete i quattro puti. Svolgimeto. Si tratta di u equazioe biquadratica. Posto w = z, deve aversi, w + 3iw = 0, e quidi w = 3i ± i. Si ha così z = i, oppure z = i, e le soluzioi di queste due ultime equazioi soo z = ( i), z = (i ), z 3 = i, z 4 = i. z 4 z I quattro puti soo tutti multipli di i e quidi soo allieati e determiao così u quadrilatero di area ulla, coteuto el disco di raggio. Si veda il disego qui a fiaco. z z 3 Ciò coclude la discussioe. ESERCIZIO. Si disegio el piao di Argad-Gauß le soluzioi dell equazioe [x ( + i)x + i ][x ( + 3i)x + 6i ] = 0

5 Istituzioi di Matematiche V o foglio di esercizi 5 e si determii, se esiste, ua parabola co asse verticale passate per questi puti idicadoe il vertice e l equazioe cartesiaa. Svolgimeto. z = 3i, z = 3i + 3, z 3 = i, z 4 = + i. ( ) Vertice V = ; equazioe 3y = x /3 4x + 3 ESERCIZIO 3. Sia P (z) = z 4 + 3z 6z + 0. (a) Si determii il poliomio Q(z) tale che P (z) = Q(z)(z z + ). (b) Si disegi el piao di Argad-Gauss il quadrilatero avete come vertici le soluzioi dell equazioe P (z) = 0. (c) Si determii il volume del solido che si ottiee ruotado il quadrilatero detto attoro all asse delle ascisse. Svolgimeto. Osserviamo che P (z) è u poliomio a coefficieti reali e quidi che, se z 0 è ua radice di P (z) ache z 0 è radice di P (z). (a). Applicado l algoritmo euclideo di divisioe, si ottiee che Q(z) = z + z + 5. (b). le radici di Q(z) soo z z = + i e z = i, z metre le radici di z z + soo z = + i e z = i. Duque i quattro puti soo i vertici di u trapezio isoscele, simmetrico rispetto all asse delle ascisse. Tracciamo qui a fiaco u disego del quadrilatero. (c). Si tratta di determiare il volume del solido (troco di coo) che si ottiee ruotado attoro all asse delle ascisse il grafico della fuzioe f(x) = 3 x sull itervallo [, ]. Duque (3 x) Vol = π dx = 3π 4. z z Ciò coclude la discussioe. ESERCIZIO 4. Sia P (z) = z 3 (5 + i)z + (7 + 6i)z + ( 8i). (a) Si verifichi che P (i) = 0 e si disegi el piao di Argad-Gauss il triagolo avete come vertici le soluzioi dell equazioe P (z) = 0. (b) Si determii l area di tale triagolo.

6 6 MAURIZIO CANDILERA Svolgimeto. (a). La verifica che P (i) = 0 è u facile calcolo ed implica che P (z) è divisibile per z i. I particolare, si ha 3 + i P (z) = (z i)(z (5+i)z+(8+i)) = (z i)(z +i)(z 3 i). i Il triagolo che ha come vertici le soluzioi dell equazioe è quidi disegato qui a fiaco. (b). I vertici del triagolo soo i puti di coordiate P = ( ) ( ) 0, P =, P 3 = ( ) 3. i Duque l area del triagolo è A = P P P P 3 = 4 e ciò coclude la discussioe. ESERCIZIO 5. Si disegi el piao di Argad-Gauss il triagolo avete come vertici le radici del poliomio f(z) = z 3 + ( + 3i)z + 3 i, e se e determii l area. Svolgimeto. ESERCIZIO 6. Sia fissato u itero 3 e si cosideri il umero complesso ζ = cos π + i si π. (a) Si mostri che ζ = e quidi che + ζ + ζ + + ζ = 0. (b) Si cosideri il poligoo di vertici z 0 =, z = + ζ, z = + ζ + ζ,..., z = + ζ + ζ + + ζ, e si mostri che si tratta di u poligoo regolare di lati. I particolare, per = 8, si disegi tale poligoo el piao di Argad-Gauss. (c) Si mostri che il perimetro del poligoo del puto (b) è uguale ad e che la sua area è uguale a 4tg(π/). Svolgimeto. (a). Si osservi che ζ è u umero complesso di modulo, scritto i forma trigoometrica e, i base alle Formule di de Moivre, si ha ζ k = cos kπ kπ + i si per ogi itero positivo k. I particolare, per

7 Istituzioi di Matematiche V o foglio di esercizi 7 k = si ottiee ζ = cos(π) + i si(π) =. Ioltre, essedo ζ 0 e ( + ζ + ζ + + ζ )( ζ) = ζ = 0, si coclude che + ζ + ζ + + ζ = 0. (b). Per k =,..., i lati del poligoo i questioe coicidoo coi vettori z k z k = ζ k che hao lughezza ζ k =. Ioltre, z 0 z = 0 =, e quidi tutti gli lati del poligoo hao la stessa lughezza. Resta quidi da verificare che ache gli agoli tra due lati cosecutivi soo uguali tra loro; e per fare ciò è sufficiete calcolare il prodotto scalare tra i vettori (di lughezza ) corrispodeti a due lati cosecutivi, ovvero, co ua facile applicazioe delle formule di addizioe per il coseo, si ottiee ϑ ζ k, ζ k+ = cos kπ (k+)π cos + + si kπ (k+)π si = cos π ; da cui si coclude che l agolo tra due lati cosecutivi è uguale a ϑ = π. Qui a fiaco abbiamo disegato il poligoo richiesto e, più sotto, i vari poligoi che si ottegoo per = 3,..., 0. (c). Da quato abbiamo visto el puto precedete, ogi lato del poligoo ha lughezza e quidi il perimetro è lugo. Per calcolare l area possiamo ragioare come segue: il poligoo si decompoe i triagoli isosceli, tra loro cogrueti, aveti come base i lati del poligoo e come vertice il cetro della circofereza circoscritta; duque è sufficiete determiare l area di u tale triagolo e moltiplicarla per il umero dei lati. 0 Il triagolo i questioe ha l agolo al vertice uguale a π/ e la base di lughezza, quidi la sua altezza è uguale a tg(π/) e la sua area è quidi. Poichè il poligoo si decompoe i di questi triagoli, 4tg(π/) si ottiee la formula voluta. ESERCIZIO 7. Si disegi el piao di Argad-Gauß l isieme S dei umeri complessi soddisfaceti alla codizioe z z + 3i > e si dica per quali valori di m la retta Imz = m(rez) iterseca S. Svolgimeto. Sia z = x + iy, co (x, y) R. Se z 3i, la disuguagliaza proposta è equivalete alla disuguagliaza z > z + 3i ovvero x + y x + 4y < 0. Duque S è formato da tutti i puti iteri alla circofereza di cetro C = ( 3, ) e raggio 5 3, escluso (0, 3 ).

8 8 MAURIZIO CANDILERA La retta y = mx iterseca S se, e solo se, iterseca la circofereza che lo deita i due puti distiti, ovvero se, e solo se, il sistema { y = mx x + y x + 4y = 0 ha due soluzioi reali distite. Ciò sigifica che l equazioe 3( + m )x + 4( + 3m)x + 5 = 0 deve avere il discrimiate positivo, ovvero deve aversi: 4( + 3m) 5( + m ) > 0. Ciò accade se m < +5 5 oppure se m > 5 5. ESERCIZIO 8. Si disegio sul piao di Argad-Gauß i umeri complessi z soddisfaceti alla codizioe z + i z. Svolgimeto. Scriviamo, come di cosueto z = x + iy co (x, y) R. Allora z + i z x + (y ) (x ) + y che, per z, è equivalete alla codizioe x + y + 4x 8y ovvero (x + ) + (y 4) 6. Duque, si tratta dei puti iteri al cerchio di cetro C = (, 4) e raggio 4, compreso il bordo. Da ultimo, osserviamo che il puto (, 0) è estero a questo cerchio e quidi la codizioe z o modifica l isieme delle soluzioi. ESERCIZIO 9. Si disegi el piao di Argad-Gauss l isieme dei umeri complessi z, soddisfaceti alla codizioe z i z + i + >. Svolgimeto. Esercizio! ESERCIZIO 0. Si disegi el piao di Argad-Gauss l isieme dei umeri complessi z, soddisfaceti alla codizioe i z z + i >. Svolgimeto. Esercizio! ESERCIZIO. Si disegi el piao di Argad-Gauss il sottoisieme { S = z C z z + i }. Svolgimeto. Esercizio! ESERCIZIO. Si disegi el piao di Argad-Gauss l isieme dei umeri complessi z, soddisfaceti alla codizioe z z 3 > z z.

9 Istituzioi di Matematiche V o foglio di esercizi 9 Svolgimeto. Esercizio! ESERCIZIO 3. Si euci il Criterio di Leibiz e lo si applichi allo studio della covergeza della serie La serie coverge assolutamete? Svolgimeto. L euciato richiesto è + log( + ) ( ). = Criterio di Leibiz. Sia (a ) N ua successioe decrescete di umeri reali o egativi. Allora la serie ( ) + a coverge se, e solo se, a = 0. = Dobbiamo quidi verificare che la successioe di termie geerale a = log(+) soddisfa alle ipotesi del log( + ) Criterio euciato. Si tratta evidetemete di ua successioe di umeri reali positivi e = 0, perchè il logaritmo è trascurabile rispetto a qualsiasi poteza della variabile, quado quest ultima tede a +. Resta quidi da verificare che si tratta di ua successioe decrescete, ovvero che qualuque sia l itero. Si osservi che log( + ) > log( + ) + log( + ) e quest ultima è chiaramete verificata (perchè?). > log( + ) + ( + ) + > ( + ) + > ( ) ( + = + ) + + Duque la serie proposta soddisfa a tutte le ipotesi del Criterio di Leibiz e quidi coverge, ma o log( + ) coverge assolutamete perchè, per, e quidi il termie geerale della serie dei valori assoluti è maggiore, per, del termie geerale della serie armoica che diverge. Per il Criterio del cofroto la serie dei valori assoluti è quidi divergete. ESERCIZIO 4. Si dica se coverge le serie e se e calcoli la somma. log 3 4 Svolgimeto. Si osservi che log 3 4 = 4 3 log e quidi la serie proposta è = = e ricordado la serie di Mc Lauri log( x) = proposta coverge a 4 3 log log(3/). 3 log = 4 3 log = = (/3) x, che coverge per x <, si coclude che la serie ESERCIZIO 5. Si determii u umero reale R (raggio di covergeza) tale che la serie di poteze =! (x ) 3

10 0 MAURIZIO CANDILERA coverga assolutamete per i umeri complessi z tali che z < R e diverga se z > R. Si dica se la serie coverge assolutamete per x = i C. Svolgimeto. Sia z u umero complesso e cosideriamo la serie dei valori assoluti a, ove a = = Si tratta di ua serie a termii reali positivi e! z 3. a + ( + )! z + 3 = + a ( + ) +! z = + Quidi, per il criterio del rapporto, la serie dei valori assoluti coverge se z 9e Si coclude che R = 9e è il raggio di covergeza cercato. z 3 ( ) + = z. 9e < e diverge se z 9e >. Da ultimo osserviamo che, per x = i, si ha x = i 3 = 3 < 9e e quidi la serie proposta coverge assolutamete sul puto x = i. ESERCIZIO 6. Si determii il raggio di covergeza (vedi esercizio precedete) della serie di poteze = ()! (x + ). Si dica se la serie coverge assolutamete per x = i 4 C. Svolgimeto. Esercizio! ESERCIZIO 7. Si calcoli la somma della serie (a) (b) =0 = ; 3 ; (c) (d) = =0 + ; ( + )( + ) Svolgimeto. (a). Si osservi che = = = = 3 5 = perchè le due serie soo le serie geometriche di ragioe 3 5 e 4 5, rispettivamete. (b). Il ragioameto è aalogo al caso precedete. (c). Osserviamo che = 5 ; + = A + B +, co { A + B = 0, ovvero A = { A = B =. Cosideriamo quidi la somma parziale di ordie k della serie ed osserviamo che si ha s k = k = ( + = ) ( + ) ( k ) ( + k k ) = k + k +,

11 per ogi k. Quidi la somma dela serie è il che coclude la discussioe. Istituzioi di Matematiche V o foglio di esercizi s k = k + k + k + = ; (b). Il ragioameto è aalogo al caso precedete, quado si osservi che ( + )( + ) = ( + ) ; + quidi la somma della serie è. ESERCIZIO 8. Si mostri che, per ogi itero k 3 si ha, k = 3 3 = k k(k + ), e si utilizzi questa osservazioe per calcolare la somma della serie Svolgimeto. Si osservi che = = A + B + C +, co A + B + C = 0 A C = B = 3 ovvero A = B = 3. C = Si deduce che s k = k = 3 3 = k 3 k + k + k 3 k + k + = 3 + k + k + ; perchè gli addedi che elle diverse righe hao lo stesso deomiatore si cacellao i modo opportuo. Duque, essedo s k = k + k+ = k k(k+), si coclude che la somma della serie è s k = 0. k +

12 MAURIZIO CANDILERA ESERCIZIO 9. Si dica se coverge la serie (a) (b) (c) (d) (e) = = = = + ; log + si ; 7 e ; e 5 3+ ; ( = ) ; (f) (g) (h) (i) (j) log + ; log + ; ( ) log + ; cos(π) + ;! ; = = = = = Svolgimeto. (a). Si tratta di ua serie a termii positivi e + + quidi, per il Criterio del cofroto asitotico, la serie diverge come la serie armoica. (c). Si tratta di ua serie a termii positivi e = ; + log + si = 5; quidi, per il Criterio del cofroto asitotico, la serie data coverge come la serie armoica geeralizzata di espoete 4 3. (c). Si tratta di ua serie a termii positivi e + e = e e + + = e ; quidi, per il Criterio del cofroto asitotico, la serie data coverge se, e solo se, coverge la serie = e, che è ua serie geometrica di ragioe miore di e quidi coverge. (d). Il ragioameto è aalogo a quato appea visto. (e). Si tratta di ua serie a termii positivi e si ha + ( ) Quidi per il Criterio della radice la serie data coverge. ( = = e + ) <. (f ). Si osservi che, per +, si deduce dalla formula di Mc Lauri per la fuzioe log( + x) che log + ( = log + ) = + o(/)

13 e quidi Istituzioi di Matematiche V o foglio di esercizi 3 + log + =. Per il Criterio del cofroto asitotico, la serie diverge come la serie armoica. (g). Ragioado come el puto precedete, si ha che log + = log ( + ) = + o(/ ) e quidi log + + =. Per il Criterio del cofroto asitotico, la serie coverge come la serie armoica geeralizzata di espoete. (h). Si tratta di ua serie a termii di sego altero ed, essedo, si ha log + > log > + + ( + ) > ( + ) > 0. Abbiamo quidi ua serie a termii di sego altero il cui termie geerale decresce i valore assoluto e ioltre, log + = 0. + Possiamo applicare il Criterio di Leibiz e cocludere che la serie coverge. (i). Si tratta di osservare che cos(π) = ( ) e verificare che siamo elle ipotesi del Criterio di Leibiz. (j). Si tratta di ua serie a termii positivi e + ( + )! ( + ) +! = + ( + Quidi per il Criterio del rapporto, si tratta di ua serie covergete. ) = e <. ESERCIZIO 30. Ricordiamo che ad ogi serie (s k ) k N, defiita poedo s k = si ha a è associata la successioe delle sue somme parziali =0 k a. I particolare, se la successioe delle somme parziali è covergete, =0 =0 a = k s k. Si mostri che vale u parziale reciproco di questo fatto. Data ua successioe (b ) N si poga d 0 = b 0 e d = b b per. Si mostri che la successioe delle somme parziali della serie d coicide co la successioe (b ) N. Svolgimeto. Esercizio! =0 ESERCIZIO 3. Si mostri che la serie x coverge per x < e diverge per x. Svolgimeto. (Si applichi il Criterio del rapporto alla serie dei valori assoluti). =