Proposizione 1. Due sfere di R m hanno intersezione non vuota se e solo se la somma dei loro raggi e maggiore della distanza fra i loro centri.

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1 Laboratorio di Matematica, A.A ; I modulo; Lezioi II e III - schema. Limiti e isiemi aperti; SB, Cap. 1 Successioi di vettori; SB, Par. 1.1, pp. 3-6 Itori sferici aperti. Nell aalisi i ua variabile reale, u ruolo importate giocao gli itervalli aperti sulla retta reale. U itervallo aperto e solitamete visto come l isieme dei puti strettamete compresi fra due dati estremi, ma puo essere visto ache come l isieme dei puti la cui distaza da u dato puto e strettamete miore di u dato umero reale positivo. Seguedo questo secodo modo di pesare gli itervalli aperti sulla retta reale, possiamo cosiderare el piao reale l isieme dei puti la cui distaza da u dato puto e strettamete miore di u dato umero reale positivo, otteedo cosi u cerchio privato dei puti della circofereza. I geerale, si puo dare la Defiizioe 1. (SB, p. 4) Sia r u vettore di R m, e sia ε u umero reale positivo. Si dice itoro sferico del puto r e raggio ε (o sfera di cetro r e raggio ε) l isieme B ε (r) = {x R m : x r < ε}. Nel piao si puo provare, co argometi di geometria elemetare, che due cerchi privi del bordo hao itersezioe o vuota se e solo se la somma dei loro raggi e maggiore della distaza fra i loro cetri. Questa proprieta si estede agli itori sferici aperti. Proposizioe 1. Due sfere di R m hao itersezioe o vuota se e solo se la somma dei loro raggi e maggiore della distaza fra i loro cetri. Proviamo che se le due sfere hao itersezioe o vuota, allora la somma dei raggi e maggiore della distaza fra i cetri. Siao B ε (r) e B δ (s) le due sfere. Sappiamo che esiste u vettore t i B ε (r) B δ (s), e si ha r s r t + t s < ε + δ. Provare che se la somma dei raggi e maggiore della distaza fra i cetri, allora le due sfere hao itersezioe o vuota, e u po piu laborioso, e o lo facciamo. Limiti. Dal Dizioario di Matematica, 1989, Rizzoli, alla voce limite : Il cocetto di limite e il pricipio fodametale di tutta l aalisi ifiitesimale; su di esso si fodao il calcolo differeziale e itegrale e la defiizioe rigorosa dei 1

2 pricipali cocetti dell aalisi... (per es., la defiizioe di derivata, itegrale, cotiuita, ecc.). Il cocetto di limite si trova gia, i forma embrioale, i Eudosso di Cido e soprattutto i Archimede (il metodo di esaustioe puo cosiderarsi come la prima formulazioe approssimativa del passaggio al limite). I epoca modera la prima defiizioe di limite si trova ei Pricipia di Newto (1687),... La prima chiara esposizioe puramete matematica e dovuta a Cauchy (181); tale defiizioe e rimasta fiora sostazialmete immutata, ache se... e alla voce esaustioe, metodo di : Metodo che permette di calcolare o di verificare il valore di ua gradezza mediate ua serie di approssimazioi la cui fiezza diveta abbastaza grade purche si proceda abbastaza avati.... Il metodo fu ivetato da Eudosso di Cido e impiegato da Archimede el calcolo di π, ella determiazioe di aree, i particolare del segmeto di parabola, ecc.. Si perdette co Archimede e ricomparve el XVI sec. attraverso la ozioe di limite. Esempi di successioe di umeri reali soo {1, 1, 1 3,..., 1,...}; { 1, 1, 1, 1,...}; a = perimetro di u agoo regolare iscritto i ua circof ereza di raggio 1 = 3, 4, 5,... Ituitivamete, si puo dire che i termii della prima successioe si avviciao idefiitamete al umero 0, che i termii della secoda successioe o si avviciao idefiitamete a essu umero, metre i termii della terza successioe permettoo di determiare π co approssimazioe fie quato si voglia. Ua successioe di umeri reali e assegata mediate ua legge che associa ad ogi umero itero positivo u umero reale. Solitamete si rappreseta ella forma {a 1, a, a 3,..., a,...}, oppure {a 1, a, a 3,...}, lasciado ituire al lettore come otteere i termii successivi. Defiizioe. Diciamo che ua successioe di umeri reali {a 1, a, a 3,..., a,...} coverge a u umero reale b se, comuque si preda u itervallo aperto cetrato i b, si ha che da u certo idice i poi tutti gli elemeti della succesioe stao i tale itervallo. I altri termii: comuque si preda u umero reale positivo ε esiste u itero N tale che, per ogi N, a (b ε, b + ε). Il umero b e detto limite della successioe. Ai sesi di questa defiizioe, per le tre successioi sopra cosiderate si ha che: la prima successioe coverge a 0 (lo si verifichi per esercizio), la secoda successioe o coverge a essu umero reale (lo si verifichi per esercizio), la terza successioe coverge a π.

3 Si prova che l operazioe di predere il limite di ua successioe si comporta bee rispetto alle operazioi (somma, prodotto...) sui umeri reali. Queste proprieta vegoo poi usate per ricodurre il calcolo di limiti complessi al calcolo di limiti piu semplici. Passiamo ora dai umeri reali ai vettori. Defiizioe 3. (SB, p.4) Ua successioe di vettori {x 1, x, x 3,...} di R m coverge al vettore x di R m se, comuque scelto il umero reale positivo ε, esiste u itero N tale che per ogi N vale x B ε (x), ovvero d(x, x) = x x < ε. Il vettore x e detto limite della successioe. Vediamo come questa defiizioe si cocretizza su u esempio. Nello spazio R cosideriamo la successioe ( + 1 x =, 1 ), = 1,, 3,.... Viee da pesare che la successioe coverge a x = (1, 0); lo verifichiamo usado la defiizioe. Per ogi umero reale positivo ε, dobbiamo cosiderare la disuguagliaza x x < ε e chiederci per quali vale. Nel ostro caso, si ha ( + 1, 1 ) ( 1 (1, 0) =, 1 ) = Duque la disuguagliaza diviee che e soddisfatta per < ε, > ε. =. Idicato co N u itero strettamete maggiore di, si ha che questa disuguagliaza e soddisfatta per ogi N. Duque, per ogi N ε vale x x < ε. Abbiamo cosi verificato che la successioe coverge a x = (0, 1). Lo studio delle successioi di vettori si puo ricodurre allo studio delle successioi di umeri, el seso del seguete Teorema 1. (SB, Th. 1.1, p. 5) Ua successioe di vettori di R m e covergete se e solo se tutte le sue m successioi delle compoeti soo covergeti i R. 3

4 I questo ordie di idee, cosideriamo acora la successioe x = ( +1, 1 ) di vettori di R. Osserviamo che la successioe +1 delle prime compoeti coverge a 1, e che la successioe 1 delle secode compoeti coverge a 0. Possiamo allora cocludere che la successioe coverge al vettore (1, 0). Teorema. (SB, Th. 1., p. 6) Siao {x } =1 e {y } =1 due successioi di vettori i R m covergeti rispettivamete a x e y, e sia {c } =1 ua successioe di umeri reali covergete a c. Allora la successioe {x + c y } =1 coverge a x + cy. Isiemi aperti; SB, Par. 1., pp Defiizioe 4. (SB, p. 8) U isieme S i R m e aperto se per ogi x S esiste u itoro sferico di x tutto coteuto i S, ovvero Alcui esempi di isiemi aperti. x S esiste u ε > 0 tale che B ε (x) S. I R : ciascu itervallo limitato privato dei suoi estremi; ciascua semiretta privata del suo puto di origie. I R : ogi cerchio privato della sua circofereza di bordo; ciascu semipiao privato della sua retta di bordo; ciascua regioe agolare privata dei suoi lati. Alcui esempi di isiemi o aperti. I R : ciascu puto; ciascu itervallo limitato privato di uo dei suoi due estremi. I R, ciascu puto, ciascu retta, ciascua regioe agolare privata di uo dei suoi due lati. Teorema 3. (SB, Th. 1.3, p. 9) Ogi itoro sferico aperto e u isieme aperto. Teorema 4. (SB, Th. 1.4, p. 9) Ogi uioe di isiemi aperti e u isieme aperto. Ogi itersezioe di u umero fiito di isiemi aperti e u isieme aperto. Isiemi chiusi; SB, Par. 1., pp Defiizioe 5. (SB, p. 10) U isieme di R m e chiuso se per ogi successioe covergete tutta coteuta i S, ache il suo limite appartiee ad S. Alcui esempi di isiemi chiusi. I R : ciascu puto; ciascu itervallo limitato dotato dei suoi estremi; ciascua semiretta dotata del suo puto di origie. I R : ciascu puto; ciascua retta; ciascu cerchio dotato della sua circofereza di bordo; ciascu semipiao dotato della sua retta di bordo; ciascua regioe agolare dotata dei suoi lati. 4

5 Alcui esempi di isiemi o chiusi. I R : ciascu itervallo limitato privato di uo dei suoi due estremi. I R, ciascua regioe agolare privata di uo dei suoi due lati. Teorema 5. (SB, Th. 1.5, p. 11) U isieme S di R m e chiuso se e solo se il suo complemetare S c i R m e aperto. Teorema 6. (SB, Th. 1.6, p. 11) Ogi itersezioe di isiemi chiusi e u isieme chiuso. Ogi uioe di u umero fiito di isiemi chiusi e u isieme chiuso. 5

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