n 1 = n b) {( 1) n } = c) {n!} In questo caso la successione è definita per ricorrenza: a 0 = 1, a n = n a n 1 per ogni n 1.

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1 Apputi sul corso di Aalisi Matematica complemeti (a) - prof. B.Bacchelli Apputi 0: Riferimeti: R.Adams, Calcolo Differeziale - Si cosiglia vivamete di fare gli esercizi del testo. Successioi umeriche: covergeti, divergeti, limitate, mootoe, limiti otevoli, il limite e,teoremi *,2*. Serie umeriche: defiizioe, serie covergete, divergete a +, a, serie divergete; serie geometrica, serie armoica, codizioe ecessaria di covergeza (teo4), teoremi sigifica che e è stata fatta ua dimostrazioe a lezioe, simile a quella del libro, se presete. Def. Successioe. Ua successioe umerica reale {a } è ua fuzioe che ha come domiio u isieme di iteri, a partire da u itero iiziale 0 fio all ifiito, a valori reali. Cioè ua successioe è ua legge che associa ad ogi umero itero 0 uo e u solo umero reale a. Usualmete 0 =, cosicchè a : N R. a è detto termie geerale della successioe. Esempi: { Per } {, a) = } = {0, 2, 23, 34 },... b) {( ) } = {si( 3π2 } + π) = {,,,,...} c) {!} I questo caso la successioe è defiita per ricorreza: a 0 =, a = a per ogi. Def. Limite di ua successioe. Poichè l uico puto di accumulazioe di u sottoisieme illimitato di N è +, parliamo di limite di a, per che tede a +. Poichè o ci può essere equivoco, scriverò semplicemete lim a, itededo lim + a.

2 Def. la successioe è covergete (a L ) se esiste u umero reale L tale che lim a = L, (o ache: a L) cioè: per ogi ε > 0, esiste u itero 0 = 0 (ε) (i geerale dipedete da ε) tale che per ogi > 0 è soddisfatta la disequazioe a L < ε. ovvero, per ogi ε > 0, i valori a stao i u itoro di L di raggio ε, a partire dall itero 0 + i poi. N.B. a L < ε L ε < a < L + ε Def. la successioe è divergete a + ( ) se lim a = + ( ), cioè: per ogi M > 0, esiste u itero 0 = 0 (M) tale che per ogi > 0 è soddisfatta la disequazioe a > M (a < M). ES: verifichiamo mediate la defiizioe che lim + 2 = 2 Si tratta di vedere per quali è soddisfatta la diseq < ε, cioè 2 < ε, cioè per > 2ε. Per esempio se ε = 0 la disequaz. è soddisfatta per > 5 = 0, cioè per = 6, 7, 8,... ES: verifichiamo mediate la defiizioe che lim log 2 = + Si tratta di vedere per quali è soddisfatta la disequazioe log 2 > M, cioè 2 > e M, cioè per > e M/2. Per esempio se M = 4, la disequaz. è soddisfatta per > e 2, cioè per = 8, 9, 0,... N.B. Esistoo successioi è covergeti è divergeti: chiamiamo tali successioi oscillati o idetermiate. Per esempio: ( ) ; cos(π/2) ; ( ) (3 + ) Def. Successioe ifiitesima. {a } è ifiitesima se lim a = 0. Def. Successioe limitata. {a } è limitata se esiste M > 0 tale che a < M, per ogi. Teorema : Se a coverge, allora a è limitata. 2

3 OSS: Si parla di proprietà godute dalle successioi : per esempio, di avere sego costate, di essere crescete, decrescete, o a segi alteri. Tali proprietà possoo essere godute (globalmete) dalla successioe, oppure possoo valere defiitivamete, itededo co tale termie che la proprietà vale per > 0. Per esempio la successioe {a } = {3, 5,, 2, 2, 2, 2,...} è defiitivamete costate. Naturalmete o ha seso dire che ua successioe è defiitivamete limitata (perchè?). Def. Successioe mootoa. a) {a } è crescete se a + > a, per ogi. b) {a } è decrescete se a + < a, per ogi. c) {a } è mootoa se è crescete, oppure decrescete. ES: a = e (crescete, perchè la fuzioe y = e x è crescete) ; a = + (se o so se la successioe sia crescete oppure se sia 2 decrescete, si può impostare la disequazioe: a + < a e vedere se è soddisfatta ( almeo defiitivamete, cioè per > 0 ) o o.: ( + ) + 2( + ) < < sì ) log a = I alterativa, se esiste ua fuzioe derivabile y = f(x) tale che f() = a, per > 0, allora posso stabilire la mootoia di a dal sego della derivata prima di f(x),per x > x 0 (fare! ). Teorema 2 (delle successioi mootoe): Ua successioe mootoa ha sempre limite: fiito se è limitata, ifiito se o è limitata. I particolare: - se a è crescete lim a = sup a (fiito o + ); - se a è decrescete lim a = if a (fiito o ) N.B. Per le successioi valgoo tutte le regole e i teoremi studiati per le fuzioi, per esempio varrao le forme di idecisioe studiate per i limiti di fuzioe: [ [ ] 0 [ ], [0 ],,, [0 ] 0 ], [ 0 ], [ ] 0 3

4 Valgoo i particolare i segueti importati teoremi: Teorema del cofroto asitotico: Se a b ( cioè se lim a b = ), allora lim a = lim b. Corollari del teorema del cofroto (a) Se a è limitata e lim b = 0 allora lim(a b ) = 0. (b) Siao a 0, b 0.co a b. Allora: se a diverge b diverge se b coverge a coverge Esempi importati lim p = 0 se p > 0 lim x = 0 se x < (log )a lim = 0 se p > 0 lim a = 0 se x > p x lim cos = 0 lim si = 0 lim ( + c ) = e c ( MOLTO IMPORTANTE!!) N.B. x α = e α log x da cui seguoo i segueti limiti lim a + b = ( MOLTO IMPORTANTE!!) lim / = lim(log ) / = (Oss: / log = e ) 4

5 Valgoo i limiti asitotici: allora Se ε 0 si ε ε ; cos ε 2 ε2 log( + ε ) ε ; e ε ε ta ε ε ; ( + ε ) α α ε arcta ε ε ; arcsi ε ε Formula di DeMoivre Stirlig! = e 2π e σ, co 0 < σ < 2 quidi! e 2π ES: N.B.! o è asitotico a : lim! = 0 si(e ) e ; cos( 3 ) 8 ; e / 2 log(cos ) 2 ; ; ta(si ) 5 Ma attezioe all argometo!: si si ; si si 5

6 Def. Serie umerica. Ua serie umerica reale =0 a è la successioe delle somme parziali: s = k=0 a k. a è detto termie geerale della serie. Def. Serie covergete, divergete, irregolare. - Se la successioe s coverge a L, diciamo che la serie coverge e ha per somma L ( =0 a = L). - Se la successioe s diverge a + (o a ), diciamo che la serie diverge a + (o a ) - Se la successioe s è idetermiata (è covergete è divergete), diciamo che la serie è idetermiata. Def. Serie regolari: soo dette regolari. Le serie covergeti o divergeti a + (o ) Def. Carattere della serie: Co carattere di ua serie si itede il suo comportameto, cioè che sia covergete, divergete o idetermiata. Teorema 4. Codizioe ecessaria di covergeza: coverge, il suo termie geerale tede a zero. I simboli: a = L a 0 =0 N.B. La codizioe NON E SUFFICIENTE! Se la serie PER ESEMPIO la serie armoica (esempio 4, paragrafo 5.2) = è divergete a + (esempio 4, paragrafo 5.2): ache se il suo termie geerale a = è ifiitesimo (cioè 0). 6

7 Teorema a coverge se e solo se 0 a coverge per ogi La serie geometrica q =, q se < q <. =0 q viee detta ragioe della serie geometrica N.B. = 0 q = q0, se < q <. q ES:. =0 =0 e = ( ) 2 = 3 2/3 = 3 ; =0 ( 4 7 ) = e = e e ; =7 ( 4 ) = ( 4 )7 + 4 = 7 = = = 9 ( ) 3 =0 = = 0 (ecco perchè per avere l uicità della rappresetazioe decimale devo escludere il periodo 9!) Teorema 6. Ua serie a termii positivi è regolare: o coverge (se le sue somme parziali soo limitate), altrimeti diverge a +. Ifatti la successioe delle somme parziali è mootoa. Teorema 7. ca = c a, c 0 Se a = A e b = B, allora i) (a ± b ) = A ± B ii) se a b,, allora A B Se a = A e b diverge, allora (a ± b ) diverge Se a diverge a + e b diverge a +, allora i) (a + b ) diverge a + ii) ulla si può dire sul carattere di (a b ) 7