Matematica 5. Dipartimento di Matematica. ITIS V.Volterra San Donà di Piave. Versione [12/13][S-All]

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1 Matematica 5 Dipartimeto di Matematica ITIS V.Volterra Sa Doà di Piave Versioe [/3][S-All]

2 Idice I Itegrazioe Itegrazioe impropria. Geeralità Criteri di itegrabilità Esercizi riassutivi II Serie 8 Successioi umeriche reali 9. Geeralità Successioi mootoe Criteri di covergeza Successioi di fuzioi Covergeza uiforme per successioi di fuzioi Serie umeriche reali 7 3. Geeralità Criterio di covergeza di Cauchy Serie a termii o egativi Serie a termii di sego altero Proprietà e operazioi sulle serie umeriche Esercizi riassutivi Serie di fuzioi 3 4. Geeralità Covergeza uiforme Covergeza totale Serie di poteze Geeralità Sviluppo i serie di poteze Sviluppi otevoli i serie di Taylor Teoremi di cotiuità, derivazioe e itegrazioe per serie Serie di Fourier Geeralità Sviluppabilità i serie di Fourier Serie trigoometriche otevoli Esercizi riassutivi [/3] - ITIS V.Volterra Sa Doà di Piave

3 INDICE ii III Equazioi differeziali 5 7 Fuzioi di due variabili Geeralità Derivate parziali Derivate direzioali Teorema del differeziale totale Geeralità sulle equazioi differeziali 6 8. Defiizioi Equazioi del primo ordie Defiizioi Equazioi a variabili separabili o separate Equazioi del tipo y =f(a+by) Equazioi omogeee Equazioi lieari Equazioi di Beroulli Equazioi esatte Equazioi di forma particolare Equazioi del secodo ordie Geeralità Equazioi del tipo y =f() Equazioi del tipo y =f(,y ) Equazioi lieari a coefficieti costati Equazioi lieari omogeee Equazioi lieari o omogeee Esercizi 76. Esercizi geerali Esercizi sulle equazioi del primo ordie Problemi sulle equazioi del primo ordie Esercizi sulle equazioi del secodo ordie Problemi sulle equazioi del secodo ordie IV Cotributi 8 [/3] - ITIS V.Volterra Sa Doà di Piave

4 Parte I Itegrazioe [/3] - ITIS V.Volterra Sa Doà di Piave

5 Capitolo Itegrazioe impropria. Geeralità Abbiamo defiito b a f() d elle ipotesi di f() cotiua i [a, b]. Viee spotaeo chiedersi se la defiizioe può essere geeralizzata al caso di ua fuzioe discotiua. Defiizioe... Sia f() ua fuzioe cotiua i [a, b ɛ] ɛ > 0; se ɛ 0 + b ɛ a f() d esiste, fiito allora si dice che f() è itegrabile i [a, b] e si poe b a f() d = ɛ 0 + Aalogamete se f() è cotiua i [a + ɛ, b] ɛ > 0 I questi casi si dice che b a f() d coverge. b ɛ a f() d Esempio... esiste fiito e quidi 0 d ɛ ɛ d = ɛ 0 +[arcsi( ɛ)] = π 0 d = π Esempio.. (Di importaza fodametale). Se p = allora 0 p d d = ɛ 0 + ɛ [l ] ɛ 0 + ɛ = ɛ 0 +[l l ɛ] = + [/3] - ITIS V.Volterra Sa Doà di Piave

6 . Geeralità 3 Quidi o è itegrabile i [0, ], si dice che Se p allora ɛ 0 + ɛ [ d = p ɛ 0 + = 0 d diverge a +. ] p p ɛ { p se p > 0 + se p < 0 Nel primo caso (p < ) si dice che l itegrale coverge a diverge a +. Cocludedo Geometricamete 0 [ ] = ɛ 0 + p ɛ p = p { p d = p se p < o esiste e diverge a + se p ; el secodo caso (p > ) si dice che p y L area compresa fra la fuzioe, l asse y, la retta = e l asse è fiita p < Esempio..3. π 0 si d π si ɛ d = ɛ 0 +[cos ] π ɛ = ɛ 0 +[ cos ] = o esiste ɛ I questo caso la fuzioe o è itegrabile i [0, ]; si dice ache che l itegrale o coverge. π Geeralizziamo ora al caso di u itervallo ilitato. Defiizioe... Sia f() ua fuzioe cotiua i [a, M] M > a; se M f() d M + a esiste, fiito [/3] - ITIS V.Volterra Sa Doà di Piave

7 . Geeralità 4 allora si dice che f() è itegrabile i [a, + ] e si poe I questi casi si dice che + a + a f() d = f() d coverge. Aalogamete se f() è cotiua i [N, a] N < a. M f() d M + a + Esempio d M d = M [arcta M + ]M 0 = [arcta M] = π esiste fiito. M + + Allora 0 + d = π + Esempio..5. e d e d = e d + e d 0 0 [ e d = ] 0 N N N e = N M [ e d = ] M M + 0 M + e = 0 + Quidi e d = + = 0 Esempio..6 (Di importaza fodametale). + p d Se p = allora M M + d = [l M l ] = + M + Quidi o è itegrabile i [, + ]; si dice che + Se p allora M M + p d = = d diverge a +. [ M + p M p p { p se p < 0 + se p > 0 Nel primo caso (p > ) si dice che l itegrale coverge a diverge a +. Cocludedo + ] = { p d = p se p > o esiste e diverge a + se p ; el secodo caso (p < ) si dice che p [/3] - ITIS V.Volterra Sa Doà di Piave

8 . Criteri di itegrabilità 5. Criteri di itegrabilità Teorema.. (Primo criterio). Siao f() e g() due fuzioi o egative e cotiue i [a, b ɛ] ɛ > 0 e e, ioltre, f() g() [a, b ɛ] e se a a b b f() d diverge allora g() d diverge. a a b g() d coverge, allora b f() d coverge; se Teorema.. (Secodo criterio). Siao f() e g() due fuzioi o egative e cotiue i [a, b f() ɛ] ɛ > 0 e se, ioltre, b g() R allora si dice che f() e g() soo asitotiche per b e b f() d coverge (o diverge) b a a Aalogamete per gli itervalli ilitati. g() d coverge (o diverge). Teorema..3 (Terzo criterio). Sia f() ua fuzioe cotiua i [a, b ɛ] ɛ > 0; se coverge allora b a f() d coverge. Attezioe: o vale il viceversa. b a f() d Esempio... + Poichè d + + d 3 coverge (p = 3 > ) allora = quidi per + + d coverge. Esempio... + arcta 0 α d ( + ) α α ( + ) α α = α arcta per 0 + α < α < 3 π arcta α ( + ) α 3α per + 3α > α > 3 L itegrale coverge per 3 < α < 3. + Esempio..3. l α d M [ ] M + l α d = M [ M + α l α = M + α l α M ] α l α tale ite esiste fiito α < 0 α >. I tal caso il ite vale α l α. Esempio..4 (Importate). 0 + l p 0 l d = 0 + p l = p 0 + l = { se p < 0 0 se p 0 [/3] - ITIS V.Volterra Sa Doà di Piave

9 . Criteri di itegrabilità 6 (p ) p el primo caso, applicado de Hopital si ha: 0 + = l è, per 0+, u ifiito di ordie superiore a p p <, ma di ordie iferiore a p. p Quidi il criterio o ci permette di decidere. La questioe si risolve itegrado: Quidi 0 d diverge. l ɛ 0 + ɛ d = l ɛ 0 +[l l l l ɛ ] = [/3] - ITIS V.Volterra Sa Doà di Piave

10 .3 Esercizi riassutivi 7.3 Esercizi riassutivi Esercizio.3.. Studiare la covergeza o divergeza dei segueti itegrali e calcolare il valore: d 6 d + + [diverge] [π] si d [?] d ( ) [?] Calcolare: Esercizio e a si b d a > 0 Esercizio e a cos b d a > [ b ] a + b [ b ] a + b Dire per quali a R covergoo: Esercizio a arcta + 3 d [ < a < ] Esercizio.3.5. Esercizio l( + a ) (e 3 ) a d [ a > 3 ] 5 a d calcolare il valore per a = [a > 0; π ] [/3] - ITIS V.Volterra Sa Doà di Piave

11 Parte II Serie [/3] - ITIS V.Volterra Sa Doà di Piave

12 Capitolo Successioi umeriche reali. Geeralità Defiizioe... Dicesi successioe ua fuzioe f : N A f() Talora il domiio è N.I geerale A è u isieme qualsiasi; oi supporremo A R. Defiizioe... Dicesi successioe umerica reale ua successioe a valori i R. Gli a si dicoo termii della successioe che si idica ache co {a } N oppure a 0, a,..., a,.... Defiizioe..3. Sia {a } N ua successioe umerica reale; diremo che il ite per che tede a più ifiito di a vale L R e scriveremo se ɛ > 0, I questo caso la successioe si dice covergete. a = L + N > a L < ɛ Esempio... a =. Allora + = 0 Ifatti: ɛ > 0, 0 < ɛ. Per > ɛ, si trova =. ɛ Defiizioe..4. Sia {a } N ua successioe umerica reale; diremo che + a = + se M > 0, N > Ricordiamo che è il primo umero itero maggiore o uguale a. a > M a < M a > M [/3] - ITIS V.Volterra Sa Doà di Piave

13 . Successioi mootoe 0 La successioe si dice, rispettivamete, positivamete divergete, egativamete divergete, oscillate. Esempio... a =. Allora = +. Ifatti: M > 0, > M, si trova = M. + Defiizioe..5. Sia {a } N ua successioe umerica reale; diremo che la successioe è idetermiata se o esiste il + a. Esempio..3. a = ( ) è idetemiata. Ifatti: se = k a k =, se = k + a k+ =. Il ite o esiste.. Successioi mootoe Defiizioe... Ua successioe umerica reale {a } N si dice mootoa crescete i seso stretto (lato) se N, a < a + (a a + ); si dice mootoa decrescete i seso stretto (lato) se N, a > a + (a a + ). Ricordiamo che l estremo superiore di u isieme A di umeri reali si idica co sup(a) e l estremo iferiore si idica co if(a). Teorema... Esiste sempre, fiito o ifiito, il ite di ua successioe reale mootoa e coicide co sup N {a } se è crescete, co if N {a } se è decrescete. Dimostrazioe. o caso: poiamo sup N {a } = L R, e sia {a } N crescete i seso stretto. Allora per la proprietà caratteristica del sup per la mootoia; allora ɛ > 0, ɛ > 0, N a > L ɛ L ɛ < a < a + < < L N > L ɛ < a < L + ɛ a L < ɛ cioè a = L + come si voleva. o caso:poiamo sup N {a } = +, e sia {a } N crescete i seso stretto. Allora per la proprietà caratteristica del sup per la mootoia; allora cioè M > 0, M > 0, N a > M M < a < a + <... N > a > M a = + + Esempio... Numero di Nepero. Il ( + ) = e esiste fiito co < e < 3 + che si dice Numero di Nepero. [/3] - ITIS V.Volterra Sa Doà di Piave

14 .3 Criteri di covergeza.3 Criteri di covergeza Teorema.3. (Criterio di covergeza di Cauchy). Sia {a } N ua successioe umerica reale: + a = L R ɛ > 0 N, N,, > = a a < ɛ. Dimostrazioe. Euciamo solamete. Teorema.3.. Sia {a } N ua successioe umerica reale a termii o egativi; se Dimostrazioe. Per ipotesi: a + = L < allora + a a = 0 + ɛ > 0 N > a + L < ɛ L ɛ < a + < L + ɛ a + < (L + ɛ)a a a poiamo L + ɛ = h, o è restrittivo supporre h < ; quidi a + < ha ; a + < ha + < h a ;... a +k < h k a >. Cocludedo: cioè ɛ > 0 N >, k N a +k = a = 0 k + + a +k < h k a < ɛ Esempio.3..! + a =! > 0 a + ( + )! ( ) ( ) N ; = + a + ( + ) + = = =! e < perciò! + = 0 L esercizio poteva essere svolto ache el seguete modo: duque: per il teorema dei due carabiieri! ( )( )... =... 0 <! < 3! + = 0 =... < Teorema.3.3. Sia {a } N ua successioe umerica reale a termii o egativi; se a + = L > allora + a a = + + [/3] - ITIS V.Volterra Sa Doà di Piave

15 .3 Criteri di covergeza Dimostrazioe. Per ipotesi: suppoiamo che L R ɛ > 0 N > a + L < ɛ L ɛ < a + < L + ɛ a + > (L ɛ)a a a poiamo L ɛ = h, o è restrittivo supporre h > ; quidi Cocludedo: cioè a maggior ragioe se L = +. a + > ha ; a + > ha + > h a ;... a +k > h k a >. M > 0 N >, k N a +k = a = + k + + a +k > h k a > M Esempio.3.. a + a R + a a = a + + a = a se a > + = + se a = il criterio o dice ulla ma + = 0. se 0 < a < a + = 0 Teorema.3.4. Sia {a } N ua successioe umerica reale a termii o egativi; se Dimostrazioe. Euciamo solamete. a + = L allora a = L + a + Esempio ! sia a =!, abbiamo visto che a + = + a e allora + a = +! = e Esempio.3.4. Sia data la successioe umerica reale defiita iduttivamete: Esercizio o svolto a 0 0, a = + a 0, a = + a,..., a + = + a = f() [/3] - ITIS V.Volterra Sa Doà di Piave

16 .3 Criteri di covergeza 3 ESERCIZI Esercizio.3.. Cercare i iti delle successioi:. a! a R + (0 a). a a R + ( a) 3. ( ) 4. Sia a 0 0, a + = a ; provare che + a a = 0 + (dimostrare prima che la successioe è mootoa decrescete) (+ ) [/3] - ITIS V.Volterra Sa Doà di Piave

17 .4 Successioi di fuzioi 4.4 Successioi di fuzioi Defiizioe.4.. Dicesi successioe di fuzioi ua successioe i cui termii soo fuzioi. Esempio.4.. f () = 0, N y 3 f 4 () = 4 f 3 () = 3 f () = f () = 0 se 0 < + = se = + se > 0 3 Se a R possiamo cosiderare la successioe reale {f (a)} N che { 0 se 0 a < coverge a se a = metre diverge se a >. Esempio.4.. f () = e R, N y M(, M(, M e ) e ) M f 3 () = e f () = e f 3 () = e 3 e + = 0 a R la {f (a)} N è ua successioe umerica reale che coverge a 0. 0 Esempio.4.3. f () = e R, N [/3] - ITIS V.Volterra Sa Doà di Piave

18 .5 Covergeza uiforme per successioi di fuzioi 5 y M3 f 3 () = 9e 9 f () = 4e 4 M f () = e M 0 ( M, e ) + e = 0 ( N, e ) R a R la {f (a)} N è ua successioe umerica reale che coverge a 0. N N N3 Osservazioe. I etrambi gli ultimi esempi f () = 0, R. Ma vi è ua differeza: cosiderato u itoro di tale ite, el primo caso è possibile determiare u idice h tale che da quell idice i + poi tutte le f (), R, vi cadao detro; el secodo caso ciò o è possibile. Si osservi attetamete la figura successiva. y y y = 0 + ɛ y = 0 ɛ.5 Covergeza uiforme per successioi di fuzioi Defiizioe.5.. Data ua successioe di fuzioi {f ()} N, si dice che coverge uiformemete a f() i u itervallo D se ɛ > 0, N >, D f () f() < ɛ [/3] - ITIS V.Volterra Sa Doà di Piave

19 .5 Covergeza uiforme per successioi di fuzioi 6 ESERCIZI Esercizio.5.. Dimostrare che f () = si coverge a f() = 0 uiformemete R. Esercizio.5.. Dimostrare che coverge a f() = 0 f () = R ma o uiformemete. + [/3] - ITIS V.Volterra Sa Doà di Piave

20 Capitolo 3 Serie umeriche reali 3. Geeralità Defiizioe 3... Data ua successioe umerica reale a 0, a,..., a,..., sia s 0 = a 0 s = a 0 + a. s = a 0 + a + + a. la successioe delle somme parziali o ridotte. Tale successioe si dice serie associata alla successioe data e a si dice termie geerale. Defiizioe 3... Se serie e si scrive Defiizioe Se se se s = + + s = + s = + Defiizioe Se s = S, allora si dice che la serie coverge; S si chiama la somma della + a = S si dice che la serie diverge positivamete si dice che la serie diverge egativamete si dice che la serie diverge oscillado o semplicemete diverge. s o esiste, allora si dice che la serie è idetermiata. + Esempio 3... Sia data la serie ( + ) + Poichè + = ( + ) di Megoli [/3] - ITIS V.Volterra Sa Doà di Piave

21 3. Geeralità 8 allora ( s = ) ( + ) ( ) = ( + ) + e quidi ( + s = ) = + + Cocludiamo che la serie di Megoli coverge a o ache che + = ( + ) = Esempio 3.. (Serie geometrica di ragioe ). Sia data la serie Si ha s = = + ( ) + = + s + da cui s s = + s ( ) = + e dividedo per, dopo aver posto, si ha s = = + se < allora + s = = se = allora la serie diveta e diverge a + ; se = allora la serie diveta + + ( ) + ed è idetermiata 3. Se > allora + s = + = + + quidi la serie diverge a + ; se < allora quidi la serie diverge oscillado. + s = + = + s = 3 s k = 0 e s k+ = [/3] - ITIS V.Volterra Sa Doà di Piave

22 3. Geeralità 9 ESERCIZI Esercizio 3... Studiare la covergeza delle segueti serie umeriche (evetualmete al variare di R: [ ] ( + 3) 8 [ a < b a, b N ( + a)( + b) a + a + + ] b ( ) [ ] + ( ) coverge a + per < [ l( e) ] [ coverge a l( e) per e + e < < ] e [/3] - ITIS V.Volterra Sa Doà di Piave

23 3. Criterio di covergeza di Cauchy 0 3. Criterio di covergeza di Cauchy Teorema 3.. (Covergeza secodo Cauchy). Data ua serie a 0 + a + + a +, essa coverge se e solo se ɛ > 0 N >, k N = a a +k < ɛ Dimostrazioe. s = a 0 + a + + a N s +k = a + + a a +k, k N k > 0 s +k s = a + + a a +k codizioe ecessaria e sufficiete affichè la successioe umerica reale {s } N coverga è che: scegliamo = + k, = > ; duque ɛ > 0 N, N,, > s s < ɛ s s = s +k s = a a +k < ɛ Corollario 3... Se ua serie coverge allora Dimostrazioe. E il criterio di Cauchy per k =. a = 0 + Teorema 3... Ua serie a termii o egativi o coverge o diverge positivamete. Dimostrazioe. Se la serie è a termii o egativi, la {s } N è mootoa crescete. Sapedo che le successioi mootoe o soo mai idetermiate, segue la coclusioe. Esempio 3.. (Importate). Discutere la covergeza della serie armoica Osserviamo che = 0 eppure la serie diverge: ifatti = = duque, per il Criterio di Cauchy, la serie o coverge ed essedo a termii positivi, diverge a +. Defiizioe 3... Si dice resto -esimo di ua serie a 0 + a + + a + la quatità Risulta che + = R = a + + a + + R = a s la serie è privata dei suoi termii fio ad a. La R è ua serie le cui somme parziali soo: R,k = a + + a a +k e si ha R,k = s +k s. Passado al ite per k + si ha R,k = s +k s k + k + cioè la serie e il suo resto -esimo hao lo stesso carattere 4. 4 Cioè etrambe covegeti, divergeti o idetermiate [/3] - ITIS V.Volterra Sa Doà di Piave

24 3.3 Serie a termii o egativi 3.3 Serie a termii o egativi Teorema 3.3. (Criterio del cofroto). Siao + a e + b due serie a termii o egativi. Suppoiamo che N > a b Allora Se Se b coverge = a diverge = a coverge b diverge. Dimostrazioe. R (a) sia il resto -esimo di + a e R (b) sia il resto -esimo di + b ; ɛ > 0 N >, k N R (a),k = a + + a a +k b + + b b +k = R (b),k se per ipotesi + b coverge allora R (a),k R(b),k < ɛ e e cosegue che + a coverge (per il Criterio di Cauchy); se per ipotesi + a diverge allora M > 0, N >, k N e cosegue che + b diverge. M < R (a),k R(b),k Esempio Abbiamo Poichè + = ( ) ( ) + = (dimostrare) coverge (serie di Megoli) allora + = coverge. Esempio Abbiamo + = (dimostrare) Poichè + = diverge (serie armoica) allora + = diverge. [/3] - ITIS V.Volterra Sa Doà di Piave

25 3.3 Serie a termii o egativi Teorema 3.3. (Criterio del rapporto). Sia + a ua serie a termii o egativi e sia Allora a + = L. + a se L > la serie diverge se 0 L < la serie coverge se L = ulla si può dire (del carattere, aturalmete). Dimostrazioe. Caso 5 L > ɛ > 0 N > a + a sia L ɛ = h > L < ɛ L ɛ < a + a < L + ɛ a + > ha a + > ha + > h a. a +k > h k a >, k N a + + a a +k > ha + h a + + h k a + = a (h + h + + h k + ) Poichè h k è il termie geerale di ua serie geometrica divergete (h > ), e cosegue che, per il criterio del cofroto, la serie diverge. Caso L < sia L ɛ = h < ɛ > 0 N > a + a a + < ha a + < ha + < h a L < ɛ L ɛ < a + < L + ɛ a. a +k < h k a >, k N a + + a a +k < ha + h a + + h k a + = a (h + h + + h k + ) Poichè h k è il termie geerale di ua serie geometrica covergete (h < ), e cosegue che, per il criterio del cofroto, la serie coverge. Caso L = Nulla si può dire el seso che il criterio o è sufficietemete potete per stabilire il carattere della serie. 5 Vale ache el caso L = +, ma oi ci itiamo al caso fiito. [/3] - ITIS V.Volterra Sa Doà di Piave

26 3.3 Serie a termii o egativi 3 Esempio Abbiamo e cosegue che la serie data coverge. + + a! a R + a +! ( + )! a = + a + = 0 Esempio Abbiamo + e cosegue che la serie data coverge. + =! ( + )! ( ) ( + ) (+) = =! ( + ) = e Esempio Stabilire per quali R + coverge la serie Abbiamo = se la serie diveta e quidi, applicado il criterio del rapporto + + se > la serie coverge + se = si ottiee, la serie armoica che diverge = se 0 < < il criterio o dice ulla ma per il criterio del cofroto, la serie data diverge. + { + = se 0 < < se > > = }{{} volte Teorema (Criterio della radice). Sia + a ua serie a termii o egativi e sia Allora a = L. + se L > la serie diverge se 0 L < la serie coverge se L = ulla si può dire. [/3] - ITIS V.Volterra Sa Doà di Piave

27 3.3 Serie a termii o egativi 4 Dimostrazioe. Caso L > ɛ > 0 N > a L < ɛ L ɛ < a < L + ɛ sia L ɛ = h > a > h e quidi a > h >. Poichè h è il termie geerale di ua serie geometrica divergete (h > ), allora la serie data diverge per il criterio del cofroto. Caso L < ɛ > 0 N > a L < ɛ L ɛ < a < L + ɛ sia L ɛ = h < a < h e quidi a < h >. Poichè h k è il termie geerale di ua serie geometrica covergete (h < ), e cosegue che, per il criterio del cofroto, la serie coverge. Esempio Abbiamo e cosegue che la serie data coverge. + = + = + = 0 < Esempio Abbiamo + = + = (serie armoica) tt = et l t = e t 0+ t 0 + t 0 + l t t = e t 0 + t t = e 0 = dove abbiamo posto = t e applicato De l Hopital per il calcolo del ite. Il criterio della radice o permette alcua coclusioe, pur essedo la serie armoica divergete. Teorema (Criterio dell itegrale). Sia + a ua serie a termii o egativi. Se f() è ua fuzioe decrescete tale che f() = a, N, allora e f() d Dimostrazioe. Cosideriamo le figure 0 f() d coverge diverge a a coverge diverge. [/3] - ITIS V.Volterra Sa Doà di Piave

28 3.3 Serie a termii o egativi 5 y Nella figura il plurirettagolo iscritto ha area A i = a +a + +a = s a 0. a a a y Nella figura il plurirettagolo circoscritto ha area A c = a 0 + a + + a = s. a 0 a a Duque s a 0 0 f() d s Se + 0 f() d esiste fiito, allora + s a 0 esiste fiito; quidi + s esiste fiito e la serie coverge. Se + s esiste fiito, allora + f()d esiste fiito e l itegrale coverge. 0 Se + 0 f() d = + allora + s = + e la serie diverge. Se + s = + allora + f() d = + e l itegrale diverge. 0 Esempio = l Abbiamo + l d diverge. [/3] - ITIS V.Volterra Sa Doà di Piave

29 3.4 Serie a termii di sego altero 6 Ifatti quidi la serie diverge. [l l m + ]m = [l l m l l ] = + m + Esempio = + Calcoliamo + poichè e siccome + + d diverge, allora la serie data diverge. + d per + Esercizio 3.3. (Serie di Riema). La serie = p coverge p >. 3.4 Serie a termii di sego altero Defiizioe Sia + a ua serie a termii o egativi; si dice serie a sego altero la ( ) a Teorema 3.4. (Criterio di covergeza di Leibiz). Sia + a ua serie a termii o egativi, decresceti e co termie geerale ifiitesimo. Allora ( ) a coverge e ioltre R a + Dimostrazioe. Cosideriamo le somme: s k+ = s k a k+ +a k+ = s k (a k+ a k+ ) s k s k+ = s k +a k a k+ = s k +(a k a k+ ) s k La successioe delle ridotte di idice pari è decrescete metre quella di idice dispari è crescete. Ma essedo k, s k s k+ s, allora {s k } k N è iferiormete itata (oltre che decrescete). Aalogamete si ha: s k+ s k s 0, allora {s k+ } k N è superiormete itata (oltre che crescete). Risulta: quidi 0 = k + a k+ = e la serie data coverge. Risulta acora: (s k s k+ ) = k + s k k + s k = s k+ = s k + k + k + s k+ [/3] - ITIS V.Volterra Sa Doà di Piave

30 3.4 Serie a termii di sego altero 7 s k s s k e s k+ s s k, 0 s s k s k s k = a k ; 0 s k s s k s k+ = a k+. vale a dire R k+ = s s k a k R k = s k s a k+ cioè il resto risulta miore o uguale al primo termie trascurato. Esempio ( ) = armoica a segi alteri. + = Fermarsi al termie -esimo sigifica commettere u errore miore, i modulo, di è decrescete, co termie geerale ifiitesimo; e cosegue che la serie data coverge per il criterio di Leibiz. +. Esempio ( ) + ( + )! = se = 0 allora la serie coverge a 0. Se 0 allora cioè + ( + )! +3 ( + 3)! quado 0 ( + )( + 3) ( + )( + 3) cioè , = 5 ± = 5 ± Riassumedo: la successioe di termie geerale ( ) + (+)! per il criterio di Leibiz la serie data coverge ( + )! = 0 + ( ) + ( + )! = 3! + 5 5! = cioè è decrescete , ioltre il + ( ) + ( + )! + Fermarsi al termie -esimo sigifica commettere u errore miore, i modulo, di +3 (+3)!. Defiizioe La serie a coverge assolutamete se coverge la Teorema Ua serie assolutamete covergete è covergete 6 Dimostrazioe. R,k = a + + a a +k a + + a a +k = R,k < ɛ dove R,k è la ridotta k-esima del resto -esimo della serie dei moduli. Quidi, per il criterio di Cauchy, la serie data coverge. 6 Per distiguere si dirà covergeza semplice. a [/3] - ITIS V.Volterra Sa Doà di Piave

31 3.5 Proprietà e operazioi sulle serie umeriche 8 No vale il viceversa: ( ) coverge per il criterio di Leibiz ma + è divergete (serie = = armoica). Diciamo che la serie armoica a segi alteri coverge semplicemete ma o assolutamete. Esempio ( ) Applichiamo il criterio del rapporto alla serie dei moduli + ( ) + + ( ) = = + se < allora la serie coverge assolutamete ed essedo ua geometrica coverge verso ( ) =. Quidi, se < <, cioè 0 < <, cioè 0 < <, la serie coverge assolutamete. Se > allora la serie dei moduli diverge e questo o ci dice ulla sulla serie data; osservado però che ( + ) =, sicuramete la + serie o coverge. Se = si ha = 0 oppure = ; se = 0 allora ( ) che è idetermiata. Se = allora + che diverge positivamete. Esempio ( ) + + Applichiamo il criterio del rapporto alla serie dei moduli ( + ) + ( + 3) + = se < cioè < <, allora la serie coverge assolutamete. Se > cioè <, >, allora la serie dei moduli + diverge e questo o ci dice ulla sulla serie data; osservado però che ( ) =, sicuramete la serie o coverge. Se = allora ( ) + ( ) + che coverge per il criterio di Leibiz. Se = allora + + che coverge per il criterio di Leibiz. 3.5 Proprietà e operazioi sulle serie umeriche Valgoo le segueti proprietà e defiizioi:. a e ka (k R ) hao lo stesso carattere; se a = s allora ka = ks.. Vale per le serie covergeti e divergeti la proprietà associativa; o vale per le serie idetermiate. 3. No vale i geerale la proprietà commutativa che però vale per le serie assolutamete covergeti. 4. Date a e b, si defiiscoo: la serie somma: la serie prodotto secodo Cauchy o prodotto di covoluzioe: (a + b ); la serie differeza: p dove p = k=0 a k b k. (a b ); [/3] - ITIS V.Volterra Sa Doà di Piave

32 3.5 Proprietà e operazioi sulle serie umeriche 9 Se a = s a e b = s b allora la serie somma coverge verso (s a + s b ) e la serie differeza verso (s a s b ); se ua delle serie date diverge e l altra coverge, allora la serie somma e la serie differeza divergoo; se ambedue le serie date soo assolutamete covergeti allora la serie prodotto è assolutamete covergete e ha per somma (s a s b ); se almeo ua delle serie date è assolutamete covergete e l altra coverge semplicemete allora la serie prodotto coverge a (s a s b ); se le serie date covergoo ache solo semplicemete allora o si può affermare ulla sulla serie prodotto ma, se questa coverge, allora coverge verso (s a s b ). [/3] - ITIS V.Volterra Sa Doà di Piave

33 3.6 Esercizi riassutivi Esercizi riassutivi Esercizio Stabilire la covergeza, semplice o assoluta, delle segueti serie = = = = = ( ) l! si π 3 ( ) + ( ) + si + [coverge assolutamete] [coverge assolutamete] [diverge] [coverge semplicemete] [coverge assolutamete] 6. = ( k) k Z + [coverge k, diverge per k = ] 7. ( ) [coverge semplicemete] Esercizio Determiare per quali valori R coverge la serie: = ( ) [coverge assolutamete per < ; per = coverge semplicemete] [/3] - ITIS V.Volterra Sa Doà di Piave

34 Capitolo 4 Serie di fuzioi 4. Geeralità Defiizioe 4... Si dice serie di fuzioi ua serie i cui termii soo fuzioi (reali di variabile reale). Co le solite otazioi la serie si idica co: f 0 () + f () + + f () oppure f (). Defiizioe 4... Data la serie di fuzioi domiio di covergeza l isieme D = { 0 I f () ove le f () siao defiite i I R, si dice f ( 0 ) è ua serie umerica covergete}. Esempio Se = allora tutti i termii della serie soo ulli e quidi essa coverge a 0. Se allora la serie + coverge a = per < ; quidi D =], ]. I = R Esempio = e(arcta ) ( ) e (+)(arcta ) = + + e(arcta ) + + earcta arcta = e La serie coverge assolutamete se earcta < cioè se arcta < che è vera > 0; se < 0 allora la serie + ( ) o coverge perchè il termie geerale o è ifiitesimo. Se = 0 la serie diveta che coverge. Quidi = D = [0, + [. I = R [/3] - ITIS V.Volterra Sa Doà di Piave

35 4. Geeralità 3 ESERCIZI Esercizio 4... Studiare la segueti serie di fuzioi e idividuare il domiio di covergeza: = = = ( ) [ Coverge assolutamete i ], ] [ + ( ) + [Coverge assolutamete i ], [ ], + [] + ( ) [ Coverge i [, [, coverge assolutamete i ], ] [ ( ) cos [Coverge assolutamete i { R, kπ}] ( p + ) [Se p < coverge assolutamete; se p o coverge R]! [Coverge assolutamete i ] e, e[] [/3] - ITIS V.Volterra Sa Doà di Piave

36 4. Covergeza uiforme Covergeza uiforme Defiizioe 4... Data la serie di fuzioi ɛ > 0 N >, D = R () < ɛ. f (), si dice che coverge uiformemete i D se Esempio ( ) + = + Se = 0 o = la serie coverge a 0. + Se 0 e la serie diveta ( ) che coverge a ( ) D = [0, [. per < cioè 0 < <. Quidi + ( ) = [ + ( ) + ( ) + + ( ) + ] s 0 () = s () = [ + ( )] = [ ] s () = [ + ( ) + ( ) ] = [3 3 + ]. s () = [ + ( ) + ( ) + + ( ) ( )+ ] = = ( ) + ( ) y f() f(0) = Si vede dalla figura che, cosiderato u itoro di f(), qualuque sia [a, b] ]0, [, è sempre possibile trovare u idice N tale che da quall idice i poi, le somme parziali s () cadao etro questo itoro. Si dice che vi è covergeza uiforme i [a, b] co 0 < a < b <. Ifatti è : ɛ > 0 R () = f() s () = = [ ( ) + ] = = ( ) + c + < ɛ ove c = ma b, a e c < ; allora + > log c ɛ, per cui > log c ɛ. Ivece, preso [0, [ (isieme di covergeza putuale) o è possibile trovare u idice N tale che da quall idice i poi, le somme parziali cadao etro quell itoro: i prossimità di 0 e vi è u ramo della s() che se e esce. Ifatti abbiamo: ɛ > 0 R () = + se ]0, [; R () = 0 se = 0; sarà + < ɛ se + > log ɛ [ ] [ ] cioè se > log ɛ cioè > l ɛ ; si ha l l ɛ 0 + l l ɛ = + e ache l = + cioè o esiste N tale che >, [0, [ R () < ɛ. [/3] - ITIS V.Volterra Sa Doà di Piave

37 4.3 Covergeza totale Covergeza totale Defiizioe Data la serie c N e c è ua serie umerica reale covergete. f () si dice che coverge totalmete i D se D f () Teorema 4.3. (Criterio di Weierstrass). La covergeza totale implica la covergeza uiforme. Dimostrazioe. ɛ > 0, D si ha R () = f + () + f + () + f + () + f + () + c + + c + + = = R < ɛ è uiformemete cover- Osservazioe:l criterio di Weierstrass o è ivertibile. Ifatti gete i [0, ]: ( ) + ɛ > 0, N >, [0, ] R () < + + ɛ; basta che sia = [ ɛ ] + = ɛ + ma o è totalmete covergete: ( ) maggiorate che sia termii miori di quella data. e o è possibile trovare ua serie umerica ESERCIZI Esercizio = ( + )!3 [Coverge totalmete e quidi uiformemete i ], a] a R] Esercizio ( + ) [Coverge putualmete R; totalmete e quidi uiformemete i [a, b] co a < b < 0 oppure i [c, d] co 0 < c < d; suggerimeto: si disegio le somme parziali e la f()] Esercizio = [( ( )( ] 0 [Coverge putualmete i [0, ] a f() = 0; coverge totalmete e quidi uiformemete i [0, a] co a < ] [/3] - ITIS V.Volterra Sa Doà di Piave

38 Capitolo 5 Serie di poteze 5. Geeralità Defiizioe 5... Si dice serie di poteze di puto iiziale 0 la serie: Lemma 5... Data la serie umerica a ( 0 ) a R. a se a + a = p > allora la serie o coverge. + Dimostrazioe. Per ipotesi a (p ɛ) < a + < a (p + ɛ); posto p ɛ = h > si ha: a +k > a h k k N e quidi k + a +k 0. Teorema 5... La serie di poteze a ( 0 ) coverge assolutamete i ] 0 R, 0 + R[ dove R = a e o coverge i ], 0 R[ ] 0 + R, + [. + a + Dimostrazioe. Applichiamo alla serie dei moduli il criterio del rapporto: a a 0 = a + + a 0 ; se a + + a esiste, lo poiamo = R ; quidi il ite precedete è 0 R. Se 0 <, la serie R coverge assolutamete, quidi 0 < R, cioè ] 0 R, 0 + R[. Dal lemma precedete segue la secoda parte del teorema. Negli estremi si cotrollerà di volta i volta l evetuale covergeza. Esempio ( + 3) 0 = 3 a = = + = + R si dice raggio di covergeza [/3] - ITIS V.Volterra Sa Doà di Piave

39 5. Sviluppo i serie di poteze ( ) R =, la serie coverge assolutamete i ] 3, 3 + [=] 4, [; se = 4 allora la serie diveta = + coverge semplicemete; se = allora la serie diveta che diverge. = Esempio !( ) 0 = a =! =! + +! = + + = 0 R = 0; quado R = 0 si ha covergeza solo per = 0 ; el ostro caso solo per =. Esempio ( ) 0 = 0 a = = ( ) + + = ( + ) = + (+) + R = + ; quado R = + si ha covergeza assoluta su tutto l asse reale. che ESERCIZI Esercizio 5... Studiare la segueti serie di fuzioi e idividuare il domiio di covergeza: = = ( ) + 6! [Coverge assolutamete i ] 6 e, 6 + e[] [ Coverge i [, 3 [; assolutamete i ], 3 ] ( ) + a a R ( 5) l + ( ) ( + )! [ Coverge per = ] 5 [Coverge assolutamete R] 5. Sviluppo i serie di poteze. Data ua fuzioe y = f(), derivabile idefiitamete i I R, ci propoiamo di costruire il poliomio di grado che l approssima el migliore dei modi i u itoro di 0, vale a dire che differisca dalla f() per meo di u ifiitesimo per 0. Osserviamo che il poliomio di grado 0, cioè la fuzioe costate, che meglio approssima la f() i u itoro di 0 è: ifatti: p 0 () = f( 0 ) 0 f() = f( 0 ) cioè f() = f( 0 ) + σ( 0, 0 ) co 0 σ( 0, 0 ) = 0. [/3] - ITIS V.Volterra Sa Doà di Piave

40 5. Sviluppo i serie di poteze. 37 Ivece il poliomio di grado, cioè la fuzioe lieare, che meglio approssima la f() i u itoro di 0 è: p () = a 0 + a ( 0 ); impoiamo che il poliomio passi per ( 0, f( 0 )), cioè p ( 0 ) = f( 0 ) da cui a 0 = f( 0 ); impoiamo poi che il poliomio abbia, i 0, la stessa derivata di f() cioè p ( 0 ) = f ( 0 ) da cui a = f ( 0 ) e quidi fialmete: p () = f( 0 ) + f ( 0 )( 0 ); questo poliomio rispode alle richieste, ifatti: f() f( 0 ) = f ( 0 ) cioè f() f( 0) = f ( 0 ) + σ( 0, 0 ) co 0 σ( 0, 0 ) = 0; cioè f() = f( 0 ) + f ( 0 )( 0 ) + ( 0 )σ( 0, 0 ). Sarà duque ragioevole supporre che il poliomio di grado che meglio approssima la f() i u itoro di 0 sia: co p () = a 0 + a ( 0 ) + a ( 0 ) + + a ( 0 ) p ( 0 ) = f( 0 ) p ( 0 ) = f ( 0 ). p () ( 0 ) = f () ( 0 ) cioè a 0 = f( 0 ) a = f ( 0 ) a = f ( 0 ) 3a 3 = f ( 0 ).!a = f () ( 0 ) da cui, i geerale a = f () ( 0 ). Abbiamo perciò la formula:! ossia p () = f( 0 ) + f ( 0 )( 0 ) + f ( 0 )! p () = k=0 ( 0 ) + + f () ( 0 ) ( 0 )! f (k) ( 0 ) ( 0 ) k k! [/3] - ITIS V.Volterra Sa Doà di Piave

41 5. Sviluppo i serie di poteze. 38 Esempio 5... f() = e 0 = 0 = 0 p 0 () = = p () = + =. = p () = + +. p () = ! = k=0 k k! y 3 p () = + + p () = + p 0 () = y = e 0 Le codizioi di esisteza della costruzioe appea vista soo defiite el seguete: Teorema 5.. (Formula di Taylor co resto di Lagrage). Sia f() ua fuzioe defiita i u itoro aperto I di 0 e ivi derivabile almeo + volte; allora esiste ξ I tale che f (k) ( 0 ) f() = ( 0 ) k + f (+) (ξ) k! ( + )! ( 0) + k=0 Dimostrazioe. Applichiamo il teorema di Cauchy alle fuzioi f() p () e ( 0 ) dove f (k) ( 0 ) p () = ( 0 ) k ei puti e 0, co I k! k=0 Sia, per esempio, > 0, poiamo I =] 0, [, allora [f() p ()] [f( 0 ) p ( 0 )] f() p() ( 0 ) + ( 0 0 ) + = ( 0 ) + = f (ξ ) p (ξ ) ( + )(ξ 0 ) ξ I Teorema (di Cauchy). Date due fuzioi reali di variabile reale f() e g(), cotiue i [a, b], derivabili i ]a, b[ co g () 0 allora esiste almeo u puto c ]a, b[ tale che f (c) f(b) f(a) g = (c) g(b) g(a). [/3] - ITIS V.Volterra Sa Doà di Piave

42 5. Sviluppo i serie di poteze. 39 Riapplicado il teorema di Cauchy ell itervallo I all espressioe così otteuta e così via per + volte: e quidi da cui la coclusioe poedo ξ = ξ. f() p () ( 0 ) + = f (+) (ξ ) ( + )! f() = p () + f (+) (ξ ) ( 0 ) + ( + )! Il termie f (+) (ξ) ( + )! ( 0) + è detto resto -esimo ella forma di Lagrage. Cosideriamo ora la + serie 3 f () ( 0 ) ( 0 ) ; si tratta di ua serie di poteze che, per come è stata costruita, approssima! la fuzioe f(). Sorgoo immediatamete due problemi:. la serie coverge per = 0?. se coverge, coverge alla f()? Teorema 5... Codizioe ecessaria e sufficiete affichè la serie di Taylor coverga alla fuzioe f() è che Dimostrazioe. f() = k=0 La serie di Taylor coverge alla f() se e solo se solo se f (+) (c) + ( + )! ( 0) + = 0 R () = 0 dove R () = f (+) (c) + ( + )! ( 0) + f (k) ( 0 ) ( 0 ) k + f (+) (c) k! ( + )! ( 0) + c I. f () ( 0 ) ( 0 )! p() = f() ( p() è la usuale ridotta -esima s()) cioè se e + Teorema 5..3 (Criterio di covergeza). Se M > 0 tale che f () () M I allora la serie di Taylor coverge alla f() i I. I questo caso si dice che le derivate soo equiitate. Dimostrazioe. f (+) (ξ) R () = ( 0 ) + ( + )! M ( + )! 0 + : Cosideriamo e applichiamo ad essa il criterio del rapporto: ( + )! 0 + ( + )! 0 = + ( + )! = 0 < quidi la serie data coverge e pertato il suo termie geerale è ifiitesimo: R () M ( + )! 0 + < ɛ. 3 Di Taylor. [/3] - ITIS V.Volterra Sa Doà di Piave

43 5.3 Sviluppi otevoli i serie di Taylor Sviluppi otevoli i serie di Taylor Spesso si usa come puto iiziale 0 = 0; i tal caso si parla di serie di Mac Lauri. Esempio e = Le derivate soo del tipo f () () = e e risulta [ k, k] che e e k = M; data l arbitrarietà di k, vi è covergeza su tutto l asse reale. Esempio si =! + ( ) ( + )! Tutte le derivate soo maggiorate i modulo da, quidi equiitate R. Esempio Come sopra. Esempio Ifatti cos = l( + ) = ( ) = ( ) ()!! f() = l( + ) f(0) = 0 f () = + f (0) = f () = ( + ) f (0) =. f () ( )! () = ( ) ( + ) f () (0) = ( ) ( )! quidi l( + ) = ( ) 3 + Applicado uo dei criteri oti si ottiee come domiio di covergeza D =], ]; la covergeza è totale i [a, b] co < a < b < : c dove c = ma( a, b ) 0 < c < = c coverge se 0 < c < [/3] - ITIS V.Volterra Sa Doà di Piave

44 5.3 Sviluppi otevoli i serie di Taylor 4 La covergeza della ostra serie è addirittura uiforme i [0, ] poichè Allora la serie = ( ) i [0, ], l uguagliaza l( + ) = R () < ɛ rappreseta ua fuzioe cotiua i [0, ]. Poichè ache l(+) è cotiua = ( ) vale ache per =. y l() 0 p () = Come applicazioe possiamo otteere lo sviluppo i serie di l = l( + ) = l errore commesso fermadosi al termie -esimo è miore di. Esempio ( + m) m = + ( ) m + ( ) m + = ( ) m m R se m = allora ( + ) = + = e si ha la serie geometrica di ragioe che coverge per <. se m = allora ( + ) = = se m = allora ( + ) = + = [/3] - ITIS V.Volterra Sa Doà di Piave

45 5.3 Sviluppi otevoli i serie di Taylor 4 ESERCIZI Esercizio Sviluppare i serie di Mac Lauri le fuzioi:. e si. e 3. si 4. l( + + ) Esercizio Calcolare:. 0 si si. 0 l( + + ) + l( ) (e ) [ ] 6 [] [/3] - ITIS V.Volterra Sa Doà di Piave

46 5.4 Teoremi di cotiuità, derivazioe e itegrazioe per serie Teoremi di cotiuità, derivazioe e itegrazioe per serie Teorema Se la serie f () coverge uiformemete a f() i D e 0 è u puto di accumulazioe per D e se ioltre 0 f () R, N allora cioè f() = f (); f () = f (). 0 Osserviamo che, i geerale, se la covergeza o è uiforme il teorema o vale. Ifatti cosideriamo la serie geometrica che sappiamo covergere a per < ; = ++ + passado al ite per si ha = e ( ) = ( + ) i questo caso, o essedoci covergeza uiforme i, o sussiste l uguagliaza euciata el teorema. Teorema Se la serie f () coverge uiformemete a f() i D e 0 è u puto di accumulazioe per D e le f () soo cotiue i 0 N, allora f() è cotiua i 0. Teorema Se la serie la serie f () coverge a f() i D e le f () soo derivabili i D N, e f () coverge uiformemete a g() allora f() è derivabile i D e f () = g(); cioè [ + ] D f () = [Df ()]. Osserviamo che, i geerale, se la covergeza della serie delle derivate o è uiforme, o è detto che valga il teorema. Teorema Se la serie f () coverge uiformemete a f() i D = [a, b] e le f () soo ( b ) b cotiue i D N, allora f() è itegrabile i D e f() d = f () d ; cioè b a ( + ) f () d = a ( ) b f () d. a a Esempio l( + ) = 0 per t < = 0 + t dt = 0 + t dt ( t + t ) dt = [/3] - ITIS V.Volterra Sa Doà di Piave

47 5.4 Teoremi di cotiuità, derivazioe e itegrazioe per serie 44 per = = + = ( ) coverge per il criterio di Leibiz per = = + ( ) = che diverge a. Allora: + l( + ) = ( ) <. = Esempio arcta = 0 + t dt per t < = 0 + t dt = ( t + t 4 ) dt = per = = + = ( ) coverge per il criterio di Leibiz per = = + = ( ) coverge per il criterio di Leibiz. Allora: + arcta = ( ). = Se = π + 4 = ( ) = cioè + π = 4 ( ) = 4( ) = [/3] - ITIS V.Volterra Sa Doà di Piave

48 Capitolo 6 Serie di Fourier 6. Geeralità Defiizioe 6... Si dice serie trigoometrica o di Fourier la serie a (a cos + b si ) = Suppoiamo che la fuzioe y = f(), periodica di periodo T = π sia la somma di ua serie trigoometrica e che la covergeza sia uiforme. Vogliamo, i queste ipotesi, ricavare i coefficieti a e b. f() = a (a cos + b si ) (6.) Itegriamo ambo i membri su [ π, π] utilizzado il teorema di itegrazioe per serie: Ifatti Quidi π π π f() d = π π π a 0 d + + [ si cos d = = ] π π = [a π = 0 e a 0 = π Moltiplichiamo ambo i membri della 6. per cos m π π f() cos m d = Ifatti se m π π si cos m d = π π π π a 0 cos m d + + = π ] cos d + b si d π π π π [a π π π si d = f() d cos cos m d + π = πa 0 [ cos ] π = 0 π π π ] si cos m d = πa m [si( + m) + si( m)] d = [ cos( + m) + m cos( m) ] π = 0 m π [/3] - ITIS V.Volterra Sa Doà di Piave

49 6. Sviluppabilità i serie di Fourier 46 se = m Quidi Acora: se m π π si cos d = π π π π si d = [ ] π cos = 0 π si cos m d = 0, m N π π cos cos m d = se = m π π π π [cos( + m) + cos( m)] d = [ si( + m) + m + si( m) ] π = 0 m π cos d = π π ( ) + cos d = [ + ] π si = π π Quidi e aalogamete a m = π b m = π π π π π f() cos m d f() si m d 6. Sviluppabilità i serie di Fourier Ci chiediamo quali siao le codizioi per la sviluppabilità di ua fuzioe periodica di periodo T = π i serie di Fourier: Teorema 6.. (Di Dirichlet). Sia f() ua fuzioe periodica di periodo π mootoa e cotiua a tratti i [ π, π] e ivi itata; allora si può scrivere la serie di Fourier relativa alla f() e tale serie coverge alla f() ove questa è cotiua. Coverge verso [ ] f() + f() c c + i ogi puto c di discotiuità itero all itervallo. Coverge verso [ ] f() + f() π π + i ciascuo degli estremi. Dove la f() è cotiua, la covergeza è uiforme. Esempio 6... Si cosideri l oda quadra f() = { se kπ < π + kπ se π + kπ < π + kπ [/3] - ITIS V.Volterra Sa Doà di Piave

50 6. Sviluppabilità i serie di Fourier 47 y 0 π π Soo baalmete verificate le ipotesi del teorema di Dirichlet. a 0 = π f() d = [ 0 π ] d + d = 0 π π π π 0 0 π si può osservare che la fuzioe è dispari e quidi f() d = f() d π 0 a = π f() cos d = [ 0 π ] cos d + cos d = [ ] si 0 [ ] si π + = 0 π π π π 0 π π 0 Lo stesso risultato si può otteere osservado che, poichè f() è dispari e cos è pari, il loro prodotto è dispari. b = π f() si d = [ 0 π π π = [ cos ] 0 [ cos ] π + = π π 0 π si d + π π ] si d = 0 [ + ( )+ + ( )+ + { = π [ + 0 se = k k N ( )+ ] = 4 se = k + k N π Si può osservare che, essedo f() e si etrambe dispari, il prodotto è pari e quidi: π π f() si d = f() si d. π 0 La serie di Fourier relativa all oda quadra è: + 4 (k + )π si(k + ) = 4 + si(k + ) π (k + ) k=0 k=0 e coverge uiformemete alla f() per kπ; coverge a 0 per = kπ. y ] = [/3] - ITIS V.Volterra Sa Doà di Piave

51 6.3 Serie trigoometriche otevoli 48 s 0 () = 4 π si s () = 4 π s () = 4 π. s () = 4 π [ si + ] si 3 3 [ si 3 si ] si 5 5 [ si 3 si ] si = k + y 6.3 Serie trigoometriche otevoli Se f() è dispari, la sua serie trigoometrica è: = b si Se f() è pari, la sua serie trigoometrica è: a 0 Osserviamo ache che di periodo π. + + a cos = π f() d = ove a 0 = π π+h π π+h ove b = π π 0 π 0 f() d f() si d. e a = π π 0 f() cos d. f() d, qualuque sia h R, se la fuzioe f() è periodica Esempio f() = i [0, π[ periodica di periodo π. [/3] - ITIS V.Volterra Sa Doà di Piave

52 6.3 Serie trigoometriche otevoli 49 y 0 π La serie diveta: a 0 = π f() d = [ ] π = π π 0 π 0 a = π cos d = [ si + π 0 π b = π si d = [ cos + π 0 π + ( ) si π + = e coverge alla f() per kπ; coverge a π per = kπ. ] cos π 0 si + = π = = π ] π = 0 si [ ] = 0 y π 0 π π s 0 () = π s () = π si s () = π. s () = π [ si + ] si [ si si ] si Se = π 4 Se = π si ha: si ha: π + 4 = π si π 4 = π = 8 3 k=0 + [ = π [ ] ( + 8k k 5 + 8k ) k + 8k 6 + 8k π + = π si π = = π [ ] + + π = 4 ( ) k k + k=0 ] Osserviamo che se f() è periodica di periodo T = L, la serie trigoometrica relativa è: a = [ a cos π L + b si π ] L [/3] - ITIS V.Volterra Sa Doà di Piave

53 6.3 Serie trigoometriche otevoli 50 ove a = L b = L a 0 = L L L L L L L f() cos π L f() si π L f() d d d Esempio f() = cos i 0 < π ( T = π ) y la serie diveta: b = π 0 = 4 π 0 = π = π π π cos si π π d = 4 π 0 π [ si ( + ) + si ( ) [ cos ( + ) ( + ) + cos ( ) ( ) [ + ] = 8 π 4 ] π 0 cos si d = ] d = = 8 + π 4 = si e coverge alla f() per kπ ; coverge a 0 per = kπ. Osservazioe Data ua fuzioe f() defiita i [0, L], è possibile prolugarla i ifiiti modi i [ L, 0]; soo otevoli i casi: prolugameto i modo pari e prolugameto i modo dispari. Nel primo caso lo sviluppo i serie di Fourier sarà del tipo: el secodo caso sarà del tipo: a = a cos π L = b si π L [/3] - ITIS V.Volterra Sa Doà di Piave

54 6.4 Esercizi riassutivi Esercizi riassutivi Esercizio Sviluppare i serie di Fourier f() = co periodica co T = ; calcolare quidi = ( ). [ ] = π ( ) + cos π; per = 0 ( ) = π = Esercizio Sviluppare i serie di soli sei la fuzioe f() = cos i [0, π]. [ { 4 + ] (+) si(+) π 4 (+) se kπ cos = 0 se = kπ Esercizio Sviluppare i serie di soli cosei f() = si i [o, π] [ [ ]] si = 4 cos π () = = Esercizio Sviluppare i serie di Fourier la fuzioe: { se π < 0 f() = 0 se 0 < π [ { 4 π f() = + cos(k+) π (k+) + si ( ) π Esercizio Sviluppare i serie di soli sei la fuzioe: { se 0 < f() = se < [ f() = 8 + π ( ) k si(k + ) π ] (k + ) Esercizio Sviluppare i serie di soli cosei la fuzioe: { se 0 < f() = se < [ ] f() = 4 + cos(k + )π π (k + ) k=0 k=0 ] se π + kπ se = π + kπ [/3] - ITIS V.Volterra Sa Doà di Piave

55 Parte III Equazioi differeziali [/3] - ITIS V.Volterra Sa Doà di Piave

56 Capitolo 7 Fuzioi di due variabili 7. Geeralità Defiizioe 7... Si dice fuzioe reale di variabili reali idipedeti e y e si scrive z = f(, y) ogi relazioe defiita su R R R tale che: (, y) R R midz R z = f(, y). Si scrive ache: f : R R R (, y) f(, y) = z Esempio 7... Determiare il campo di esisteza della fuzioe z = y. y Ovviamete dovrà essere: y 0 cioè + y ; il C.E. è costituito dai puti del cerchio di figura. Esempio 7... Determiare il campo di esisteza della fuzioe z = l( + y). y 0 Il C.E. sarà +y > 0, cioè y > ; geometricamete esso costituisce il semipiao tratteggiato i figura, retta origie esclusa. [/3] - ITIS V.Volterra Sa Doà di Piave

57 7. Geeralità 54 Esempio Determiare il campo di esisteza della fuzioe z = y y. y Il C.E. sarà y 0; geometricamete esso y è composto dalle aree tratteggiate i figura. Defiizioe 7... Si dice grafico della fuzioe z = f(, y) defiita i u domiio D R R il luogo geometrico dei puti P (, y, f(, y)). Il grafico di ua fuzioe di variabili è duque, geeralmete, ua superficie ello spazio la cui proiezioe sul piao y è D. Esempio z = + y. z y P (,, ) C.E.: (D) R R. Esempio z = y. C.E.: (D) + y. Defiizioe Siao P (, y ) e P (, y ) puti di R ; si dice distaza di P da P e si scrive P P o d(p, P ) l espressioe ( ) + (y y ). Defiizioe Si dice sfera aperta di cetro P 0 ( 0, y 0 ) e raggio r l isieme B(P 0, r) = {P (, y) R d(p, P 0 ) < r}. Defiizioe Si dice itoro di P 0 ( 0, y 0 ) u qualuque sottoisieme di R coteete ua sfera aperta di cetro P 0. Si dice itoro di ifiito P, il complemetare di u itoro di P 0. [/3] - ITIS V.Volterra Sa Doà di Piave

58 7. Geeralità 55 Defiizioe Si dice che il ite per P che tede a P 0 di f(,y) vale k e si scrive f(, y) = f(, y) = k P P 0 (,y) ( 0,y 0) se ɛ > 0 u itoro V di P 0 tale che (, y) V \ P 0 f(, y) k < ɛ. Defiizioe Si dice che il ite per P che tede a P 0 di f(,y) vale e si scrive f(, y) = f(, y) = P P 0 (,y) ( 0,y 0) se M > 0 u itoro V di P 0 tale che (, y) V \ P 0 f(, y) > M. Se f(, y) > M il ite è +, se f(, y) < M il ite è. Defiizioe Si dice che il ite per P che tede a di f(,y) vale k e si scrive f(, y) = f(, y) = k P (,y) se ɛ > 0 u itoro V di tale che (, y) V f(, y) k < ɛ. Defiizioe Si dice che il ite per P che tede a di f(,y) vale e si scrive f(, y) = f(, y) = P (,y) se M > 0 u itoro V di tale che (, y) V f(, y) > M. Esempio Verificare che (,y) (0,0) + y = + y Ifatti se M > 0 allora + y > M cioè + y < che è la parte itera della circofereza M di cetro l origie e raggio r = M. Esempio Verificare che (,y) + + y = 0 y Ifatti se ɛ > 0 allora + y < ɛ cioè 0 + y > che è la parte estera della ɛ circofereza di cetro l origie e raggio r = ɛ. [/3] - ITIS V.Volterra Sa Doà di Piave

59 7. Derivate parziali 56 Esempio Calcolare il lugo le rette y = 0, y =, y =. arcsi y (,y) (0,0) y y Iazitutto il C.E.: { y y > 0 0 { y y < arcsi 0 = 0, (,0) (0,0) 0 arcsi = π (,) (0,) i coclusioe o esiste il ite per (, y) (0, 0) della fuzioe i quato due iti calcolati lugo due direzioi diverse soo diversi. L ultimo ite o è calcolabile perchè la retta è esclusa dal C.E. Defiizioe Si dice che z = f(, y) è cotiua i P 0 ( 0, y 0 ) (di accumulazioe per D) se f(, y) = f( 0, y 0 ) (,y) ( 0,y 0) Esempio Sia z = { y +y se (, y) (0, 0) 0 se (, y) = (0, 0) Studiamoe la cotiuità i (0, 0) valutadoe il ite lugo le rette y = m: m (y = m) 0 + m = m 0 + m = m + m quidi il ite o esiste perchè dipede da m. Osserviamo che f(0, 0) = 0, perciò z = f(, y) è discotiua ell origie. 7. Derivate parziali Per estedere il calcolo differeziale alle fuzioi di due variabili, viee spotaeo ridursi al caso di ua sola variabile idipedete dado valore costate all altra. Defiizioe 7... Sia z = f(, y) ua fuzioe defiita i D R e sia P 0 ( 0, y 0 ) di accumulazioe per D; diremo derivata parziale rispetto a della fuzioe z = f(, y) el puto P 0 ( 0, y 0 ) il f(, y 0 ) f( 0, y 0 ) 0 (y=y 0) 0 = h 0 (y=y 0) f( 0 + h, y 0 ) f( 0, y 0 ) h (h = 0 ) se esiste fiito. Scriveremo ache D f(, y) =0,y=y = f 0 ( f(, y 0 ) f( 0, y 0 ) 0, y 0 ) = 0 0 (y=y 0) [/3] - ITIS V.Volterra Sa Doà di Piave

60 7. Derivate parziali 57 Esempio 7... Sia z = y C.E. + y Calcoliamo le derivate parziali i P (0, 0): [ ] f (0, 0) = (0, 0) = 0 y [ ] f y (0, 0) = (0, 0) = 0 y y Diamo l iterpretazioe geometrica delle derivate parziali: quado deriviamo rispetto a, pesado y costate, ci poiamo i u piao dello spazio parallelo al piao z; la superficie z = f(, y) itersecata co tale piao ha come sezioe la curva z = f(, y 0 ) = z() della quale abbiamo calcolato la derivata el puto 0. Tale derivata è il coefficiete agolare della tagete alla z = z() el puto ( 0, z( 0 )) (stiamo lavorado sul piao y = y 0 ) cioè la tagete trigoometrica dell agolo formato co la retta itersezioe del piao y = y 0 co il piao y. Aalogamete per la derivata rispetto ad y; ci chiediamo, però, sotto quali ipotesi sia possibile determiare il piao tagete alla superficie z = f(, y) el puto ( 0, y 0, z 0 ). z = z(y) z y α Osservado che le derivate parziali soo fuzioi di e y è possibile derivarle ulteriormete otteedo così: f ( f 0, y 0 ) che si legge derivata secoda di f rispetto a due volte; y ( 0, y 0 ) e f y ( 0, y 0 ) che si legge derivata secoda mista; f y ( 0, y 0 ) che si legge derivata secoda di f rispetto a y due volte. U teorema (di Schwarz) ci garatisce che le derivate miste, se cotiue, soo uguali. [/3] - ITIS V.Volterra Sa Doà di Piave