Cenno alle serie di Fourier

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1 Luciao Battaia 7 settembre 00 Idice Queste pagie cotegoo solo u itroduzioe iformale e seza alcua pretesa di completezza e sistematicità alle serie di Fourier. I particolare o soo proposte dimostrazioi dei teoremi euciati. Alcui richiami di Algebra lieare Relazioi di ortogoalità e base i R ],π] 3 Sviluppo di Fourier 5 Periodo arbitrario 5 Forma complessa 7 Qualche esercizio Alcui richiami di Algebra lieare Se ello spazio V dei vettori geometrici itroduciamo ua base ortoormale qualuque e, e, e 3, si può stabilire ua corrispodeza biuivoca tra l isieme dei vettori e l isieme delle tere di umeri reali, R 3 : se () u = u e + u e + u 3 e 3, si può idetificare u co (u, u, u 3 ) : () u = (u, u, u 3 ). I questo modo le operazioi lieari sui vettori si traducoo i operazioi sulle tere: alla somma di due vettori corrispode la somma termie a termie delle tere corrispodeti, ecc. Qui ci iteressa il fatto che ache il prodotto scalare tra vettori può essere eseguito usado le tere rappresetative: se u = (u, u, u 3 ) e v = (v, v, v 3 ), si ha (3) u v = u v cos uc v = u v + u v + u 3 v 3 = 3 u i v i, i=

2 e () u = u u = u + u + u 3. Le compoeti di u vettore u rispetto alla tera ortoormale e, e, e 3 si possoo trovare co il prodotto scalare (5) u = u e, u = u e, u 3 = u e 3. Se la tera fosse solo ortogoale, a, a, a 3, si potrebbe passare a ua tera ortoormale dividedo ciascuo dei suoi elemeti per la lughezza, e si avrebbe a () u = u a = a u a, a u = u a = a u a, a 3 u 3 = u a 3 = a 3 u a 3. Dalle () e () si deduce che il vettore u si può scrivere rispetto alla tera ortogoale come segue: (7) u = u a a a a + u a a a a + u a 3 a 3 a 3 a 3 = u a a a + u a a a + u a 3 a 3 a 3 Ricordiamo ifie che due vettori o ulli soo ortogoali se e solo il loro prodotto scalare è ullo. Relazioi di ortogoalità e base i R ],π] Cosideriamo l isieme, B, delle fuzioi () x cos x x si x, = 0,,..., Osserviamo esplicitamete che per = 0 si ha cos x e si x 0. Ua qualuque combiazioe lieare di fuzioi di B produce ua fuzioe periodica di periodo π. La teoria delle serie di Fourier si occupa sostazialmete del problema iverso: data ua fuzioe periodica di periodo π, ci si chiede se essa può essere espressa come combiazioe lieare di fuzioi di B. La risposta, come vedremo, è sostazialmete affermativa per ua vasta classe di fuzioi, pur di sostituire le combiazioi lieari ordiarie, cioè costituite da u umero fiito di addedi, co combiazioi lieari ifiite, cioè costituite da serie di fuzioi. Per arrivare a questo risultato servoo alcue defiizioi e osservazioi prelimiari. Lemma (Relazioi di ortogoalità). Se m ed soo due aturali qualuque, si ha π, se m = = 0 (9) cos mx cos x dx = π, se m = 0, 0, se m (0) 0, se m = = 0 si mx si x dx = π, se m = 0 0, se m, () cos mx si x dx = 0. Luciao Battaia

3 Dimostrazioe. La dimostrazioe è u semplice (ma utile!) esercizio sugli itegrali. Facciamo esplicitamete tutti i calcoli per la terza delle (9). Si ha cos mx cos x dx = = = = ( cos(mx x) + cos(mx + x) ) dx = ( cos(m )x + cos(m + )x ) dx = (m ) ( cos(m )x dx+ (m ) π + (m + ) ( cos(m + )x dx = (m + ) ] π [ si(m )x (m ) + [ ] π si(m + )x = 0 (m + ) Queste relazioi si chiamao relazioi di ortogoalità perché, i aalogia co la formula (), possiamo pesare a ua fuzioe u: ] π, π] R come a u vettore ifiito-dimesioale, le cui compoeti soo i valori di u(x) al variare di x i ] π, π]: () u R ],π], u = ( u(x) ) x [0,π], dove abbiamo idicato co R ]π,π] l isieme delle fuzioi da ] π, π] i R. I aalogia alla formula (3), se le fuzioi soo opportuamete regolari, potremo pesare alle formule (9), (0) e () come a prodotti scalari () tra queste fuzioi, e leggere le formule stesse dicedo che cos 0x = ha orma π; cos mx e si mx hao orma π se m > 0; cos mx e cos x, oppure si mx e si x, soo ortogoali tra di loro se m ; cos mx e si x so ortogoali tra di loro. Sempre i aalogia co quato succede egli spazi vettoriali, possiamo chiederci se le fuzioi di B costituiscoo ua base per lo spazio R ],π], o magari per u suo sottospazio opportuo, cioè se è possibile scrivere ua geerica fuzioe f di R ],π] come combiazioe lieare, magari ifiita (serie) di fuzioi apparteeti a B: (3) f(x) = a 0 N + ( a cos x + b si x ), = dove, secodo tradizioe, abbiamo idicato co a0 / aziché co a 0 il coefficiete di cos 0x (il coefficiete di si 0x o ha iteresse perché si 0x = 0), e dove il valore di N potrà Ciò sigifica che il prodotto scalare di due fuzioi f, g è defiito da f(x)g(x) dx. Luciao Battaia 3

4 ache estedersi fio all ifiito (aturalmete dopo aver precisato che tipo di covergeza richiediamo per la serie). Se l aalogia fuzioa, sarebbe piacevole che i coefficieti a e b che compaioo ella formula (3) fossero dedotti i modo aalogo a quato succede co gli spazi vettoriali ordiari, cioè co formule simili alle (7), ovvero () (5) () a 0 = π a = π b = π f(x) dx, f(x) cos x dx, f(x) si x dx ove, aturalmete, occorrerà che gli itegrali esistao. Osservazioe. Poiché le fuzioi di B soo periodiche di periodo π, è chiaro che, aziché cosiderare l itervallo ] π, π], avremmo potuto cosiderare u qualuque itervallo di ampiezza π. Ed è ache chiaro che ulla cambierebbe ei valori degli itegrali che compaioo elle formule (), (5), (). È poi evidete che se l uguagliaza espressa dalla formula (3) vale ell itervallo ] π, π], la fuzioe f potrà essere pesata defiita su tutto R, estededola per periodicità. Esempio. Prima acora di etrare ei dettagli, propoiamo u esempio grafico. Data la fuzioe f(x) = x, ristretta all itervallo ] π, π[ e poi prolugata a tutto R per periodicità e defiiedola i maiera arbitraria sui puti rimaeti (), cofrotiamoe il grafico co quello otteuto mediate ua combiazioe lieare del tipo (3), co coefficieti dati dalle formule (), (5) e (), prededo diversi valori di N. Grafico di f(x) = x, i ] π, π[ Combiazioe lieare co N =. I base al teorema di covergeza putuale, comuque la defiiamo sui puti del tipo π + kπ, i quei puti lo sviluppo covergerà a zero, come si può be vedere dai grafici che seguoo. Luciao Battaia

5 3 3 Combiazioe lieare co N = 0. Combiazioe lieare co N = 00. Come si costata immediatamete, all aumetare di N, la combiazioe lieare si avvicia sempre di più al grafico della fuzioe f, e si tega presete che l esempio proposto è abbastaza complesso, i quato il grafico di f, el tratto cosiderato, è u segmeto, e o è assolutamete prevedibile che esso possa essere otteuto come combiazioe lieare di fuzioi seo e coseo. 3 Sviluppo di Fourier Defiizioe 3. Siao dati u itervallo chiuso I (limitato o illimitato) e ua fuzioe f : I R. Si dirà che la fuzioe f è assolutamete itegrabile su I se f(x) dx < + ; I geeralmete cotiua su I se quado I è limitato, è cotiua i I trae che su u umero fiito di puti, e i ciascuo di questi puti ha sia il limite siistro che quello destro e questi soo fiiti, quado I è illimitato, vale la proprietà precedete su ogi sottoitervallo limitato di I; regolare a tratti su I se sia f che la sua derivata prima soo geeralmete cotiue su I. Si oti che ua fuzioe regolare a tratti, ei puti dove evetualmete o è derivabile può avere solo puti agolosi e o cuspidi. Notiamo ache che ua fuzioe geeralmete cotiua i u itervallo limitato è sempre assolutamete itegrabile. Defiizioe. I coefficieti itrodotti elle formule (), (5) e (), per le fuzioi f assolutamete itegrabili i ] π, π[, si chiamao coefficieti di Fourier della fuzioe f. Luciao Battaia 5

6 Defiizioe 5. Se f è ua fuzioe geeralmete cotiua i I, si chiama fuzioe ormalizzata la fuzioe (7) f (x) = [ f(x ) + f(x + ) ], dove () f(x ) = lim t x f(t), e f(x+ ) = lim t x + f(t). È chiaro che, ei puti ove f è cotiua, f (x) = f(x). Siamo ora proti a euciare il teorema fodametale sulle serie di Fourier. Teorema (Covergeza putuale della serie di Fourier). Sia f : R R ua fuzioe periodica di periodo π e regolare a tratti. Allora la serie (9) a ( a cos x + b si x ), = dove i coefficieti a e b soo i coefficieti di Fourier della fuzioe f, coverge putualmete alla fuzioe ormalizzata f per ogi x. Lo sviluppo (9) si chiama sviluppo di Fourier della fuzioe f Si oti come le codizioi per la sviluppabilità i serie di Fourier di ua fuzioe f siao molto meo restrittive che o quelle richieste per lo sviluppo i serie di Taylor. Segaliamo che l euciato che abbiamo qui proposto è ua forma semplificata, comuque sufficiete per questa sommaria e brevissima itroduzioe. I realtà le cose vao acora meglio di quato previsto dal teorema di covergeza putuale, el seso che la serie è addirittura uiformemete covergete sugli itervalli ove f è cotiua e questo apre la strada ai problemi della derivazioe e itegrazioe termie a termie, problemi di cui comuque qui o ci vogliamo occupare. Periodo arbitrario Tutta la teoria esposta si matiee valida ache per fuzioi periodiche di periodo τ arbitrario, purché sempre regolari a tratti. Basterà, per questo, solo sostituire le fuzioi della base B co le (0) cos πx τ Lo sviluppo si scriverà:, e si πx τ. () a ( a cos πx τ = + b si πx ), τ I coefficieti di Fourier si modificherao come segue. () a 0 = τ τ τ f(x) dx, Luciao Battaia

7 (3) () a = τ b = τ τ τ τ τ f(x) cos πx τ dx, f(x) si πx τ dx 5 Forma complessa Come utile esercizio di applicazioe delle formule di Eulero, ricaviamo la forma complessa dello sviluppo di Fourier di ua fuzioe, ache i cosiderazioe del fatto che i molti software di calcolo simbolico la formula è proprio proposta i questa forma. Ricordado le formule di Eulero e iz = cos z + i si z, e iz = cos z i si z, cos z = eiz + e iz, si z = eiz e iz, i la formula (9) può essere riscritta come segue. a ( a cos x + b si x ) = = = a e (a ix + e ix = (a e ix + e ix = a = = a ( a ib = = a = = a = a ib a ib e ix e ix ) + b = i ) ib e ix e ix e ix + a + ib e ix + e ix + + = = a + ib e ix ) = a + ib e ix = e ix. Si ha poi, sempre utilizzado le formule di Eulero e le proprietà di simmetria delle fuzioi seo e coseo, a ib = f(x)(cos x i si x) dx = f(x)e ix dx ; π π = a + ib = f(x) ( cos( x) + i si( x) ) dx = π = f(x) ( cos(x) i si(x) ) dx = π = f(x)e ix dx = a ib ; π Luciao Battaia 7

8 a 0 = f(x) dx = f(x)e i0x dx. π π Se e deduce che lo sviluppo di Fourier può essere scritto ella forma compatta (5) + = c e ix, co i coefficieti dati dalle formule () c = π f(x)e ix dx. Ache el caso di periodo τ qualuque si ottiee, i modo perfettamete aalogo, (7) + = πx i c e τ, co i coefficieti dati dalle formule () c = τ Qualche esercizio τ τ πx i f(x)e τ dx. Esercizio. Sviluppare i serie di Fourier la fuzioe defiita su ] π, π[ da f : ] π, π[ R, f(x) = x + x, e poi prolugata per periodicità el modo già visto. Calcolare esplicitamete lo sviluppo e la sua somma per x = ±π. Risoluzioe. Calcoliamo i coefficieti dello sviluppo. [ x f(x) dx = (x 3 + x) dx = 3 + x ] π = = π3 3, da cui Si ha poi (x + x) cos(x) dx = a 0 = f(x) dx = π π 3. cos(x)(x + x) dx = cos(x) x dx + cos(x) x dx = = si(x) = si(x) si(x) x x ( cos(x) x dx + si(x) si(x) x cos(x) x dx ) dx = + si(x) ( ) cos(x) x = Luciao Battaia

9 = si(x) Ne segue x + cos(x) a = π x si(x) 3 + si(x) x + cos(x). (x + x) cos(x) dx = = cos(π). Procededo i maiera assolutamete aaloga si trova Lo sviluppo richiesto è duque b = (). π ( cos(π) cos(x) + ) () si(x). = Sulla base del teorema di covergeza putuale possiamo cocludere che questo sviluppo coverge a f(x) per ogi x ] π, π[, metre per x = ±π esso coverge a ( f(π + ) + f(π ) π + π ) + ( π + () ) = = π. Si ha duque, sostituedo per esempio π ello sviluppo precedetemete trovato, π = π 3 + cos π cos π + cos π cos π + cos 3π cos 3π + = 3 = ( π ) Se e può trarre il seguete iteressate risultato: = π. Possiamo effettuare u cofroto tra il grafico della fuzioe dell esempio cosiderato e lo sviluppo di Fourier che abbiamo scritto, cosideradoe le approssimazioi otteute trocado lo stesso sviluppo a diversi valori di. 0 Grafico di f(x) = x + x, i ] π, π]. 0 Approssimazioe co = 0. Luciao Battaia 9

10 0 0 Approssimazioe co = 50. Approssimazioe co = 00. Si oti come l approssimazioe migliori sesibilmete al crescere di e come, i corrispodeza dei valori di x uguale a ±π il valore di x sia prossimo a π i tutte le approssimazioi. Esercizio. Calcolare lo sviluppo di Fourier della fuzioe defiita su [, π] da f(x) =, se x ] π, 0[ 0, se x { 0,, π }, se x ]0, π[ e poi prolugata el modo solito a ua fuzioe defiita su tutto R. Valutare tale sviluppo per x = π /. Risoluzioe. Si oti come la fuzioe sia stata defiita i modo tale che lo sviluppo di Fourier (i base al teorema di covergeza putuale) coverga proprio a f ache ei puti di discotiuità. Il calcolo dei coefficieti di Fourier è molto semplice, teedo ache coto del fatto che, essedo f dispari, tutti gli a sarao ulli. Si ottiee, teedo ache coto del fatto che f(x) si(x) è ua fuzioe pari, b = π f(x) si(x) dx = π 0 si(x) dx = π [ cos(x ] π = ( () ). 0 π Si vede subito che restao solo i termii dispari, co valore /π, i quato i pari si aullao. Lo sviluppo si può scrivere: f(x) = π + =0 si( + )x + Poedo x = π / e teedo coto che f( π /) =, si trova facilmete. π/ = Ache i questo caso propoiamo alcui grafici esemplificativi. 0 Luciao Battaia

11 Grafico di f(x), i ] π, π]. 0.5 Approssimazioe co = Approssimazioe co = 50. Approssimazioe co = 00. Si verifichio, acora ua volta, le proprietà degli sviluppi di Fourier i corrispodeza delle discotiuità a salto della fuzioe data. Esercizio 3. Stesso problema dei precedeti co la fuzioe defiita, i ] π, π], da f(x) = x. Valutare lo sviluppo per x = 0. Risoluzioe. Lasciamo questo esercizio al lettore, propoedo solo il risultato della valutazioe per x = 0 e i soliti grafici. I calcoli soo ormai stadard e o presetao alcua difficoltà. Si ottiee: π = Grafico di f(x) = x, i ] π, π]. Approssimazioe co = 0. Luciao Battaia

12 Approssimazioe co = 50. Approssimazioe co = 00. Si oti come i questo caso la cotiuità della fuzioe su tutto R faccia si che lo sviluppo costituisca rapidamete ua buoa approssimazioe globale della fuzioe. Esercizio. Esercizi proposti seza alcu commeto. Si trovio gli sviluppi di x e si x, sempre ristrette all itervallo ] π, π[. Osservazioe 7. Si oti come gli sviluppi trocati di Fourier costituiscao ua buoa approssimazioe di ua fuzioe, periodica e regolare a tratti, i tutto R, eccetto i puti di discotiuità a salto evetuali. Questo comportameto è diverso da quello dei poliomi di Taylor dove l approssimazioe era buoa i u itoro del puto iiziale, di ampiezza o prevedibile a priori. Luciao Battaia