Introduzione all Analisi di Fourier. Prof. Luigi Landini Ing. Nicola Vanello. (presentazione a cura di N. Vanello)

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1 Itroduzioe all Aalisi di Fourier Prof. Luigi Ladii Ig. Nicola Vaello (presetazioe a cura di N. Vaello)

2 ANALII DI FOURIER egali tempo cotiui: egali periodici egali aperiodici viluppo i serie di Fourier Itroduzioe alla rasformata Cotiua di Fourier egali empo Discreti: - rasformata di Fourier di ua sequeza - rasformata Discreta di Fourier - Aalisi tramite DF di sequeze fiite Aalisi di Fourier di sequeze bidimesioali o Immagii.

3 ANALII DI FOURIER egali tempo cotiui: egali periodici viluppo i serie di Fourier - Criteri di Covergeza - Breve Itroduzioe sui Fasori - pettro di Ampiezza e Fase - pettro per i egali Reali - Esempi

4 ANALII DI FOURIER Itroduciamo l argometo co l esempio di u segale reale: questo può essere espresso come la somma di oscillazioi siuosidali opportuamete pesate.. Ricostruzioe aumetado il umero di compoeti L esempio mostra u oda quadra scomposta i quattro compoeti. Il umero di compoeti è, i geerale, ifiito

5 erie di Fourier Lo sviluppo i erie di Fourier viee impiegato el caso di segali periodici: s(t)s(t ) per ogi t U segale s(t), periodico di periodo, può essere espresso come la somma pesata di ifiite fuzioi siusoidali del tipo e t periodiche di periodo e frequeza s( t ) e, ±, ±,... f Per i segali a poteza media fiita è possibile scrivere t

6 erie di Fourier Vediamo i quali codizioi vale e che sigificato ha l uguagliaza appea idicata. Cosideriamo la combiazioe lieare di N fuzioi periodiche s N ( t ) N N e t E defiiamo l errore tra s N (t) e il segale origiario s(t) ε N ( t) s( t) s ( t) N

7 erie di Fourier È possibile dimostrare che i coefficieti che miimizzao l errore quadratico medio tra s(t) e s N (t) soo dati da t t s( t ) e dt t Dove gli estremi di itegrazioe così idicati idicao che l itegrale può essere calcolato per qualsiasi itervallo di ampiezza. I queste codizioi l errore quadratico medio si può scrivere come (abbiamo posto t ) N ε N s( t ) dt N N Per, el caso di segale a poteza media fiita, l errore quadratico medio tede a zero

8 erie di Fourier Co questa scelta dei coefficieti si ritrova l uguagliaza di Parseval s( t ) dt Che esprime la poteza media del segale i fuzioe dei coefficieti dello sviluppo i serie di Fourier

9 erie di Fourier Criterio di Dirichlet Il criterio di Dirichlet stabilisce i quali codizioi u segale periodico è rappresetabile come sviluppo i serie di Fourier -s(t) deve essere assolutamete itegrabile sul periodo ; -s(t) deve essere cotiuo o presetare al più, i u periodo, u umero fiito di discotiuità di prima specie; -s(t) deve essere derivabile rispetto al tempo el periodo, escluso al più u umero fiito di puti ei quali, però, devoo esistere fiite le derivate destra e siistra. oddisfatte queste codizioi la serie di Fourier coverge a s(t). Nei puti di discotiuità di prima specie di s(t), la serie coverge alla semisomma del limite destro e siistro ei suddetti puti

10 erie di Fourier: breve itroduzioe sui fasori Cosideriamo il segale complesso s( t) Ae ( ftθ ) Questo viee detto fasore rotate: la posizioe del fasore sul piao di Gauss può essere idividuata da u vettore ruotate alla velocità agolare ωf e al tempo t forma u agolo pari a θ co l asse reale Nel seguito si visualizza u esempio di rotazioe co velocità agolare maggiore di zero A e θ6 radiati

11 Dalla formula di Eulero discede Ae Per cui il segale reale del fasore erie di Fourier: breve itroduzioe sui fasori ( ft θ ) Acos( ft θ ) Asi( ft θ ) Acos( ft θ) può essere trovato come parte

12 erie di Fourier: breve itroduzioe sui fasori La parte reale si può otteere ache come somma del fasore co il complesso coiugato divisa per due Re { s( t) } s ( ) ( ) ( ) ( ) ft θ ft t s t Ae Ae θ Da questa aimazioe si ituisce il sigificato da attribuire alle frequeze egative: esse soo associate a fasori che ruotao el piao di Gauss i seso orario.

13 erie di Fourier I coefficieti della serie di Fourier formao lo spettro del segale s(t). oo umeri complessi e soo rappresetabili come - modulo e fase e co θ θ - parte reale e parte immagiaria R I I Im θ R Re Il grafico del modulo di, al variare di, si dice spettro di ampiezza metre il grafico della fase di si dice spettro di fase di s(t)

14 erie di Fourier Ciascu coefficiete di Fourier ella formula dello sviluppo va a moltiplicare la fuzioe oscillate t e La sommatoria diviee quidi ua sommatoria di fasori e ( t ) θ t θ e e di ampiezza e fase θ

15 erie di Fourier e cosideriamo l aimazioe precedete possiamo dedurre che ogi segale reale è costituito da fasori tali per cui, per ogi fasore a frequeza positiva, deve esistere ache il corrispettivo a frequeza egativa tale per cui - e fase θ e la fase iiziale θ deve essere opposta

16 erie di Fourier Rappresetazioi della erie di Fourier per segali reali Ricaviamo la forma trigoometrica i parte da R I ( ) ( ) t t R t I t R I R e I R e t s cos si si cos t si t cos t t ) (

17 erie di Fourier e il segale è reale vale la relazioe (si verifica immediatamete dalla formula del coefficiete di Fourier) * Come cosegueza abbiamo R R - e I - I - forma trigoometrica segale reale s( t ) [ ] R cos t I si t R Abbiamo ache la forma polare: s( t ) t cos θ

18 erie di Fourier Esempi di viluppo i serie di Fourier: ) cos( ) ( t f a t s ) cos( ) cos( ) ( t f t f a t s ϑ Dal cofroto co la forma polare dello sviluppo i serie di Fourier di u segale reale periodico si ricavao i coefficieti della erie di Fourier Da questo cofroto si ricava e, ϑ a,, ϑ a e a * Visto che il segale è reale si ha

19 Altro caso: erie di Fourier s ( t ) a si( f t ) Il segale si può scrivere come Dal cofroto co la forma polare si ottiee Dalla relazioe s( t) a cos f t a, ϑ, ϑ, * si ottiee a e a e

20 erie di Fourier Nelle figure che seguoo si vede lo spettro del coseo e del seo per a Coefficieti di Fourier coseo Coefficieti di Fourier seo Nel caso del coseo è sufficiete u grafico visto che i coefficieti soo reali. I coefficieti el caso del seo soo complessi e possoo essere visualizzati i modulo e fase, oppure tramite u uico grafico della parte immagiaria.

21 erie di Fourier A s(t) 4-4 viluppo i serie di Fourier del treo di impulsi rettagolari s(t) di periodo e duty cycle δ ) ( t t t t t t dt Ae Adt dt Ae dt Ae dt e t s altrimeti per

22 erie di Fourier A Adt - ± ± co k pari,...,, ) ( ) ( ) si( ) si( k- k A A e e A t e A dt t Ae k

23 erie di Fourier viluppo i serie di Fourier del treo di impulsi rettagolari s(t) di periodo e duty cycle δ4 s(t) A 4 4 Di seguito vegoo mostrati i coefficieti compresi ell itervallo [-:]

24 ANALII DI FOURIER egali tempo cotiui: egali aperiodici Itroduzioe alla rasformata Cotiua di Fourier - Derivazioe ituitiva della CF a partire dallo viluppo i erie di Fourier - pettro di ampiezza e fase - Esempio impulso Rettagolare - Effetto del Ritardo emporale

25 Itroduzioe alla rasformata Cotiua di Fourier U segale aperiodico si può rappresetare come la sovrapposizioe di compoeti siusoidali di ampiezza ifiitesima e di frequeza variabile co cotiuità tra - e dove s( ( t ft ) ( f ) e df f ft ) s( t ) e dt È possibile arrivare a dimostrarlo i modo ituitivo adado a vedere come cambia lo spettro di segale periodico, quado il periodo viee fatto tedere all ifiito, ovvero viee reso aperiodico.

26 Itroduzioe alla rasformata Cotiua di Fourier Cosideriamo u treo di impulsi s p (t) s p (t) Dove s p (t) può essere scritto come ( t) t rect sp - rect(t) - L impulso cetrato i zero può essere pesato come il limite per che tede a di s p (t)

27 Itroduzioe alla rasformata Cotiua di Fourier Visualizziamo i coefficieti dello sviluppo i serie di Fourier del treo di impulsi rettagolari s p (t) al variare di a parità di. 4 8 i ota come l ampiezza dei coefficieti dimiuisce all aumetare del periodo, come si evice dalla formula dei coefficieti s p ( t) e t dt

28 Itroduzioe alla rasformata Cotiua di Fourier I coefficieti soo stati visualizzati rispetto a : ad ogi corrispode la frequeza f e quidi, visto che differisce i ciascu grafico, le frequeze per ogi soo differeti k co k,4,8. È possibile visualizzare lo spettro i fuzioe di f (k). Ioltre, se vogliamo svicolarci dalla particolare scelta di, possiamo usare la frequeza ormalizzata f. Dal cofroto degli spettri si vede come all aumetare di le righe si ifittiscao: la differeza tra due valori successivi ei quali soo defiiti gli è Δf()f -f f Nel limite questa differeza diveta ifiitesima, df, ed è possibile defiire ua variabile cotiua ff

29 Itroduzioe alla rasformata Cotiua di Fourier ( t) e Il segale s p (t) può essere scritto come f s p È possibile dimostrare gli si possoo scrivere come f (f ), dove (f) è stata defiita precedetemete, e che, al limite di gli si possoo scrivere come (f)df A questo puto la sommatoria dello sviluppo i serie di Fourier può essere iterpretata come la somma di ifiite fuzioi oscillati complesse date da ( f ) df ft e t Queste soo dei fasori di ampiezza ifiitesima (f) df e fase pari a ft θ( f ) co θ(f) fase di (f) Il processo al limite comporta la trasformazioe della sommatoria ell itegrale, otteedo la formula s( t ft ) ( f ) e df

30 Itroduzioe alla rasformata Cotiua di Fourier Co (f) si idica la rasformata Cotiua di Fourier (CF) che idetifica uivocamete il segale aperiodico s(t) e si scrive θ ( f ) ( f ) ( f ) e Possiamo defiire lo spettro di ampiezza (f) e lo spettro di fase θ(f) È possibile usare ache la rappresetazioe parte reale parte immagiaria ( f ) R( f ) I( f )

31 Itroduzioe alla rasformata Cotiua di Fourier Come esempio calcoliamo la CF dell impulso rettagolare rect(t) ( f si( f) f si( f) f - ft ( e ) ft ft ft ) s( t) e dt rect( t ) e dt e dt f sic(f) 7 Essedo lo spettro reale è sufficiete u solo grafico per rappresetarlo. i deve otare che all aumetare di (impulso leto), la sic, e quidi il coteuto frequeziale si cocetra alle basse frequeze. arà maggiore il coteuto alle alte frequeze al dimiuire di (impulso veloce)

32 Itroduzioe alla rasformata Cotiua di Fourier Vediamo cosa succede allo spettro se ritardiamo l impulso ad esempio di. Nelle rappresetazioi segueti vegoo mostrati gli spettri di ampiezza e fase delle CF dell impulso rettagolare seza ritardo (siistra) e co ritardo (destra)

33 Itroduzioe alla rasformata Cotiua di Fourier Nel caso del impulso cetrato attoro all origie, essedo la CF reale, la fase può valere, (umero egativo) o (positivo). Il ritardo dello impulso di equivale ad aggiugere alla fase dello spettro precedete u termie lieare co f pari a -f. La visualizzazioe spezzata della fase i questo caso è dovuta alla visualizzazioe tra [-:]. i deve ricordare che, el caso di segali reali la fase risulta simmetrica rispetto all origie