18.12 Complementi Calcolo grafico del prodotto di convoluzione Qual è la struttura fondamentale dell analisi di Fourier?

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1 8-6 itroduzioe ai metodi matematici della fisica 8.2 Complemeti 8.2. Calcolo grafico del prodotto di covoluzioe Graficamete, possiamo calcolare f g i u puto riflettedo il grafico di g() rispetto all asse verticale e trasladolo a siistra di ua distaza per otteere g( ); lo si moltiplichi adesso per f () e si calcoli l area sotto il grafico del prodotto risultate f ()g( ) per [ π, π); ifie si divida per 2π. Questo procedimeto è illustrato ella figura sotto. f() g() f() g( ) g( ) f() Qual è la struttura fodametale dell aalisi di Fourier? L aalisi di Fourier che abbiamo visto fiora può essere trasformata i due direzioi opposte: ristretta verso il discreto, cioè rivolta alle fuzioi otteute per discretizzazioe fiita dell itervallo [ L/2, L/2], oppure estesa al caso i cui il periodo L aumeta a dismisura fio a che [ L/2, L/2] diveta l itera retta reale. aturalmete, si potrà parlare acora di aalisi di Fourier, seppure i u seso geeralizzato, se queste trasformazioi preservao i qualche modo la struttura fodametale dell aalisi di Fourier. Ma qual è la struttura fodametale dell aalisi di Fourier?

2 8-7 L esseza dell aalisi di Fourier classica è quella di decomporre u segale periodico i ua somma pesata di armoiche, dove ciascu armoica ha ua frequeza che è u multiplo itero della frequeza fodametale. I effetti, l aalisi di Fourier è comuemete chiamata ache aalisi armoica. È importate sottolieare che tutte le armoiche soo geerate dall armoica fodametale e() = e iω, di frequeza agolare ω, el seguete modo e () = e(), e 2 () = e() 2 = e iω2,..., e () = e() = e iω,... (Quado, per semplicità, lavoriamo i T, come toreremo a fare tra poco, ω =.) Le poteze egative dao le frequeze egative (cioè moti circolari ella direzioe opposta), e () = e() = e iω e, aturalmete, e ()e () = cioè il modo zero. I breve, l isieme delle armoiche e () = e i forma ua rappresetazioe moltiplicativa del gruppo additivo degli iteri Z, el seso che e +m () = e ()e m () e () = e () L armoica fodametale e iω è chiamata geeratore del gruppo. È questa proprietà di gruppo, tutto sommato abbastaza astratta, che rede coto matematicamete del sigificato cocreto dell aalisi di Fourier. Quado combiiamo questa proprietà co l altro aspetto fodametale delll aalisi di Fourier, che è la decomposizioe di u vettore rispetto ad ua base ortoormale, otteiamo tutto quello che c è da dire sull aalisi di Fourier. E tutto questo può essere riassuto i 6 puti: (I) Ad ogi fuzioe f : T C è associata ua successioe {c } = { f ()} di umeri complessi. Questi umeri soo oti come coordiate (o coefficieti) di Fourier di f. (II) La coordiate di Fourier soo date dalla formula c = f () = π f ()e i d per Z 2π π (III) I mattoi di base delle serie di Fourier soo le fuzioi trigoometriche e : T C date da e () = e i, dove Z e T (soo chiamate trigoometriche piuttosto che espoeziali per sottolieare il legame co sei e cosei dato dalla formula di Eulero). L -esima coordiata di Fourier può essere scritta i termii di prodotto scalare L 2 come c = f () = e f. (IV) L isieme delle fuzioi trigoometriche e () = e i forma ua rappresetazioe moltiplicativa del gruppo additivo degli iteri Z, el seso che e +m () = e ()e m () e () = e ()

3 8-8 itroduzioe ai metodi matematici della fisica (V) La serie associata a f è f () c e i = Usiamo il simbolo ivece del simbolo = per mettere i evideza che per u dato puto, la serie di Fourier o ecessariamete si somma al valore f (), i verità, el puto, la serie di Fourier può o covergere del tutto. (VI) L isieme {e i } Z forma ua base ortoormale per lo spazio vettoriale L 2 (T) delle fuzioi a quadrato itegrabile su T. I particolare, questo sigifica che per f L 2 (T), le somme parziali di f covergoo a f el seso L 2, cioè f f ()e i L2 per e vale l idetità di Parseval (cioè il teorema di Pitagora ifiito-dimesioale) f L 2 = π f () 2 d = 2π f () 2 = π Z f l Aalisi armoica el discreto Cosideriamo la seguete situazioe: el suo itervallo fodametale, il segale è u vettore v co u umero fiito di compoeti complesse, diciamo. Quidi è u vettore i C. Poi è ripetuto co periodicità a destra e a siistra. Quale aalisi armoica è appropriata per ua situazioe come questa? Icomiciamo col fissare le otazioi. Si cosideri la base stadard i C, che coveiamo di deotare co dei ket, =..., =...,..., = (La ragioe di questa otazioe o covezioale, sia per i ket sia per partire da aziché da, apparirà chiara tra poco.) Deotiamo u geerico vettore di questa base co α, α =,,...,... Il prodotto scalare i C è v u = v(α)u(α) = v α α u e α β = δ αβ dove δ αβ è la delta di Kroecker. Allora, per u vettore v C possiamo scrivere v = α α v

4 8-9 sottitededo che tutte le somme d ora i avati corroo da a. Si osservi che α v è la α-esima compoete del vettore. Possiamo, per comodità, pesare a v come ad ua fuzioe defiita sull isieme fiito di puti α =,,...,, e a valori i C, e scrivere v(α) = α v Adesso toriamo al problema di parteza. Vogliamo aalizzare il segale discreto v(α) i termie di armoiche: è chiaro che o possiamo aspettarcee più di. Se vogliamo mateere la struttura fodametale dell aalisi di Fourier, dobbiamo cercare u aalogo della proprietà (IV) per u isieme discreto. L isieme C delle radici -esime dell uità, C = {z C z = } è u gruppo abeliao rispetto all operazioe di moltiplicazioe co elemeti ed è il gruppo ciclico di ordie. I effetti, è ua rappresetazioe del gruppo additivo modulo. Per esempio, per = 5 il gruppo additivo si rappreseta co i vertici di u petagoo regolare e le addizioi soo costruite per ciclicità, per esempio: + 2 = 3, + 4 =, = etc.. La sua rappresetazioe moltiplicativa è data dalle radici quite complesse:, e i2π/5, e i4π/5, e i6π/5, e i8π/5 e si verifica facilmete che si tratta proprio di ua rappresetazioe: si cosideri, per esempio, + 2 = 3, questo è rappresetato i e i2π/5 e i4π/5 = e i6π/5, oppure + 4 = e i2π/5 e i8π/5 =, cioè l elemeto eutro rispetto all addizioe () è trasformato ell elemeto eutro rispetto alla moltiplicazioe. E così via. Per l aalisi armoica i uo spazio a dimesioi, cosidereremo allora e(α) = e i2πα/ come armoica fodametale. Il sistema di armoiche geerato da e(α) cosiste duque egli vettori ẽ, co compoeti e(α) rispetto alla base α, =,,... (per = si ritora a = ), cioè α ẽ = e(α) = e i2πα/, dove α =,,..., e =,,... Si verifica facilmete che i vettori ẽ soo ortogoali tra loro e hao tutti orma uguale a (esercizio): È quidi coveiete passare alla base ortoormale ẽ ẽ m = δ m. e = ẽ, α e = e i2πα/ = e (α) La trasformata di Fourier discreta del segale discreto v(α) è defiita come v() = e v = v(α)e (α) ovvero v() = α α v(α)e i2πα/

5 8-2 itroduzioe ai metodi matematici della fisica Poichè {e } è ua base ortorormale, la trasformata di Fourier discreta è ua trasformazioe uitaria e si ha v(α) = α v = α e e v = v()e (α) = v()e i2πα/ e vale l aalogo fiito dell idetità di Parseval (che è proprio il teorema di Pitagora fiito-dimesioale). Si osservi che avremmo potuto coveire di assorbire il fattore di ormalizzazioe el prodotto scalare e defiire i C il uovo prodotto scalare v u = f (α)u(α) = f α α u (che, co abuso di otazioe, deotiamo ello stesso modo di prima) e utilizzare come armoiche le ẽ e i2πα/, che el uovo prodotto scalare soo automaticamete ormalizzate. Allora, co questo uovo prodotto scalare, le formule per la trasformata di Fourier discreta e la sua iversa divetao v() = ẽ v = α v(α)e i2πα/ ( aalisi ) v(α) = α v = v()e i2πα/ ( sitesi ) Esempio 8.3. =5. Posto e i2π/5 = ε, si ha (rispetto al prodotto scalare usuale) la seguete base ortoormale di Fourier: e =, e 5 = ε ε 5 2, e ε 3 2 = ε 2 ε 5 4, e 3 = ε 3 ε, e ε 5 ε 4 4 = ε 4 ε 5 3 ε 2 ε 4 ε 3 ε 2 ε La matrice della trasformata di Fourier discreta è otteuta come la matrice le cui coloe soo i vettori testé trovati (che è la regola geerale per la matrice di cambiameto di base). A questo puto, ecco ua domada su cui riflettere: i che modo i sei puti idicati all iizio della lezioe come caratterizzati dell aalisi di Fourier si soo trasformati el passaggio dal cotiuo al discreto? Chiaramete, tutti i problemi di covergeza soo evaporati, ma che dire del resto? È ragioevole dire che la struttura di base è preservata? Comuque si rispoda a questa domada, c è u seso preciso i cui l aalisi di Fourier discreta approssima quella cotiua, che è quello di cui ci vogliamo occupare adesso. Prima u osservazioe di cosmetica. L aalisi di Fourier el discreto può essere resa acora più simile a quella el cotiuo se cosideriamo u umero dispari. Se è dispari è aturale scegliere ua umerazioe simmetrica dello spazio delle α: ( )/2, ( 2)/2,..., 2,,, 2,... ( 2)/2, ( )/2 e aalogamete per i vettori α e i vettori e. Le formule per la trasformata di Fourier e la sua iversa (le ultime che abbiamo ricavato), restao ialterate v() = α v(α)e i2πα/ ( aalisi ) v(α) = v()e i2πα/ ( sitesi )

6 8-2 ma le somme adesso soo da ( )/2 a ( )/2. Adesso mostriamo che l aalisi di Fourier el discreto è i effetti u approssimazioe di quella el cotiuo. Poiché cosideriamo, trascureremo la differeza tra e. Siamo iteressati al caso i cui i valori discreti del segale v(α) soo stati otteuti campioado u segale cotiuo f () di periodo L, ad itervalli di ampiezza ɛ. Duque, = L/ɛ e v(α) = f () per = αɛ, al variare di α da /2 a /2. Abbiamo cioè la discretizzazioe dell itervallo reale [ L/2, L/2] i blocchi di ampiezza ɛ = L/ come mostrato i figura: L/2 α Cosideriamo la formula per le coordiate di Fourier discrete L/2 v() = α v(α)e i2πα/ = ɛ L α f (αɛ)e i2παɛ/l = ɛ L α f ()e i 2π L el limite ɛ ricoosciamo a secodo membro il limite della somma di Riema dell itegrale cioè L/2 f ()e i 2π L d, L L/2 v() f (). Quado ɛ si ha e quidi la formula per la sitesi diveta f () = lim = v()e i 2π L = lim = f ()e i 2π L = f ()e i 2π L = I breve, abbiamo mostrato euristicamete (cioè seza preoccuparci troppo dell esisteza dei limiti) che el limite cotiuo l aalisi di Fourier discreta diveta l usuale aalisi di Fourier, basata sulle relazioi f () = L f () = lim L/2 L/2 = Aalisi armoica i u itervallo ifiito f ()e i 2π L d (8.27) f ()e i 2π L = f ()e i 2π L (8.28) = Vogliamo adesso capire che cosa succede alle relazioi (8.27) e (8.28) quado l itervallo [ L/2, L/2] aumeta a dismisura fio a ricoprire l itera retta reale. Se assumiamo che la fuzioe f () sia buoa, l itegrale a secodo membro della (8.27) covergerà el limite di gradi L, ma il fattore /L davati farà tedere a zero le coordiate di Fourier. È duque utile passare a coordiate dimesioate per le coordiate e riscalarle co u fattore L i modo da garatire che si abbia u limite fiito o ullo. A tal fie, defiiamo δ def = L (8.29) def = L f δ () def = δ f () = δ f = δ (8.3) ( ) (8.3) δ

7 8-22 itroduzioe ai metodi matematici della fisica e sostituiamo ella (8.27). Si ottiee f δ () = δ f ( ) = δ L/2 L/2 f ()e i2π d Cosideriamo u possibile grafico delle coordiate di Fourier riscalate f δ (assumedole per semplicità reali). Il grafico mostra chiaramete che el limite, quado la distaza tra due puti sulle ascisse si avvicia sempre più, si dovrebbe otteere, almeo euristicamete, ua fuzioe limite f () defiita su tutti i puti dell asse delle. f δ (ξ) δ =/L ξ = δ Possiamo aspettarci u limite fiito e o ullo per δ arbitrariamete piccolo o, equivaletemete, per L arbitrariamete grade, se f () è buoa : deve essere o solo regolare, ma ache co decresceza abbastaza rapida al crescere di i modo tale che l itegrale improprio f () = f ()e i2π d, che si ottiee el limite δ = /L, sia fiito. Cosideriamo adesso la somma parziale della serie di Fourier i (8.28): f ()e i 2π L = Teuto coto della (8.3), possiamo riscrivere la somma parziale come S = δ = f δ ()e i2πi (8.32) Se adesso facciamo crescere come /δ = L, ricoosciamo i S la somma di Riema che el limite diveta l itegrale (improprio) f ()e i2πi d = lim S È difficile trasformare le argometazioi euristiche precedeti i ua dimostrazioe rigorosa. Sappiamo però se f () è buoa, el limite del periodo L che va all ifiito e teuto coto del riscalameto (8.3) i processi di aalisi e sitesi dell aalisi di Fourier divetao f () = f () = el capitolo 2 e verrà studiata l estesioe a L 2 (R). f ()e i2π d f ()e i2πi d