ANALISI DI FOURIER. Analisi di Fourier di sequenze bidimensionali o Immagini

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1 AALISI DI FOURIER Aalisi di Fourier di sequeze bidimesioali o Immagii -Defiizioi di Sequeze Bidimesioali o Immagii -Trasformata Discreta di Fourier D -Iterpretazioe Piao di Fourier -Esempi

2 I seguito prederemo i esame la trasformata bidimesioale. Per fare questo passeremo attraverso la defiizioe di alcue distribuzioi di dati bidimesioali: queste possoo essere pesate come matrici di dati. U esempio soo le matrici che descrivoo immagii di itesità. Le immagii RGB si possoo descrivere tramite tre matrici di valori che descrivoo il valore itesità di ciascua compoete (Red Gree Blue)

3 Aalogamete al caso moodimesioale possiamo defiire: la sequeza ad impulso uitario δ(, ) = = = 0 altrove 0 la sequeza ad impulso di liea x(,) = δ() x(,) = δ() la sequeza a gradio u(, ) = 0 0; altrove 0 sequeza ad impulso uitario ritardato δ( m, m ) = 0 = m ; m ; = m m

4 I base a questa ultima relazioe si ha che ua immagie o sequeza bidimesioale può essere descritta come = = = ), ( ), ( ), ( m m m m m x m x δ La trasformata discreta di Fourier bidimesioale è descritta dalla seguete relazioe Trasformata Discreta di Fourier 0 0 k j k j e ), x( ),k X(k π π + = = = Si deve otare che l operazioe equivale alla composizioe di ua TDF lugo ua dimesioe seguita da ua TDF lugo l altra

5 L operazioe iversa si può esprimere come x(, ) = X(k,k ) e k = 0 k = 0 π j k π j k Aalogamete al caso moodimesioale ua sequeza bidimesioale può essere scomposta i oscillazioi complesse, co frequeza variabile, pesate dai coefficieti complessi X(k,k ) Rimagoo valide le cosiderazioi svolte el caso della TD moodimesioale relativamete al umero di fuzioi complesse ecessarie per rappresetare la sequeza D e per la taratura dell asse frequeziale

6 L isieme dei coefficieti complessi X(k,k ) è rappresetabile su u piao, detto piao di Fourier. Gli esempi che seguoo servoo ad aiutare ell iterpretazioe dei puti del piao. I particolare vedremo le TDF D di immagii di itesità il cui valore il cui adameto può essere descritto da ua fuzioe siusoidale, variabile lugo, poi lugo

7 La figura i basso mostra u immagie la cui itesità varia siusoidalmete lugo. La variazioe è evideziata dal cambio di colore: l immagie che appare cotiua, i è realizzata a partire da ua matrice di valori e ogi pixel dell immagie corrispode al valore x(, ) La stessa immagie può essere visualizzata elle tre dimesioi i modo da evideziare ella terza dimesioe l ampiezza di x(, ) utilizzado il comado mesh(.)

8 La trasformata discreta di Fourier bidimesioale, i ambiete Matlab,viee realizzata tramite il comado fft(.). Vediamo l ampiezza della TDF per due immagii i cui la variazioe avviee lugo direzioi ortogoali. TDF D TDF D Per la taratura degli assi dello spettro di ampiezza D è stata usata la frequeza ormalizzata: tra 0 e (i realtà o proprio ma -/)

9 Co l operazioe di fftshift(.) è possibile visualizzare, aalogamete al caso moodimesioale, l itervallo frequeziale a cavallo dello zero. TDF D TDF D

10 Di seguito viee mostrato ache lo spettro di fase. TDF D Ampiezza Fase.la stessa iformazioe visualizzata come immagii itesità a livelli di grigio (i matlab usare imagesc(.) e poi colormap gray) TDF D Ampiezza Fase

11 Vediamo l ampiezza della trasformata di immagii costituite da barre orizzotali e verticali. TDF D TDF D Si deve otare come il profilo lugo le direzioi parallele all asse fx per le barre verticali e quelle all asse fy per le barre orizzotali è aalogo al profilo della trasformata discreta moodimesioale dell oda rettagolare

12 Vediamo l ampiezza e la fase della trasformata di u immagie costituita da ua griglia. TDF D Ampiezza Fase.la stessa iformazioe visualizzata come immagii itesità a livelli di grigio. Ampiezza Fase

13 Per migliorare la visualizzazioe dei picchi relativi alle armoiche è possibile toglier il valore medio all immagie: questo porta all elimiazioe della compoete cotiua fx=0, fy=0 Ampiezza Fase.la stessa iformazioe visualizzata come immagii itesità a livelli di grigio Ampiezza Fase

14 Per migliorare la visualizzazioe dei picchi relativi alle armoiche è possibile toglier il valore medio all immagie: questo porta all elimiazioe della compoete cotiua fx=0, fy=0 Ampiezza Fase.la stessa iformazioe visualizzata come immagii itesità a livelli di grigio Ampiezza Fase

15 Vediamo la trasformata di u immagie di ua cultura cellulare otteuta tramite u microscopio cofocale. L immagie origiale è a colori e le cellule, prevetivamete marcate, risultao verdi. Di seguito viee elaborata la compoete verde estratta dall immagie origiale. L immagie è u immagie di itesità: valori chiari rappresetao ua alta compoete verde ell immagie origiale, valori scuri rappresetao ua bassa compoete verde ell immagie di parteza. Immagie di parteza Compoete verde

16 TDF D Compoete verde Lugo gli assi soo idicate le pulsazioi ormalizzate quidi comprese tra [-π,π] rad ω = πk