Stima della media di una variabile X definita su una popolazione finita

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1 Stima della media di ua variabile X defiita su ua popolazioe fiita otazioi: popolazioe, campioe e strati Popolazioe. umerosità popolazioe; Ω {ω,..., ω } popolazioe X variabile aleatoria defiita sulla popolazioe X : Ω R x, x,..., x valori assuti da X ella popolazioe: ω i x i Parametri di iteresse ella popolazioe. µ media di X ella popolazioe; µ x i; p proporzioe di successi e media di X ella popolazioe, se X Beroullip; p x i; τ totale di X ella popolazioe; τ µ x i; σ variaza di X ella popolazioe; σ x i µ. Campioe. umerosità campioe; X, X,..., X variabili aleatorie campioarie; x, x,..., x valori assuti da X el campioe. Campioe stratificato. L umero degli strati;,..., h,..., L umerosità degli strati della popolazioe;,..., h,..., L umerosità degli strati del campioe; µ,..., µ h,..., µ L media di X egli strati della popolazioe; σ,..., σ h,..., σ L variaza di X egli strati della popolazioe.

2 Campioameto casuale semplice CO ripetizioe X, X,..., X hao la stessa legge di X e soo idipedeti SEZA ripetizioe X, X,..., X hao la stessa legge di X MA o soo idipedeti. Esempio oto: schema dell ura Sia X Beroulli k esempio: k pallie biache e k ere. Ache el caso SEZA ripetizioe X, X,..., X hao la stessa legge di X. Ifatti: PX P X, X + P X, X 0 P X P X X + P X 0P X X 0 k k + k k k La legge della somma delle X, X,..., X è ivece diversa ei due casi: CO ripetizioe legge biomiale B X i Biom, p EB p e VB p p SEZA ripetizioe legge ipergeometrica I X i Ipergeo,, p EI p e VI p p. Caso geerale. Stimatore di µ X CO ripetizioe X i stimatore di µ X S X i X i X stimatore di σ umero campioi possibili: stimatore di τ EX µ, cioè X è stimatore o distorto di µ VX σ variaza dello stimatore della media. La sua stima si ottiee sostituedo σ co S. SEZA ripetizioe umero campioi possibili: EX µ, cioè X è stimatore o distorto di µ VX σ variaza dello stimatore della media. La dimostrazioe è riportata el seguete paragrafo. La sua stima si ottiee sostituedo σ co S. OTA: se la umerosità della popolazioe è molto più grade di quella del campioe il coefficiete è circa e quidi può essere trascurato Gli itervalli di cofideza approssimati per gradi campioi soo dati da Θ z α/ stdθ, ˆ Θ + zα/ stdθ ˆ co Θ stimatore del parametro e ˆ stdθ stimatore della stadard deviatio di Θ.

3 .3 Campioameto casuale semplice seza ripetizioe: E X e V X Premesse:. Il umero di campioi di umerosità estraibili da ua popolazioe di umerosità è. L uità i-esima della popolazioe compare i campioi ifatti fissata l uità che deve stare el campioe, le altre uità del campioe devoo essere scelte fra le rimaeti uità della popolazioe. Le uità i-esima e j-esima della popolazioe compaioo i campioi. Quidi le probabilità di iclusioe i u campioe di ua geerica uità e di due geeriche uità soo rispettivamete: π i π ij.. Si ha: E X i E X i X j j,j i x i π i j,j i x i µ x i x j π ij j,j i x i x j 3. Ioltre, i geerale: a i i i a i + i,jj i a i a j. 3 Il valore atteso e variaza di X, stimatore della media µ di ua variabile X co distribuzioe qualuque ella popolazioe soo: Ifatti: E X µ V X σ Usado si ha: E X E X i µ La variaza dello stimatore X di µ è: V X V X i [usado ] σ σ + j,j i + [usado 3] σ + σ σ. Xi V + Xi µx j µ E j,j i j,j i x i µx j µ x i µ σ σ. 3 Xi Cov, X j x i µ

4 3 Campioameto stratificato co estrazioe di campioi casuali semplici seza ripetizioe i ogi strato Per ogi strato, h,..., L: X h h h X h i stimatore di µ h S h h X str Attezioe: o è la media pesata campioaria. h X h E X str µ, cioè X è stimatore o distorto di µ X h i X h stimatore di σ h V X str variaza dello stimatore della media, se i campioi soo estratti i modo idipedete ei vari strati: V L h X str V L X h h h h h h h h h σ h σ h h la sua stima si ottiee sostituedo σ h co S h. Se h h h è trascurabile i tutti gli strati: V X str h h σ h. 3. Allocazioe proporzioale: cofroto fra X e X str Se la umerosità degli strati el campioe è proporzioale alla umerosità degli strati ella popolazioe, h h, la stima di µ è uguale a quella che si avrebbe co u campioameto o stratificato ma la variaza dello stimatore X str è miore della variaza dello stimatore X. Ifatti: h h x str x h i x i x. Si ha: V X σ h V X str h σh. La relazioe fra le variaze dei due stimatori si ottiee decompoedo σ, variaza di X, i variaza itera e variaza fra strati: σ h h σ h + µ h µ. Quidi V X σ h σ h + h µ h µ dove il primo addedo è a meo di u fattore V X str e il secodo è ua quatità positiva. 4

5 3. Allocazioe ottima di eyma Si vuole determiare la umerosità degli strati del campioe,..., h,..., L i modo che la variaza dello stimatore X str sia miima, co il vicolo L h. Si ha: V X str L h h h h σ h h σ h h h σ h. Miimizzare la variaza di X str equivale duque a miimizzare la quatità h σ h h. 4 Utilizziamo il metodo dei moltiplicatori di Lagrage. I puti stazioari di 4 soo gli stessi della lagragiaa Λ: L h Λ σ h + λ h. h Dobbiamo risolvere il sistema: 0. h 0 co h. L 0 L h h σ h h + λ da cui: hσ h λ h e h hσ h λ. Sommado sugli h e utilizzado il vicolo si ottiee: λ h σ h e quidi: h hσ h k kσ k. Questo è u puto di miimo, ifatti la matrice Hessiaa di Λ è semidefiita positiva i quato è diagoale e i valori sulla diagoale soo positivi: h σ h / 3 h. Osservazioe: la umerosità dello strato el campioe è quidi proporzioale sia alla umerosità dello strato ella popolazioe che alla variaza della variabile ello strato: maggiore variabilità richiede maggiore iformazioe campioaria. Questo tipo di allocazioe prevede la coosceza delle variaze della variabile egli strati σ h, per h,..., L, oppure ua loro stima otteuta i precedeti idagii. Co l allocazioe ottima di eyma la variaza di X str è: V X str L h σ h h σh. 5

6 4 Casi particolari 4. Stima della proporzioe di successi Stima di p se X Beroullip caso particolare di stima della media Campioameto casuale semplice co ripetizioe E ˆP p V ˆP pp Campioameto casuale semplice seza ripetizioe E ˆP p V ˆP pp Campioameto stratificato co estrazioe casuale semplice seza ripetizioe egli strati ˆP str X str h ˆP h E ˆP str p, cioè ˆP str è stimatore o distorto di p V ˆPstr L h h h p hp h h Se h h è trascurabile i tutti gli strati: V ˆPstr h L h Se h h, cioè se è usata l allocazioe proporzioale: V L ˆPstr h p h p h Se h V X str h σ h L k k 4. Stima del totale τ Campioameto casuale semplice co ripetizioe E X τ, cioè X VX σ, cioè se è usata l allocazioe ottima di eyma: σ k L h p h p h L h p h p h. Campioameto casuale semplice seza ripetizioe E X τ VX σ σ p h p h h Campioameto stratificato co estrazioe casuale semplice seza ripetizioe egli strati X str h X h 6

7 E X str τ V X str V X str L h h h h σ h Se h h è trascurabile i tutti gli strati: V h X str L h h Se h h, cioè se è usata l allocazioe proporzioale: V X str L h σh Se h h σ h L k k V X str σ k, cioè se è usata l allocazioe ottima di eyma: L h σ h L h σ h. σ h 7