Correzione Esercitazione 5. Esercizio 1. Per determinare l intervallo di confidenza scegliamo come quantità. x 2) I 2 (0,θ) (x), da cui 1 F X (x θ) =

Transcript

1 Correzioe Esercitazioe 5 Esercizio 1. Per determiare l itervallo di cofideza scegliamo come quatità pivotale 1 F X θ) che ha distribuzioe U0, 1). Nel ostro caso, F X θ) = θ 1 θ ) I 0,θ) ), da cui 1 F X θ) = 1 θ 1 θ ) = θ 1). L itervallo di cofideza sarà duque tale che ) ) P q 1 < θ 1 < q = 1 α Passado ai logaritmi si trova ) ) P lq < l θ 1 < lq 1 = = P l ) q < l θ 1 < l ) q 1 = 1 α passiamo ora all espoeziale e esplicitiamo il parametro θ q1 P < θ 1 < ) q = ) = P q + 1 < θ < = 1 α q1 + 1 Osserviamo ora che se Y = 1 F X θ) ha distribuzioe U0, 1), Z = lf X θ)) ha distribuzioe Ep1). Quidi si ha che lq1 lq e z dz = 1 α da cui q = 1 α + q 1. Esercizio. 1. La probabilità di commettere errore del primo tipo è la probabilità di rifiutare l ipotesi ulla quado questa è vera. Nel ostro caso quidi coicide co 1

2 [ ] PX > 3 θ = 1) = 1 PX 3 θ = 1) = 1 e 1 + e 1 + e 1 + e 1 6 = = 1 e = La proabilità di commettere errore del secodo tipo ivece è la probabilità di accettare l ipotesi ulla quado questa è falsa. Quidi el ostro caso troviamo: ] PX 3 θ = ) = [e + e + e + 4e = La poteza di u test è la probabilità di o commettere errori di secodo tipo, quidi possiamo ricavarla subito come complemetare della probabilità calcolata al puto precedete. Ifatti si ha che βθ 1 ) = β) = = Dobbiamo modificare la fuzioe test trovado u valore γ tale che 1 se i > 3 φ) = γ se i = 3 0 se i < 3 Se α = 0.05 so che α = PX > 3) + γpx = 3), da cui sostituedo si trova γ = = Esercizio Per mostrare che lo stimatore è o distorto ci serva calcolare la sua speraza matematica. Notiamo prima di tutto che se ua variabile aleatoria X ha distribuzioe N0, θ), la variabile

3 aleatoria Y = X θ ha distribuzioe N0, 1), per cui Y = X θ avrà distribuzioe Chi1). Nel ostro caso, quidi, si ha che Xi la variabile aleatoria ) θ ha distribuzioe Chi) e il suo valore atteso è E Xi θ =. Possiamo cocludere, quidi, ) che lo stimatore T = ha valore atteso E = θ, cioè è o distorto per θ. Xi Xi. Lo stimatore T ) è fuzioe della statistica sufficiete e completa X i ed è o distorto, quidi per il Lemma di Lehma- Scheffé è ache di miima variaza. Per cotrollare l efficieza, vogliamo trovare aθ) tale che θ lf i θ) = aθ) [T ) θ]. Abbiamo che θ lf i θ) = 1 θ + 1 ) θ i = = θ + 1 θ i = ) i θ θ, quidi T è uo stimatore efficiete. 3. La regioe critica è del tipo i χ 0.05, 10 = Se θ = 4, ivece, avremo ua regioe critica del tipo i 4χ 0.05, 10 = La poteza del test è la probabilità che o si commettao errori di secodo tipo, cioè il complemetare della probabilità di accettare H 0 quado è falsa. Dobbiamo calcolare β) = 1 F 1 χ 0.05, 10) = 1 F ) = =

4 Esercizio La distribuzioe Gamma appartiee alla famiglia espoeziale, quidi T X) = X i è ua statistica sufficiete e completa per il parametro θ.. Sia Y = 1 X, allora si ha X = 1 Y e d = 1 y dy. La distribuzioe di Y duque è ) p 1 ) p+1 f Y y) = θp 1 e θ 1 y Γp) y y = θp 1 e θ y Γp) y che è ua GammaIversa di parametri p e θ. Passiamo al calcolo della speraza matematica. + θ p ) p+1 1 EY ) = y e θ y dy = 0 Γp) y sostituiamo z = θ y, da cui y = θ z e dy = θ z dz + = θp θ p+1 Γp) 0 z p e z dz = θ p 1. Co u procedimeto aalogo possiamo calcolare EY ) e procedere al calcolo della variaza come V ary ) = EY ) EY ) θ = p 1)p ). 3. La fuzioe di verosimigliaza è θp i ) p 1 Lθ ) = i e θ Γp) quidi passado al logaritmo e derivado si trova p llθ ) = θ θ i che è uguale a 0 per ˆθ = p i. Tale valore corrispode a u puto di massimo, ifatti calcolado la derivata secoda si trova che essa è sempre egativa. Possiamo cocludere che lo stima- 4

5 tore di massima verosimigliaza per θ è ˆΘ = p i. Calcoliamo ora la sua speraza matematica e verifichiamo se è corretto: ) E ˆΘ) p θ = E = p i p 1 dove abbiamo usato le cosiderazioi fatte al puto precedete sulla distribuzioe di Y = 1 X. Quidi possiamo cocludere che lo stimatore è distorto. 4. Vogliamo usare il lemma di Lehma-Scheffé. Cosideriamo quidi lo stimatore corretto basato sulla statistica sufficiete i, cioè Θ = p 1 ˆΘ p = p 1 i, che sarà ache di miima variaza. 5. Per ricavare la regioe critica del test uiformemete più potete usiamo il teorema di Karli-Rubi. Notiamo ifatti che fx θ) è a rapporto di verosimigliaza mootoo strettamete decrescete, visto che appartiee alla famiglia espoeziale co αθ) = θ mootoa i T = i. La regioe critica quidi sarà ω = { i k} dove k si determia impoedo che ) k θ p 0 P i k θ = θ 0 = Γp) tp 1 e θ0t dt = α 0 5

6 Esercizio Il lemma di Neyma-Pearso { ci dice che la regioe critica è della forma ω = Lθ 0 ) Lθ 1 ) }. k Procediamo quidi al calcolo del rapporto tra le fuzioi di verosimigliaza: Lθ 0 ) 1 ) Lθ 1 ) = 8π e 1 8 i ) 1 ) 8π e 1 = 8 i 3) e 8[ 1 i ) i 3) ] k Passiamo ora ai logaritmi e troviamo 1 8 i i i ) i lk da cui si ottiee 1 i lk i 4 lk + 5 ) = 8 H. Per determiare H dobbiamo imporre P X H θ = ) = Stadardizzado quidi otteiamo X P / H ) / = 0.05 cioè H / = z α H = + z α. Sostituiamo quidi ell espressioe { della regioe critica e otteiamo ω = X }. Nel ostro caso, la fuzioe ) poteza è data da X 3 β3) = P X + z α = P 10 1/5 3 ) = P Z 3.36) 1/5 quidi β3) , cioè abbiamo ua poteza molto alta. 3. Sfruttado i calcoli svolti al puto precedete, deduciamo che dobbiamo trovare tale che PZ θ = 3) = =

7 da cui = 41.64) , cioè dobbiamo avere ua umerosità di almeo 44. Esercizio Usiamo il lemma di Neyma-Pearso. Il rapporto di verosimigliaza è dato da L 1 ) 1 ) i 1 i L 1 3 ) = ) 3 1 ) i i = 3 3) da cui, moltiplicado e dividedo per i e passado ai logaritmi si ottiee i l + l 3 4 lk ) i ) i 3 k 4 quidi scegliedo c = lk l 3 4 l critica{ è effettivamete ω = } i c si può cocludere che la regioe. Le due probabilità rappresetao rispettivamete la probabilità di commettere l errore di primo tipo e la poteza del test. Per quato riguarda l errore del primo tipo, stiamo suppoedo vera H 0, quidi X i ha distribuzioe biomiale co parametri e 1. Usado il teorema del limite cetrale possiamo dedurre che Xi / / ha distribuzioe ormale stadard, quidi si ha Xi / P c / ) = 0.10 c ) = z 0.9 = 0.8. / / D altra parte, per quato riguarda la poteza stiamo assumedo vera H 1, quidi X i ha distribuzioe biomiale co parametri e 1 3. Sempre per il teorema del limite cetrale, troviamo 7

8 Xi /3 che /3 ha distribuzioe ormale stadard, da cui Xi /3 P c /3 ) = 0.8 3c 3 ) = z 0.8 = /3 /3 Per trovare i valori richiesti, quidi, bisoga risolvere il sistema c ) = 0.8) 3c = 0.84) 8