Esercitazione n 4. 1 Serie di Taylor. Esercizio 1: Verificare che la funzione. f(x) = 0 se x = 0

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1 Esercitazioe 4 1 Serie di Taylor Esercizio 1: Verificare che la fuzioe f(x) { e 1/x se x 0 0 se x 0 pur essedo C o è sviluppabile i serie di Taylor i x 0. Sol.: Determiiamo le derivate di f: 0 f (0) lim x 0 x 3 e 1/x Procededo per iduzioe si vede che le derivate di h(x) e 1/x soo il prodotto di h(x) per u poliomio ella variabile y 1/x. Poiché lim h(x) 1 x 0 x 0 β 0 β abbiamo per ogi N lim f () (x) 0 x 0 Pertato lo sviluppo i serie di f(x), se esistesse, dovrebbe essere ideticamete ullo e o potrebbe covergere a f. Esercizio : Utilizzado lo sviluppo di (1 + x) α determiare lo sviluppo i serie di Sol.: Si ricordi che defiedo : lo sviluppo di (1 + x) α risulta Poiamo y x. Sappiamo che { 1 se 0 α(α 1) (α +1)! se 1 x, 1 + y (1 + y) 1/ 1 ( ) 1/ y x 1+x.

2 1 + x ( ) 1/ x La fuzioe che cerchiamo è la derivata di 1 + x. Duque x ( ) 1/ x x 1 Possiamo esplicitare meglio lo sviluppo i serie calcolado il coefficiete biomiale: ( ) 1/ 1/( 1/) (1/ + 1) ( 3) 1 ( 3)!! ( 1) ( 1)!! ()!! x 1 ( 3)!! ( 1) 1 + x ( )!! x 1 1 k (k 1)!! ( 1) (k)!! k0 x k+1 Esercizio 3: Determiare lo sviluppo i serie di f(x) arcsi x. Sol.: Osserviamo che arcsi x è ua primitiva di 1/ 1 x. Acora dallo sviluppo di (1 + x) α abbiamo 1 ( ) 1/ ( 1) x 1 x Ora per 1 ( ) 1/ 1/( 3/) ( 1/ + 1)! ( 1) ( 1)! ( 1)!! ( 1) ()!! arcsi x ( ) ( 1)!! x dx x + ()!! 1 ( 1)!! ()!! x Esercizio 4: Sviluppare i serie di Taylor la fuzioe f(x) 4 (1 x)(1 + 3x). Sol.: Spezziamo f ella somma di due frazioi il cui deomiatore sia di primo grado: 4 (1 x)(1 + 3x) A 1 x + B 1 + 3x 1 1 x x

3 Abbiamo metre x 3 ( 3x) f(x) x + ell itervallo ( 1/3, 1/3). 1 1 x x x ( 1, 1) ( 1) 3 +1 x x ( 1/3, 1/3) ( 1) 3 +1 x Esercizio 5: Sviluppare i serie log x per x (0, ). Sol.: Il logaritmo è ua primitiva di 1/x. Duque 1 log x x dx k0 (1 x)k+1 k + 1 [ 1 + ( 1) 3 +1] x 1 1 (1 x) dx k0 +1 (x 1) ( 1) 1 (1 x) k dx Logaritmo e poteze ad espoete complesso.1 Logaritmo complesso Dato u umero complesso z, esso può essere descritto ella forma z z e i Arg z dove Arg z è u agolo variabile ell itervallo ( π, π]. Possiamo quidi defiire la fuzioe Osserviamo azitutto che poiché Log z log z + i Arg z e kπi cos kπ + i si kπ 1 k Z abbiamo o solo ma ache e Log z e log z e i Arg z z e Log z+kπi e log z e i Arg z e kπi z. 3

4 D altra parte, se e z e w allora e z w 1 z w kπi k Z. Duque ua volta trovata ua delle determiazioi del logaritmo, tutte le altre si ottegoo a partire da quella aggiugedo multipli iteri di πi. Esercizio 6: Mostrare che Sol.: Abbiamo Ivece Nota: si osservi che si ha sempre Log(i 1) Log(i 1). i 1 e i3π/4 ( 1 Log(i 1) log + i3π 4 ) log + i 3π Log(i 1) Log( i) log i π Log(ab) Log a + Log b mod πi Possiamo ache defiire il logaritmo sui complessi stabiledo che l argometo vari ell itervallo [0, π) aziché i ( π, π]. I tal caso poiamo log z log z + i arg z arg z [0, π) Proposizioe.1 No esiste alcua fuzioe g(z) cotiua su C \ {0} tale che e g(z) z C \ {0}. z DIM. Se esistesse ua tale fuzioe g si dovrebbe avere i C \ R metre i C \ R + g(z) Log z + k 1 πi g(z) log z + k πi per qualche k 1, k Z Ora, el semipiao {Iz > 0} le due fuzioi Log z e log z coicidoo, metre i {Iz < 0} abbiamo log z Log z + πi. Le costati k 1 e k dovrebbero quidi soddisfare (rispettivamete ei due semipiai) le relazioi k 1 k k 1 k + 1 che o possoo essere mai verificate. Esercizio 7: Determiare tutte le soluzioi di e z 3 + i. 4

5 Sol.: Come prima cosa scriviamo 3 + i ella sua forma trigoometrica: Duque si ha e z 3 + i se e solo se 3 + i (cos π 6 + i si π 6 ) log( 3 + i) log + i π 6 z log + i π 6 + kπi k Z. Esercizio 8: Determiare tutte le soluzioi di e z i/. Sol.: I forma trigoometrica i 1 (cos π + i si π ) Log( i ) log iπ e duque le soluzioi cercate soo z log i π + kπi k Z.. Poteze co espoete complesso Ua volta defiito il logaritmo, possiamo defiire ache le poteze ad espoete complesso poedo: w z e z Log w Tale espressioe è detta determiazioe pricipale di w z. Esistoo i geerale più determiazioi di ua poteza complessa, com è ovvio ricordado che esistoo ifiite determiazioi del logaritmo. Cerhiamo di stabilire quate soo tali determiazioi. Per far ciò verifichiamo quado si ha Tale codizioe è verificata se e solo se ossia se e solo se e z(log w+kπi) z(log w+hπi) e e kzπi e hzπi e (k h)zπi 1 Ciò è possibile solo quado h k (per ogi z) oppure quado (k h)z è itero, e duque z è razioale. 5

6 Se duque z p/q, abbiamo e p/q (Log w+kπi) p/q (Log w+hπi) e se e solo se k h mod q, pertato w z assume esattamete q valori distiti, metre se z / Q w z assume ifiiti valori distiti. Esercizio 9: Determiare tutti i possibili valori di i 1/. Sol.: L espoete è razioale, pertato esistoo solo due valori distiti per tale poteza: i 1/ e (log i+kπi)/ e 1/ log i+kπi ±e 1/ iπ/ ±e iπ/4 ± 1 (1 + i). Esercizio 10: Determiare tutti i possibili valori di i i. Sol.: Abbiamo i i e i(log i+kπi) e i(iπ/+kπi) e (π/+kπ) k Z. Esercizio 11: Determiare tutti i possibili valori di 1 1 i. Sol.: Abbiamo 1 1 i e (1 i)(log 1+kπi) e (1 i)(kπi) e (1+i)(kπ) e kπ k Z. 3 Altri esercizi svolti Esercizio 1: Dimostrare che la fuzioe f(x) (1+x) α è sviluppabile i serie di Mac Lauri ell itervallo ( 1, 1) e determiare lo sviluppo i serie per α R. Sol.: Calcoliamo le derivate di f el puto x 0. Abbiamo f (x) α(1 + x) α 1 e quidi per iduzioe f (x) α(α 1)(1 + x) α f () (x) α(α 1) (α + 1)(1 + x) α Se poiamo la serie cercata è ( ) { α 1 se 0 : α(α 1) (α +1) se 1! x 6

7 Dobbiamo però effettivamete dimostrare che la somma di tale serie sia la ostra fuzioe f(x). Azitutto osserviamo che, el caso i cui α sia u umero aturale, tale somma è fiita e coicide co la formula del biomio di Newto applicata a (1 + x) α. Se ivece α / N abbiamo dal criterio del rapporto a +1 a ( α +1) ( ) α α(α 1) (α ) ( + 1)! a +1 α lim lim a ! α(α 1) (α + 1) α + 1 Ne segue che il raggio di covergeza della serie è 1. Poiamo ora ell itervallo ( 1, 1) g(x) : x Facciamo vedere che il rapporto g(x)/f(x) è costate. Allora, poiché g(0) f(0) 1, otterremo che g coicide co f, la quale è duque sviluppabile i serie di Taylor. Abbiamo d dx [g(x)(1+x) α ] g (x)(1+x) α αg(x)(1+x) α 1 (1+x) α 1 [g (x)(1+x) αg(x)] Vogliamo quidi mostrare che g (x)(1 + x) αg(x): (1 + x)g (x) x g (x) 1 x 1 x α + 1 [ ( ) ( )] α α ( + 1) Abbiamo ioltre ( ) ( ) α α α(α 1) (α ) α(α 1) (α + 1) ( + 1) !! ( ) ( ) α α (α + ) α 1 x come voluto. (1 + x)g (x) αg(x) Esercizio 13: Sviluppare i serie di Taylor la fuzioe f(x) cosh(x). 7

8 Sol.: Dalla defiizioe del coseo iperbolico si ha Coosciamo lo sviluppo i serie di e x ricaviamo e quidi e x cosh(x) ex + e x. e x ( x)! x! [ cosh(x) 1 x ]! + ( 1) x 1! 1 x ()! x ()! ( 1) x! Esercizio 14: Determiare lo sviluppo i serie di Taylor della fuzioe f(x) sih(x). [1 + ( 1) ] x! Sol.: Si può procedere i due modi. Il primo cosiste ell utilizzare, come ell esercizio precedete, la defiizioe del seo iperbolico e lo sviluppo di e x. Altrimeti possiamo osservare che il seo iperbolico è ua primitiva del coseo iperbolico. Duque grazie all esercizio precedete, ricordado che sih(0) 0, abbiamo Esercizio 15: Sviluppare i serie log Ora metre Sol.: Si oti che log sih(x) x +1 ( + 1)!. 1+x per x ( 1, 1). 1 x 1 + x 1 x 1 [log(1 + x) log(1 x)] log(1 + x) ( 1) 1 log(1 x) x x

9 segue log [ 1 + x 1 x 1 +1 x ( 1) ] x x Esercizio 16: Determiare tutte le soluzioi di e z 1 + i. Sol.: I forma trigoometrica 1 + i (cos π 4 + i si π 4 ) log(1 + i) 1 log iπ 4 e duque le soluzioi cercate soo z 1 log iπ 4 + kπi k Z. Esercizio 17: Determiare tutti i possibili valori di i tramite la defiizioe di poteza complessa. Sol.: Abbiamo i e (log i+kπi) e (iπ/+kπi) e iπ(1+4k) 1. Esercizio 18: Determiare parte reale ed immagiaria di e z per ogi z C. Sol.: Scriviamo z i forma trigoometrica fissado l argometo ell itervallo ( π, π]. Allora z z e i Arg z Duque e z e z ei Arg z z (cos(arg z)+i si(arg z)) e e z cos Arg z (cos( z si(arg z)) + i si( z si(arg z))). R(e z ) e z cos Arg z cos( z si(arg z)) I(e z ) e z cos Arg z si( z si(arg z)) 9