Problemi di Scheduling Definizioni. Problemi di Scheduling Definizioni. Problemi di Scheduling Definizioni. Problemi di Scheduling Definizioni

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1 Problemi di Schedulig Defiizioi I problemi di schedulig soo caratterizzati da tre isiemi: Attività (Task) T {T,T 2, T } macchie (Machies) P {P,P 2, P m } Risorse R {R,R 2, R s } Schedulig: assegare m Macchie all isieme P e s risorse all isieme R per ciascua delle attività dell isieme T i modo ordiato al fie di completare tutte le attività el rispetto dei vicoli imposti. Problemi di Schedulig Defiizioi Vicoli: ogi task deve essere eseguito al massimo da u macchia alla volta ogi macchia è capace di eseguire al massimo ua attività alla volta Caratteristiche dei macchie (*) : macchie i parallelo (esecuzioe delle stesse fuzioi) macchie dedicati (specializzati per l esecuzioe di determiate attività) (*) Classificazioe relativa alle caratteristiche fuzioali dei macchie e o alla loro disposizioe fisica Problemi di Schedulig Defiizioi macchie i parallelo Si possoo idetificare tre tipologie i fuzioe della velocità di esecuzioe del task idetical: le macchie hao uguale velocità uiform: le macchie hao velocità costati e idipedeti dai task urelated: le macchie hao velocità dipedeti dai task Problemi di Schedulig Defiizioi macchie dedicati Si possoo idetificare tre modelli Ope shop Flo shop Job shop Questi modelli prevedoo ua divisioe del progetto i sottoisiemi Progetto Job Job 2 J Task 2 Task 2 2 T 2 J J Ogi ob è diviso i task Problemi di Schedulig Defiizioi Problemi di Schedulig Defiizioi Caratteristiche dei task: Complessità Ope shop Il umero di task è uguale per ciascu ob e ogi task è eseguito, seza vicoli di precedeza, dalla macchia ad esso dedicata Flo shop Aggiuge all Ope shop vicoli di precedeza sui task Job shop Il umero di task è arbitrario Vector of processig time (*) p [p, p 2,, p m ] T dove p i tempo ecessario alla macchia P i per eseguire il task T es. h idetical machies p i p i, 2,, m h uiform machies p i p /b i i, 2,, m dove p stadard processig time b i processig speed factor di P i (*) parametro itero

2 Problemi di Schedulig Defiizioi Ready time (*) r : istate di tempo i cui il task T è proto per essere eseguito. Se il ready time è uguale per tutti i task r 0 Due date (*) d : idica il tempo limite etro il quale T dovrebbe essere completato (può essere superato). Deadlie (*) d : idica il tempo limite etro il quale T deve essere completato (o può essere superato). Weight (priority) (*) : coferisce le urgeze relative ai T. Reseurce request: evetuali risorse preseti el progetto. (*) parametro itero Problemi di Schedulig Defiizioi Grafo: rete di flusso delle attività Carta di Gatt: piaificazioe del progetto htask-o-ode graph T i /p i T /p Nodo task Arco vicolo di precedeza htask-o-arc graph T /p Nodo eveto Arco task Problemi di Schedulig Defiizioi Preemptio: i task possoo essere iterrotti Problemi di Schedulig Defiizioi Precedece: i task soo ordiati da vicoli strutturali T 4 T T 2 T 3 T 2 r r 2 r 3 r 2 r 4 Schedule preemptive: ogi task può essere iterrotto Schedule opreemptive: o è permessa l'iterruzioe dei task T T 2 T 3 fodameta muri tetto La relazioe di precedeza viee idicata co il simbolo < (es. T < T 2 ) Se esiste u legame del tipo T i < T i task soo detti dipedeti, altrimeti si defiiscoo idipedeti Preemptio e Precedece o si escludoo a viceda Problemi di Schedulig Defiizioi Codizioi da soddisfare: ogi macchia è associata al massimo ad u task ed ogi task è eseguito al massimo da ua macchia il Task T è eseguito ell itervallo di tempo [r, ) se i task T i e T soo legati dalla relazioe di precedeza T i < T, il task T o può iiziare fio a che il task T i o è stato completato sfruttare la codizioe di preemptio sui task solo se realmete possibile soddisfare i vicoli relativi alle risorse se preseti el problema verificare che tutti i task del progetto siao completati Problemi di Schedulig Defiizioi Parametri calcolabili per ogi task: completio time C : tempo di completameto del task T flo time F C -r : tempo totale di permaeza su ua macchia (somma dei tempi di attesa e di processo) lateess L C -d : differeza tra l'istate di tempo i cui il task è fiito e l'istate di tempo i cui doveva essere termiato L < 0 T è i aticipo L > 0 T è i ritardo L 0 ritardo ullo 2

3 Problemi di Schedulig Defiizioi earliess E max {d -C, 0}: idica di quato il task è i aticipo E > 0 quato T è i aticipo E 0 T o è i aticipo tardiess D max {C -d, 0}: idica di quato il task è i ritardo D > 0 quato T è i ritardo D 0 T o è i ritardo lateess Problemi di Schedulig Defiizioi Parametri di valutazioe relativi ai possibili criteri di ottimizzazioe: schedule leght: C max max{ C } flo time medio: flo time medio pesato: F F F F maximum lateess: tardiess medio: Problemi di Schedulig Defiizioi L tardiess medio pesato: D max D max { L D } D Problemi di Schedulig Defiizioi umero di task i ritardo: deve U se C > d U 0 altrimeti U umero di task pesati i ritardo: U J U U Problemi di Schedulig Defiizioi Esempio. completio time C [3,4,5,6,,8,8,8] r 0 FC due date d [5,4,5,3,7,6,9,2] task 8 Parametri: lateess L C -d L [-2,0,0,3,-6,2,-,-4] earliess E max {d -C, 0} E [2,0,0,0,6,0,,4] tardiess D max {C -d, 0} D [0,0,0,3,0,2,0,0] Problemi di Schedulig Defiizioi Criteri: schedule leght: C max max{ C } C max 8 flo time medio: F F ( ) F 43/8 maximum lateess: L max max{ L } L max 3 tardiess medio: D D ( ) D 5/8 umero di task i ritardo: U U ( ) U 2 3

4 Aalisi dei problemi di Schedulig e Algoritmi Schedulig Algorithm: cosiste el trovare u algoritmo di ottimizzazioe, i base alla complessità del problema esamiato, mirato a costruire uo schedule ottimo del problema dato. Problemi di schedulig Complessità Algoritmi determiistici Algoritmi approssimati Aalisi dei problemi di Schedulig e Algoritmi Problema facile Algoritmo poliomiale - Aalisi caso peggiore - Aalisi media Rilassameto - preemptio -p - precedece Problema di schedulig ( aalisi di complessità ) Algoritmi approssimati - Aalisi caso peggiore - Aalisi media ) Aalisi probabilistica 2) Simulazioe Problema Algoritmi di eumerazioe esatta Algoritmi di ottimizzazioe pseudopoliomiale Classificazioe dei problemi di Schedulig I problemi di schedulig soo classificati sfruttado ua semplice otazioe proposta da Graham e Blazeicz. Tale otazioe è composta da tre campi: α,α 2 α β γ β, β2, β3, β4, β5, β6, β7, β8 Criterio di ottimizzazioe Classificazioe dei problemi di Schedulig CAMPO α : descrive le caratteristiche del macchia Parametro α {, P, Q, R, O, F, J} caratterizza il macchia usato: α sigle machie α P idetical machie α Q uiform machie α R urelated machie α O dedicated machie: ope shop system α F dedicated machie: flo shop system α J dedicated machie: ob shop system Parametro α 2 {Ø, k} idica il umero di macchie del problema α Ø umero variabile di macchie α 2 k umero di macchie uguale a k (k itero positivo) Classificazioe dei problemi di Schedulig CAMPO β : descrive le caratteristiche del task e delle risorse Parametro β {Ø,pmt} idica la possibilità di iterrompere o meo u task β Ø preemptio o possibile β pmt preemptio possibile Parametro β 2 {Ø,res} idica le caratteristiche delle risorse addizioali β 2 Ø o esistoo risorse addizioali β 2 res esistoo vicoli sulle risorse addizioali Parametro β 3 {Ø, prec, tree, chais}idica i vicoli di precedeza β 3 Ø, prec, ua, tree, chais idicao rispettivamete: task idipedeti, precedeza geerale, orgaizzazioe ad albero dei task, orgaizzazioe a catea dei task. Classificazioe dei problemi di Schedulig Parametro β 4 {Ø,r } descrive i ready time β 4 Ø ready time uguali β 4 r ready time defiiti per ogi task Parametro β 5 {Ø,p p, p p p} descrive i tempi di processo dei task β 5 Ø tempi di processo dei task tutti arbitrari β 5 (p p) tempi di processo dei task tutti uguali a p β 5 (p p p) p compreso tra due valori Parametro β 6 {Ø,d} descrive la deadlie β 6 Ø sistema seza deadlie β 6 d sistema co deadlie 4

5 Classificazioe dei problemi di Schedulig Parametro β 7 {Ø, k} descrive il massimo umero di task preseti i u ob i caso di sistemi ob shop β 7 Ø il umero di task è arbitrario o il problema di schedulig o è di tipo ob shop β 7 ( k) il umero di task per ogi ob o supera k Parametro β 8 {Ø, o-ait} idica la possibilità di attesa di u task tra due macchie, i caso di schedulig su macchie dedicate β 8 Ø Buffer di capacità illimitata tra le macchie β 8 o-ait Buffer di capacità ulla tra le macchie Classificazioe dei problemi di Schedulig Esempi. Problema: d C max macchia Rispettare deadlie Miimizzazioe lughezza schedule Problema: O3 pmt, r L max CAMPO γ : deota il criterio di ottimizzazioe idicado il parametro di valutazioe cosiderato γ C C, C, Lmax, D, D, U,, max { U } Ope shop system Ready time co 3 macchie Possibilità di iterrompere i task Miimizzazioe del ritardo max Sigle Machie Schedulig (SMS) Sigle Machie Schedulig L SMS è impiegato i ambieti multi-macchia per: Studiare meglio i colli di bottiglia Migliorare l orgaizzazioe dei task su macchie costose Semplificare lo studio di ua itera liea di produzioe Notazioe: β γ I task soo ordiati secodo i segueti criteri: Miimizzazioe della lughezza dello schedule Miimizzazioe del Flo Time medio (medio pesato) Ottimizzazioe dei ritardi/aticipi rispetto alle due date Miimizzazioe della lughezza dello schedule Ordiare i task, rispettado i vicoli imposti dal problema, miimizzado C max Miimizzazioe della lughezza dello schedule Ordiare i task, rispettado i vicoli imposti dal problema, miimizzado C max Notazioe: β C max Notazioe: β C max T T2 T3 r r 2 r 3 d d d 2 3 C max T T2 T3 r r 2 r 3 d d d 2 3 C max 5

6 Miimizzazioe della lughezza dello schedule ESEMPIO prec, r, d C max E u problema Hp semplificative Tempi di esecuzioe p Ready time e deadlie soo multipli iteri di ua data uità di misura prec, r, p, d C max Miimizzazioe del Flo Time medio (medio pesato) Si vuole miimizzare il tempo medio di permaeza dei task sulla macchia F F (C r ) Notazioe β C C r E u problema poliomiale C ESEMPI C T T3 T4 T T C T2 T4 ESEMPI C p T C SPT C C T T2 T4 T T C T2 T4 ESEMPI C T T2 C 20 T3 p p / T T4 C SPT C C WSPT Altre tipologie di problemi Problema Variate Complessità c Poliomiale c Poliomiale r c p, r c Poliomiale pmt, r c Poliomiale pmt, r c d c pmt, d c NP Hard pmt, d c Poliomiale pmt, r, d c prec c prec, d c prec, r c 6

7 Criteri di miimizzazioe i fuzioe delle Due Dates SCHEDULING Criteri di miimizzazioe i fuzioe delle Due Dates Si riferiscoo ai segueti parametri: ritardo massimo umero operazioi i ritardo ritardo medio poderale aticipo medio Miimizzazioe di LMAX Miimizzazioe del ritardo massimo Obiettivo: otteere uo schedule che miimizzi il ritardo massimo delle attività i progetto LMAX L MAX max{l} ove LC-d Tipologie di problemi Problema Complessità LMAX Poliomiale r LMAX * pmt, r LMAX Poliomiale prec, r LMAX pmt, prec, r LMAX EDD (Earliest Due Date) Algorithm Permette di risolvere problemi di schedulig del tipo LMAX i forma poliomiale. La soluzioe si ottiee ordiado i task secodo l ordie crescete delle due dates caratteristiche. Il metodo EDD permette di miimizzare il lateess massimo (LMAX) ed il tardess massimo (D). * se ho p uitari la complessità è poliomiale 7

8 EDD - Esempio Soluzioe di problema LMAX Sia dato T{T, T2, T3, T4, T5} e d{3, 5, 6, 2, 4} Soluzioe: S {T4, T, T5, T2, T3} MF (McMaho & Floria) Algorithm È u algoritmo di tipo Brach & Boud. È otteuto a partire dall algoritmo di Jackso (EDD). Applica ua tecica di forard schedulig. T4 T T5 T2 T d 4 d d 5 d 2 d 3 Tiee coto sia dei ready time che delle due dates. È applicabile al caso r L MAX e, co qualche modifica, ache al caso prec, r L MAX. MF - Soluzioe r,p L MAX * t 0 FINE NO T SI t : max{t, mi T T {r}} scelgo T t.c. r t, d miimo T : T-{T} pogo T i S al tempo t t : t + Miimizzazioe del umero di task i ritardo * Caso particolare di r L MAX risolvibile i forma poliomiale Miimizzazioe di Σ U Obiettivo: defiire uo schedule che miimizzi il umero pesato di attività i ritardo ove peso task T Σ U U idice di ritardo del task: -0 se C d - altrimeti Tipologie di problemi Problema Complessità U Poliomiale U * r U pmt, r U prec LMAX * se ho pesi accettabili la complessità è poliomiale 8

9 Hodgso s Algorithm Permette di risolvere problemi di schedulig del tipo U (task co pesi idetici) i forma poliomiale. Prevede due passi procedurali: da u ordiameto EDD, creare u isieme T dei task che si cocludoo etro il termie d caratteristico (putuali); 2 compiere lo schedule dei task i T, secodo EDD, e di T-T (tardivi), co ordie arbitrario. Hodgso s Algorithm - Esempio Sia dato T,..8, p[0,6,3,,4,8,7,6] e d[5,20,,8,6,25,28,9]. ) ordio i T secodo EDD; T {T5,T8,T4,T3,T2,T6,T7,T} 2) defiisco ρ, termie che tiee coto del processig time dei task i T ; 3) cosidero sigolarmete i task T i T, li aggiugo temporaeamete i T e cofroto ρ co d: se ρ>d T è i ritardo lo tolgo da T e lo pogo i T-T ; se ρ d T è putuale lo matego i T ; 4) ordio T secodo EDD e T-T arbitrariamete; T {T5,T4,T3,T2,T6}; T-T {T,T7,T8} 5) defiisco lo schedule complessivo dei task: S{T (T-T )} S(T5,T4,T3,T2,T6,T,T7,T8) Laler s Algorithm Risolve problemi U (se co pesi accettabili, es. pi<p i ) i forma poliomiale. È ua variate del metodo di Hodgso. T è ordiato i modo che Ti<T pi>p oppure pip, i< oppure pip, i, i< La somma dei pesi i T è massima. Miimizzazioe del ritardo medio e medio poderale Miimizzazioe di ΣD e di Σ D Obiettivo: defiire uo schedule che miimizzi il ritardo medio ed il ritardo medio poderale dei task del progetto ritardo medio ΣD ritardo medio poderale ove peso del task T D ritardo del task T Σ D Tipologie di problemi Problema Complessità D * D * prec, p D chais, p D chais, p D pmt D * se i p soo uitari o se i soo accettabili od uitari la complessità è poliomiale 9

10 Miimizzazioe di E Miimizzazioe dell aticipo medio Obiettivo: defiire uo schedule che miimizzi l aticipo medio del progetto E E ove E aticipo del task T Miimizzazioe di E Questo tipo di problemi è equivalete ai problemi di schedule ove sia richiesta la miimizzazioe del ritardo medio. Pertato i metodi di schedulig adottati per questi ultimi valgoo ache per questa categoria di problemi. 0