2.6 Paradosso di Zenone e la somma di infiniti addendi

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1 .6 Paradosso di Zeoe e la somma di ifiiti addedi Si potrebbe pesare che la matematica, la braca del sapere co la più solida tradizioe di precisioe e cosisteza, sia la più immue dai paradossi. La sua storia e è ivece costellata, ache se ha spesso saputo rivolgere a suo favore le appareti difficoltà create da cotraddizioi vere o presute. Il più atico paradosso matematico è la scoperta della icommesurabilità della diagoale e il lato del quadrato, la cui scoperta è attribuita a Pitagora. Ricordiamo poi quello di Zeoe, il più famoso Achille e la tartaruga, si tratta di uo dei più famosi paradossi dell ifiito poteziale, i cui Zeoe di Elea (500 a.c. ) sembra dimostrare l impossibilità del moto. Suppoiamo iizialmete che Achille sia due volte più veloce della tartaruga e che etrambi gareggio lugo u percorso di u metro. Suppoiamo ioltre che Achille dia mezzo metro di vataggio alla tartaruga. Quado Achille avrà percorso mezzo metro, la tartaruga e avrà percorso /4 di metro e quado Achille e avrà percorso /4 la tartaruga e avrà percorso /8 e così via all ifiito, cioè Achille o raggiugerà mai la tartaruga. Se osserviamo il percorso di Achille troviamo che esso è dato da ifiiti tratti che costituiscoo la successioe: / ; /+/4=3/4; Cap Pagia di 33

2 3/4+/8=7/8; 7/8+/6=5/6; ( ) / ; ed è facile osservare che tale successioe tede ad. Vediamo così che ua somma di quatità fiite i u umero illimitato o è ecessariamete fiita. D altro cato i tratti di strada percorsi da Achille, el tetativo di raggiugere la tartaruga soo dati dalla successioe /; /4; /8; / ed ache questa successioe tede a. Ma cosa sigifica l espressioe tede a? Se si idica co S S la somma dei primi tratti percorsi da Achille allora, per quato grade possa essere, o supera mai, umero al quale si avvicia sempre più, oppure possiamo dire qualuque posto più piccolo di viee superato. Sempre più, azi quato si vuole: la differeza tra ed S, per opportuamete grade, si fa più piccola di u qualsiasi umero per quato piccolo da oi scelto. Grazie alla ozioe di limite defiita da Weierstrass è possibile otteere la soluzioe del paradosso, pur coservado u carattere ifiito. E questa ua proprietà caratteristica del Limite defiito ell Ottoceto da Weierstrass. Cap Pagia di 33

3 Co la ozioe matematica di limite si può duque disporre della soluzioe del paradosso, ifatti, pur coservado l idea di u processo e di ua potezialità illimitata, il limite ha il potere di risolvere tale potezialità i ua uità formale. E perciò possibile esprimere cocretamete la soluzioe fiale di u processo illimitato seza riuciare al carattere poteziale di quest ultimo: l iesauribilità di questo processo resta u fatto irriuciabile, ma o per questo dobbiamo accotetarci di soluzioi approssimate. Il valore è u limite che comprede tutta la successioe ( ) /, è ua soluzioe della potezialità di sviluppo di tale successioe, pur mateedosi sempre al di fuori di questa. Cerchiamo ora di geeralizzare quato detto, suppoiamo che Achille, el tetativo di raggiugere la tartaruga, percorra ogi volta /3 del tratto restate. I questo caso troviamo che il percorso di Achille è dato da ifiiti tratti che costituiscoo la successioe: /3; /3+/9=5/9; 5/9+4/7=9/7; /3+/ I questo caso i tratti di strada percorsi da Achille, el tetativo di raggiugere la tartaruga soo dati dalla seguete successioe: Cap Pagia 3 di 33

4 /3; /9; 4/7; ; /3 La serie associata alla successioe è: 3 =. 0 3,e quest ultima coverge ad Abbiamo così dimostrato ituitivamete che la serie coverge ad, ora ivece dimostriamolo dal puto di vista formale, mediate il pricipio di iduzioe: Poiamo S =, dove co S idichiamo la somma dei primi tratti 3 percorsi da Achille el tetativo di raggiugere la tartaruga. Supposto vero l asserto per dimostriamolo per +, vale a dire dimostriamo che è vera S = + S Per =, base dell iduzioe, l asserto è vero, ifatti quado = si ha = = S S + = + = + = Abbiamo così provato ache formalmete che, se Achille fa solo /3 del restate raggiuge la tartaruga. Possiamo geeralizzare quato detto affermado che: se Achille compie sempre u tratto r del restate, co tartaruga. Ifatti: S S + = S = ( r) + ( S ) r = S + r rs = r + ( r) S 0 <r< Achille raggiugerà sempre la Cap Pagia 4 di 33

5 S tederà ad se e solo se ( r) tede ad e questo se e solo se r < da cui r > 0. Vediamo ora cosa accade se Achille percorre o /3 del rimaete, ma /3 del precedete. I questo caso troviamo che il percorso di Achille è dato da ifiiti tratti che costituiscoo la successioe: /3; /3+/9=4/9; /3+/9+4/7=6/7; /3+/9+4/7+ + ; 3 e i tratti di strada percorsi da Achille el tetativo di raggiugere la tartaruga costituiscoo la seguete successioe: /3; /9; 6/8; ; 3 La serie associata alla successioe è: /3+/9+4/7+ = 4 3,i questo caso si verifica che la serie o coverge ad, di cosegueza Achille o raggiugerà la tartaruga. La soluzioe del paradosso cosiste el fatto che beché il umero di lassi di tempo i cui Achille raggiuge la tartaruga sia ifiito, i accordo co Cap Pagia 5 di 33

6 quato argometa Zeoe, la durata di ciascu lasso dimiuisce rispetto a quella del lasso precedete. La valeza didattica dei paradossi sta el fatto che, ad esempio da quello di Zeoe asce spotaeo il cocetto di limite e quello di serie. Ora cerchiamo di aalizzare più da vicio l argometo successioe e serie, la cui distizioe è più di forma che di sostaza. Ua successioe reale è ua fuzioe defiita da N, evetualmete privata di u umero fiito di elemeti, a R. Solitamete si idica ua successioe ) N co la lista dei suoi valori ( a e si chiama termie della successioe. Per comodità le successioi sarao defiite su N\ 0. Data ua successioe ( a ) idicheremo solitamete co dove: s = a s = k = k a {}, possiamo formare u'altra successioe che ( s ), delle somme parziali o delle ridotte, a = a a Il termie s, i cui sommiamo i primi termii della successioe ( a ) si N chiama ridotta di ordie. Sia data ua successioe reale ( a ), ua serie è ua somma formale + = a Si dice che questa serie è covergete e ha per somma b co b R se la successioe delle somme ridotte coverge a b. Se la successioe delle ridotte diverge, ache la serie diverge. (Se la successioe delle ridotte o ammette limite, la serie o ammetterà limite si defiisce idetermiata.) Dato x R, possiamo cosiderare la serie geometrica di ragioe x : + + x = x, dove se x = 0, poiamo 0 = 0 = 0 = Cap Pagia 6 di 33

7 E facile otare che, el caso x = la successioe delle ridotte è =, pertato divergete. Quidi la serie geometrica di ragioe uo diverge a +. Se ivece x, allora si ha: s = x x = = x k 0 Quidi, se x < si ha che il lim x = 0, otteiamo che la serie geometrica di ragioe x, co lim x + + x < è covergete e ha per somma s. Se x > x = +, la serie geometrica di ragioe x, co x >, è positivamete divergete. Se ivece x -, la serie è idetermiata..7 I umeri irrazioali Nel paragrafo abbiamo parlato di gradezze icommesurabili, la cui scoperta fu dovuta a Pitagora. Uo dei dogmi del pitagorismo era stata la cocezioe secodo cui l esseza di tutte le cose, sia i geometria, sia elle questioi pratiche e teoriche della vita umaa era spiegabile i termii di arithoms, cioè di proprietà itriseche dei umeri iteri e dei loro rapporti. Essi credevao che i corpi fossero costituiti di corpuscoli tutti uguali tra loro e disposti i forme geometriche. Questa covizioe i ambito geometrico portava a riteere che ache i puti avessero u estesioe (sia Cap Pagia 7 di 33

8 pur piccolissima). Da ciò essi deducevao che u segmeto dovesse essere formato da u umero fiito di puti. Pertato il rapporto di due segmeti doveva risultare uguale al rapporto di umeri iteri che esprimevao quate volte il puto era coteuto i ciascuo dei due segmeti. I altre parole essi pesavao che il puto fosse il sottomultiplo comue a tutti i segmeti; cioè che tutti i segmeti fossero tra loro commesurabili. Due gradezze omogeee si defiiscoo commesurabili quado ammettoo ua gradezza omogeea alle prime due che è coteuta u umero di volte i ciascua di esse. Applicado il Teorema di Pitagora al triagolo rettagolo isoscele essi furoo però costretti ad ammettere l esisteza di gradezze icommesurabili: scopriroo ifatti l icommesurabilità della diagoale del quadrato rispetto ad u suo lato. Fu proprio attraverso la geometria che per la prima volta si pesò ai umeri irrazioali. Se il lato di u quadrato ha la lughezza di cm, la lughezza della diagoale sarà la radice quadrata di cm. Ma, come avevao già scoperto gli atichi, o esiste alcua radice il cui quadrato sia. La dimostrazioe dell esisteza di gradezze icommesurabili è straordiariamete semplice. Suppoiamo per assurdo che esista ua frazioe m/, co m/ ridotta ai miimi termii, che sia la radice quadrata di due, di modo che m / = cioè m =. Allora m è u umero pari, e quidi m deve essere u umero pari, perché il quadrato di u umero dispari è dispari. Ma se m è pari, m può essere diviso per 4 perché se m=p allora m =4p. Dovremo pertato avere 4p = i cui p è la metà di m. Quidi p = ed ache /p sarà la radice quadrata di. Ma siamo perveuti ad u assurdo perché m/ era ridotta ai miimi termii ed ivece abbiamo trovato che sia m che soo divisibili per due, allora o esiste alcu frazioe il cui quadrato sia pari a. Cap Pagia 8 di 33

9 Ma se m e soo icommesurabili, cosa succede se si teta di determiare il rapporto m/? Riportado sulla diagoale prima m, poi /0 m, /00 m, si ha: m<;,4 m<;,4 m<; e così via fio all ifiito; cioè il rapporto tra gradezze icommesurabili è espresso mediate u umero decimale illimitato aperiodico (se fosse periodico sarebbe riducibile a frazioe) che viee chiamato umero irrazioale. L esisteza di gradezze icommesurabili e coseguetemete dei umeri irrazioali cotraddiceva o solo le covizioi filosofiche dei pitagorici, ma metteva ache i crisi il cocetto di ifiito della filosofia greca. Abbiamo trovato parlado di gradezze icommesurabili che o esiste alcu umero razioale il cui quadrato sia, allora di cosegueza possiamo affermare che o è u umero razioale. Ifatti se calcoliamo, utilizzado ua calcolatrice, viee fuori, Risulta evidete che si tratta di u umero decimale illimitato i cui o è evidete alcua periodicità, quidi si può cogetturare che o è u umero razioale. Dimostriamo la ostra cogettura: Suppoiamo che sia u umero razioale e quidi è possibile esprimerlo come ua frazioe p/q ridotta ai miimi termii, cioè tale che il MCD(p,q)=; allora si ha: p q = Cap Pagia 9 di 33

10 cioè p / q = da cui segue p = q Quidi p è divisibile per, ed è u umero pari, ma allora ache p è pari perché il quadrato di u umero pari è pari, ioltre lo si può scrivere p=k ed allora p = 4k. Da p = q si ha q = 4k Si deduce che q è il doppio di k (formalmete q = k ). Ciò dimostra che q è pari quidi ache q è pari. Abbiamo quidi dimostrato che sia p che q soo pari, ma questo cotraddice l ipotesi che MCD(p,q)=. Assumedo che è razioale abbiamo otteuto u assurdo. Quidi o è u umero razioale. Importate sigificato geometrico di Si può evideziare, applicado il teorema di Pitagora, che la diagoale di u quadrato di lato è esattamete. L'irrazioalità di dimostra che il rapporto diagoale/lato el quadrato o è razioale. Ciò sigifica che ache le figure geometriche più semplici o possoo essere costruite "attaccado" copie di segmeti di "lughezza elemetare miima". Si pesa che questa scoperta del quito secolo avati Cristo abbia provocato ua delle prime crisi dei fodameti della matematica. E possibile approssimare mediate metodi iterativi,tali metodi permettoo di approssimare le soluzioi di u'equazioe i u dato itervallo [a, b]; a partire da ua approssimazioe iiziale x i geerao ua successioe x che coverge alla soluzioe x. I metodi iterativi richiedoo u algoritmo per cercare gli itervalli ei quali si trova u sola soluzioe; Cap Pagia 0 di 33

11 questa operazioe è detta di separazioe delle radici. U metodo è quello della ricerca del cambiameto di sego: calcolata la fuzioe i u dato itervallo [a, b] comiciado da a e co u passo h si percorre tutto l'itervallo calcolado per ogi x il corrispodete y = f(x); quado si verifica u cambiameto di sego della y, si può cocludere che c'è almeo uo zero i [x - h, x], alla codizioe che la fuzioe sia cotiua ell'itervallo (questo risultato si basa sul teorema di Bolzao). I metodi iterativi soo basati su:! ua formula iterativa per geerare la -esima iterazioe a partire dalle iterazioi già calcolate; x! u criterio per la scelta dell approssimazioe iiziale;! u criterio di arresto che coseta di decidere quado iterrompere il processo iterativo. Ricordiamo come metodi iterativi : quello di Newto e Bisezioe. Il metodo di bisezioe è u metodo che geera ua successioe di itervalli [ai,bi] tali che [ai,bi] [ai+,bi+]. Almeo ua delle due successioi ai, bi coverge ad ua radice della fuzioe. Per la covergeza è sufficiete la localizzazioe (separazioe) delle radici. La velocità di covergeza, geeralmete leta è compesata dal fatto che essi covergoo i ipotesi estremamete poco restrittive ( per il metodo di bisezioe è sufficiete la cotiuità della fuzioe). Il metodo di Newto ivece data ua successioe di puti tali che, se l approssimazioe iiziale appartiee al domiio di attrazioe di ua radice c, coverge a c. x i Cap Pagia di 33

12 Il domiio di attrazioe è u itoro della radice tale che, se scelgo come puto iiziale u puto itero all itoro, il metodo è covergete. Tale metodo coverge i geere più velocemete del metodo di bisezioe ache se richiede ipotesi più restrittive (per il metodo di Newto la fuzioe deve essere derivabile). I metodi iterativi possoo essere costruiti a partire da modelli della fuzioe, ossia si approssima la fuzioe f(x) co ua opportua fuzioe g(x) e si approssima lo zero di f(x) co lo zero di g(x). I modelli più utilizzati soo quelli lieari. Vediamo ora l applicazioe di uo dei metodi iterativi: il metodo di Bisezioe. Cosiderata la fuzioe x = si vede che il primo cambiameto di sego lo si ha tra [, ], quidi i tale itervallo vi sarà uo dei due zeri. Adesso si calcola il puto medio tra e (+)/ = 3/ =.5 Cap Pagia di 33

13 A questo valore di x corrispode sulla parabola il valore di y: 3 9 y = = = = 0,5 è positivo duque il cambiameto di sego avviee tra e,5 e i questo itervallo vi è la soluzioe. Secodo passo: calcoliamo la media tra e.5 (+.5)/ =.5 = 5/4=.5 e quidi il corrispodete valore di y y = = = = Il valore è ora egativo, quidi la soluzioe cade tra.5 e.5. Iterado il procedimeto ci si avvicia sempre di più alla soluzioe Si oti che co tale metodo si approssima la fuzioe f(x) co l(x)=-+(x-a)/(b-a) dove a e b soo rispettivamete l estremo iferiore e superiore dell itervallo cosiderato. L errore che si commette al passo k è ek = (bk - ak). Metre per quato riguarda l applicazioe del metodo di Newto, cosiderata acora la fuzioe x = 0 e procededo, come prima alla separazioe delle radici, il cambiameto di sego è tra a= e b=, duque i tale itervallo vi sarà uo dei due zeri della fuzioe. Sia ' P ( ; ) calcoliamo i tale puto f ( ) e f ( ). 0 Cap Pagia 3 di 33

14 Tracciamo da questo puto la tagete alla curva, tale tagete icotrerà l'asse delle ascisse per u valore di x che è la secoda approssimazioe della soluzioe cercata. La tagete avrà per coefficiete agolare il valore della derivata i P0,. Utilizzado l'equazioe della retta geerica per : P 0 y 0 = f '( x 0 )( x x 0 ) y y = m( x ) sostituedo m co 0 x 0 ' f ( x ) e impoedo y = 0 si ha: 0 x = x 0 y0 f '( x 0 = ) = + f '() = 3 =,5 A questo valore di x corrispode sulla parabola il valore di y: 3 9 y = = = 0,5 4 4 = Graficamete si avrà: Cap Pagia 4 di 33

15 Il uovo puto della parabola da cui tracciare la tagete sarà allora (0,5; 0,5) e iterado ua secoda volta la formula: y 0,5 0,5 x = x =,5 =,5 =,47 f ( x ) f '(,5) 3 ' Alla secoda iterazioe abbiamo già u risultato co tre cifre esatte!.8 Area del cerchio L area del cerchio si ottiee moltiplicado il quadrato del raggio per 3,4 A = π r La lughezza della circofereza di u cerchio la si ottiee moltiplicado il diametro per 3,4. Ma ci si chiede chi è quel simbolo magico ed isidioso che cosete di determiare l area del cerchio? Come gli uomii soo riusciti ad idividuarlo e a defiirlo? Il simbolo π viee usato per deotare il valore costate di questo rapporto: dal XVIII sec C π = d Cap Pagia 5 di 33

16 dopo il 550 solo a partire dal XVIII sec d.c., metre il simbolo di uguagliaza etrò ell uso correte dalla secoda metà del 500. Dai documeti e dai reperti storici arrivati fio a oi, risulta evidete che el 300 a. C. il sigificato di π era già oto presso Egiziai e Babiloesi, i quali furoo i primi ad avveturarsi el calcolo del valore di π. Ahmes scribe, iveta u sistema per calcolare l area del cerchio e, trova ua regola geerale per ricavare π. Sul papiro lo scribe Ahmes lasciò scritto: Togli ad u diametro e costruisci u quadrato sulla parte che rimae, 9 questo quadrato ha la stessa area del cerchio. π =4 8 9 = Le idicazioi lasciate sul papiro Rhid da Ahmes, si possoo cosiderare come il primo tetativo di quadrare il cerchio. Il problema della quadratura del cerchio è iteramete coesso co π. Trisezioado i lati di u quadrato co lato di 9 uità e tagliado via i quattro triagoli isosceli, si costruisce u ottagoo, la cui area, osserva Ahmes, o appare molto diversa da quella del cerchio iscritto el quadrato. Cap Pagia 6 di 33

17 Se, duque, riusciremo a cooscere l area dell ottagoo, avremo, all icirca, ache l area del cerchio. L area dell ottagoo è facile da ricavare: oi egiziai, affermava Ahmes, sappiamo da tempo calcolare le aree di quadrati e triagoli; e o fatichiamo a vedere che Area = Area 4Area ottagoo Area ottagoo quadrato = 8 8 = 63 triagolo Questo 63 o mi dice molto, ma 64 lo coosco bee, è l area di u quadrato di lato uguale a otto uità. E questa è per me l area del cerchio iscritto el quadrato di lato 9. Ahmes cotiua : i posteri torcerao forse il aso di frote alle approssimazioi del mio procedimeto ; ma io i tato soo i grado di compiere u passo ulteriore, e ricavarmi, da questo caso particolare, la regola geerale che mi cosetirà, dato u cerchio qualsiasi, di calcolare l area. Devo soltato scoprire che cos è che ha trasformato l area di u cerchio iscritto el quadrato di lato 9, u la costate che cerco, d il diametro del cerchio, mi accorgo subito che Cap Pagia 7 di 33

18 A = u d = 8 u = 8 / 9 = 0,789 Se poi, ivece che ragioare sul diametro, che può essere talvolta scomodo, preferisco operare col raggio, chiamerò e poiamo e avrò: p la costate che cerco A = p r = 8 p = 8 / ( 9 / ) p = 4 ( 8 / 9) = otteedo così u valore per la costate che sto cercado. Il primo che tetò di calcolare scietificamete il valore di π fu Archimede, per questo motivo viee defiito umero di Archimede proprio perché egli formulò ua procedura geometrica per il suo calcolo approssimato, e riuscì a dimostrare che π è compreso tra: e vale a dire a: 3,408 e 3,49 Cap Pagia 8 di 33

19 approssimado la lughezza della circofereza co il perimetro dei poligoi regolari iscritti e circoscritti. Ifatti poiché il perimetro di u poligoo regolare iscritto i ua circofereza è sempre miore della lughezza della circofereza e questa ultima è sempre miore del perimetro di u poligoo circoscritto, cosegue che, detti rispettivamete i perimetri iscritti e circoscritti ed idicata co C la lughezza della circofereza, sussiste la seguete disuguagliaza: p < C > P Ora, si ha che dalla formula della lughezza della circofereza : C = π r, si ha che, π = C / r, per cui sostituedo i tale relazioe al posto dic i perimetri p π = eπ r = P r p e P, si ha: Ed i virtù della disuguagliaza precedete cosegue che: p e P π < π < π Pertato, π è u approssimazioe per difetto di pi-greco, metre π è u approssimazioe per eccesso; l approssimazioe risulterà tato migliore quato più grade sarà il umero dei lati del poligoo iscritto e circoscritto. Nel caso di poligoi iscritti,abbiamo cosiderato la formula π p r ; = il problema cosiste el ricavare il lato del poligoo iscritto i fuzioe del raggio della circofereza data. Tuttavia sfruttado il seguete teorema che afferma : se l idica il lato del poligoo regolare di lati ( =3,4,5, ), iscritto i ua circofereza di Cap Pagia 9 di 33

20 raggio uitario (per semplicità), il lato del poligoo iscritto di lati è dato da: l 4 l =, possiamo aggirare l ostacolo. Ifatti cosiderata la seguete figura, si ha che: A H C B O = r OA = OH = AC = AB / = l / per cui, applicado il teorema di Pitagora al triagolo AHC cosegue che: Cap Pagia 0 di 33

21 l + = AH = AC HC ma OC, applicado il teorema di Pitagora al triagolo OCA, è dato da: 4 =. 4 OC = OA AC = l da cui HC OC = l Per cui si ha: l = l l = 4 l c.v.d. Il teorema appea dimostrato mi cosete di determiare, oto il lato di u qualsiasi poligoo iscritto, il lato di tutti i poligoi iscritti il cui umero dei lati è multiplo del umero di lati del poligoo iizialmete cosiderato. Se ora idichiamo co segue che: p il perimetro di lati, dalla relazioe π p /, = r p l π, = =. r Aalogamete si opera per l approssimazioe per eccesso di π ; sfruttado il seguete teorema:sia l il lato di u poligoo di circofereza, il lato L del poligoo di uguale umero di lati circoscritto è dato da: lati iscritto i ua Cap Pagia di 33

22 L = l 4 l ricaviamo che P L π, = =. r r I virtù della relazioe otteuta e cosiderado il raggio della circofereza uguale ad, si ha: l π ' =. 4 l Per cui la relazioe π < π < π assume la forma : l < π < l 4 l Essedo l il lato del poligoo di lati iscritto ella circofereza. Il più grade matematico idiao del VII sec Brahmagupta calcolò i perimetri dei poligoi iscritti alla circofereza aveti,4,49,96 lati otteedo i valori: 9,65 ; 9, 8 ; 9, 86 ; 9, 87 Cap Pagia di 33

23 Poi vide che aumetado i umeri dei lati e di cosegueza idetificado sempre più i poligoi alla circofereza i loro perimetri, e quidi π si sarebbero sempre più avviciati a 0. Era, ovviamete, del tutto i errore ma questo fu il valore che poi si diffuse dall Idia all Europa e che fu usato el Medioevo dai matematici di tutto il modo, forse ache per l estrema facilità co cui si poteva ricordare e trasmettere π = 0 Fracois Viète ( ) metteva i relazioe l area di u poligoo regolare iscritto a lati co quella di u poligoo di lati. Viète utilizzado la trigoometria, formulò la seguete approssimazioe: Cap Pagia 3 di 33

24 = π Il reciproco del valore otteuto, moltiplicato per, forisce u valore sempre più approssimato di π, quato maggiore è il umero di termii. I primi quattro termii foriscoo il valore approssimato 3,4033 co le prime due cifre decimali esatte. Co sei termii si ha: 3,453, le cui prime quattro cifre decimali soo esatte. Occorroo dieci termii per avere sei cifre decimali esatte: 3,459 Nel 655 Joh Wallis esprime π mediate u prodotto ifiito, i cui tutti i fattori soo umeri aturali. π = Essa cosete u leto avviciameto al suo valore limite i ua cotiua oscillazioe tra u termie maggiore di π e il successivo miore di π. La formula di Wallis richiede almeo 000 termii per avere le prime due cifre decimali esatte di π. Successivamete Leibiz el 68, arriva a defiire π come il quadruplo della somma a segi alterati dei reciproci ella successioe dei umeri dispari. π = Cap Pagia 4 di 33

25 Occorroo be 764 termii per calcolare π ache solo co la precisioe otteuta da Archimede. Nel 736 Eulero comicia ad utilizzare il simbolo π per deotare il rapporto tra la circofereza e il suo diametro. Dopo migliaia di ai spesi ell affaosa corsa alla determiazioe dei decimali di π, co la speraza di trovate ua formula, ci si pose la domada: quale era la vera atura di π? Quale era la atura di quel umero le cui cifre decimali sembravao sfuggire a qualsiasi regolarità? Adrie-Legedre affermava che il umero π o sia eppure coteuto elle irrazioalità algebriche, ossia che o possa essere ua radice di u equazioe algebrica co u umero fiito di termii, i cui coefficieti siao irrazioali. Pare però molto difficile dimostrarlo i modo rigoroso. Nel 88 Ferdiado vo Lidema defiiva π u umero trascedete e sfruttado la famosa equazioe di Eulero dimostrò che: la quadratura del cerchio è impossibile. Le cifre decimali di π si susseguoo all ifiito. Tretaove cifre di π soo sufficieti per calcolare la circofereza di u cerchio. Perché matematici ed esperti di calcolatori o si accotetao delle prime 50 cifre decimali di π? Probabilmete il calcolo di π è divetato ua sorta di parametro per l elaborazioe: serve come misura di raffiatezza e dell affidabilità di calcolatori che lo effettuao. Il gioro ufficiale di π è il 4 marzo, dalla scrittura aglosassoe 3/4; viee geeralmete celebrato alla :59 pm (3,459) co feste ei dipartimeti di matematica i varie istituzioi del modo. Vediamo sperimetalmete come è possibile otteere π. Dalla formula dell area,π corrispode al rapporto tra l area del cerchio e il quadrato del suo raggio Cap Pagia 5 di 33

26 π = A / r che può i maiera elemetare essere euciato sotto forma della seguete domada: Quate volte il quadrato che ha per lato il raggio del cerchio etra el cerchio che ha per raggio il lato dello stesso quadrato? Ua soluzioe a tale domada potrebbe essere trovata costruedo co diversi materiali omogeei cerchi sullo schema del seguete disego Dai quali mediate u seghetto, co la massima precisioe si tagliao i segueti pezzi raggio del cerchio = lato del quadrato Co ua bilacia aalitica, a lettura digitale, si pesao il cerchio e il quadratio che ha per lato il raggio. Calcolato quidi su cerchi di varie misure il rapporto tra peso del cerchio e peso del quadratio, si ottiee il risultato che compare ella seguete tabella: Cap Pagia 6 di 33

27 MATERIAL E RAGGI O SPESSOR E PESO QUADRAT O PESO CERCHI O LINOLEUM 5cm 0,4cm g 37,68g 3,4 0cm 0,4cm 48g 50,7g 3,4 5cm 0,4cm 08g 339,g 3,4 COMPENSA TO CARTONE PRESSATO PLEXIGLAS S 5cm 0,5cm 0g 3,4g 3,4 0cm 0,5cm 40g 5,6g 3,4 5cm 0,5cm 90g 8,6g 3,4 5cm 0,4cm 9g 8,6g 3,4 0cm 0,4cm 36g 3,04g 3,4 5cm 0,4cm 8g 54,34g 3,4 5cm 0,5cm 4,75g 46,3g 3,4 0cm 0,5cm 59g 85,6g 3,4 5cm 0,5cm 3,75g 46,83g 3,4 RAPPORT O TRA I PESI Osserviamo che se per ogi cerchio e quadratio corrispodete, co spessore e peso specifico uguali, a pesi uguali corrispodoo superfici uguali, quidi al rapporto tra i pesi corrispodoo superfici uguali e al rapporto tra i pesi si può sostituire quello delle aree. I termii matematici può essere espresso quato detto, mediate la seguete uguagliaza: π = Pesocerchio / Pesoquadrato = A h ps / A h ps. c c q q Semplificado opportuamete perveiamo Cap Pagia 7 di 33

28 π = A c / A q dove co Ac, Aq, hc, hq, ps deotiamo rispettivamete l area del cerchio,l area del quadrato, lo spessore del cerchio, lo spessore del quadrato e il peso specifico del materiale. Da A / r = 3.4 deduciamo A = r 3.4 Idichiamo co π l area del cerchio di raggio..9 I umeri reali Per quato u aritmetico come Pitagora, possa vatare il potere dei umeri, la atura sembra scherirlo mostrado la esisteza di lughezze che essu umero riesce a stimare i termii di uità. Il problema o rimase i questa forma geometrica, appea fu ivetata l algebra, lo stesso problema si presetò per la soluzioe di equazioi. Se dividiamo tutti i rapporti i due classi, a secoda che i loro quadrati siao miori di o o, troviamo che i rapporti i cui quadrati o soo miori di hao tutti u quadrato maggiore di. No esiste u massimo Cap Pagia 8 di 33

29 dei rapporti il cui quadrato è miore di e o esiste miimo per i rapporti il cui quadrato è maggiore di. No esiste u limite iferiore prossimo a 0 per la differeza tra i umeri il cui quadrato è miore di ed i umeri il cui quadrato è maggiore di. Possiamo dividere tutte le frazioi i due classi tali che tutti i termii di ua classe soo miori di tutti i termii dell altra, metre o esiste u massimo per la prima come o esiste u miimo per la secoda. Tra queste due classi, dovrebbe trovarsi radice quadrata di, o c è iete. Il metodo, di dividere tutti i termii di ua serie i due classi, ua delle quali precede l altra, fu esposto da Dedekid, ed è idicato coseguetemete come taglio di Dedekid. Nel puto di separazioe si verificao quattro casi distiti: ) Può esistere u massimo per la sezioe iferiore ed u miimo per la sezioe superiore. ) Può esistere u massimo per l ua e o esserci u miimo per l altra. 3) Può o esistere u massimo per l ua ma u miimo per l altra. 4) Può o esserci e u massimo per l ua e u miimo per l altra. Il primo caso valido per ua serie i cui esistoo termii cosecutivi, ad esempio ella serie degli iteri, ua sezioe iferiore deve fiire co u umero ed ua sezioe superiore deve comiciare co +. Il secodo caso sarà illustrato dalla serie dei rapporti se prediamo come sezioe iferiore tutti i rapporti miori di, icludedo, e ella sezioe superiore tutti i rapporti maggiori di. Il terzo caso si esemplifica prededo per sezioe iferiore tutti i rapporti miore di, e per sezioe superiore tutti i rapporti maggiori di co icluso. Il quarto caso si illustra poedo ella Cap Pagia 9 di 33

30 sezioe iferiore tutti i rapporti il cui quadrato è miore di e ella sezioe superiore tutti i rapporti il cui quadrato e maggiore di. Escludedo il primo di questi quattro casi, perché presete solo elle serie i cui esistoo termii cosecutivi, el secodo dei quattro casi diciamo che il massimo della sezioe iferiore è il limite iferiore della sezioe superiore e di qualsiasi isieme di termii scelti dalla sezioe superiore i modo tale che essu termie della sezioe superiore vega prima di tutti gli altri. Nel terzo caso, diremo che il miimo della sezioe superiore è il limite superiore della sezioe iferiore, e di ogi isieme di termie scelti dalla sezioe iferiore tale che essu termie della sezioe iferiore vega dopo alcui di essi. Nel quarto caso, ifie, diremo che esiste ua separazioe o gap ; che sia la sezioe iferiore che quella superiore o hao é u limite é u ultimo termie. Quado si verifica questo caso, possiamo ache dire che abbiamo ua sezioe irrazioale, i quato sezioi di serie di rapporti che presetao separazioi quado corrispodoo a umeri irrazioali. Ciò che ha ritardato la formulazioe della teoria dei umeri irrazioali è stato l errore di pesare che esistessero limiti della serie dei rapporti. Diamo ua defiizioe di limite. Si dice che u termie x è il limite superiore di ua classe a rispetto alla relazioe P se: ) a o ha massimo i P ) ogi membro di a che appartiee al campo di P precede x 3) ogi membro del campo di P che precede x precede ache alcui membri di a ( precede sta per ha la relazioe P co ) Cap Pagia 30 di 33

31 Questo presuppoe la seguete defiizioe di massimo: u termie x è u massimo della classe a rispetto alla relazioe P se x è u membro di a e del campo di P e o ha la relazioe P co essu altro membro di a. Il miimo di ua classe rispetto a P è il massimo rispetto alla iversa di P; ed il limite iferiore rispetto a P è il limite superiore rispetto alla iversa di P. Le ozioi di miimo e di massimo o richiedoo i modo esseziale che le relazioi rispetto alle quali soo defiite siao seriali. Ua ozioe spesso importate è quella di limite superiore o massimo che chiameremo cofie superiore. Duque il cofie superiore di u isieme di termii scelti da ua serie è il loro ultimo termie, se esiste, metre, se o esiste, è il primo termie dopo di loro, se c è. Se o c è é u massimo é u limite, o c è cofie superiore. Il cofie superiore è il limite iferiore o il miimo. Torado ai quattro tipi di taglio di Dedekid, risulta evidete che ei primi tre casi ogi sezioe ha u cofie, metre el quarto caso o esistoo cofii. E ache chiaro che, ogi qualvolta la sezioe iferiore ha u cofie superiore, la sezioe superiore ha u cofie iferiore. Nel secodo e terzo caso, i due cofii soo idetici. Ua serie si chiama Dedekidiaa quado ogi sezioe ha u cofie, superiore o iferiore a secoda del caso. Abbiamo visto che le serie dei rapporti i ordie di gradezza o soo dedekidiae. No esiste però u limite razioale dei rapporti il cui quadrato è miore di, si è giuto a postulare u limite irrazioale, che rietra la separazioe dedekidiaa. Dedekid stabiliva l assioma che la separazioe deve sempre essere colmata, cioè ogi sezioe deve avere u cofie. Per tale ragioe le serie che verificao questo assioma vegoo chiamate dedekidiae. Esiste però u umero ifiito di serie per le quali questa circostaza o si verificao. E chiaro che u taglio irrazioale di Dedekid, i qualche modo, rappreseta u irrazioale. Cerchiamo di estrarre ua defiizioe precisa; e per fare ciò Cap Pagia 3 di 33

32 dobbiamo disabituare la ostra mete a pesare che u irrazioale deve essere il limite di ua serie di rapporti. Proprio come i rapporti il cui deomiatore è o si idetificao i umeri iteri, così i umeri razioali che possoo essere maggiori o miori degli irrazioali e possoo avere dei umeri irrazioali come loro limite, o devoo essere idetificati co i rapporti. Dobbiamo defiire u uovo tipo di umeri, i umeri reali, dei quali ua parte sarà formata da umeri razioali ed u altra dagli irrazioali. Per decidere chi soo i reali, osserviamo che u umero irrazioale è rappresetato da u taglio irrazioale ed u taglio è rappresetato dalla sua sezioe iferiore. Limitiamoci ai tagli ei quali la sezioe iferiore o ha u massimo; chiameremo la sezioe iferiore segmeto. Allora i segmeti che corrispodoo a frazioi soo quelli costituiti da tutti i rapporti miori del rapporto al quale corrispodoo, che è il loro limite; metre i segmeti che rappresetao umeri irrazioali soo quelli che o hao cofie. U umero reale è u segmeto della serie di rapporti i ordie di gradezza. U umero irrazioale è u segmeto della serie dei rapporti che o ha cofie. U umero razioale reale è u segmeto della serie dei rapporti che ha u cofie. Pertato u umero razioale reale è formato da tutti i rapporti miore di u certo rapporto, corrispodete proprio del umero reale razioale. Esempio: il reale, e la classe delle frazioi proprie, la radice quadrata di è il limite superiore di tutti i segmeti della serie delle frazioi che corrispodoo alle frazioi il cui quadrato è miore di. Acora la radice quadrata di è il segmeto formato da tutte le frazioi il cui quadrato è miore di. E facile dimostrare che la serie di segmeti di ua serie qualsiasi è dedekidiaa. No esiste alcua difficoltà per quato riguarda la defiizioe di addizioe e moltiplicazioe per umeri reali così defiiti. Dati due umeri reali m ed Cap Pagia 3 di 33

33 , oguo essedo ua classe di frazioi, prediamo u membro qualsiasi di m ed u membro qualsiasi di e sommiamoli secodo le regole della somma di frazioi. Formiamo la classe di tutte le somme otteibili variado i membri scelti per m e. Questo forisce ua uova classe di frazioi, ed è facile provare che si tratta di u segmeto della serie delle frazioi. La somma aritmetica di due umeri reali è la classe delle somme aritmetiche di u membro dell ua e di u membro dell altra, tali membri scelti i tutti i modi possibili. Possiamo defiire il prodotto aritmetico di due umeri reali esattamete ella stessa maiera, moltiplicado u membro di ua classe di frazioi per u membro dell altra i tutti i modi possibili. La classe di frazioi così formata viee defiita prodotto di due umeri reali. I tutte queste defiizioi la serie delle frazioi deve essere defiita i modo tale che sia zero che ifiito e vegao esclusi. Ifie o esistoo difficoltà per estedere la defiizioe ai umeri reali positivi e egativi, e alla loro somma e moltiplicazioe. Cap Pagia 33 di 33

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