Appunti sulle SERIE NUMERICHE

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1 Apputi sulle SERIE NUMERICHE Michele Bricchi I queste ote iformali parleremo di serie umeriche, foredo i criteri stadard di covergeza che si è soliti itrodurre i ua trattazioe elemetare della materia. No daremo quasi essua dimostrazioe dei fatti che euceremo (proposizioi, criteri e così via) ma cercheremo di illustrare co molti esempi l impiego.. Itroduzioe: Achille e la tartaruga Suppoiamo che Achille ed ua tartaruga disputio ua gara di corsa. Achille corre veloce, diciamo co velocità 4 m/s, metre la tartaruga corre alla (irrealistica) velocità di m/s. Si cocedoo allora alla tartaruga 4 m di vataggio. Ora, quado partoo Achille copre la distaza di 4 m i t 0 = s. La tartaruga i questo lasso di tempo si è però spostata di u metro. Achille copre quella distaza i t = /4 s, e tuttavia acora la tartaruga gli sfugge, dato che i questo tempo essa avaza acora di /4 di metro. Allora Achille avaza di /4 di metro i t 3 = /6 s. Ma la tartaruga è già avazata di /6 di metro... Isomma Achille el tempo (espresso i secodi) t = t 0 + t + t t k = k () si trova distate /4 k metri dalla tartaruga. Ora è be vero che questa distaza diveta irrisoriamete piccola, al crescere di k, tuttavia essa o è mai ulla. Per cui dovremmo cocludere, come Zeoe, che Achille o raggiugerà mai la tartaruga i u tempo fiito, dato che questo dovrebbe essere dato dalla somma ifiita otteuta dalla (), sommado tutti i tempuscoli t k. Il che è paradossale, perché seguedo u altro ragioameto, troviamo ivece che Achille icotra (e supera) il rettile. Ecco come: lo spazio (i metri) percorso da Achille i t secodi è (spazio percorso=velocità tempo) s A = 4 t. Lo spazio percorso dalla tartaruga è, del tutto similmete, s T = t.

2 Cotado che si dà vataggio di 4 m alla tartaruga avremo che Achille e la tartaruga si icotrerao se e solo se esiste t tale che s A = s T + 4, cioè, 4t = t + 4. L equazioe cui siamo perveuti è elemetare ed ha per soluzioe t = 4 s. (2) 3 /4 m /64 m m /6 m 4/3 m Le argometazioi di Zeoe soo ieccepibili, all ifuori dell argometo fiale: dato che il tempo di icotro si preseta come somma di ifiiti tempi, si deduce che esso avverà i u tempo ifiito. Come ivece vedremo, la somma ifiita o, più propriamete, la serie o vale affatto +, ma vale 4/3, guarda caso, proprio il tempo che abbiamo trovato co u elemetare ragioameto fisico ella (2). Nelle sezioi che seguirao daremo u impiato rigoroso alla questioe che qui sta alla base del paradosso: Come posso sommare tutti i termii di ua succesioe? 2

3 2. Defiizioe di serie Comiciamo duque co il precisare il cocetto di serie. Data ua successioe {a } N si costruisce la cosiddetta successioe delle ridotte associata ad {a } come segue: s = a s 2 = a + a 2 s 3 = a + a 2 + a s = a + a a Duque {s } è la successioe delle somme parziali dei termii della successioe di parteza {a }. Ua volta che si è costruita la successioe {s } ci si chiede se questa ammette ite. I tal modo, per defiizioe, si sta studiado il comportameto della serie a. () Si osservi che la scrittura () è espressiva el seguete seso: se scriviamo k itediamo a +a 2 + +a k. Ovvero k soo i termii sommati. Scrivedo al posto di u umero fiito si itede sottolieare che vi è u passaggio al ite, cioè che si prede la somma di tutti i termii a, el seso precisato sopra. Si hao evidetemete tre casi possibili: ) il ite L di {s } esiste fiito: la serie a coverge ed ha per somma L ; 2) la successioe {s } ha ite uguale a + o : 3) la successioe {s } o ha ite: la serie a è oscillate. a la serie a diverge a + o a, rispettivamete; Ad esempio, se a =, allora s è uguale alla somma dei primi umeri aturali: s =, s 2 = 3, s 3 = 6, e così via. I questo caso particolare si sa co esattezza cosa mettere al posto della locuzioe e così via appea usata: si può ifatti dimostrare per iduzioe che ( + ) s =, per ogi N. 2 3

4 Pertato, si ha oppure si dice che la serie data diverge. = +, Purtroppo questa situazioe rosea ella quale siamo icappati è da riteersi rara: il più delle volte, assegata la successioe {a }, o riusciremo a scrivere esplicitamete la formula che lega s a. Ad esempio, se a = /, sappiamo che s =, s 2 = 3/2, s 3 = /6..., ma o riusciamo a scrivere la formula geerale che lega esplicitamete s a e quidi riesce difficile stabilire il carattere della serie /. Vedremo più i là che questa serie diverge a +, ache se forse il lettore ha formulato i proposito ua cogettura diversa. I effetti, vedremo che esistoo alcui criteri che, se usati co cura, possoo aiutare a stabilire il comportameto di ua data serie piuttosto facilmete, e di più o vorremo: quado avremo stabilito se ua serie coverge avremo già raggiuto lo scopo. L evetuale richiesta successiva, e cioè a cosa coverge la serie data? esula da ua trattazioe elemetare. 4

5 3. Codizioe ecessaria La prima fodametale codizioe che si ha è la seguete: Codizioe Necessaria (CN). Data ua successioe {a }, affiché la serie a coverga è ecessario (ma o sufficiete) che a = 0. Dimostrazioe. La dimostrazioe di questo fatto è baale: si ha a = s s, per = 2, 3,... Dato che stiamo assumedo che la serie a coverge, sappiamo per defiizioe che {s }, e duque ache {s } covergoo ad u ite fiito. Allora la loro differeza, che è per l apputo {a }, tede a zero. Si osservi che la struttura logica dell euciato è duque la seguete se a coverge, allora a = 0, ( ) oppure (e questa è la forma più iteressate) si ha del tutto equivaletemete se a o è ullo, allora a o coverge. I altre parole tale criterio dà qualche iformazioe solo se a o è uguale a zero (cioè o o esiste, oppure vale ±, oppure è fiito ma o vale 0 ). I tal caso ifatti si può subito cocludere che la serie data o coverge (pertato o oscilla o diverge). Esempi di serie o covergeti soo allora date da ( ) ; 7, 7, log, ( ) + 9, , ifatti i termii geerali a di volta i volta scelti o hao ite ullo, al tedere di all ifiito. L errore igeuo che talora si commette cosiste el rovesciare l implicazioe coteuta ella frase ( ), ovvero dire se a = 0, allora a coverge. Questa frase è falsa. Se ifatti il termie geerale a fosse ifiitesimo, allora fio a questo puto o si può cocludere ulla sul comportameto della serie a. Vedremo, ad esempio, che le due serie segueti e 2 5

6 soo, rispettivamete, divergete e covergete ed etrambe hao termie geerale ifiitesimo. Fio ad ora o abbiamo fatto essua ipotesi sulla successioe {a } e pertato la codizioe (CN) vale i tutta geeralità. Molti dei criteri che ora vedremo valgoo ivece per ua classe particolare di serie. 4. Serie a termii positivi Ua serie a è detta a termii positivi quado esiste u idice N N tale che a 0 per ogi N. I altre parole, a parte u umero fiito di termii iiziali che possoo avere il sego che voglioo, la successioe a deve essere dopo u po sempre positiva. Nella maggior parte dei casi avremo sempre N =, ovvero la successioe sarà globalmete positiva, ma è bee teere a mete che tutto quato diremo vale per successioi che siao solo defiitivamete positive, come si suol dire tecicamete. Merito delle serie a termii positivi. Ua serie a termii positivi o può oscillare. Dimostrazioe. La dimostrazioe di questo fatto è semplicissima: ifatti basta osservare che la successioe delle ridotte {s } è defiitivamete mootoa (per ogi N si ha ifatti s + s, dato che s + s = a 0 ) ed è be oto che ogi successioe mootoa ammette sempre ite (fiito o ifiito). Le uiche due alterative che si hao duque per ua serie a termii positivi soo che a sia covergete, oppure che sia divergete a +. Ioltre (e grazie a questo fatto) si hao alcui criteri molto utili che servoo per decidere quale delle due alterative è quella giusta. Nel caso delle serie a termii positivi useremo ache la scrittura a < per dire che la serie data coverge e, aalogamete, scriveremo a = per dire che la serie diverge a +. Criterio del cofroto. Date due serie a termii positivi a e b si ha che se a b e se a b e b <, b =, allora allora a < ; a =. I altre parole se il termie geerale a di ua serie a termii positivi è maggiorato dal termie geerale di ua serie covergete, allora ache la serie di parteza coverge. Per coverso, se il termie geerale a di ua serie a termii positivi maggiora il termie geerale di ua serie divergete, allora ache la serie di parteza è costretta ad esplodere. 6

7 Osservazioe. Segaliamo subito u fatto: o è ecessario che la disuguagliaza a b (o a b ) valga per ogi N per poter usare il criterio. E sufficiete che valga a partire da u certo idice N N i avati, ovvero, come si dice, che valga defiitivamete. Ad esempio, se sapessimo che la serie a termii positivi /2 coverge (cosa che sapremo tra breve), allora potremmo cocludere che ache la serie (a termii positivi) coverge. Usado ifatti il criterio del cofroto abbiamo che , e dato che l ultima espressioe è il termie geerale di ua serie che, apputo, sappiamo essere covergete, allora ache la serie data coverge. Sempre co lo stesso criterio, ua volta oto il fatto che la serie / =, potremo cocludere che ache la serie =2 3 diverge. Vediamo come fare: vorremmo che 3/( ) maggiorasse /. Se ciò fosse vero, per la secoda parte del criterio del cofroto, ache la serie data dovrebbe divergere. Duque, rimae da cotrollare se 3/( ) /. Questo equivale a 3, ovvero, /2. Dato che per oi è itero e parte da 2, certamete la disuguagliaza è vera e quidi la serie data risulta divergere. Questi esempi redoo evidete u fatto: per poter applicare bee il criterio del cofroto (ma lo stesso discorso va fatto per i criteri che seguirao) è bee disporre di u bagaglio di serie dal comportameto oto. Ifatti, egli esempi appea discussi abbiamo citato due serie di cui abbiamo dato per oto il comportameto. Qui di seguito elechiamo alcue di queste serie. Le dimostrazioi della covergeza o della divergeza di queste serie vegoo omesse. serie armoica: diverge =2 serie armoica geeralizzata: coverge λ per λ > ; diverge per λ serie armoica modificata: coverge per log γ γ >, diverge per γ =0 q serie geometrica di ragioe q : coverge per q < co somma /( q) ; per q oscilla e per q diverge 7

8 Questa tabella va imparata molto bee. Grazie a queste iformazioi, possiamo ripredere gli esempi fatti e giustificare quato detto: el primo caso avevamo detto che la serie /2 risultava covergete: ora sappiamo che si tratta di ua serie armoica geeralizzata co λ = 2 ed i effetti tale serie coverge. Poi avevamo cosiderato la serie / : questa risulta divergete i quato è la classica serie armoica ( λ = ). Proseguiamo co lo studio dei criteri. Criterio del cofroto (versioe asitotica). Assegate due serie a termii positivi a e b, co b 0, per ogi N, suppoiamo che esista il ite a /b (fiito o meo) e deotiamolo co L. Si ha che se L (0, + ), allora se L = 0, e se L =, e a e b coverge, allora b diverge, allora b covergoo o divergoo etrambe; a a coverge diverge Ache i questo caso il criterio ha ragio d essere se si coosce il comportameto di alcue serie. Vediamo qualche esempio i proposito. Si voglia stabilire il comportameto della serie Osserviamo ache che si tratta di ua serie a termii positivi: a parte il primo, che è egativo, tutti gli altri soo positivi. Possiamo allora applicare i vari criteri. Proviamo a cofrotare co la serie (2/3), che sappiamo essere covergete, dato che si tratta di ua serie geometrica di ragioe q = 2/3. Abbiamo: (2 + 8)/ (2/3) = 2 = 2 Duque per il cofroto asitotico la serie data coverge. Il motivo del ome di questo criterio dà ache u idizio prezioso sul suo utilizzo: la scelta della successioe b = (2/3) o è ifatti casuale: come mai abbiamo proprio scelto questa successioe e o, ad esempio, b = 3, o b = 2 + (scelte che o avrebbero portato a ulla di buoo)? Guardiamo la successioe di parteza uovamete: si ha ifatti a = 2+ 8 ( 2 ) ( 3 = 2 + o (2/3) ), per, 3 8

9 dove il pezzo o ( (2/3) ) è evidetemete 8/3. Da questo facile coto si vede che il pezzo che cota ella successioe data è proprio (a meo della costate 2 ) (2/3). Precisado meglio quato detto, si dice che e ( 2 3) soo due successioi asitotiche ed il criterio del cofroto asitotico asserisce i buoa sostaza che il comportameto di ua serie o cambia se al posto della successioe {a } se e mette u altra a lei asitotica. Certo, la somma della serie cambia eccome sostituedo ad ua certa successioe u altra a lei asitotica, tuttavia o cambia il comportameto di covergeza o divergeza, ed è questo che a oi iteressa maggiormete. Osserviamo a questo puto che, ad essere rigorosi, o si dovrebbe dire che soo due serie ad essere asitotiche tra loro, ma si dovrebbe ricooscere che soo i loro termii geerali ad essere asitotici. Tuttavia questo abuso di liguaggio è tollerato ed ache oi ricorreremo di quado i quado a questa locuzioe. U altra osservazioe che facciamo è questa: il criterio del cofroto è iutile se si sostituisce alla successioe data ua successioe, sì a lei asitotica, ma di cui o si coosce il comportameto della serie associata. Se, ad esempio, si fosse scelta la successioe b = (2 )/(3 + log ), acora avremmo costatato che b è asitotica ad a (lo si verifichi!), ma la successioe b è acora più complicata di quella da cui siamo partiti e la serie associata risulta essere log, la cui atura è acora più misteriosa di quella di parteza. Ivece, avedo già scoperto che la serie da cui siamo partiti coverge, ora sappiamo che ache tutte quelle co termie geerale a asitotico a (2/3) soo covergeti e quidi, come tale, ache il mostro scritto sopra è ua serie covergete. Ora ci si può sbizzarrire; le segueti serie soo tutte covergeti (tutti i termii geerali soo asitotici a (2/3) ): 0 2 +π se log(log(log )) + 3 +, =3 cos( 2 + 8) e + + log( ), log(2 + e 2 ) + e log 3. U altro esempio (più facile) di successioi asitotiche è questo: le successioi 3 e 3 + soo asitotiche i quato il loro rapporto vale 3 3 = = + o(), per, 3 (e duque ha ite uguale a, al tedere di all ifiito) pertato le due serie (3 ) e 3 hao lo stesso comportameto. Dato che l ultima diverge, altrettato fa la prima. 9

10 Vediamo u esempio u po più difficile. Cosideriamo la serie log( + / 2 ). La prima cosa da verificare è che la codizioe (CN) valga. Questo è semplicissimo: log( + /2 ) = log = 0. Pertato si deve adare avati. Il secodo passo cosiste el verificare se si tratta di ua serie a termii positivi. Fortuatamete, siamo proprio i questa codizioe: log( + / 2 ) 0 se e solo se + / 2, ovvero 2 0, disuguagliaza baalmete vera. Duque possiamo applicare tutti i criteri visti sio ad ora. Proviamo a vedere cosa succede cofrotado co la successioe b = / : log( + / 2 ) / log( + x 2 ) =. x 0 x Qui abbiamo operato il cambiameto di variabile / = x e possiamo iterpretare x R, i modo da poter usare tutti gli strumeti del calcolo differeziale. Si ha ifatti ua forma idetermiata del tipo /, dalla quale si esce però immediatamete usado de L Hôpital ua sola volta: log( + x 2 ) x 0 x = x 0 2x + x 2 = 0. Dato che o è veuto u umero fiito diverso da zero, sigifica che abbiamo sbagliato a predere la successioe co cui cofrotare: abbiamo preso ua successioe troppo leta. Proviamo allora co b = / 3. Co calcoli aaloghi a quelli or ora fatti si arriva a log( + / 2 ) log( + x 2 ) / 3 = x 0 + x 3 = x x( + x 2 ) = +. Questa volta abbiamo ecceduto ell altro verso ed abbiamo preso ua successioe troppo ifiitesima. La giusta misura è data dalla successioe b = / 2 : vediamo che i effetti è questa la successioe cui log( + / 2 ) è asitotica. Si ha log( + / 2 ) log( + x 2 ) / 2 = x 0 x 2 = y 0 log( + y) y =. 0

11 Fialmete! Abbiamo scoperto che log( + / 2 ) = / 2 + o(/ 2 ), per. Dato che / 2 è il termie geerale di ua serie covergete (la serie armoica geeralizzata /2 ), cocludiamo che ache la ostra serie di parteza è covergete. Co lo stesso ragioameto si deduce che la serie se(2/) è divergete, ifatti si tratta di ua serie a termii positivi il cui termie geerale ( a = se(2/) ) è asitotico alla successioe b = / (serie armoica co λ = : divergeza). Voledo essere proprio pedati si calcola il ite se(2/) / e ci si accorgerà che viee u umero fiito o ullo. Questo ci dice che abbiamo proprio cetrato la successioe asitotica giusta e da qui, sfruttado il fatto che la serie / diverge, si coclude. Co lo stesso ordie di idee si ha che le serie segueti soo covergeti (si svolgao i coti ecessari per alcue delle serie che compaioo, cercado di acquisire il colpo d occhio ecessario). log ( + / 2.5) ; 2 + se 2 log ; 3 0 ; π e + π π e. Le segueti serie soo ivece divergeti: log log( + /); cos(/); log ; Criterio del rapporto (versioe asitotica). Assegata ua serie a termii positivi a tale che a 0 per ogi N si ha che se se a + <, allora a a + >, allora a a < ; a =. Di solito il criterio del rapporto è quello più usato, spesso a sproposito: il motivo è però compresibile, dato che o richiede il cofroto co essu altra serie. Tuttavia questo

12 criterio va usato solo i certi casi e o i tutti: si osservi ifatti che se e vero che elle applicazioi raramete capita che a + /a o esista, altrettato vero è che spesso capita che tale ite sia e il valore rappreseta u elemeto di cofie tra la covergeza e la divergeza, per il quale il il criterio o forisce alcua iformazioe sulla covergeza o sulla divergeza della serie e bisoga usare u altro criterio. Facciamo qualche esempio. Ricordiamo che si defiisce! = 2 3 e si legge fattoriale. La successioe! cresce molto rapidamete, per redersee coto si calcoli 3!, 4!, 5! e 6!. Per il fattoriale vale evidetemete l utile formuletta usata spesso el seguito. Studiamo ad esempio la serie ( + )! =! ( + ),!. Qui è molto utile il criterio del rapporto, ifatti abbiamo a + /( + )! = = /(! ( + ) ) a /! /! = +. Il ite dell ultima espressioe è chiaramete zero, pertato cocludiamo che la serie è covergete. Studiamo ora la serie Il criterio del cofroto o dà risultati apprezzabili: se cofrotiamo co la serie b = 3, come verrebbe spotaeo fare, otteiamo e l ultima espressioe tede a più ifiito. Proviamo co il criterio del rapporto: a + a Dato che /3 < la serie coverge. 3. /3 =, 3 ( + )/3 + = /3 = 3 + = 3. Il criterio del rapporto è molto utile quado ci soo termii geerali i cui si hao espoeti dipedeti da, oppure quado ci soo fattoriali (o ua combiazioe delle due cose). Ecco u altro esempio: studiare la serie 4!. 2

13 Osserviamo che qui o è emmeo tato ovvio vedere se la codizioe (CN) è verificata: il ite 4 /! o è ifatti evidetissimo. Tuttavia il criterio si può applicare ache seza sapere se il termie geerale è o meo ifiitesimo (i effetti lo è, come vedremo). L uica cosa che si deve verificare è che la successioe sia positiva, ma questo è ovvio. Duque, usado la versioe asitotica del criterio del rapporto si ha. 4 + /( + )! 4 /! 4 4 / ( ( + )! ) = 4 /! 4 = + = 0 Dato che il ite esiste ed è strettamete miore di, la serie data coverge (di questa serie si coosce ache la somma che, sia detto per iciso, vale e 4 ). Vediamo quest altro esempio: si discuta il comportameto della serie Nell esempio precedete abbiamo visto che! tede all ifiito molto più rapidamete di 4. I tal modo il rapporto 4 /! è molto ifiitesimo e la serie risultate riusciva a covergere. Se al posto di 4 vi fosse scritto 6, 57 o 00 o cambierebbe ulla: acora il fattoriale sarebbe più ifiito dell espoeziale di volta i volta scelto. Proviamo allora a cofrotarlo co, che è più ifiito di u espoeziale. Il criterio del cofroto è acora la tattica giusta da seguire: a + = ( + )+ /( + )! a /! = ( + /) = e Dato che e > otteiamo che la serie diverge.!. ( + ) ( + ) / ( ( + )! ) = /! Ma ora abbiamo capito come procedere: per otteere ua serie covergete basterà fare i modo che si arrivi ad u ite aalogo a quello scritto sopra, il quale sia però miore di uo. Ecco u esempio i proposito: 0!. Questa serie sicuramete risulterà covergete. Applichiamo il criterio del rapporto e vediamo cosa esce: a + = ( + ( )+ / 0 + ( + )! ) ( + ) ( + ) / ( 0( + ) 0! ) a /(0 =!) /(0!). = 0 ( + /) = e/0 I effetti, come previsto troviamo come ite e/0, il quale è miore di e la serie data risulta pertato covergete. 3

14 Criterio della radice (versioe asitotica). Data ua serie a termii positivi a si ha che se se a <, a >, allora allora a < ; a =. Il criterio della radice è molto simile al quello del rapporto ed a parte qualche esempio o ci isisteremo molto. Si osservi che ache, alla stessa stregua del criterio del rapporto, il valore o produce alcua iformazioe: se il ite a = il criterio o dà alcua iformazioe e bisoga procedere diversamete. Ecco qualche esempio i cui il criterio della radice ha ua certa utilità: prima di procedere segaliamo che o di rado, usado questo criterio, ci si imbatte i iti della forma, 2, oppure 3, ecc. Ebbee, tutti questi iti valgoo, come subito si ota scrivedo, ad esempio come e (/) log. Veiamo agli esempi: si discuta il comportameto della serie (log(e 4 + /)) Estraedo la radice -esima otteiamo: a = (log(e4 + /)) = log(e 4 + /) I tre fattori dell ultima espressioe tedoo, rispettivamete, a 4, (ecco che compare qui il ite di cui abbiamo parlato poco sopra) e /5 ; pertato, passado al ite, troviamo a = 4/5, ed essedo tale ite miore di uo otteiamo la covergeza della serie. Co lo stesso orie di idee si mostra che la serie 3 (log(e 6 + 5/)) diverge (il ite fiale vale ifatti 6/5 ). 5 7 I criteri maggiormete usati soo quelli che abbiamo elecato qui sopra. Ne aggiugiamo uo o molto oto, ma qualche volta utile. Questo criterio o ha u ome vero e proprio, quello proposto è solo u modo per ricordarlo. 4

15 Criterio di sostituzioe. Sia data ua serie a a termii positivi, tale che la successioe {a } sia o crescete. Si ha che la serie a coverge se e solo se la serie 2 a 2 coverge. Ad esempio, studiamo la serie =2 log 2. Qui a = (log )/ 2. Per applicare il criterio dobbiamo verificare se {a } è decrescete. Al solito, passiamo da a x e studiamo la fuzioe f(x) = log x x 2 per x 2. Derivado troviamo f (x) = 2 log x x 3 ed i effetti f (x) < 0 per x 2. Pertato la successioe {a } è decrescete. Allora, applicado il criterio troviamo 2 a 2 = 2 log 2 (2 ) 2 = (log 2) = log 2 L ultima espressioe trovata è il termie geerale di ua serie covergete (o, se acora la cosa risulta o chiara è il termie geerale di ua serie, più facile da studiare di quella data i parteza, la quale dopo uo studio breve risulta essere covergete). Pertato è covergete ache la serie data all iizio. Osserviamo esplicitamete che qui essu criterio tra quelli euciati sopra sarebbe servito: il cofroto o dà risultati, i quato si vede subito che log / 2 è maggiore di / 2, ma quest ultimo è il termie geerale di ua covergete e duque o possiamo dire ulla della serie data; aalogamete si vede altrettato facilmete che log / 2 è miore di /, ma di uovo questa stima o ci dice ulla, dato che / è il termie geerale di ua serie divergete! Il criterio del rapporto dà come ite log( + )/( + ) 2 log / 2 log( + ) = log 2 ( + ) 2 =, che è proprio il valore che ivalida l uso del criterio. Il criterio della radice (ache se a essuo verrebbe i mete di usarlo) dà per risultato: log 2 ( log ) = 2 = e log log 2 = e (log log 2 log ) = e log log 2 log = e 0+0 =, 5

16 ed ache i questo si trova il valore che rede vao il criterio. I realtà abbiamo u po barato el dire che il criterio del cofroto o fuzioa: sarebbe stato meglio dire che o risulta efficace co le scelte più aturali delle successioe b = / 2 e b = /. Tuttavia, co la maggiorazioe più fie log valida per ogi maggiore di u certo N, si trova: log 2 2 = 3/2 l ultima espressioe è il termie geerale di ua serie covergete, pertato per il criterio del cofroto (prima versioe) la serie data è covergete. Mettiamo i evideza la disuguagliaza usata, dato che potrebbe torare utile. Disuguagliaza utile. Preso u umero strettamete positivo ε, piccolo quato si vuole, esiste sempre u idice N N tale per cui log ε, per ogi N. Noi abbiamo usato questa disuguagliaza co ε = /2. Certamete l idice N dipede da quato piccolo abbiamo scelto ε (è tato più grade, tato più piccolo scegliamo ε ), ma quello che importa è che a partire da tale N, la disuguagliaza vale sempre. 6

17 5. Qualche osservazioe più profoda (facoltativo) Ua volta imparati i criteri qui sopra esposti, cerchiamo di adare u poco oltre, co qualche osservazioe di carattere geerale. Ciò che deve assolutamete essere compreso ora, alla luce di tutte le cosiderazioi svolte, è che il comportameto di ua serie a termii positivi a è determiato dall ordie di ifiitesimo del termie geerale a : se questo è leto, allora la serie diverge, se questo è veloce el tedere a zero, allora la serie data risulta covergere. Naturalmete bisogerebbe spiegare co precisioe che cosa itediamo co leto e veloce : dopo aver svolto u po di esercizi, il lettore si sarà fatto l idea, piuttosto corretta, che a è da cosiderarsi veloce, quado esso è più ifiitesimo di /, ad esempio /.5. I tal caso ifatti la serie associata dovrebbe covergere per cofroto. La cogettura che uo è duque portato a fare è che ua serie a coverge se a = o(/), ovvero se il termie geerale è più ifiitesimo di /. Questa idea o è del tutto corretta (ache se ituitivamete davvero credibile), i quato esistoo successioi che soo o(/), ma che o soo o(/ +ε ), per alcu ε > 0. I altre parole, ci soo successioi a tali per cui a è acora ifiitesima, ma +ε a o lo è più, comuque piccolo si scelga ε > 0. Ua tale successioe si trova i bilico tra il baratro della divergeza e la spiaggia sicura della covergeza (della serie associata, ovviamete). Forse u esempio vale più di mille parole: cosideriamo le due successioi a = log, e a =, per 2. (log ) 2 Ora, etrambe le successioi soo più ifiitesime di / (ovvero, esse soo o(/), ifatti, divise per / soo acora ifiitesime). Tuttavia esse lo soo talmete poco di più da o risultare o(/ +ε ), qualuque sia ε > 0. Per redersee coto scegliamo, a titolo di esempio ε = : abbiamo /( log ) = /.0000 log = e del tutto aalogamete si procede co l altra successioe. Duque, come si vede, si tratta di due successioe che hao ordie di ifiitesimo più grade di, ma più piccolo di + ε, per ogi ε > 0! Questo, tra l altro, è uo dei motivi per cui o è possibile disporre di ua scala be ordiata di ifiitesimi. Potremmo dire che queste successioi hao ordie +, ivetado il umero + che ha la proprietà di essere più grade di uo, ma miore di ogi umero più grade di. Tuttavia ci si rede be coto come peggiorare le cose: la successioe a = log log log 7

18 è acora più ifiitesima di a, ma meo di a... isomma il puto è che ci soo ordii di ifiitesimi iterstiziali che o rietrao i scale be ordiate e di cui bisoga teer coto. Ifatti, la serie associata ad a diverge, metre quella associata ad a coverge! Eppure etrambe soo davvero pochissimo distati da /. Ritorado alla cogettura, allora, dobbiamo ammettere che essa è falsa. Tuttavia il pricipio che ci ha spito a formularla rimae be saldo: se riusciamo a ricooscere l ordie di ifiitesimo di ua successioe, allora la serie associata ha lo stesso comportameto della serie associata ad ua qualuque successioe asitotica a quella data. Detto acora diversamete: data ua serie si cerca il prototipo (cioè l espressioe più semplice i assoluto) di termie geerale asitotico a quello dato. Per tale prototipo si suppoe oto il comportameto della serie associata, ebbee, allora la serie data avrà lo stesso comportameto di questa. Ciò è sistematicamete quello che si fa quado si usa il criterio del cofroto (il capostipite di tutti i criteri). Questa è davvero l esseza delle serie a termii positivi: bisoga capire come tede a zero il termie geerale, cercado di o farsi fuorviare da termii aggiuti solo per complicare le cose. Ad esempio, la serie a termii positivi se(4 + 20) 4 + log( 60 + ) è covergete. No è magia: si tratta semplicemete di capire che il termie geerale è asitotico al molto più semplice termie b = (3/4) (quello che sopra abbiamo chiamato prototipo ), il quale ha serie associata covergete. Per capire questo basta eiare i termii iutili: 2, ad esempio, è trascurabile rispetto a 3 e duque o pesa affatto sulla covergeza o sulla divergeza della serie, e quidi si butta. Per o parlare di se(4 + 20), scritto solo per spavetare lo sprovveduto: si tratta semplicemete di u termie itato che o ha peso rispetto a 3. Al deomiatore si fa la stessa cosa, eiado gli ifiiti di ordie miore. Rimae allora solo 4. Ecco perché, alla fie, si rimae co la frazioe 3 /4, certamete asitotica alla successioe data i parteza. Purtroppo se è vero che questo è il pricipio cardie che govera le serie a termii positivi, altrettato vero è che o esistoo regole chiare che isegio ad operare. Se si preseta a come frazioe, i effetti, l idea di eiare gli ifiiti di ordie miore fuzioa, però è ache vero che o bisoga cadere i trabocchetti: ella serie ( + ) o si può cacellare impuemete il termie 3 2 al umeratore! Ifatti o è affatto detto che, a coti fatti, sia davvero lui l ifiito di ordie più basso. I effetti, svolgedo il cubo, si giuge all espressioe ( + ) = = 3 + 8

19 pertato, come be si vede, l ifiito più basso è! La serie allora risulta covergete, i quato asitotica a / 2 e o risulta divergete, come si sarebbe otteuto sopprimedo igeuamete il termie 3 2. Duque la preseza di segi meo deve mettere i guardia. Altrettato vero è che o sempre la frazioe si preseta come rapporto di ifiiti: la serie (discussa egli Esercizi Svolti) se(/) + / 3 cos(/) si preseta ad esempio come rapporto di ifiitesimi e bisoga agire diversamete, cercado di scartare i termii maggiormete ifiitesimi! Ifie, potrebbe capitare il caso i cui il termie geerale di ua serie o si preseti proprio come rapporto: si cosideri ad esempio la serie ( + ). U esempio aalogo a questa serie è discusso egli Esercizi Svolti. Isomma, come si diceva, o vi soo regole certe. La direttiva resta i ogi caso Idividuare il prototipo di ifiitesimo di a e sul come ciò debba essere fatto, o possiamo però che presetare vari esercizi risolti, cercado di far scaturire sesto seso ed esperieza al lettore. 9

20 6. Serie a termii di sego qualuque I criteri visti sio a qui valgoo solo per le serie di sego (defiitivamete) costate, ovvero serie a termii positivi o serie a termii egativi. Sulle serie a termii egativi o abbiamo detto iete, ma è chiaro che tutto quato detto per le serie a termii positivi ha ua perfetta cotroparte per le serie a termii egativi. Ad esempio, ua serie a termii egativi o può che covergere o divergere a ed ua volta che uo ha ua serie a termii egativi a, si studia dapprima la serie a termii positivi a, e poi rovesciao i risultati otteuti. Su questo puto o c è ull altro da dire. Molto più complicato è ivece il caso di ua serie a termii di sego qualuque, cioè ua serie i cui termii cotiuao a cambiare di sego. U esempio famoso è dato dalla serie ( ). Questa serie o è é a termii positivi, é a termii egativi, poiché ( ) / cambia sego ifiite volte: è positivo quado è pari ed è egativo quado è dispari. Per serie di questo geere i criteri euciati sopra o valgoo. Quado si ha a che fare co serie di sego oscillate ci soo sostazialmete due criteri fodametali. Serie assolutamete covergeti. Sia data ua serie di sego qualuque a. Se la serie a coverge, allora la serie a coverge. Duque, data ua serie qualuque a, uo verifica se la serie a termii positivi a coverge (e a questa serie si possoo applicare tutti i criteri visti sopra, essedo ua particolare serie a termii positivi). Se la risposta è affermativa, allora ache la serie di parteza risulta covergete. Le serie che godoo di questa proprietà si dicoo serie assolutamete covergeti. Motivati da questo criterio, vediamo cosa accade alla serie presa ad esempio poco sopra: ( ) = L ultima serie scritta diverge, per cui la serie ( ) / o è assolutamete covergete. Il che, si badi bee, o esclude affatto che la serie sia covergete. I effetti la serie data è proprio covergete. Il motivo della covergeza o è dovuto al forte aullameto all ifiito del termie geerale (che tra l altro si comporta come / ed è pertato abbastaza leto el tedere a zero), ma piuttosto al fatto che il sego altero cosete. 20

21 ai vari termii della serie di magiarsi, compesadosi i modo che la successioe delle ridotte risulti covergete. U esempio di serie assolutamete covergete è ivece dato dalla serie dato che ( ) 2, ( ) = 2 2. e l ultima serie coverge. Sicché la serie data risulta pure covergete. Il secodo criterio che diamo serve proprio per le serie come quella data all iizio di questa sezioe. Criterio di Leibiz. Sia data la serie ( ) a, dove {a } è ua successioe positiva, decrescete ed ifiitesima. I queste ipotesi la serie ( ) a coerge. Nel ostro caso a = /, pertato tutte le ipotesi soo verificate e la serie ( ) risulta covergete per il criterio di Leibiz. Le serie che covergoo, pur o covergedo assolutamete, si chiamao serie semplicemete covergeti e la serie appea discussa e è u esempio. Le serie a termii positivi soo sempre o assolutamete covergeti o divergeti, metre le serie di sego qualuque possoo essere assolutamete covergeti, semplicemete covergeti, divergeti od oscillati. 2

22 ESERCIZI SVOLTI ) Studiare la serie Osservo che = 2 5. Il termie geerale o è ifiitesimo e quidi la serie o coverge. 2) Studiare la serie Il termie geerale è ifiitesimo: 2 se 3. 2 se 3 = se 3 3 = = 0, duque bisoga adare avati. Osservo che si tratta di ua serie a termii positivi. Dato che se / 3 è asitotico a / 3, cogetturo che il termie geerale, el suo complesso, sia asitotico a 2 / 3 = /. Verifico questa idea cofrotado co la successioe b = / : a 2 se se = 3 b = 3 =. 3 Per il criterio del cofroto (forma asitotica) cocludiamo che la serie diverge, i quato ha lo stesso comportameto della serie / (serie armoica semplice). 3) Studiare la serie se(/) + / 3 cos(/) Azitutto osserviamo che si tratta di ua serie a termii positivi. Osservo ora il umeratore del termie geerale: abbiamo se(/) + / 3 = / + o(/) + / 3 = / + o(/), per, 22

23 dove abbiamo iglobato il termie / 3 deomiatore si ha i o(/), come è lecito fare. Sviluppado il cos(/) = + /(2 2 ) + o(/ 2 ) = /(2 2 ) + o(/ 2 ), per. I defiitiva Sicché il a = / + o(/) /(2 2 ) + o(/ 2 ) = + o(), per. /(2) + o(/) a = + e la serie data o risulta quidi covergete (o è verificata la codizioe (CN)). 4) Studiare la serie ( ) +. =2 Grazie alla mootoia della fuzioe, si ha che la serie data è a termii positivi, poiché + >. No è emmeo evidete che il termie geerale di questa serie sia ifiitesimo: cerchiamo di sicerarcee, sperado che i coti che faremo gettio ua luce di compresioe sull itera facceda. Pertato, dobbiamo studiare il ite ( ) +. Osserviamo che si ha ua forma idetermiata del tipo, da cui è possibile uscire i almeo due modi: usado gli sviluppi asitotici, oppure co u trucco algebrico. Vediamo etrambi i metodi: co gli sviluppi otteiamo, per, ( ) ( ) + = + / / = ( + /) 2 ( /) 2 = ( + /(2) + o(/) + /(2) + o(/) ) = / + o(/ ). I questa serie di passaggi abbiamo sfruttato lo sviluppo ( + x) α = + αx + o(x), per x 0, ove, come al solito, per oi x = / e qui α = /2. D altro cato, procededo algebricamete, troviamo: ( + ) ( + + ) + = + + = =

24 I etrambi i casi è ora del tutto evidete che o solo il termie geerale della serie data è ifiitesimo, ma, di più, apprediamo che esso è asitotico a b = /. Pertato, cofrotado proprio co questa successioe, troviamo che la serie data risulta divergete, perché tale è la serie / (serie armoica geeralizzata, co λ = /2 ). 5) Studiare la serie ( ) log( + ) log( ) =3 Sfruttado il fatto che log( + ) > log( ), cocludiamo che la serie data è a termii positivi. Coviee scrivere log( + ) log( ) come log ( ( + )/( ) ), ovvero log + = log + 2 ( = log + 2 ). I tal modo risulta subito evidete che l termie geerale della serie assegata è ifiitesimo (ci si era posto il problema?) e, d altro cato, si ha ache ( log + 2 ) = 2 + o(/( )), per. Ora è chiaro he la serie data diverge: essa risulta ifatti asitotica alla serie /, la quale diverge (serie armoica). Si poteva ache procedere così: log( + ) log( ) = log ( ( + /) ) log ( ( /) ) = log + log( + /) log log( /) = 2/ + o(/), per. Naturalmete otteiamo u risultato aalogo a quello otteuto i precedeza, ifatti leggiamo da quest ultima idetità il fatto che il termie geerale della serie data è asitotico a /, e duque la serie data diverge. 6) Studiare la serie 0. Sospetto che la parte ifiitesima di tipo espoeziale 0 ad esempio, co la successioe / 2 : prevalga su. Cofroto, 0 3 / 2 = 0 = 0, 24

25 come subito si accerta. Essedo il ite ullo ed essedo la serie /2 covergete, per il criterio del cofroto, cocludiamo che la serie data coverge. 7) Studiare la serie ( ) 2. Osservo subito che si tratta di ua serie a termii positivi, il cui termie geerale è della forma a = + o(/), pertato la serie è divergete, i quato il suo termie geerale è asitotico a / (e la serie associata a / diverge serie armoica ) Procededo i altra maiera, coviee dapprima scrivere il termie geerale i u uica frazioe: a = 2 = 2 Ora osserviamo che /2, per 2. Quidi per cofroto ho che a /2 2 = 2. Dato che l ultimo espressioe è il termie geerale di ua serie divergete, ache la serie da cui soo partito diverge. 8) Studiare la serie =2 log(log ) log. Osservo che si tratta di ua serie a termii positivi (da = 3 i avati). Certamete si ha log(log ), per 0 e si ha ache log, per ogi N. Quidi log(log ) log, per 0. Da qui si coclude subito che la serie diverge, per il criterio del cofroto (versioe o asitotica). 9) Studiare la serie = se log. 25

26 La successioe è a termii positivi (almeo defiitivamete) e risulta asitotica a / 2, pertato coverge. Allo stesso risultato (e per le stesse motivazioi) si perviee co il criterio del cofroto asitotico, usado come successioe b = / 2 : a (2 3 5 se )/(4 5 + log ) se = b / 2 = log 2 (5 se / 3 ) 2 + o() = 4 + (log )/ 5 = 4 + o() = 2. Poiché il ite è fiito e la successioe b coverge. coverge, otteiamo che la serie di parteza 0) Studiare la serie =2 ( ) log. Si tratta di ua serie alterate. Questa serie o coverge assolutamete, i quato la serie dei valori assoluti è log =2 e diverge per cofroto co /. Provo a vedere se è applicabile il criterio di Leibiz: per questo devo verificare che la successioe / log sia positiva, decrescete ed ifiitesima. Ma questo è sez altro vero, dato che log è crescete e tede a +. Cocludiamo allora che la serie data è semplicemete covergete. ) Studiare la serie e / 5 /2. Si tratta di ua serie a termii positivi, dato che e /, per. Il umeratore della frazioe data è asitotico a /, dato che e / = + o(/). I defiitiva l itero termie geerale a risulta asitotico a a = / /2 + o(/3/2 ) = 3/2 + o(/3/2 ). 26

27 Dato che la serie /3/2 serie data risulta covergete. è covergete (armoica geeralizzata λ = 3/2 > ), la 2) Per quali valori di a R la serie seguete coverge? a + Comiciamo co il supporre a 0 : i tal caso la serie è a termii positivi e si presta bee ad essere studiata mediate il criterio del rapporto: 3 a + = ( + )a+2 /3 + a a + /3 = 3 + a Il ite di questa espressioe, al tedere di all ifiito, è chiaramete (/3)a. Ora, si ha che (/3)a < per a < 3, pertato se a [0, 3) allora la serie coverge se a > 3 allora la serie diverge. Rimae da valutare il caso ite i cui sia a = 3 e chiaramete il criterio del rapporto o fuzioa più. Nel caso i cui a = 3 si ottiee tuttavia la semplice serie = che risulta ovviamete divergete. Duque, 3, se a = 3 allora la serie diverge. Occupiamoci ora del caso a < 0. La serie da studiare diveta allora ( ) + a + 3. Si tratta di ua serie alterate. Se a 3 il termie geerale della serie o è emmeo ifiitesimo, per cui scopriamo subito che se a 3 allora la serie o coverge. Azi, si potrebbe vedere che la serie risulta oscillate. Nel rimaete caso, cioè per a ( 3, 0) la serie coverge assolutamete, dato che a = a

28 e ci ricoduciamo al caso appea trattato (ifatti se a ( 3, 0), allora a (0, 3). Quidi, i defiitiva, se 3 < a < 3 allora la serie coverge assolutamete; se a = 3 allora la serie diverge a + ; se a = 3 allora la serie oscilla; se a > 3 allora la serie diverge a + ; se a < 3 allora la serie oscilla; 3) Per quali valori di a > 0 la serie seguete coverge? cos(/a ) + Osservo che si tratta di ua serie a termii positivi, pertato soo applicabili i criteri visti sopra. Ricordiamo che si ha lo sviluppo cos x = x 2 /2 + o(x 2 ), per x 0. Pertato, poiché / a 0, al tedere di all ifiito, abbiamo che cos(/ a ) = 2 2a + o(/2a ), per. Duque, per quato riguarda il umeratore del termie geerale dato, si ha che ( ) cos(/a ) = 2 2a + o(/2a 2 ) Complessivamete avremo allora, sempre per, cos(/a ) + = ( 2 2a + o(/ 2a ) + ) 2 = 2 a + o(/a ) ( + o()) = 2 a + o(/a ) = 2 a+ + o(/a+ ). Questo mostra che il termie geerale a della serie data è asitotico alla più semplice espressioe b = / a+ (che è il termie geerale della serie armoica geeralizzata, co λ = a + ). Sicché, per a > 0, duque per ogi a cosiderato, la serie data risulta covergete. 4) Studiare la serie ( ) 2 +! 28

29 Osservo che si tratta di ua serie alterate. Cotrollo se la serie coverge assolutamete. Esamio pertato la serie 2 +! Applico il criterio del rapporto, come la preseza dei termii espoeziali e fattoriali mi iducoo a fare. Otteiamo: a + a = 2+ + ( + )! Duque,! 2 + = 2 2 +! ( + )! 2 + = o() + o() = o(). a + = 0 a e di qui si ha che la serie co i valori assoluti coverge. Cocludiamo allora che la serie data i parteza risulta assolutamete covergete. 5) Studiare la covergeza della serie seguete, al variare del parametro β R : ( ) β/ + se(/) Se β > 0 la serie è a termii positivi e per cofroto otteiamo subito che questa diverge, ifatti si ha evidetemete β/ + se(/) β/ e l ultima espressioe è il termie geerale di ua serie divergete. Nel caso i cui β = 0 la serie risulta acora divergete: possiamo, ad esempio, usare il cofroto asitotico co la successioe / : se(/) (/=x) se x = / x 0 x e pertato la serie data ha lo stesso comportameto di /, la quale, come be si sa, è divergete. Rimae il caso β < 0, che è più complicato. Iazitutto ricordiamo che se x αx, per ogi α (e x sufficietemete piccolo), metre se x αx, per ogi α < (e, di uovo, x sufficietemete piccolo). Grazie a queste due disuguagliaze, sappiamo che, ache el caso i cui sia β < 0, il termie geerale della serie data ha sempre (defiitivamete) sego costate: precisamete la serie data è a termii positivi per < β < 0 ed è a termii egativi se β. Duque, i tutti i casi possiamo applicare i criteri che coosciamo. Se < β < 0 la serie diverge: per mostrare questo basta cofrotare co b = / : β/ + se(/) / =, se(/) = β + / = β +. 29

30 L ultimo umero o è ullo e pertato la serie ha lo stesso comportameto di /, la quale diverge. Se β < la serie di uovo risulta divergete: essedo i questo caso ua serie a termii egativi, cofrotiamo co b = / : troviamo β/ + se(/) / se(/) = β / = β > 0. Quidi ache i questo caso abbiamo divergeza (a ). I ultimo, mostriamo che per β = la serie risulta covergete. Cofrotiamo co la successioe / 3 (acora la serie è a termii egativi ed uso per il cofroto ua serie a termii egativi): se(/) / / 3 / /(6 3 ) + o(/ 3 ) / = / 3 = /6. Il ite trovato è fiito e o ullo, pertato la serie coverge (i quato asitotica a /3. I defiitiva la serie data diverge a + per β >, coverge assolutamete per β = e diverge a per β <. 6) Studiare il comportameto della serie seguete: =4 log (log log ) 3 Usiamo il criterio di sostituzioe, osservato che esso è applicabile, i quato il termie geerale della serie è effettivamete positivo e o crescete. Suppoiamo, solo per semplicita, che i logaritmi che compaioo siao i base 2, i modo da o trasciare ei coti iutili costati. Si ha: 2 a 2 = 2 2 log 2 (log log 2 ) 3 = 2 2 (log ) 3 = (log ) 3 Dato che quest ultima espressioe è il termie geerale di ua serie covergete (si tratta di ua serie dal comportameto oto, si veda la tabella proposta egli Apputi ), la serie data risulta pure covergete. Si osservi che la spotaea maggiorazioe log (log log ) 3 log o sarebbe servita, poiché la serie associata all ultima espressioe è divergete. 30

31 7) Studiare il comportameto della serie seguete: =2 2 Si tratta di ua serie a termii positivi. Metodo rapido: ovviamete, quidi 2 2 = 2. Il criterio del cofroto ci dice allora che la serie data coverge, dato che il suo termie geerale è maggiorato dal termie geerale di ua serie covergete (serie geometrica di ragioe /2 ). Oppure: la preseza di u termie di tipo espoeziale ci iduce ad usare il criterio dela rapporto. Vediamo se fuzioa: a + a = = 2 ( + ) ( + )2 (+) 2 = 2 2 ( + )( ) = 2 ( + ) = 2. Dato che /2 < deduciamo che la serie data risulta covergete. Si presti attezioe a o perdere per strada il fattore /2 che proviee da 2 + = 2 2 : è questo umeretto che fa tutta la differeza, se lo si dimetica si ottiee il ite ed il criterio sembrerebbe iutilizzabile!! 3