Serie numeriche. Lorenzo Pisani Facoltà di Scienze Mm.Ff.Nn. A.A. 2007/08

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1 Serie umeriche Lorezo Pisai Facoltà di Scieze Mm.Ff.N. A.A. 2007/08 Il problema di sommare i iti addedi è uo dei problemi classici dell aalisi matematica. Azi si tratta di u problema che ell atichità ha avuto ache implicazioi loso che (paradosso di Zeoe). Da ua parte dovrebbe essere ituibile che u qualsiasi umero può essere immagiato come risultato di ua somma di i iti addedi. Ad esempio = = Quidi, co u piccolo salto logico = = = : : : = = 2 : D altra parte rimae aperto il problema di formalizzare questa situazioe partedo da ua successioe fa g geerica. Geeralità Assegata fa g R, per ricorreza si de isce la successioe fs g s0 = a 0 s = s + a deomiata successioe delle somme parziali di fa g. Se vogliamo passare ad ua forma esplicita abbiamo s 0 = a 0 s = a 0 + a s 2 = a 0 + a + a 2 : : : s = a 0 + a + + a

2 La locuzioe serie di termie geerale a, a cui associamo il simbolo =0 a ; () va itesa come abbreviazioe (o sioimo) di successioe delle somme parziali di fa g. Quidi tutto quello che si riferisce alla serie () i realtà si riferisce alla successioe fs g. Vediamo tutto questo ella de izioe che segue. De izioe. Studiare la serie () vuol dire studiare la successioe fs g. Si dice che la serie () coverge ad S 2 R se la successioe fs g coverge ad S. I tal caso si scrive a = S: =0 Il umero S si dice ache somma della serie. Aalogamete si dice che la serie () diverge (posit. o egat.) se la successioe fs g diverge (posit. o egat.). I tal caso si scrive =0 a = I e si dice che la serie () o è regolare se tale risulta la successioe fs g. Come elle somme ite, l idice di sommazioe o è rilevate e quidi =0 a = Dobbiamo mettere i evideza ua piccola di coltà geerata dal liguaggio comue: k=0 i matematica ua successioe è u isieme di oggetti ciascuo cotraddistito da u idice, ua serie è la somma degli i iti termii di ua preassegata successioe; el liguaggio comue il termie serie viee riferito a oggetti, o eveti, ripetuti esattamete idetici (produzioe i serie), oppure ripetuti o idetici ma co certe aalogie (i delitti di u serial killer), oppure diversi ma i u qualche seso cocateati (gli episodi di ua serie televisiva). Quidi el liguaggio comue il termie serie ha la stessa accezioe di ciò quello che i matematica chiameremmo successioe. a k :. Primi esempi: calcolo di somme Gli esempi più semplici di serie umeriche si presetao quado è possibile dare u espressioe aalitica per la successioe fs g e quidi calcolare il ite. Precisiamo che si tratta di situazioi estremamete rare. 2

3 .. Serie geometrica Alla progressioe geometrica fq g si associa la serie geometrica =0 Si dimostra (co il pricipio di iduzioe) che s = q : (2) X 8 < + se q = q k = q : q se q 6= k=0 Quidi risulta quato segue: se jqj <, allora la serie (2) coverge e risulta =0 q = s = q ; se q, allora la serie (2) diverge positivamete; se q, allora la serie (2) o è regolare. Osserviamo che, el caso jqj <, risulta =m X+ q = q m q = qm q : (3) =0 Paradosso di Zeoe Il losofo Zeoe, ato ad Elea (l attuale Velia, i Campaia) tra la e del VI e l iizio del V secolo a.c., è comuemete idicato quale ivetore del ragioameto per assurdo. É be oto che egli utilizzò u paradosso per dimostrare che il movimeto o esiste. Il pie veloce Achille isegue ua tartaruga su ua pista rettiliea. Siao x 0 = 0 la posizioe iiziale di Achille, x > x 0 la posizioe iiziale della tartaruga. Achille impiega il tempo T 0 per raggiugere la posizioe x ; el frattempo la tartaruga ha raggiuto la posizioe x 2 > x. Achille impiega il tempo T per spostarsi da x a x 2 ma el frattempo la tartaruga ha raggiuto la posizioe x 3 > x Questo processo va avati all i ito; duque, per raggiugere la tartaruga, Achille impiega il tempo T = T 0 + T + ::: Essedo opiioe comue che ua somma di i iti tempi o possa essere ita, Zeoe poteva cocludere che, cotrariamete alla ostra comue percezioe, Achille o raggiugerà mai la tartaruga. Ora cercheremo di tradurre 3

4 il problema di Achille el liguaggio della sica, quidi passeremo a sciogliere il paradosso di Zeoe utilizzado il cocetto di serie covergete. Sia d la distaza al tempo t = 0 tra Achille e la tartaruga. Deotiamo co v A e v T le velocità costati rispettivamete di Achille e della tartaruga e ovviamete suppoiamo v A > v T : La posizioe di Achille e della tartaruga i fuzioe del tempo t soo date rispettivamete da s A (t) = v A t s T (t) = d + v T t Possiamo ora calcolare il tempo i cui Achille raggiuge la tartaruga, ossia l istate T tale che s A (T ) = s T (T ): Si ricava immediatamete T = d v A v T : Passiamo ora a calcolare la successioe di tempi T prevista dal paradosso di Zeoe. Abbiamo T 0 = x x 0 v A = d v A : Lo spazio percorso el frattempo dalla tartaruga è dato da x 2 x = T 0 v T = d v A v T : Per percorrere questo spazio Achille impiega u tempo T = x 2 x v A = dv T va 2 : e, cotemporaeamete, la tartaruga percorre lo spazio x 3 x 2 = T v T = dv2 T va 2 : Per percorrere questo spazio Achille impiega u tempo T 2 = x 3 x 2 v A = dv2 T va 3 : E immediato dedurre che la formula geerale per gli itervalli di tempo è data da T = d vt v A v A Duque siamo ridotti a calcolare T come somma della serie X X d T = =0 v =0 A vt v A 4 = d X v A =0 vt v A

5 A parte u fattore costate, si tratta di ua serie geometrica co ragioe Applicado la formula otteiamo q = v T v A < X =0 T = d v A q = q v T = v A v A i perfetto accordo co le cosiderazioi svolte i precedeza...2 Serie telescopiche Esempio.2 Studiamo la covergeza della serie Osserviamo che =2 2 2 = 2 d v T + e passiamo a calcolare le somme parziali. Co pochi tetativi ed u pizzico di ituizioe si ricoosce che, per ogi 4 s = + : (4) I realtà la dimostrazioe rigorosa di (4) si avrebbe co il pricipio di iduzioe. Passado al ite, cocludiamo =2 2 = s = 3 4 : Esempio.3 Studiamo la covergeza della serie Osserviamo che da cui si deduce, per ogi 2 Pertato, passado al ite, = log + log + = log ( + ) log = s = log( + ): log + = s = +: 5

6 .2 Teoremi sulle serie covergeti Ove o sia possibile dare u espressioe aalitica di fs g o calcolare il ite, ci si accoteta di stabilire il carattere della serie (covergete, divergete, o regolare). A questo scopo si utilizzao vari criteri che esporremo ei prossimi paragra. Per il mometo possiamo euciare alcue utili proposizioi, azitutto ua codizioe ecessaria per la covergeza. Proposizioe.4 (codizioe ecessaria per la covergeza) Se la serie P + =0 a è covergete, allora risulta a = 0. Osservazioe.5 No è vero il viceversa. U cotroesempio è dato dalla serie log + (5) Ifatti, ache se risulta = log + = 0; abbiamo visto ell Esempio.3 che la serie (5) è divergete. U altro classico cotroesempio è dato dalla serie armoica che studieremo i seguito (Esempio 2.7). Proposizioe.6 Se le serie =0 soo covergeti, ache la serie a ; =0 b ; (6) è covergete e risulta =0 (a + b ) (7) =0 (a + b ) = =0 a + Se le serie (6) soo divergeti co lo stesso sego, ache la serie (7) è divergete. Se ua delle due serie (6) è divergete e l altra è covergete, allora la serie (7) è divergete. Proposizioe.7 Sia 6= 0. Le serie =0 a ; =0 (a ) hao lo stesso comportameto. I particolare, se covergoo, risulta ache =0 =0 (a ) = a : =0 b : 6

7 Passiamo ora a cosiderare ua situazioe che possiamo de ire di somma per icastro. Accato alla serie a (8) cosideriamo le serie =0 a 2 ; =0 =0 a 2+ : (9) Il teorema che segue è formalmete idetico al teorema relativo alla serie somma. Proposizioe.8 Se le serie (9) soo covergeti, ache la serie (8) è covergete e risulta =0 a = =0 a 2 + =0 a 2+ : Se le serie (9) soo divergeti co lo stesso sego, ache la serie (8) è divergete. Se ua delle due serie (9) è divergete e l altra è covergete, allora la serie (8) è divergete. Vedremo i seguito (ell Esempio 3.2) che, se le serie (9) divergoo co sego opposto, o è escluso che (8) sia covergete..3 Somme approssimate Sia assegata la serie =0 a : (0) Suppoiamo di aver stabilito che (0) è covergete, ma di o essere i grado di calcolare la somma S. Poiché la successioe delle somme parziali fs g è covergete ad S, possiamo cosiderare ciascua s come approssimazioe di S. Tuttavia ogi approssimazioe che si rispetti deve essere accompagata da ua stima dell errore commesso, che è dato da js s j. Quidi è utile stabilire ua qualche maggiorazioe per js s j. Per procedere può fare comodo itrodurre ua de izioe. De izioe.9 Si de isce resto -simo la di ereza r = S s () = k=+ Il problema di maggiorare l errore jr j ha ua ricaduta di tipo algoritmico come criterio di arresto el calcolo della somma: ssata ua soglia > 0 (ad esempio = =000) si vuole determiare 2 N tale che a k : js s j < : (2) 7

8 Poiché S è icogita o ha seso chiedere di risolvere (2) rispetto ad. Tuttavia, se si riesce a scrivere ua maggiorazioe jr j R ; per otteere la (2) sarà su ciete risolvere R < : Osservazioe.0 Attraverso diversi esempi avremo modo di vedere che, a parità di > 0, il valore dell idice 0 per cui risulta js s 0 j < è estremamete variabile: se tale 0 è piccolo vuol dire che l errore diveta subito piccolo (la serie coverge velocemete); se tale 0 è grade vuol dire che la serie coverge letamete. A questo proposito vediamo ora u esempio che sarà utile per il seguito. Esempio. Si cosideri la serie geometrica q =0 co jqj <. Per ogi 2 N sappiamo (vedi (3)) che e quidi r = k=+ q k = q+ q jr j = jqj+ q : Ovviamete i questo caso o ci iteressa l approssimazioe della somma, tuttavia possiamo osservare diverse velocità di covergeza, al variare della base. Ci chiediamo per quale 0 risulta jr 0 j < =000 Duque dobbiamo risolvere jqj + q < 000 se q = =2 dobbiamo risolvere < 000 e si ottiee 9; 8

9 se q = 3=4 dobbiamo risolvere e si ottiee < 000 La ozioe di resto si può dare per ua serie geerica. De izioe.2 Assegata ua serie P + =0 a, per ogi 2 N si de isce (serie) resto -simo la serie r = =k+ Osservazioe.3 E immediato veri care che le serie resto hao lo stesso carattere della serie di parteza. Se la serie è covergete abbiamo r 2 R, ioltre da () si deduce r = 0: 2 Serie a termii positivi De izioe 2. Ua serie P + =0 a si dice a termii positivi se (almeo de- itivamete) risulta a 0. a k : La proprietà pricipale è espressa di seguito. Proposizioe 2.2 Ogi serie a termii positivi è regolare, precisamete o coverge o diverge positivamete. Se la serie coverge ad S, abbiamo e quidi i resti r soo positivi. Dimostrazioe.... s S Corollario 2.3 Sia P + =0 a ua serie a termii positivi. Se la successioe fa g o coverge a 0, allora la serie è divergete. Per le serie a termii positivi si può dimostrare che vale il viceversa della Proposizioe.8 sulla somma per icastro. Corollario 2.4 Sia P + =0 a ua serie a termii positivi. Tale serie è covergete se e solo se etrambe le serie P + =0 a 2, P + =0 a 2+ soo covergeti. Osservazioe 2.5 Se abbiamo ua serie a termii (de itivamete) egativi, i base alla Proposizioe.7, essa avrà lo stesso comportameto della serie opposta (a termii positivi). Duque le proprietà riportate i questo paragrafo, co le opportue modi che, si riferiscoo alle serie a sego (de itivamete) costate. 9

10 Passiamo ora ad illustrare i pricipali criteri di covergeza Criterio 2.6 (di cofroto) Siao fa g e fb g due successioi reali tali che (de itivamete) 0 a b : Se la serie P + =0 b coverge, allora ache la serie P + =0 a coverge. Se la serie P + =0 a diverge positivamete, allora ache la serie P + diverge positivamete. I e, se poiamo r = k=+ a k ; R = k=+ b k ; =0 b risulta (de itivamete) r R : Esempio 2.7 Studiamo la serie armoica = : Ricordiamo che el Capitolo sulle successioi abbiamo visto che + < e: Quidi, applicado i logaritmi ad ambo i membri, si deduce che log + < ossia log + < : Abbiamo già visto ell Esempio.3 che la serie = log + è divergete, quidi, per il Criterio del cofroto, ache la serie armoica è divergete. Esempio 2.8 Studiamo la covergeza della serie = arcta 2 E abbastaza facile osservare che, per ogi arcta 2 (3) 4 0

11 quidi, poichè 4 = è ua serie geometrica co ragioe =4 <, per il Criterio di cofroto, si coclude che ache la serie assegata è covergete. Ora passiamo a calcolare ua somma approssimata, co errore iferiore a =000. Da (3), si deduce r = k=+ arcta k k k2 k k=+ k = R ; 4 quidi è su ciete imporre k=+ 4 k 000 : I altri termii, per la (3), + = Risolvedo questa disequazioe rispetto ad otteiamo cioè log 4000 log(4 ) log 4 log + 33: : I coclusioe ua somma approssimata, etro il margie di errore pre ssato, è data da s 34. Prima di euciare u secodo criterio riportiamo ua de izioe perfettamete coerete co la teoria svolta a proposito dei iti di fuzioi. De izioe 2.9 Due successioi fa g e fb g si dicoo asitoticamete equivaleti se risulta a = : b I tal caso si scrive a = b : Criterio 2.0 (di cofroto asitotico) Siao fa g e fb g due successioi (de itivamete) strettamete positive ed asitoticamete equivaleti. Allora le serie P + =0 a e P + =0 b hao lo stesso comportameto, ossia ua coverge (risp. diverge) se e solo se l altra coverge (risp. diverge). Esempio 2. Studiamo la covergeza della serie =

12 Risulta quidi ache se sappiamo che la serie = 2 (4) 3 coverge, il Criterio di cofroto 2.6 o forisce iformazioi sigi cative. Ivece, utilizzado le cosuete regole di equivaleza, si ha che e quidi = = = 2 : 3 Duque la serie assegata è covergete i quato, i base al Criterio 2.0, ha lo stesso comportameto della serie (4). Osservazioe 2.2 Si abbia ua serie a termii positivi P + =0 a covergete. Se risulta a = b, possiamo a ermare che ache la serie P + =0 b è covergete, ma, i geerale, è falso che le due somme coicidao. Pertato è u errore scrivere =0 a = Osservazioe 2.3 Per applicare i criteri di cofroto dobbiamo stabilire a priori che le serie i questioe soo a termii positivi, o almeo a sego costate. I realtà osserviamo che se a = b, allora le successioi fa g e fb g hao (de itivamete) lo stesso sego. Quidi, se stabiliamo u equivaleza asitotica e coosciamo il sego della secoda successioe, o è ecessario studiare a priori il sego della successioe di parteza. =0 b : Esempio 2.4 Studiamo la covergeza della serie =0 log cos 3 : Osserviamo subito che =3! 0, quidi applichiamo le equivaleze otevoli tra i itesimi. Ricordiamo che, per t! 0, abbiamo e quidi cos t! 0 log cos t = log( + cos t ) = cos t = ( cos t) = 2 t2 : 2

13 Pertato risulta log cos 3 = 2 9 : Duque la serie assegata è a termii egativi ed avrà lo stesso comportameto della serie 2 9 : =0 Per la Proposizioe.7 quest ultima serie ha lo stesso comportameto della serie la quale coverge. =0 9 ; 2. Criterio dell itegrale per le serie Abbiamo osservato che tra serie e itegrali impropri c è ua otevole aalogia. Ora possiamo euciare u ulteriore criterio per la covergeza delle serie a termii positivi. Proposizioe 2.5 Sia assegata ua serie a = a termii positivi. Suppoiamo che esista ua fuzioe f : [0; +)! R cotiua, decrescete e tale che f() = a. Allora la serie coverge se e solo se coverge l itegrale Z + f(x)dx: Ioltre, i caso di covergeza, deotate co S ed s rispettivamete la somma della serie e la somma parziale -sima, risulta Z + + f(x)dx S s Z + f(x)dx: Osservazioe 2.6 Dobbiamo sottolieare che la somma S o coicide co l itegrale. I ogi caso la disuguagliaza (...) cosete di calcolare somme approssimate, quidi questo criterio può torare utile ache i situazioi i cui la covergeza della serie è ota. Esempio 2.7 Studiamo la serie = 2 e : La fuzioe x 2 =e x, associata alla successioe 2 =e, è cotiua su R e mootoa decrescete i [2; +). Quidi la serie assegata è covergete. Co 3

14 il criterio dell itegrale, proviamo a calcolare ua somma approssimata co u errore iferiore a =000. Abbiamo S s < Z + x 2 e x dx = ( + )2 + e : Per risolvere ( + ) 2 + e < 000 possiamo solo procedere per tetativi. La disuguagliaza è veri cata per = 3. I coclusioe ua somma approssimata etro il margie di errore pre ssato è data da s 3. Se si riucia a stimare la somma approssimata e ci si accoteta di stabilire la covergeza, questa stessa serie può essere studiata co altri criteri immediati che euceremo i seguito, ad esempio il Criterio del rapporto. I Criteri... e... cosetoo di otteere iformazioi su ua serie assegata cofrotadola co u altra di cui si coosca il carattere. I geerale come serie di cofroto si cosiderao la serie geometrica, come egli Esempi , e la cosiddetta serie armoica geeralizzata = : (5) Proposizioe 2.8 La serie (5) coverge se e solo se >. I tal caso, co il cosueto sigi cato dei simboli, risulta ache r < ( ) : (6) Il caso si deduce dallo studio della serie armoica e dal Criterio di cofroto. La dimostrazioe della covergeza per > e la stima del resto si deducoo dal Criterio dell Itegrale. Esempio 2.9 Vogliamo studiare la covergeza della serie = cos 3 : E abbastaza facile osservare che, per ogi Osserviamo che, a meo del fattore 2, 0 cos : = è ua serie armoica geeralizzata co espoete 3 quidi covergete; per il Criterio di cofroto, si coclude che ache la serie assegata è covergete

15 Nello studio della covergeza sarebbe u grave errore scrivere cos = 2 =2: Ifatti ello studio del carattere di ua serie si cosidera! +, metre l equivaleza cos t = t 2 =2 sussiste per t! 0. Ora passiamo a calcolare ua somma approssimata, co errore iferiore a =000. Quidi, i base alla (6), per otteere è su ciete imporre k=+ k=+ cos k k 3 < < 000 ; (7) A sua volta per otteere (7), i base alla (6), è su ciete richiedere 2 < 000 Quidi risolvedo quest ultima disequazioe rispetto ad otteiamo cioè 000 < 2 3: < : I coclusioe ua somma approssimata, etro il margie di errore pre ssato, è data da s 32. Esempio 2.20 Vogliamo studiare la covergeza della serie = p + si : Per! + abbiamo + = e quidi p + = p ; ioltre =! 0 e quidi I de itiva si = : p + si = p = p = =2 : Duque la serie assegata ha lo stesso comportameto della serie cioè diverge. = =2 ; 5

16 2.2 Criteri immediati Per criteri immediati itediamo criteri, aaloghi al Criterio dell Itegrale, che o richiedao l idividuazioe di ua serie di cofroto. Li euciamo i u ordie crescete di e cieza. Criterio 2.2 (del rapporto) Sia assegata ua serie P + =0 a a termii strettamete positivi, cioè tale che a > 0. Se allora la serie è covergete. Se allora la serie è divergete. sup if a + a < ; a + a > ; Dimostrazioe. La dimostrazioe si basa sul cofroto co la serie geometrica. Corollario 2.22 Sia assegata ua serie P + =0 a a termii strettamete positivi, cioè tale che a > 0. Esista a + a = `: Se ` <, allora la serie è covergete. Se ` >, allora la serie è divergete. Osservazioe 2.23 Qualora il ite del rapporto sia uguale ad il criterio o forisce iformazioi. Ifatti per la serie armoica geeralizzata il ite del rapporto è sempre, idipedetemete dal fatto che la serie coverga o diverga. Esempio 2.24 Studiamo la covergeza della serie = =2 2 : Si tratta di ua serie a termii strettamete positivi ed applichiamo il Criterio del rapporto a + ( + ) (+)=2 2 = a 2 + = s =2 ( + ) (+) = 2 = s + p + = = 2 Duque la serie assegata è divergete. = 2p e(+) = +: 6

17 È tipico l uso del Criterio del rapporto elle serie che coivolgoo i fattoriali (vedi Esempio 3.23). Criterio 2.25 (della radice) Sia assegata ua serie P + =0 a a termii positivi. Sia sup p a = `: Se ` <, allora la serie è covergete. Se ` >, allora la serie è divergete. Osservazioe 2.26 Ovviamete, come caso particolare, possiamo cosiderare, se esiste, il valore del p a e sussistoo ovviamete le medesime coclusioi. Qualora il massimo ite (o il ite) sia uguale ad il criterio o forisce iformazioi. Ifatti per la serie armoica geeralizzata risulta p = =, idipedetemete dal fatto che la serie coverga o diverga. Se cofrotiamo i due criteri (rapporto e radice), osserviamo che per il secodo è più ampio l ambito di applicabilità, ifatti o si richiede che i termii siao strettamete positivi. Ioltre sussiste la seguete proposizioe. Proposizioe 2.27 Assegata la successioe fa g tale che a > 0, cosideriamo Risulta quato segue if b = a + a c = p a b if c ; b : sup c sup Da questa proposizioe si deduce che il criterio della radice è strettamete più e ciete del criterio del rapporto, el seso che tutte le volte che il criterio del rapporto forisce iformazioi, le avrebbe forite ache il criterio della radice; esistoo casi i cui il criterio della radice forisce iformazioi metre il criterio del rapporto o le forisce. Possiamo veri carlo ache attraverso alcui esempi. Esempio 2.28 Cosideriamo la serie Risulta =0 2 +( ) : if sup a + = a 8 ; a + = 2: a 7

18 Quidi il criterio del rapporto o dà iformazioi. Al cotrario, poiché risulta p a = 2 ; possiamo cocludere che la serie è covergete. Utilizzado la somma per icastro, giugiamo alla stessa coclusioe e si ottiee ache =0 = 2 +( ) =0 Esempio 2.29 Cosideriamo la serie Risulta =0 if sup 2 = 2: ( ) : a + a = 0; a + a = +: Quidi il criterio del rapporto o dà iformazioi. Al cotrario, poiché risulta if sup p a = 2 ; p a = 3 : Al cotrario, poiché risulta p a = 2 ; possiamo cocludere che la serie è covergete. Utilizzado la somma per icastro, giugiamo alla stessa coclusioe e si ottiee ache = ( ) = = : Criterio 2.30 (degli i itesimi) Sia assegata ua serie P + =0 a a termii positivi. Se a = ` > 0, allora la serie è divergete. Se esiste p > tale che p a = ` < +, allora la serie è covergete. Dimostrazioe. La dimostrazioe si basa sul cofroto co la serie armoica geeralizzata. Si potrebbe dimostrare che il criterio degli i itesimi è strettamete più e ciete del criterio della radice, el seso che tutte le volte che il criterio della radice forisce iformazioi, le avrebbe forite ache il criterio degli i itesimi; 8

19 esistoo casi i cui il criterio degli i itesimi forisce iformazioi metre il criterio della radice o le forisce. A vataggio del lettore euciamo come corollario u caso particolare. Corollario 2.3 Sia assegata ua serie P + =0 a a termii positivi. Se allora la serie è covergete. 2 a = ` < +; Osservazioe 2.32 Lo studio di ua serie a termii positivi tramite il criterio degli i itesimi si può riassumere i ua sorta di diagramma di usso.. Si calcola azitutto ` = a Se ` > 0 la serie diverge, se ` = 0 si procede. 2. Si calcola `2 = 2 a Se `2 < + la serie coverge, se `2 = + si procede. 3. Si calcola `3 = 3=2 a Se `3 < + la serie coverge, se `3 = + si procede. 4. Si calcola `4 = 5=4 a Se `4 < + la serie coverge, se `4 = + si procede. Osserviamo che dal secodo passo i poi si cosiderao espoeti del tipo p k = + =2 k 2. Dobbiamo precisare che o è a atto garatito che il processo si arresti i u umero ito di passi. Esempio 2.33 Studiamo la covergeza della serie = log( 3p + 2) : + 3 Al primo passo si coclude che la serie diverge Esempio 2.34 Studiamo la covergeza della serie =2 log( + 2 ) 3 : Al secodo passo si coclude che la serie coverge. 9

20 U altro esempio di applicazioe del Criterio degli i itesimi è riportato di seguito. Esempio 2.35 Studiamo la covergeza della serie Calcoliamo azitutto =2 p log : a = p log = = p log = 0: Quidi o possiamo trarre alcua coclusioe. Calcoliamo 2 a = 2 p log = = p log = +: Quidi o possiamo trarre acora alcua coclusioe. Calcoliamo allora 3=2 a = 3=2 p log = = log = 0: Quidi si coclude che la serie assegata coverge. Alcue serie sfuggoo ache al criterio degli i itesimi e possoo essere studiate co il criterio dell itegrale. Esempio 2.36 Si cosideri la serie umerica =2 log p : Il criterio degli i itesimi o forisce idicazioi utili, metre il criterio dell itegrale ci dice che la serie coverge se e solo se p >. A coclusioe del paragrafo riportiamo u paio di esempi riepilogativi, i cui si mostra che la scelta di u approccio al posto di u altro può essere talvolta solo u fatto di gusti. Esempio 2.37 Vogliamo studiare la covergeza della serie = 2 ta 5 20

21 I tutti gli approcci dovremo teer presete che e quidi 5! 0 ta 5 = 5 : Metodo. Applichiamo il Corollario ta 5 = 4 5 = 0 (ricordiamo che si tratta di u ite otevole). Duque la serie coverge. Metodo 2. Applichiamo il Criterio del rapporto ( + ) 2 ta ta duque la serie coverge. Metodo 3. Osserviamo che 5 = ( + ) = 5 = ( + ) = 5 < 2 ta 5 = 2 5 ; quidi la serie assegata ha lo stesso comportameto della serie = 2 5 : A questa serie applichiamo il Criterio del rapporto e, come sopra, troviamo che la serie assegata coverge. Esempio 2.38 Vogliamo studiare la covergeza della serie =0 cos + 3! + 3 Azitutto osserviamo che si tratta di ua serie a termii positivi: il deomiatore è positivo, riguardo il umeratore osserviamo che Poiché!! + abbiamo 2 cos + 3 4: (8)! + 3 =! e quidi cos + 3 = cos + 3 :! + 3! Pertato, per il Criterio 2.0 la serie assegata avrà lo stesso comportameto della serie cos + 3 (9)! =0 2

22 Per studiare la (9) abbiamo diverse possibilità. La scelta più ovvia è quella di utilizzare il Criterio di cofroto 2.6. Ifatti abbiamo Poiché la serie cos + 3! =0 4! 4! : coverge (Criterio del rapporto), si coclude che ache (9) coverge. Voledo potremmo applicare il Criterio del rapporto direttamete alla (9). Si deve calcolare il ite di Dalla (8) si deduce e pertato cos( + ) + 3 ( + )!! cos + 3 = + cos( + ) + 3 2; 2 cos + 3 cos( + ) + 3 = 0: + cos + 3 cos( + ) + 3 : cos + 3 Ache i questo modo si perviee alla coclusioe che (9) coverge. 3 Serie a sego o costate Ora vogliamo studiare le serie a sego o (de itivamete) costate, partedo da ua situazioe abbastaza semplice. 3. Serie a sego altero Occupiamoci di serie del tipo =0 ( ) (20) co 0 (de itivamete), i modo che il termie geerale a = ( risulti (de itivamete) a sego altero. Sussiste il seguete criterio di covergeza. ) Criterio 3. (di Leibitz) Se 0 e ioltre a) = 0; b) f g è strettamete decrescete; allora la serie (20) è covergete. Ioltre, deotate co s ed S rispettivamete le somme parziali e la somma della serie, si ha js s j < + : (2) 22

23 Esempio 3.2 La serie armoica a sego altero =0 ( ) + soddisfa le codizioi del Criterio di Leibitz quidi è covergete. Se vogliamo calcolare u valore approssimato della somma co errore iferiore a =000 impoiamo + =000 ossia da cui ricaviamo : Pertato s 998 rappreseta ua somma approssimata etro il margie di errore che abbiamo pre ssato. Utilizzado le serie di Taylor (vedi Capitolo...), si può dimostrare che la somma (esatta) della serie è pari a log 2. I e osserviamo che =0 =0 ( ) 2 2 = ( ) = =0 =0 2 + = + 2 ( + ) = Quidi ua serie covergete può essere otteuta come somma per icastro di due serie divergeti (co sego opposto). Esempio 3.3 Vogliamo studiare la covergeza della serie Posto = ( ) 2 2 : = è immediato veri care che 0 e che 2 2 ; = 0: Adiamo a studiare la mootoia della successioe f g applicado direttamete la de izioe + < : Si ottiee la disequazioe + 2 ( + ) 2 <

24 che si riduce a 0 < veri cata per ogi 2 N. Duque la serie coverge. Se vogliamo calcolare u valore approssimato della somma co errore iferiore a =000 impoiamo + =000; ossia che si riduce a La soluzioe è data da + 2 ( + ) ; 0 < : 496: < : Pertato s 497 rappreseta ua somma approssimata etro il margie di errore che abbiamo pre ssato. Osservazioe 3.4 Assegata ua successioe > 0, osserviamo che le codizioi a) e b) soo rispettivamete equivaleti a a ) = = +; b ) f= g è strettamete crescete. Esempio 3.5 Studiamo la covergeza della serie = ( ) p + 4 arcta 2 : Abbiamo = p + 4 arcta 2 e quidi = p + 4 arcta 2 : I questo caso la codizioe > 0 è veri cata per ogi. La codizioe a ) è soddisfatta. I e dobbiamo veri care b ). I base alla de izioe deve risultare p + 4 arcta 2 < p arcta 2 ( + ) : Ache questa codizioe è soddisfatta, i quato si ottiee sommado membro a membro le segueti disuguagliaze p < p + ; 4 arcta 2 < 4 arcta 2 ( + ) : Se vogliamo calcolare u valore approssimato della somma co errore iferiore a =000 impoiamo + =000 24

25 ossia p arcta 2 ( + ) =000 che, a sua volta, equivale a Per otteere la (??) è su ciete imporre ossia 000 p arcta 2 ( + ) : (22) 000 p : Si coclude che ua somma approssimata etro il margie di errore pre ssato è data da s I realtà co l ausilio di ua calcolatrice, teedo coto del secodo addedo 4 arcta 2 ( + ), possiamo stabilire che è su ciete cosiderare s Ora ci occupiamo di are le ipotesi coteute el Criterio 3.. Osservazioe 3.6 Assegata ua serie scritta ella forma 20, la codizioe a) è ecessaria per la covergeza. Ifatti se (20) coverge, per la Proposizioe, si ha ( )! 0. D altra parte è evidete che ( )! 0 se e solo se = j( ) j! 0. Quidi se la codizioe a) o è veri cata, la serie (20) o coverge, duque o diverge o è irregolare. Osservazioe 3.7 Assegata la serie (20) co > 0, se è veri cata la codizioe a) ma o la codizioe b), ulla si può dire a priori sul carattere della serie stessa. I alcui casi si riesce a dire qualcosa co la Proposizioe sulle somme per icastro o co il Criterio di assoluta covergeza che esporremo el sottoparagrafo seguete. Ad esempio la serie =0 ( ) (3 + ( ) ) è covergete, co somma pari a 2=5: Ivece la serie diverge egativamete. =0 ( ) ( + ) (2 + ( ) ) Osservazioe 3.8 Per garatire la covergeza della serie le altre due ipotesi (positività e la mootoia di f g) soo su cieti i forma de itiva. I tal caso la stima dell errore (2) vale a partire dall idice per cui si hao queste due codizioi. Se ci si accoteta di stabilire la covergeza e si riucia a calcolare ua somma approssimata, per veri care le codizioi del Criterio 3. si può utilizzare il seguete Lemma. 25

26 Lemma 3.9 Assegata ua successioe positiva f g, se risulta allora! 0 e de itivamete si ha + <. Pertato la serie (20) è covergete. + < (23) No si riesce a calcolare ua somma approssimata i quato il Lemma o precisa da quale i poi si ha la mootoia. Vedremo el prossimo sottoparagrafo che, se vale (23), allora la serie (20) soddisfa la codizioe di assoluta covergeza. Lo stesso Criterio di Leibitz 3. può essere riformulato come segue. Criterio 3.0 Sia ssegata ua serie scritta ella forma 20. Se de itivamete 6= 0 e ioltre a ) = = +; b 2 ) = de itivamete strettamete crescete; allora la serie (20) è covergete. Osservazioe 3. Co riferimeto alla situazioe descritta dal Criterio precedete, dobbiamo osservare che da a ) cosegue che de itivamete > 0. Se vogliamo applicare la stima dell errore (2), dobbiamo calcolare (o stimare) da quale idice 0 i poi la successioe f= g è strettamete crescete e quidi dobbiamo determiare > 0 tale che > 0. La stima sarà valida da questo i poi. Esempio 3.2 Studiamo la covergeza della serie =0 ( ) 3 50 : Abbiamo = 3 50 : Il sego di o è oto a priori quidi studiamo = 3 50: La codizioe a ) è veri cata, ifatti (3 50) = = +: Riguardo b ), applichiamo la de izioe ed osserviamo che 3 50 < ( + ) si riduce a 75 < 3 ; 26

27 veri cata per ogi log 75= log 3 = 3: , ossia 4. Ora dobbiamo ividuare u idice 4 tale che 3 v 50v > 0. Co l ausilio di ua calcolatrice, procededo per tetativi, stabiliamo che < = 037 > 0 Se vogliamo calcolare u valore approssimato della somma co errore iferiore a =000 impoiamo + =000: (24) co 7. I base al ragioameto precedete, sappiamo che 8 < 7 = =037 quidi cocludiamo che la disuguagliaza (24) è veri cata per = 7. Duque ua somma approssimata etro il margie di errore pre ssato è data da s 7. Osservazioe 3.3 Per veri care la codizioi di mootoia (b) o b )), qualora sia di cile applicare la de izioe, possiamo studiare la mootoia di ua fuzioe (di variabile reale) f : [0; +)! R tale che f() = (risp. f() = = ). Il passaggio alla fuzioe associata alla successioe ci cosetirà di utilizzare alcui teoremi del calcolo di ereziale. Esempio 3.4 cosideriamo la serie = ( ) p p 3 Dopo aver osservato che la serie è be de ita (perchè?), avremo = p 3p : Quidi potremo calcolare p = p 3 p = = p 6p = + 3p p = La studio della mootoia di = è tutt altro che scotato. Al cotrario co il calcolo di ereziale sarà abbastaza semplice stabilire che la fuzioe associata f(x) = p x 3p x è strettamete crescete per x (2=3) 6 e assume valori positivi per x 6. Duque potremo cocludere che la serie è covergete. Risolvedo per tetativi (abbastaza di coltosi) + <

28 ossia p p < 000 ; si coclude che ua somma approssimata etro il margie di errore pre ssato è data da s (il lettore icuriosito potrà cercare di migliorare questa stima!). 3.2 Assoluta covergeza Se i segi dei termii a soo disposti i modo o ordiato, il pricipale criterio di covergeza è euciato di seguito. Criterio 3.5 Si abbia ua geerica serie Se la serie =0 =0 è covergete, allora la serie (25) è covergete e risulta a ja j : =0 a : (25) ja j (26) Osservazioe 3.6 No vale il viceversa, el seso che, se coverge la serie (25), o è detto che debba covergere ache la serie (26); si cosideri, ad esempio, la cosiddetta serie armoica a sego altero = =0 ( ) : De izioe 3.7 Ua serie P + =0 a si dice assolutamete covergete se è covergete la serie P + =0 ja j. Osservazioe 3.8 Alla luce di questa de izioe il Criterio 3.5 può essere euciato al modo seguete: ogi serie assolutamete covergete è covergete. Esempio 3.9 Vogliamo studiare la covergeza della serie =0 + 2 cos : Il sego dei termii della serie o preseta alcua regolarità, quidi studiamo la serie co il Criterio 3.5 e co opportue maggiorazioi. Abbiamo + 2 cos = + 2 cos cos : 28

29 La serie = è covergete, quidi per cofroto la serie =0 + 2 cos è covergete. Duque la serie assegata è (assolutamete) covergete. Esempio 3.20 Vogliamo studiare la covergeza della serie... =0 + 2 si 2 23 : Possiamo vedere il rapporto tra covergeza ed assoluta covergeza ache da u altro puto di vista: alcue tra le serie covergeti soo ache assolutamete covergeti. Ciò che rede sigi cativa la De izioe 3.7 è che solo le serie assolutamete covergeti godoo di particolari proprietà (ad esempio la proprietà commutativa, opportuamete formulata). Osservazioe 3.2 Ovviamete per le serie a termii positivi la ozioe di assoluta covergeza coicide co la covergeza. Le serie (a sego o costate) covergeti ma o assolutamete covergeti si dicoo ache semplicemete covergeti. Vogliamo sottolieare che la serie (26) è a termii positivi quidi tutti i criteri visti i precedeza, opportuamete trascritti, divetao criteri di assoluta covergeza. Riportiamo i due criteri immediati. Proposizioe 3.22 Se la serie (25) è a termii o ulli, cioè a 6= 0, e risulta ja + j ja j < allora la medesima serie (25) è assolutamete covergete. Esempio 3.23 Al variare di x 2 R cosideriamo la serie =0 x! : (27) Per x 0 si tratta di ua serie a termii positivi, metre per x < 0 è a sego altero. Calcoliamo ja + j x + =! ja j ( + )! x = jxj = + = 0: 29

30 Duque la serie assegata è assolutamete covergete per ogi valore di x. Si può dimostrare che x! = ex : =0 Per questa ragioe la serie (27) prede il ome di serie espoeziale. Proposizioe 3.24 Se esiste > tale che ja j = ` < +, allora la serie (25) è assolutamete covergete. Cocludiamo co qualche osservazioe sulla assoluta covergeza delle serie di tipo ( ) co > 0: (28) =0 Azitutto osserviamo che quidi risulta segue. j( ) j = ; (29) Proposizioe 3.25 Le segueti proposizioi soo equivaleti: a) la serie (28) è assolutamete covergete; b) la serie (a termii positivi) P + =0 è covergete; c) etrambe le serie (a termii positivi) P + =0 2 e P + =0 2+ soo covergeti. Esempio 3.26 La serie =0 ( ) (3 + ( ) ) (che o veri ca la b) del Criterio 3.) o solo è covergete ma è ache assolutamete covergete. Sussiste i e il seguete risultato. Proposizioe 3.27 Se risulta allora la serie (28) è assolutamete covergete. Dimostrazioe. Ovvia + < (30) Esempio 3.28 Vogliamo studiare la covergeza della serie =0 ( ) 2 e 30

31 Calcoliamo + ( + ) 2 = e + e 2 = e < ; Duque, i base alla proposizioe precedete, le serie assegata è assolutamete covergete. Co gli strumeti del calcolo di ereziale saremo i grado di stabilire che la successioe 2 =e è strettamete decrescete da = 2 i poi, quidi ha seso la ricerca di ua somma approssimata co errore iferiore a =000. I base alla stima (2) è su ciete determiare 2 N tale che Si può solo procedere per tetativi: ( + ) 2 e + < 000 : (3) 0 2 =e 0 = 4: =e = 2: =e 2 = 8: Osservato che la disuguagliaza (3) è veri cata per =, si coclude che ua somma approssimata etro il margie di errore pre ssato è data da s. Esempio 3.29 Vogliamo studiare la covergeza della serie =0 ( ) + e 4 Osserviamo che la serie è be de ita i quato, per ogi 0 e 4 6= 0 ifatti e o è itero metre 4 è itero. Abbiamo = e 4 + Da e 4 = + = e + cosegue che de itivamete > 0. Ora calcoliamo 4 e = = + 2 e + e 4 ( + ) 4 = e ( 4 =e ) e + ( ( + ) 4 =e ) = e < : Duque, i base alla proposizioe precedete, la serie assegata è assolutamete covergete. I questo caso eache gli strumeti del calcolo di ereziale ci cosetoo di determiare da quale idice i poi la successioe è decrescete. Quidi o siamo i grado di determiare ua somma approssimata. 3

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