(x log x) n2. (14) n + log n

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1 Facoltà di Scieze Matematiche Fisiche e Naturali- Aalisi Matematica A (c.l.t. i Fisica) Prova parziale del 8 Novembre 20 Svolgere gli esercizi segueti. Studiare il domiio ed il comportameto della serie Rispodere successivamete ai segueti quesiti (x log x) 2. (4) 2. Detti H l isieme dove la serie coverge assolutamete, K l isieme dove la serie coverge (assolutamete o o), J l isieme dove la serie diverge I l isieme dove la serie risulta idetermiata, quali tra le segueti relazioi soo quelle vere? (6) A. H K B. solo uo è ilitato superiormete C. essuo di loro ammette miimo D. essuo di loro ammette massimo E. H e J soo classi cotigue F. I e J soo classi cotigue 3. Stabilire il comportameto delle serie A. B. e a è determiato i cor- (arcsi t)( cos t) + log( + t) (ta t) f(a ) dove f(t) = e t2 + 0 rispodeza di u qualsiasi valore x H. (5) (4 + log 8) 3 (). (5) =5 Motivare tutte le risposte, altrimeti esse o verrao valutate. I puteggi tra paretesi idicao il grado di difficoltà, e quidi la valutazioe massima, di ciascu esercizio. Cosegare ua sola copia, ordiata, umerado e cotrassegado col proprio ome e cogome tutti i fogli cosegati (o più di due). Compiti privi degli estremi di idetificazioe o verrao corretti. No ricosegare la traccia del compito. E ASSOLUTAMENTE VIETATO COPIARE!

2 Svolgimeto della prova dell 8 febbraio 20 Itato poichè l espoete è sempre u umero aturale, per il campo di esisteza basta richiedere che x > 0, ovvero l uica itazioe è l esisteza del logaritmo. La serie è a termii positivi i A = {x > 0 x log x > 0}, a termii di sego altero i B = {x > 0 x log x < 0}, perchè 2 ha la stessa parità di, e a termii ulli ( e quidi baalmete covergete) dove x log x = 0. Per determiare gli isiemi A e B occorre far ricorso al metodo grafico, i quato si tratta di risolvere le disequazioi 3 log x > x 2, 3 log x < x 2 ; dallo studio dei due grafici elemetari, si prova che esiste u uico valore x o ]0, [ tale che A = ]x o, + ), B =]0, x o [ metre la serie è a termii ulli per x = x o. Effettuiamo iazitutto lo studio della covergeza assoluta, utilizzado il Criterio del Rapporto Asitotico: si ha a = x2 + 3 log x 2 e quidi a + a = x log x (+)2 2 ( + ) + log( + ) = x2 + 3 log x 2+ ( + ) + log( + ). Per calcolare il ite di questa successioe, sfruttiamo il Pricipio di Sostituzioe degli Ifiiti per il secodo fattore; poichè log è di ordie iferiore rispetto ad si trova che ( + ) + log( + ) = + =. Per quato riguarda il primo fattore, ivece, il ite dipede da x, ovvero da x log x. Ifatti, a + = a x2 + 3 log x 2+ = + se x log x > 0 se x log x < se x log x = Pertato la serie coverge assolutamete ( e quidi ache semplicemete) i X = {x > 0 x log x < }, diverge assolutamete i Y = {x > 0 x log x > } metre per stabilire il comportameto i Z = {x > 0 x log x = } occorrerà fare ricorso ad approcci alterativi, i quato il Criterio del Rapporto Asitotico o forisce iformazioi. Comiciamo co il determiare qualitativamete l isieme X, ovvero l isieme delle soluzioi del sistema { x log x < x log x > Di uovo facciamo ricorso al metodo grafico, sovrappoedo ello stesso quadro i grafici elemetari delle fuzioi 3 log x, x 2 e x 2. I primi due si itersecao solamete el puto (, 0), metre il primo ed il terzo si itersecao i u puto di ascissa x < x o <. Il sistema è pertato soddisfatto i ]x, [, ovvero X =]x, [ (ricordiamo che i x o la serie coverge assolutamete perchè tutti i termii soo ulli). 2

3 Lo stesso approccio grafico prova che Y =]0, x [ ], + ) metre Z = {x, }. Ora i A Y =], + ) la serie è a termii positivi e assolutamete divergete; duque i questo itervallo è divergete. Ivece i Y B =]0, x [, siamo i preseza di ua serie a termii di sego altero ( ) x2 + 3 log x 2 tali che il ite del rapporto dei loro valori assoluti è > ; ciò implica ecessariamete che x log x (+)2 + + log( + ) > x2 + 3 log x 2 defiitivamete; per il Teorema relativo alla modifica di u umero fiito di addedi, si può supporre quidi che la successioe a = x2 + 3 log x 2 sia globalmete crescete, e quidi, per il II Criterio di Idetermiatezza, i ]0, x [ la serie è idetermiata. Resta da stabilire il comportameto ei puti di Z; il puto x = x è l ascissa del puto di itersezioe tra i grafici di 3 log x e x 2 ; quidi 3 log x = x 2 ovvero x2 + 3 log x = e quidi la serie ( ) i x = x si riduce a e questa serie coverge (semplicemete) i virtù del Criterio di Leibitz, perchè baalmete log < log( + ) e quidi < ( + ) + log( + ) che a sua volta implica > + + log( + ) e altrettato immediatamete = 0. Per x = ivece la serie diveta, per sostituzioe diretta, Criterio del Cofroto Asitotico, i quato = =, e quidi è divergete, per il (per esempio applicado all ifiito a deomiatore il Pricipio di Sostituzioe degli Ifiiti), e quidi la serie i x = ha lo stesso comportameto della serie armoica, cioè diverge. Si ha quidi H =]x, [, K = [x, [, J = [, + ), I =]0, x ], pertato soo vere le alterative A ed E e soo false le altre tre., 3

4 Per quato riguarda il quesito 3.A, prededo x H si trova per forza a = 0 e quidi il termie geerale della uova serie è il rapporto tra due ifiitesimi simultaei; ora per calcolare (arcsi t)( cos t) + log( + t) (ta t) ricorriamo al Pricipio di Sostituzioe degli Ifiitesimi. e t2 + 0 Tra i due addedi al umeratore, il primo è dello stesso ordie di t 3, ed il secodo dello stesso ordie di ; ifatti e Quidi itato arcsi t( cos t) arcsi t t 3 = cos t t = 2 (ta t)(log( + t) ta t log( + t) = =. t t (arcsi t)( cos t) + log( + t) (ta t) log( + t) (ta t) = a t2 + 0 a t2 + 0 A deomiatore, il primo addedo e t2 è dello stesso ordie dell espoete, quidi del secodo ordie; ivece l addedo 0 `di ordie superiore a qualsiasi poteza di t. Ifatti, ad esempio,. 0 0 = 0 s = s s = 0 avedo posto, per l ultimo passaggio, s =, e pertato è ache di ordie superiore rispetto a et2 ; i coclusioe log( + t) (ta t) a t2 + 0 Ora ricordado i iti otevoli si trova log( + t) (ta t) =. e t2 log e ( + t) ta t e t =, =, = t t t log( + t) (ta t) e t2 log( + t) (ta t) = e t2 Pertato la serie i 3.A ha il termie geerale che tede ad ; se e deduce che è defiitivamete a termii positivi, e che o può covergere perchè il termie geerale o è u ifiitesimo. I coclusioe la serie diverge. Passiamo alla serie 3.B e osserviamo che il termie geerale può essere scritto come [ ] (4 + 3 log 2) 2 e quidi, applicado il Criterio Asitotico della Radice, si tratta di calcolare il ite (4 + 3 log 2) 2. Quest ultimo è il termie geerale della serie assegata i. calcolato per x = 2, ovvero dove la serie i. diverge i quato il ite del rapporto (4 + 3 log 2) (+)2 + + log( + ) (4 + 3 log 2) 2 4 = +. =.

5 (4 + 3 log 2)2 Da quest ultimo risultato, si ottiee ache che è crescete, e quidi che (4 + 3 log 2) 2 > log 2 > (il termie a destra, otteuto i corrispodeza di =, è il primo termie della successioe). Quidi per il Criterio Asitotico della Radice ache la serie i 3.B diverge. 5