Successioni di funzioni

Transcript

1 Successioi di fuzioi Successioi di fuzioi: covergeza putuale Defiizioe Sia I u isieme di umeri reali e sia ua successioe di fuzioi reali defiite i I : I R, I R. Si dice che Cioè f : I R, risulta coverge putualmete i I verso la fuzioe f I; 0 e R, R : f f( f,

2 Successioi di fuzioi: covergeza putuale f, Y ε f(+ε ( f( ε f(-ε a b X Successioi di fuzioi:covergeza putuale Per stabilire la covergeza putuale si fissa I cosidera la successioe umerica ( e si Empio Dire coverge la successioe Si ha ( (0,] f

3 Successioi di fuzioi Empio f [0,] 0 [0,) Successioi di fuzioi Empio arctg R arctg

4 Successioi di fuzioi, I geerale, fissato 0, il umero dipede dal puto ; ivece, o dipede da allora si parla di covergeza uiforme: Defiizioe ( coverge uiformemete i I verso f( 0 R ( o dipede da tale che f, I Successioi di fuzioi covergeza uiforme covergeza putuale Ifatti, fissato 0, è tale che f, allora per ogi I si può scegliere e quidi la diguagliaza vale ache Il viceversa i geerale o vale.,,. 4

5 Successioi di fuzioi Se le, f soo itate i I allora ( uiformemete ad f i I e solo coverge sup I f 0 Ercizio. Dimostrare che la successioe uiformemete i [0,] Fissato i [0,] si ha 0 coverge Successioi di fuzioi, covergeza uiforme Vediamo la covergeza è uiforme [0,] sup 0 0 Quidi coverge uiformemete a f(=0 5

6 Successioi di fuzioi Empio zero. Ifatti, [0,] coverge uiformemete a 0 [0,] sup 4 0 Successioi di fuzioi Teorema (cotiuità del ite uiforme di fuzioi cotiue) Se ( coverge uiformemete i I verso f(, e tutte le ( soo cotiue i 0, allora ache f( è cotiua i 0. I geerale la covergeza putuale di ua successioi di fuzioi cotiue o assicura la cotiuità della fuzioe ite 6

7 Successioi di fuzioi Empio arctg R arctg La covergeza o può esre uiforme i quato la fuzioe ite o è cotiua Serie di fuzioi 7

8 Serie di fuzioi Sia ua successioe di fuzioi reali defiite i I R. Se I la rie umerica è covergete, cioè la successioe delle somme parziali S fk f( f(... f( k coverge putualmete i I, allora si dice che la rie di fuzioi ( fissato) f f f( f(... è covergete putualmete i I. f f... Serie di fuzioi Defiizioe (covergeza totale) Se esistoo dei umeri reali 0 tali che f( M, I, N e la rie umerica M è covergete i I, allora si dice che f coverge totalmete i I. Teorema M La covergeza totale di ua rie di fuzioi implica quella uiforme: covergez a totale covergeza uiforme 8

9 Serie di fuzioi Defiizioe (covergeza uiforme) La rie ( coverge uiformemete i I verso S( la successioe delle somme parziali uiformemete i I verso S(. S ( coverge Teorema La somma di ua rie di fuzioi cotiue covergete uiformemete è ach essa cotiua. (discede dal teorema sulla cotiuità del ite uiforme di fuzioi cotiue) Serie di fuzioi Ercizio Dire coverge putualmete Si ha cos e R la rie coverge (rie armoica geeralizzata) cos cos coverge totalmete coverge uiformemete coverge putualmete 9

10 Serie di fuzioi 0 ( ) Serie geometrica S q( ( q( ) S ( ) 0, - 0 idetermiata, Serie di fuzioi 0 ( ) Serie geometrica Coverge solo putualmete a perché S o è cotiua i I S(,,, 0 Coverge uiformemete i ogi itervallo del tipo 0,, o [ a, b],0 [ a, b] 0

11 Serie di fuzioi Si ha S f - coverge co somma 0 Serie telescopica f S S, - diverge > - oscilla < - Serie di fuzioi Teorema di itegrazioe per rie (termie a termie) Sia rie S( ua successioe di fuzioi cotiue i [a,b], la f( allora è covergete uiformemete i [a,b] verso b a b a S d ( f ) d f d b a

12 Ercizio Dire la rie 3 i, 0 è itegrabile termie a termie Serie di fuzioi Teorema di derivazioe per rie (termie a termie) Sia ua successioe di fuzioi derivabili i (a,b) co derivata cotiua i [a,b]. Se i) f( coverge almeo i u puto 0 [ a, b] ii) f( ) coverge uiformemete i [a,b] co somma A( allora ache f( coverge uiformemete i [a,b] e S( è la sua somma, si ha S f( f ( A( [ a, b]

13 Ercizio Dire la rie è derivabile termie a termie Serie di fuzioi Serie di poteze Sia a ua successioe di umeri reali, si chiama rie di poteze di puto iiziale zero, la rie di fuzioi: 0 a dove a 0, a,, a,. Soo i coefficieti. L itervallo I i cui tale rie coverge si chiama itervallo di covergeza. Il raggio di covergeza è l estremo superiore r di tale itervallo 3

14 Serie di poteze Si possoo avere 3 casi: ) r =0 allora la rie di poteze a coverge solo i =0 ) 0 < r < + allora a coverge assolutamete per ( r, r) e totalmete i ogi [, ] ( r, r) o coverge per r 3) r = + allora a coverge assolutamete i ogi R e totalmete i ogi itervallo chiuso e itato di R: [, ] R Serie di poteze Teorema di Cauchy Data la rie 0 a a allora r 4

15 Serie di poteze Teorema di D Alembert Data la rie 0 a a 0, e allora r a a ( 0 r ) Serie di poteze Ercizio Determiare l itervallo di covergeza delle gueti rie di poteze 0 5 Si trova r=, quidi I=(-, ) 5

16 Serie di poteze ( ) di cetro 0 Si trova r = quidi I= (-,0) Serie di poteze ( )! Si trova r = + quidi I= R 6

17 Serie di poteze ( ) ( ) Si trova r = quidi I= (-,3) Serie di fuzioi Ercizio Determiare per quali valori di coverge la guete rie Separo i due rie: Soo due rie geometriche, ua di ragioe ragioe e l altra di 7

18 Ercizio Determiare per quali valori di coverge la guete rie e Fissado si ha ua re umerica e coverge per <0. Si può trovare questo risultato utilizzado uo dei criteri sufficieti (per empio quello della radice) studiati per le rie umeriche. Se =0 si ha ua rie armoica divergete. Se >0 la rie data o soddisfa la codizioe ecessaria di covergeza. Ercizio Studiare la covergeza della guete rie 0 si cos 8

19 Ercizio Studiare la covergeza della guete rie e ( ) e 9