SOLUZIONI COMPITO del 04/02/2016 ANALISI MATEMATICA I - 9 CFU MECCANICA TEMA A

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1 SOLUZIONI COMPITO del 0/0/06 ANALISI MATEMATICA I - 9 CFU MECCANICA TEMA A Esercizio Osserviamo, iazitutto, che la serie proposta è ua serie a termii o egativi. Applicado il criterio della radice, dopo aver messo i evideza il termie domiate, otteiamo a := log x x + log x x = log x x = log x x log x. Quidi la serie coverge per log x <, cioè < log x <, che forisce t { log x < / log x > / = { log x < / log x > / = e / < x < e / ; metre diverge per x < e / oppure x > e /. Ifie, per x = e /, a = / x + / x che diverge per cofroto co la serie armoica geeralizzata di espoete x = e / <, metre per x = e /, a = /ˆx + /ˆx che coverge per cofroto co la serie armoica geeralizzata di espoete x = e / >. Esercizio Per α =, effettuado la sostituzioe y = x, da cui x dx = dy, otteiamo x + xe x dx = x + e x x dx = y + e y dy = ye y = ye y ey x + ey + C = e x + + C. 8 e y dy + ey + C Ivece, teedo coto che, per ogi α R, f α è dispari cioè f α x = f α x e l itervallo d itegrazioe è simmetrico rispetto all origie, si ricava subito che l itegrale proposto è ullo. Esercizio L equazioe differeziale proposta risulta essere u equazioe lieare del secodo ordie a coefficieti costati e o omogeea. Cosideriamo dapprima il caso α. L equazioe caratteristica associata è λ + α = 0 che ha per soluzioi α λ = α λ = ± se α <, = α λ = ± i se α >. Pertato, l itegrale geerale dell equazioe omogeea associata è y 0 x = C e x α/ + C e x α/ se α <, y 0 x = C cosx α / + C six α / se α >. Per determiare ua soluzioe particolare dell equazioe completa utilizziamo il metodo di somigliaza che forisce y p x = Ax + Bx + C, da cui y px = Ax + B e y x = A. Iseredo ell equazioe completa e ricordado il pricipio di idetità dei poliomi, ricaviamo 8A + α Ax + Bx + C = x, da cui α A =, α B = 0, 8A + α C = 0, = A = α, B = 0, C = 6 α.

2 Quidi l itegrale geerale è dato da yx = C e x α/ + C e x α/ + 6 α x α se α <, yx = C cosx α / + C six α / + 6 α x α se α >. Ivece per α =, l equazioe differeziale si riduce a y x = x /, da cui, itegrado due volte, otteiamo che l itegrale geerale è dato da yx = x + C x + C. Esercizio Per determiare gli estremati di f studiamoe la mootoia attraverso la derivata. Da ciò ricaviamo f x = ex e x e x e x + e x e x = e x ex 8e x. Quidi il sego della derivata è determiato dal sego del fattore e x 8e x il quale, co il cambio di variabile t = e x, si trasforma el triomio di secodo grado t 8t. Tale triomio si aulla per t = ± 8, ma essedo t = e x, l uica radice ammissibile è quella positiva, data da t = + 8, ovvero x = log + 8 [log, log 5]. Pertato, otteiamo Quidi x = log + 8 > 0 se x > log + 8, f x = 0 se x = log + 8, < 0 se x < log + 8. è puto di miimo assoluto, metre gli estremi dell itervallo, cioè i puti x = log e x = log 5, soo puti di massimo relativo. Per stabilire quale dei due sia ache puto di massimo assoluto, valutiamo la fuzioe agli estremi, otteedo flog = 9 ed flog 5 = 5/ = 7. Pertato, x = log è puto di massimo assoluto, metre x = log 5 è puto di massimo relativo. Cocludiamo osservado che la fuzioe proposta è cotiua sull itervallo chiuso e limitato [log, log 5], pertato l esisteza di estremati assoluti è garatita dal Teorema di Weierstrass. Esercizio 5 Osserviamo che le affermazioi C e D soo false; ifatti, prededo a = b = = o/, si ottiee che la serie a = e la serie b = soo etrambe covergeti. Ivece, le affermazioi A e B soo corrette. Ifatti, poiché a b, si ottiee che a b la covergeza o è soddisfatta e la serie a b 0, quidi la codizioe ecessaria per diverge, metre a b a = o/, cioè a b / 0, quidi a b = a b / e la serie a b coverge per cofroto co la serie armoica geeralizzata di espoete >.

3 TEMA B Esercizio Osserviamo, iazitutto, che la serie proposta è ua serie a termii o egativi. Applicado il criterio della radice, dopo aver messo i evideza il termie domiate, otteiamo a := ex 5 5 x + ex 5 5 x = ex 5 5 x = ex 5 5 x ex 5. Quidi la serie coverge per e x 5 <, cioè < e x 5 <, che forisce { { e x < 6 e x < e x = > e x = log < x < log ; > metre diverge per x < log oppure x > log. Ifie, per x = log, a = /5 x + /5 x che diverge per cofroto co la serie armoica geeralizzata di espoete x = log <, metre per x = log, a = /5ˆx + /5ˆx che coverge per cofroto co la serie armoica geeralizzata di espoete x = log >. Esercizio Per α =, effettuado la sostituzioe y = x, da cui x dx = dy, otteiamo x + x six dx = x + six x dx = y + siy dy = y cosy + cosy dy cosy + C = y cosy + cosy siy + C = x cosx + six cosx + C. 8 Ivece, teedo coto che, per ogi α R, f α è dispari cioè f α x = f α x e l itervallo d itegrazioe è simmetrico rispetto all origie, si ricava subito che l itegrale proposto è ullo. Esercizio L equazioe differeziale proposta risulta essere u equazioe lieare del secodo ordie a coefficieti costati e o omogeea. Cosideriamo dapprima il caso α. L equazioe caratteristica associata è λ α + = 0 che ha per soluzioi { λ = α + = λ = ± α + se α >, λ = ± α i se α <. Pertato, l itegrale geerale dell equazioe omogeea associata è y 0 x = C e x α+ + C e x α+ se α >, y 0 x = C cosx α + C six α se α <. Per determiare ua soluzioe particolare dell equazioe completa utilizziamo il metodo di somigliaza che forisce y p x = Ax + Bx + C, da cui y px = Ax + B e y x = A. Iseredo ell equazioe completa e ricordado il pricipio di idetità dei poliomi, ricaviamo A α + Ax + Bx + C = x +, da cui α + A =, α + B = 0, = A = α +, B = 0, C = α + α +. A α + C =, Quidi l itegrale geerale è dato da yx = C e x α+ + C e x α+ yx = C cosx α + C six α α + x α + α + se α >, α + x α + α + se α <. Ivece per α =, l equazioe differeziale si riduce a y x = x +, da cui, itegrado due volte, otteiamo che l itegrale geerale è dato da yx = x 6 + x + C x + C.

4 Esercizio Per determiare gli estremati di f studiamoe la mootoia attraverso la derivata. Da ciò ricaviamo f x = x log xlog x + x log x + log x + = xlog x + log x + log x. Quidi il sego della derivata è determiato dal sego del fattore log x + log x il quale, co il cambio di variabile t = log x, si trasforma el triomio di secodo grado t + t. Tale triomio si aulla per t = ±, ovvero x = e ±, ma l uica radice ammissibile è x = e + [ e, e]. Pertato, otteiamo > 0 se x > e +, f x = 0 se x = e +, < 0 se x < e +. Quidi x = e + è puto di miimo assoluto, metre gli estremi dell itervallo, cioè i puti x = e e x = e, soo puti di massimo relativo. Per stabilire quale dei due sia ache puto di massimo assoluto, valutiamo la fuzioe agli estremi, otteedo f e = / = fe. Pertato, etrambi i puti x = e e x = e soo puti di massimo assoluto. Cocludiamo osservado che la fuzioe proposta è cotiua sull itervallo chiuso e limitato [ e, e], pertato l esisteza di estremati assoluti è garatita dal Teorema di Weierstrass. Esercizio 5 Osserviamo che le affermazioi B e C soo false; ifatti, prededo a = b = = o/, si ottiee che la serie b = e la serie a = soo etrambe covergeti. Ivece, le affermazioi A e D soo corrette. Ifatti, poiché a b, si ottiee che b a 0, quidi la codizioe ecessaria per la covergeza o è soddisfatta e la serie b a diverge, metre a b b = b = o/, cioè a b / 0, quidi ab a b = / e la serie a b coverge per cofroto co la serie armoica geeralizzata di espoete >.

5 TEMA C Esercizio Osserviamo, iazitutto, che la serie proposta è ua serie a termii o egativi. Applicado il criterio della radice, dopo aver messo i evideza il termie domiate, otteiamo a := ex 8 x + 5 ex 8 x = ex 8 x = ex 8 x ex 8. Quidi la serie coverge per e x 8 <, cioè < e x 8 <, che forisce { { e x < 9 e x < e x = > 7 e x = log7/ < x < log ; > 7/ metre diverge per x < log7/ oppure x > log. Ifie, per x = log7/, a = / x + 5 / x che diverge per cofroto co la serie armoica geeralizzata di espoete x = log7/ <, metre per x = log, a = /ˆx + 5 /ˆx che coverge per cofroto co la serie armoica geeralizzata di espoete x = log >. Esercizio Per α =, effettuado la sostituzioe y = x, da cui x dx = dy, otteiamo x + x six dx = x + six x dx = y + si y dy = y cos y + cos y dy cos y + C = y cos y + si y cos y + C = x cosx + six cosx + C. Ivece, teedo coto che, per ogi α R, f α è dispari cioè f α x = f α x e l itervallo d itegrazioe è simmetrico rispetto all origie, si ricava subito che l itegrale proposto è ullo. Esercizio L equazioe differeziale proposta risulta essere u equazioe lieare del secodo ordie a coefficieti costati e o omogeea. Cosideriamo dapprima il caso α /. L equazioe caratteristica associata è λ 9α + = 0 che ha per soluzioi { λ 9α + λ = ± α + / se α > /, = = λ = ± α i/ se α < /. Pertato, l itegrale geerale dell equazioe omogeea associata è y 0 x = C e x α+/ + C e x α+/ y 0 x = C cosx α / + C six α / se α > /, se α < /. Per determiare ua soluzioe particolare dell equazioe completa utilizziamo il metodo di somigliaza che forisce y p x = Ax + Bx + C, da cui y px = Ax + B e y x = A. Iseredo ell equazioe completa e ricordado il pricipio di idetità dei poliomi, ricaviamo A 9α + Ax + Bx + C = x +, da cui 9α + A =, 9α + B = 0, 8A 9α + C =, = A = 9α +, B = 0, C = 6α α +. Quidi l itegrale geerale è dato da yx = C e xα+/ + C e xα+/ 6α α + x 8α + se α > /, yx = C cosx α / + C six 6α + 50 α / 9α + x 8α + se α < /. Ivece per α = /, l equazioe differeziale si riduce a y x = x +, da cui, itegrado due volte, otteiamo che l itegrale geerale è dato da yx = x + x + C x + C. 5

6 Esercizio Per determiare gli estremati di f studiamoe la mootoia attraverso la derivata. Da ciò ricaviamo f x = x log x + x log x log x + log x + = xlog x + log x + log x 6. Quidi il sego della derivata è determiato dal sego del fattore log x + log x 6 il quale, co il cambio di variabile t = log x, si trasforma el triomio di secodo grado t + t 6. Tale triomio si aulla per t = ± 9, ovvero x = e ± 9, ma l uica radice ammissibile è x = e + 9 [e, e ]. Pertato, otteiamo < 0 se x > e + 9, f x = 0 se x = e + 9, > 0 se x < e + 9. Quidi x = e + 9 è puto di massimo assoluto, metre gli estremi dell itervallo, cioè i puti x = e e x = e, soo puti di miimo relativo. Per stabilire quale dei due sia ache puto di massimo assoluto, valutiamo la fuzioe agli estremi, otteedo fe = / ed fe = 0/. Pertato, x = e è puto di miimo assoluto, metre x = e è puto di miimo relativo. Cocludiamo osservado che la fuzioe proposta è cotiua sull itervallo chiuso e limitato [e, e ], pertato l esisteza di estremati assoluti è garatita dal Teorema di Weierstrass. Esercizio 5 Osserviamo che le affermazioi A e D soo false; ifatti, prededo a = b = = o/, si ottiee che la serie b = e la serie a = soo etrambe covergeti. Ivece, le affermazioi B e C soo corrette. Ifatti, poiché a b, si ottiee che b a 0, quidi la codizioe ecessaria per la covergeza o è soddisfatta e la serie b a diverge, metre a b b = b = o/, cioè a b / 0, quidi a a b = b / e la serie a b coverge per cofroto co la serie armoica geeralizzata di espoete >. 6

7 TEMA D Esercizio Osserviamo, iazitutto, che la serie proposta è ua serie a termii o egativi. Applicado il criterio della radice, dopo aver messo i evideza il termie domiate, otteiamo a := log x + x + log x + x = log x + x = log x + x log x +. Quidi la serie coverge per log x + <, cioè < log x + <, che forisce { log x < / log x > / = { log x < /9 log x > /9 = e /9 < x < e /9 ; metre diverge per x < e /9 oppure x > e /9. Ifie, per x = e /9, a = / x + / x che diverge per cofroto co la serie armoica geeralizzata di espoete x = e /9 <, metre per x = e /9, a = /ˆx + /ˆx che coverge per cofroto co la serie armoica geeralizzata di espoete x = e /9 >. Esercizio Per α = 0, effettuado la sostituzioe y = x, da cui x dx = dy, otteiamo x + xe x / dx = x + e x / x dx = y + e y/ dy = ye y/ e y/ dy + e y/ + C = ye y/ 8e y/ + e y/ + C = e x / x + C. Ivece, teedo coto che, per ogi α R, f α è dispari cioè f α x = f α x e l itervallo d itegrazioe è simmetrico rispetto all origie, si ricava subito che l itegrale proposto è ullo. Esercizio L equazioe differeziale proposta risulta essere u equazioe lieare del secodo ordie a coefficieti costati e o omogeea. Cosideriamo dapprima il caso α /. L equazioe caratteristica associata è 9λ + α = 0 che ha per soluzioi α λ = α λ = ± se α < /, = 9 α λ = ± i se α > /. Pertato, l itegrale geerale dell equazioe omogeea associata è y 0 x = C e x α/ + C e x α/ se α < /, y 0 x = C cosx α / + C six α / se α > /. Per determiare ua soluzioe particolare dell equazioe completa utilizziamo il metodo di somigliaza che forisce y p x = Ax + Bx + C, da cui y px = Ax + B e y x = A. Iseredo ell equazioe completa e ricordado il pricipio di idetità dei poliomi, ricaviamo 8A + α Ax + Bx + C = x, da cui α A =, α B = 0, 8A + α C = 0, = A = 7 α, B = 0, C = 7 α.

8 Quidi l itegrale geerale è dato da yx = C e x α/ + C e x α/ + 7 α x α se α < /, yx = C cosx α / + C six α / + 7 α x α se α > /. Ivece per α = /, l equazioe differeziale si riduce a y x = x /9, da cui, itegrado due volte, otteiamo che l itegrale geerale è dato da yx = x 7 + C x + C. Esercizio Per determiare gli estremati di f studiamoe la mootoia attraverso la derivata. Da ciò ricaviamo f x = ex e x + e x e x + e x + = e x + ex + e x 9. Quidi il sego della derivata è determiato dal sego del fattore e x + e x 9 il quale, co il cambio di variabile t = e x, si trasforma el triomio di secodo grado t + t 9. Tale triomio si aulla per t = ±, ma essedo t = e x, l uica radice ammissibile è quella positiva, data da t = +, ovvero x = log + Quidi x = log [log/, log ]. Pertato, otteiamo + < 0 se x > log f x = 0 se x = log > 0 se x < log e x +, + + è puto di massimo assoluto, metre gli estremi dell itervallo, cioè i puti x = log/ e x = log, soo puti di miimo relativo. Per stabilire quale dei due sia ache puto di miimo assoluto, valutiamo la fuzioe agli estremi, otteedo flog/ = / ed flog = /. Pertato, x = log è puto di miimo assoluto, metre x = log/ è puto di miimo relativo. Cocludiamo osservado che la fuzioe proposta è cotiua sull itervallo chiuso e limitato [log/, log ], pertato l esisteza di estremati assoluti è garatita dal Teorema di Weierstrass. Esercizio 5 Osserviamo che le affermazioi B e C soo false; ifatti, prededo a = b = = o/, si ottiee che la serie a = e la serie b = soo etrambe covergeti. Ivece, le affermazioi A e D soo corrette. Ifatti, poiché a b, si ottiee che a b la covergeza o è soddisfatta e la serie a b,. 0, quidi la codizioe ecessaria per diverge, metre a b a = o/, cioè a b / 0, quidi a b = a b / e la serie a b coverge per cofroto co la serie armoica geeralizzata di espoete >. 8