Soluzioni. 2 2n+1 3 2n. n=1. 3 2n 9. n=1. Il numero 2 può essere raccolto fuori dal segno di sommatoria: = 2. n=1 = = 8 5.

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1 60 Roberto Tauraso - Aalisi Calcolare la somma della serie Soluzioi + 3 R La serie può essere riscritta el modo seguete: Il umero può essere raccolto fuori dal sego di sommatoria: Si tratta di ua serie geometrica di ragioe 4 co l idice che parte da Dato che 9 4 < la serie è covergete e la somma vale: Calcolare la somma della serie R La serie può essere riscritta el modo seguete: Per la liearità possiamo scomporre la serie i due serie geometriche covergeti: Determiare la frazioe corrispodete al umero decimale R Basta scrivere il umero come somma di ua serie geometrica:

2 Serie umeriche e serie di poteze 6 4 Calcolare la somma della serie R La serie può essere riscritta el modo seguete Per il criterio di Leibiz, o solo possiamo dire che la serie coverge, ma possiamo ache applicare la liearità otteedo la scomposizioe La prima serie ha somma uguale a log La secoda serie può essere ricodotta alla prima aggiustado l idice della sommatoria: log + Quidi la somma della serie data è uguale a log + log + 5 Calcolare la somma della serie R Osserviamo che + + e quidi la somma parziale s N per N 3 diveta s N N N N N N N + N N + Passado al limite per N troviamo che la somma della serie data vale 3/

3 6 Roberto Tauraso - Aalisi 6 Determiare il carattere della serie 3 si R Ricordado che si x x 6 x3 + ox 3 per x che tede a 0 allora x si x x 3 6 Quidi, otado che la serie è a termii o egativi e poedo x / si ha che a 3 si 3 si 6 Dato che <, la serie coverge per il criterio della radice 6 7 Determiare il carattere della serie arctasi R Itato osserviamo che i termii o soo di sego costate il primo termie egativo si ha per 5 Notiamo ache che qualuque sia il valore di arctasi arcta[, ] [ π/4, π/4], e duque π arctasi 4 Questo vuol dire che la serie dei valori assoluti è maggiorata dalla serie geometrica covergete di ragioe 0 < π/4 < π 4 Duque, per il criterio del cofroto, la serie data coverge assolutamete e quidi è covergete

4 Serie umeriche e serie di poteze 63 8 Trovare il domiio di covergeza della serie e determiare la somma per x 4 x x R Se poiamo y x/x allora, ella variabile y, la serie diveta ua serie geometrica di ragioe y Questa coverge se e solo se y < e la somma vale y 0 y y y y Quidi il domiio di covergeza della serie data è determiato dalla disuguagliaza x x < ossia x D, Per x si ha che y e la somma della serie è uguale a 9 Calcolare la somma della serie 3 6 R La serie data può essere riscritta el modo seguete: Quidi, per la liearità, la serie può essere decomposta ella differeza di due serie geometriche covergeti: Calcolare la somma della serie

5 64 Roberto Tauraso - Aalisi R La serie data può essere riscritta el modo seguete: 5 + Per la liearità, la serie può essere così decomposta ella differeza di due serie covergeti: Discutere la covergeza della serie + log a log + al variare del parametro a R log log 4 R I termii della serie soo o egativi e facedo u aalisi asitotica abbiamo che + log a log + a log a log La serie data è quidi asitoticamete equivalete a a log che coverge se e solo se α a > β serie data coverge per a > 4 Possiamo così cocludere che la Discutere la covergeza della serie al variare del parametro a R log log a log! + R Itato osserviamo che log log log log log 4 log +

6 Serie umeriche e serie di poteze 65 La serie data può essere quidi riscritta el modo seguete: log + a log! + I termii della serie soo o egativi e possiamo fare u aalisi asitotica ricordado che log + x x per x che tede a 0: log + a log! + a log a+3 log La serie data è quidi asitoticamete equivalete a a+3 log che coverge se e solo se α a + 3 β > Possiamo così cocludere che la serie data coverge per a 3 Discutere la covergeza della serie al variare del parametro a > 0 R Prima osserviamo che e /5a cos/ a log log + log log + log e log +loglog + e log log e e e /5a cos/ a + / 5a / 4a / 4a I termii della serie soo positivi e facedo l aalisi asitotica otteiamo e /5a cos/ a log log + log /4a log e log 4a log Duque la serie coverge se e solo se α 4a β > ossia per a /4

7 66 Roberto Tauraso - Aalisi 4 Calcolare il raggio di covergeza della serie di poteze x R Facciamo l aalisi asitotica del coefficiete a Quidi il raggio di covergeza è uguale a 5/9 perché: a Calcolare il raggio di covergeza della serie di poteze R Aalizziamo il rapporto dei coefficieti a + a!! x +! +!!! Quidi il raggio di covergeza è uguale a 4 6 Calcolare il raggio di covergeza della serie di poteze 3!! R Aalizziamo il rapporto dei coefficieti x a !! a +! 3! La prima frazioe tede a 3/4 metre la secoda si riduce a + / e quidi tede ad e Così il raggio di covergeza della serie è uguale a 4/3e

8 Serie umeriche e serie di poteze 67 7 Calcolare il raggio di covergeza della serie di poteze x 4 + R Poiamo y x 4 Allora il raggio di covergeza della serie di poteze y + è dato dal reciproco del limite di a e + + ossia e Siccome y x 4, il raggio di covergeza della serie data è 4 e e 8 Calcolare il raggio di covergeza della serie di poteze 4 + 5! + 6 +! x + 5! + 4 +! R Calcoliamo il limite 6 +! + a + 5! 4 +! + + 5! 4 / + 6/ 4 4 / Quidi il raggio di covergeza della serie di poteze è e 4 + 4/ 3 3 e6/ e 4 e 4 9 Determiare il domiio della serie di poteze + x + R Itato osserviamo che perché l itero è pari se e solo è pari il suo quadrato provate a dimostrarlo Se calcoliamo ache la differeza delle radici, allora la serie data può essere riscritta el seguete modo: x +

9 68 Roberto Tauraso - Aalisi Dato che + +, il raggio di covergeza è uguale a e così, D [, ] Vediamo cosa succede agli estremi: per x la serie diveta + e quidi coverge per il criterio di Leibiz Per x la serie diveta + + Siccome il termie geerico di questa serie a termii positivi è asitoticamete equivalete a la serie o coverge Duque D, ] 0 Determiare il carattere della serie + R Si oti che il termie, a meo del fattore, è o egativo e ifiitesimo, ma o è decrescete duque o si può applicare il criterio di Leibiz Se provassimo ad applicare il cofroto asitotico ache a questa serie che ha sego variabile avremmo che + Ora siccome per il criterio di Leibiz la serie coverge allora saremmo tetati di dire che ache la serie data coverge Questa coclusioe è però sbagliata perchè i realtà la serie data diverge: ifatti la prima serie coverge per il criterio di Leibiz metre la secoda diverge

10 Serie umeriche e serie di poteze 69 Calcolare la somma della serie R Riscriviamo opportuamete il termie della serie: Ora dalla tabella delle serie di poteze si ricava facilmete che log + x + x x co x D, ] Quidi la serie i esame si ottiee poedo x log 34 log 4 log 4 Calcolare la somma della serie i R La serie data può essere riscritta el modo seguete: i Per la liearità, la serie può essere così decomposta ella differeza di due serie geometriche covergeti i/ < : i i 0 i 3 Determiare il domiio di covergeza della serie e log + x + i 5

11 70 Roberto Tauraso - Aalisi R Poiamo y loge/ + x e studiamo la serie di poteze y Il raggio di covergeza è perché a Sia all estremo y che y la serie o coverge perché il termie geerico o coverge a zero Quidi la serie coverge se e solo se ossia e quidi < y loge/ + x log + x <, 0 < log + x < 0 < x < e Duque il domiio di covergeza della serie data è D e, e \ {0} 4 Determiare il domiio di covergeza della serie di poteze 0 + x Quato vale la somma se x appartiee a tale domiio? R Si oti che { + se è pari 3 se è dispari Calcoliamo il limite della successioe a : ache se a oscilla tra i valori 3 e /3 la sua radice -sima tede a Ioltre ei puti x e x la serie o coverge perché il termie geerico o è ifiitesimo Quidi D, Se x < allora 0 + x 3 x k + 3 k0 k0 x k+ dove la prima e la secoda serie idividuao la somma di tutti i termii rispettivamete di idice pari k e di idice dispari k + Ioltre queste due serie soo ricoducibili alla serie geometrica di ragioe x : per la prima x k k0 k0 x k x,

12 Serie umeriche e serie di poteze 7 metre per la secoda x k+ x k0 k0 Quidi la somma della serie data per x < è x k x x 3 x + 3 x x + 9x 3 x 5 Determiare il domiio di covergeza della serie log + x R Poiamo y x e studiamo la serie di poteze log + y Se aalizziamo il coefficiete a log + e quidi il raggio di covergeza è perché a All estremo y, la serie è asitoticamete equivalete alla serie armoica e duque diverge All altro estremo y ivece la serie coverge per il criterio di Leibiz perché log + decresce e tede a 0 Quidi la serie coverge se e solo se y x <, ossia 0 < x e il domiio di covergeza della serie data è D [, ] \ {0}

13 7 Roberto Tauraso - Aalisi 6 Calcolare la somma della serie /3 + i R La serie data può essere riscritta el modo seguete: 3 + i Per la liearità, la serie si decompoe ella differeza di due serie geometriche covergeti + i/ < : 3 + i 7 Calcolare la somma della serie 3 mi 0 e, +i 4e +! i R Dato che se e solo se ossia per 0 e allora 0 4e mi e, +! e 4e e +! 0 0 e + 4e e 4e +! 3! e 4e! 0 e 4e e 4e +! 0 +! e 4

14 Serie umeriche e serie di poteze 73 8 Calcolare la somma della serie 4 +! R La serie può essere riscritta el modo seguete 4 + +! 4 + +! +! Dato che le serie relative ai due termii covergoo possiamo separarli otteedo 4! 4 +! 4! 5 9 Calcolare la somma della serie 3! +! R La serie si può riscrivere come ovvero 3 3!! 3! 3 +! 4! 4 3e 3 e 3 e Determiare il domiio di covergeza e la somma della serie R Poedo y x/ + x si osserva che x + x y y + y log y

15 74 Roberto Tauraso - Aalisi co domiio di covergeza [, rispetto a y Quidi il domiio rispetto a x è ossia D [ /, + e per x D si ha che x + x < x log x log log + x + x + x + x 3 Calcolare la somma della serie 0 cosπ/4 R Notiamo che 4k per k 0 cosπ/4 / k + per k 0 0 4k + per k 0 Quidi 0 cosπ/4 k0 + / 4k k+ 6 k Calcolare la somma della serie R Per liearità la serie si può spezzare i due parti Per quato riguarda la prima serie ricordiamo che per x < x x x

16 Serie umeriche e serie di poteze 75 e duque 3 La somma della secoda serie vale Ifie

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