ALGEBRA I MODULO PROF. VERARDI - ESERCIZI. Sezione 1 NUMERI NATURALI E INTERI

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1 ALGEBRA I MODULO PROF. VERARDI - ESERCIZI Sezioe 1 NUMERI NATURALI E INTERI Si dimostri per iduzioe la formula: N, k 2 "1( * " 3 ) " 3k +1( A) Si dimostri che per ogi a,b N +, N +, se a < b allora a < b. B) Si dimostri la disuguagliaza: N, 3,!< 1.3. A) Si dimostri che per ogi a,b N +, N, ( a " b) a " b. B) Si verifichi che el gruppo simmetrico S 3, scelte opportuamete due permutazioi α, β, o è vero che risulti N, " " Si calcolio MCD ed mcm dei due umeri 4183 e Si usi questa iformazioe per scomporre i due umeri i fattori primi Si trovi il umero dei divisori di 900 che siao multipli di Si tracci il diagramma di Hasse dei divisori di 30 ordiato mediate la divisibilità, e quello dei sottoisiemi di X { 1,2,3 } ordiato mediate l iclusioe. Che cosa si può otare? 1.7. Si trovi u umero aturale che abbia esattamete 15 divisori. Esiste? Quati ce e soo? 1.8. Si dimostri che il prodotto di quattro umeri N + cosecutivi è multiplo di 4!. 1.9 Si trovio d MCD(728,442) e due iteri u, v tali che 728u+442v d 1.10 Esistoo due iteri u, v tali che 500u+755v 3? 1.11 Si trovi u umero itero x tale che 250x 1 sia multiplo di Si trovi u umero itero x tale che 272x 1 sia multiplo di 212 1

2 SOLUZIONI DELLA SEZIONE 1. 0 S1.1. Per 0, el primo membro si ha k 2 * " 3k +1( 0 2 " 3 ) , metre el 0 2 "1 ( 0 " 3) secodo si ottiee 1, quidi per 0 l uguagliaza è vera. 3 2 Sia ora u umero per cui è vera, ossia tale che k 2 "1( * ( " 3) ) " 3k +1(. Per il 3 successivo +1 si ha allora, al primo membro si ha: +1 k 2 ) " 3k +1( k 2 ) " 3k +1( " 3( +1) +1 2 "1( * " 3 ( " 3 " 3 +1( ' 3 ' 3 " 3 2 " " " "1 ( 3 " 4 ' 3 Nel secodo membro, per +1 al posto di si ha: ( +1) 2 " ( " 3) " " 4, uguale al risultato del primo membro. Duque, l isieme dei umeri aturali per 3 cui l uguagliaza è vera cotiee 0 e il successivo di ogi suo elemeto, quidi per il pricipio d iduzioe è tutto N. S1.2. Per 1 si ha a 1 a < b b 1, quidi a 1 < b 1. Sia u umero 1 per il quale la disuguagliaza è vera, a < b. Teiamo ora coto della compatibilità tra disuguagliaza e prodotto i N + per la quale se a < b allora per ogi c N + si ha a c < b c; per il successivo +1 si ha: a +1 a " a < b " a < b " b b +1. Duque, l isieme dei umeri aturali per cui l uguagliaza è vera cotiee 1 e il successivo di ogi suo elemeto, quidi è tutto N +. B) Per 3 si ha 3! 6 e , quidi la disuguagliaza è vera per 3. Sia u umero 3 per cui è vera, ossia risulti!<. Allora, teuto coto di A), per il successivo +1 si ha: ( +1)!!" ( +1) < " ( +1) < ( +1) " ( +1) ( +1) +1, Duque, l isieme dei umeri aturali per cui l uguagliaza è vera cotiee 3 e il successivo di ogi suo elemeto, quidi è tutto l isieme degli N, 3. 2

3 NOTA. A lezioe, posto a! a è stato proposto di calcolare lim +1 : " a ( +1) +1 a lim +1 ( +1)! ( +1) +1! lim " a " lim " ( +1)!! +1' lim ) lim ' ) e, umero di Nepero. " ( " ( lim " ( +1) lim " ( +1) S1.3 A) Per 0 si ha ( a " b) 0 1 a 0 " b 0. Sia ora N, per il quale l uguagliaza è vera, ossia ( a " b) a " b. Per il successivo +1 si ha: ( a " b) +1 ( a " b) " ( a " b) a " b " ( a " b) a " a ' ( " b " b ( a +1 " b +1 ' Duque, l isieme dei umeri aturali per cui l uguagliaza è vera cotiee 0 e il successivo di ogi suo elemeto, quidi per il pricipio d iduzioe è tutto N. B) Nel gruppo simmetrico S 3 la proprietà commutativa o vale. Siao " 123 allora per 3 si ha " 3 o 3 id. Ivece, (" o ) 3 ( 13) 3 ( 13)., " ( 12 ) ; S1.4 Per calcolare MCD ed mcm dei due umeri 4183 e 2047 usiamo il procedimeto euclideo delle divisioi successive: dividedo divisore quoziete resto Pertato, MCD( 4183,2047) 89, perché è l ultimo resto o ullo. Allora: 4183 "2047 mcm( 4183, 2047) 4183 " A questo puto, siccome 89 e 23 soo primi, allora "89. Dato poi che 89 divide ache 4183 e il quoto è 47, primo a sua volta, risulta "89 S1.5. Iazi tutto, 15 divide 900, altrimeti il problema avrebbe risposta essuo. Si ha 900 : "3 "5. Ogi divisore di 900 che sia multiplo di 15 si ottiee moltiplicado per 15 u divisore di 60. Poiché 60 ha umeri multipli di 15 e divisori di 900. " ( 1 +1) " ( 1 +1) 3 "2 "2 12 divisori, allora ci soo 3

4 S1.6. Il umero 30 2 "3 "5 ha ( 1 +1) " ( 1 +1) " ( 1 +1) 8 divisori, precisamete 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30. Ache " ( X ) ha sottoisiemi, ossia ", { 1}, { 2}, { 3}, { 1,2 }, { 1,3 }, { 2,3 }, { 1,2,3 }. Qui sotto riportiamo i due diagrammi di Hasse: si oti che soo isomorfi: 30 {1,2,3} {1,2} {1,3} {2,3} {1} {2} {3} 1 ø S1.7. Per ogi primo p, il umero p 14 ha per divisori i umeri p k, 0 " k " 14. Oppure, si osservi che 15 3 "5 ( 2 +1) " ( 4 +1) ; pertato, ogi umero del tipo p2 " q 4, co p, q primi distiti, ha 15 divisori. Per esempio, per p 3 e q 2 si ha 9 " S1.8. Sia m " ( +1) " ( + 2) " ( + 3) il prodotto di quattro umeri N+ cosecutivi. Itato, se dividiamo per 3, troviamo 3q+r, co r 0, 1 o 2. Nel primo caso, è multiplo di 3; el secodo, + 2 3q (q +1) è multiplo di 3; el terzo caso, +1 3q (q +1) è multiplo di 3. Allora il prodotto " +1 " ( + 2) è multiplo di 3 e quidi lo è ache m. Dividiamo ora per 4: 4q+r, co r 0, 1, 2 o 3. Nel primo caso, è multiplo di 4 e + 2 4q + 2 2(2q +1) è multiplo di 2, quidi m è multiplo di 8. Nel secodo caso, 4q +1, allora +1 4q + 2 2(2q +1) è multiplo di 2 e + 3 4q + 4 4(2q +1) è multiplo di 4, quidi m è multiplo di 8. Aalogamete, se 4q + 2, è pari e + 2 4q + 4 4(q +1) è multiplo di 4, duque 8 divide m. Ifie, se 4q + 3, allora +1 4q + 4 4(q +1) è multiplo di 4, metre + 3 4q + 6 2(2q + 3) è pari, duque 8 divide m. I defiitiva, sia 3 sia 8 dividoo m, ed allora ache 24 mcm 8,3 divide m. S1.9. Ricordiamo che dal procedimeto euclideo delle divisioi successive, posto r r "1 r q +1 + r +1 e "1 a u "1 + b v "1 segue: r a u + b v r +1 r "1 " r q +1 a ( u "1 " q +1 u ) + b ( v "1 " q +1 v ) 4

5 Perciò: u +1 u "1 " q +1 u. Si è posto v +1 v "1 " q +1 v u "1 1 ; v "1 0 u 0 0. Allora si può usare lo schema v "1 1 seguete: r a 728 e b 442: u v q Allora d MCD(728,442) (-3) Si oti che 728 " " (28) 0. S1.10. No esistoo due iteri u, v tali che 500u+755v 3, perché 5 divide 500 e 755, perciò dovrebbe dividere ache 3 5 (100u+151v), assurdo. S1.11. Trovare u umero itero x tale che 250x 1 sia multiplo di 133 equivale a risolvere l equazioe 250x+133y 1, co x ed y iteri. Per il teorema di Bézout, è possibile se e solo se MCD(250,133) 1. Possiamo applicare lo schema precedete: r a 250 e b 133: u v q Allora d MCD(250,133) (-25) Il umero cercato è allora x -25; ma ache è ua soluzioe; ifatti, 250 " "203. NOTA. I termii di cogrueze mod m, si cerca la classe di resti [ x] tale che 133 [ 250] " x 133 [ ] [ ], ossia l iversa della classe [ ] [ ]. Esiste proprio perché 133 [ ] 133 " 250 e 133 soo primi fra loro (o coprimi). Allora 250 [ ] 133 ' (1 " 117 [ ] 133. ' (1 108 S1.12. Per quato detto ell esercizio precedete, poiché 272 e 212 soo pari, o soo coprimi, quidi o esiste u umero itero x tale che 272x 1 sia multiplo di

6 Sezioe 2 COMBINATORIA E PERMUTAZIONI Si dimostri per iduzioe la formula: N, " k 3 " +1 ( Si dimostri per iduzioe la formula: N, "" k 2 + k ' " +1 ( 3 + " Si trovi el gruppo simmetrico S 5 il umero totale di cicli. Le permutazioi che o soo cicli formao u sottogruppo i S 5? 2.4. Siao " ( 12348) o ( 34567) e " simmetrico S ( due elemeti del gruppo 1' A) Si calcoli il prodotto " o o " 1 e si verifichi che ha lo stesso ordie di β. B) Qualcua tra le due permutazioi α o β appartiee al gruppo altero A 8? Nel gruppo simmetrico ( S 8,o) si cosideri il sottoisieme H degli elemeti che o soo cicli di lughezza 3 o soo prodotti di cicli di lughezza 3. A) L idetità appartiee ad H? B) H è u sottogruppo di ( S 8,o)? C) H cotiee permutazioi dispari? Nel gruppo simmetrico S 8 sia defiita la seguete relazioe: ", S 8, ~ '( S 8 1 o o ( A) Si dimostri che ~ è ua relazioe d equivaleza. B) Si dimostri per iduzioe che N, " 1 ( ' o o "* ) " 1 o o ". C) Si dimostri che permutazioi equivaleti hao lo stesso periodo. D) Le trasposizioi 12 e ( 23 ) soo equivaleti? 6

7 2.7. Sia G S 3 il gruppo simmetrico su tre oggetti. Sia H il sottogruppo { id, "}, dove " ( 12) è la trasposizioe che scambia 1 co 2 e lascia fisso il 3. Si trovio i laterali destri ed i laterali siistri di H i G. Il sottogruppo H è ormale i G? Si verifichi per ogi divisore k di 24, esiste u sottogruppo di S 4 di ordie k Nel gruppo simmetrico S 9 si cosideri il sottoisieme H costituito dalle permutazioi α tali che α(6) 6. H è u sottogruppo di S 9? Quati elemeti ha? Sia " ( 172) o ( 46) S 7. Si trovi ua permutazioe β tale che " Sia " ( 17542) o ( 346) o ( 275) S 7. Si calcoli l ordie di α e si dica se è pari o dispari Quati soo i cicli el gruppo altero A 5? Quate soo le permutazioi di S 7 che hao ua scomposizioe i cicli disgiuti costituita da due trasposizioi? Si trovi etro il gruppo S 7 u sottogruppo isomorfo al gruppo altero A Ua ed ua sola delle quattro tavole di moltiplicazioe su u isieme di sei elemeti corrispode ad u gruppo isomorfo al gruppo simmetrico S 4. Si idichi quale e si spieghi perché gli altri tre o vao bee. * * * *

8 SOLUZIONI DELLA SEZIONE 2. " S2.1. Ricordiamo che se r >, allora k 0. Pertato l uguagliaza r " 3 " +1 ( 4 è vera per ogi 2, perché si ha 0 0. Sia u umero aturale per il quale è vera. Vediamo se è vera per il successivo " k 3 " k 3 + " +1 ( ' 3 " " +1 3 " + 2 " ( '. Pertato, per il pricipio d iduzioe è vera N. S La formula "" k 2 + k ' " +1 ( 3 + " +1 2 per 0 diveta 0 0, quidi è vera. Sia u umero aturale per il quale è vera. Vediamo se è vera per il successivo +1: +1" " k " 2 + k ' " k " 2 + k ' + " ( +1 ) ' " +1 ( 3 + " " " +1 1 " + 2 ( 3 + " " " ' Pertato, per il pricipio d iduzioe è vera N. ' S2.3. Nel gruppo simmetrico S 5 abbiamo cicli di lughezze 2, 3, 4, 5. La formula per i cicli di lughezza k è!. Allora il umero totale di cicli è: k " ( k)! k 2 k 3 k 4 k 5 totale Restao allora permutazioi che o soo cicli. Poiché 36 o divide 120, o possoo costituire u sottogruppo di S 5. S2.4. A) Si ha " ( 12348) o ( 34567) ( 1238) o ( 4567), di ordie 4. Si ha "1 ( 1832) o ( 4765). Poi, " ( 138) o ( 2475), d ordie 12. Allora, " o o "1 ( 128) o ( 3546), d ordie 12 come β. B) La permutazioe α è prodotto di due cicli di lughezza 4, quidi dispari, ed allora è pari, ossia appartiee al gruppo altero A 8. Ivece, β è prodotto di due cicli di parità diversa, quidi è dispari. 8

9 S L idetità appartiee ad H, perché si ha id ( 123) 3. Poi, se ", H, soo etrambe prodotto di 3-cicli, ed allora ache " o è prodotto di 3-cicli. Ifie, dato che ( ijk) "1 ( ikj), ache " 1 è prodotto di 3-cicli, gli iversi di quelli di α i ordie cotrario. Pertato, H è u sottogruppo di ( S 8,o). Azi, è u sottogruppo del gruppo altero, perché i 3-cicli soo pari, e tali soo i loro prodotti ed iversi. Perciò H o cotiee permutazioi dispari. NOTA. I realtà si ha H A 8, e o è difficile provarlo. Se α è pari, è prodotto di u umero pari di trasposizioi. Ora, il prodotto di due trasposizioi è sempre u 3-ciclo o u prodotto di due 3-cicli: ( ij) o ( ik) ( ikj), metre ( ij) o ( kh) ( ij) o ( ik) o ( ki) o ( kh) ( ikj) o ( khi). Perciò ogi prodotto di u umero pari di trasposizioi è ache prodotto di 3-cicli. S2.6. A) Nel gruppo simmetrico S 8 la seguete relazioe: ", S 8, ~ '( S 8 1 o o ( è ua relazioe d equivaleza. Ifatti, " S 8, " " 1 o " o " α ~ α. Se poi " ~, allora " S 8 1 ) o o ' ( 1, 1 ) +. o ' o 1, +. ( β ~ α. Ifie, se ache β ~ γ, allora: * - * - " S 8 1 o o ' ( ' 1 + o ) 1. - o * o ) 0 o ( ' ) o, / 1 o * o () o ) e quidi la relazioe è riflessiva, simmetrica e trasitiva. B) Per 0 i due membri soo l idetità e soo uguali. Sia u umero aturale per il quale l uguagliaza è vera. Allora, per +1 si ha: " 1 ( +1 ' o o "* ) " 1 ( ' o o "* o " 1 ( ' o o " ) ) * ' " 1 o o " ( ) * o ' " 1 o o " ( * " 1 o o o " " 1 o +1 o " ) Perciò l isieme dei umeri aturali per i quali l uguagliaza è vera è chiuso rispetto a 0 e al successivo e quidi è vera per ogi umero aturale. C) Da A e B segue che se " ~, ossia se " S 8 1 o o ', allora per ogi N, " 1 ) ( o o + ' * 1 o o, ed allora " id 1 o o id. Aalogamete, " id 1 o o id. Perciò ". D) Le trasposizioi ( 12) e ( 23 ) e allora ( 123) o ( 12) o ( 132) ( 23). soo equivaleti; basta cosiderare la permutazioe " ( 132) 9

10 S2.7. Sia G S 3 il gruppo simmetrico su tre oggetti. Sia H il sottogruppo { id, "}, dove " ( 12). Troviamo i laterali destri di H i G. - Il primo di essi è H H o id, ma si ha ache H H o ", perché τ H. - Moltiplichiamo ora H per ua permutazioe diversa da id e da τ. Sia " 13 H" { id o ", o "} {", }, dove " o ( 12) o ( 13) ( 132). Si ha ache Hρ Hα. - U elemeto o acora trovato è " ( 23). Allora H" { id o ", o "} '", 1 (. Allora ) * +, essedo " o ( 12) o ( 23) ( 123) ( 132) 1 1. Abbiamo così trovato i tre laterali destri di H i G. Ripetiamo ora co i laterali siistri. - Il primo di essi è aturalmete H id o H " o H. - Sia " ( 13). Allora "H {" o id, " o } '", 1 H o è u sottogruppo ormale i G. - Sia " 23 (. Allora "H {" o id, " o } {", }. Si osservi che βh Hβ. ) *. Si osservi che αh Hα. Ne segue subito che + Abbiamo così le due partizioi di G determiate da H e costituite rispettivamete dai tre laterali destri e dai tre laterali siistri. Le due partizioi soo distite. S2.8. Verifichiamo che per ogi divisore k di 24, esiste u sottogruppo di S 4 di ordie k. NOTA. Il teorema di Lagrage dice che l ordie di ogi sottogruppo di u gruppo fiito G è divisore dell ordie del gruppo. I alcui gruppi G, per ogi divisore m dell ordie di G c è u sottogruppo di ordie m, e questi gruppi soo detti lagragiai. Nel ostro caso, il gruppo S 4 ha ordie 24. I divisori di 24 soo: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24. Cerchiamo u sottogruppo per ciascuo di questi divisori. I primi quattro soo immediati, perché S 4 ha cicli di quelle lughezze. Per il 6 3!, basta predere il sottogruppo formato dalle permutazioi che fissao u elemeto, p. es. il 4. Esso agisce sui restati tre oggetti, quidi è sostazialmete S 3, che ha 6 elemeti. Per l 8 occorre fatasia: il gruppo di isometrie D 4 che trasforma u quadrato i se stesso, come oto dal corso di Geometria, ha otto elemeti: quattro rotazioi e quattro simmetrie assiali; esso duque permuta i 4 vertici i 8 modi diversi. Se umeriamo i vertici da 1 a 4, abbiamo 8 permutazioi apparteeti ad S 4 e che formao u sottogruppo d ordie 8. 10

11 D ordie 12 c è il sottogruppo altero A 4, costituito dalle permutazioi pari. D ordie 24 c è S 4 stesso. Riassumedo: ordie sottogruppo { id} ( 12) ( 123) ( 1234) S 3 D 4 A 4 S 4 S2.9. Ovviamete, id H. Se α, β H allora " o 6 " ( 6 ) " 6 6 " o H. Ifie, dato che S 9 è fiito, questo basta per dire che H è u sottogruppo, perché " 1 " " 1. Ogi elemeto di H fissa il 6, ma può permutare liberamete gli altri 8 oggetti diversi da 6. Perciò H ha 8! elemeti. NOTA. Il sottogruppo H è isomorfo al gruppo simmetrico S 8. Ifatti, cotiee tutte le permutazioi su u isieme X co 8 oggetti. S2.10. La permutazioe " ( 172) o ( 46) S 7 ha ordie mcm(2,3) 6, pertato " 6 id " 7 ". Pertato, basta predere ". S2.11. Sia " ( 17542) o ( 346) o ( 275) S 7. Per trovare l ordie occorre esprimere α come prodotto di cicli disgiuti; i realtà risulta " , quidi è u ciclo d ordie 7 e allora è " ( 15) o ( 12) o ( 13) o ( 16) o ( 14) o ( 17), pari. S2.12. I cicli el gruppo altero A 5 devoo avere lughezza dispari, per essere permutazioi pari, quidi 3 o 5. Ci soo lughezza 5. Totale: 44 cicli su 60 permutazioi. 5! 3 "2! 20 cicli di lughezza 3 e 5! 24 cicli di 5 " 0! S2.13. Scegliamo itato i quattro elemeti spostati da ua tale permutazioe: si può " 7 fare i modi diversi. Co questi quattro elemeti si possoo formare tre doppi 4 7! scambi. Pertato, i doppi scambi di S 7 soo i tutto 3" 4!"3! 7 " 6 " S2.14. Per trovare etro il gruppo S 7 u sottogruppo isomorfo al gruppo altero A 5 si cosideri l isieme H delle permutazioi che fissao il 6 ed il 7: H cotiee tutte le permutazioi sui cique oggetti 1, 2, 3, 4, 5 e quidi è u gruppo isomorfo ad S 5. Allora H cotiee u sottogruppo A isomorfo ad A 5. 11

12 S Esamiiamo ua per ua le quattro tavole. * * * * La prima operazioe possiede la legge di cacellazioe (ogi riga ed ogi coloa ha elemeti tutti distiti), ha l uità, 1, perché per ogi x, 1 x 6, si ha x*1 x 1*x; ogi elemeto ha l iverso, perché l iverso di 1 è se stesso; ache il 2, il 4 ed il 5 soo iversi di se stessi, metre 6 e 3 soo iversi l uo dell altro. No è commutativa, perché 3*2 4, metre 2*3 5. L associatività o è facilmete verificabile, perciò per il mometo lasciamola lì: potrebbe essere la tavola di moltiplicazioe di u gruppo o abeliao co sei elemeti, purché sia associativa. La secoda operazioe possiede la legge di cacellazioe, ha l uità, 1; ogi elemeto ha l iverso, perché l iverso di 1 è se stesso; ache il 4 è iverso di se stesso, metre 6 e 2 soo iversi l uo dell altro, e così pure 5 e 3. Però è commutativa, perché la matrice è simmetrica, quidi ache se fosse associativa, o è la tavola di u gruppo isomorfo ad S 3. La terza operazioe ha le proprietà come la secoda, commutatività compresa, quidi o è la tavola di S 3. L ultima operazioe possiede la legge di cacellazioe, ha l uità, 1, o è commutativa perché 6*5 2, 5*6 1, ma o è certamete la tavola di u gruppo, proprio perché da 5*6 1, dovrebbe seguire 6*5 1, ma o è così. Allora, 6 o ha l iverso, o meglio, ha iverso siistro 5 ed iverso destro 4, metre se ci fosse la proprietà associativa ciò o potrebbe accadere. Allora, poiché il testo postula che ua delle quattro sia la tavola di u gruppo isomorfo ad S 3, per esclusioe è la prima. NOTA. La secoda è la tavola del gruppo ciclico d ordie 6; la terza o è la tavola di u gruppo, perché o è associativa: (2*3)*4 4*4 1, metre 2*(3*4) 2*6 3. Ioltre, per u gruppo abeliao è facile dimostrare che per ogi divisore primo p dell ordie ci deve essere u elemeto di ordie p; ma qui o ci soo elemeti di ordie 3, perché ogi elemeto è iverso di se stesso. 12

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