BOLLETTINO UNIONE MATEMATICA ITALIANA

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1 BOLLETTINO UNIONE MATEMATICA ITALIANA Emilio Gagliardo Le fuzioi simmetriche semplici delle radici -esime primitive dell uità. Bollettio dell Uioe Matematica Italiaa, Serie 3, Vol. 8 (1953),.3, p Zaichelli < L utilizzo e la stampa di questo documeto digitale è cosetito liberamete per motivi di ricerca e studio. No è cosetito l utilizzo dello stesso per motivi commerciali. Tutte le copie di questo documeto devoo riportare questo avvertimeto. Articolo digitalizzato el quadro del programma bdim (Biblioteca Digitale Italiaa di Matematica) SIMAI & UMI

2 Bollettio dell Uioe Matematica Italiaa, Zaichelli, 1953.

3 Le fuzioui simmetriche semplici délie radici ti-esime primitire delfuità. Nota di EMILIO GAGLIARDO (a Greova). Sato* Vedi prime righe délia Nota. 1. Ci propoiamo di determiare ua semplice espressioe délie fuzioi simmetriche S k () costituite dalla somma délie poteze A-esime (k itero) délie radici w-esime primitive delpuità. ( J ) Importa osservare che il risultato cui perveiamo o si puö dedurre, core è ovvio, dalla ota equazioe alla quale soddisfao le radici w-esime primitive dell'uità ( 2 ): d\ ove d varia tra i divisori aturali di w, e \t.(m) è la fuzioe di MÖBITJS che vale 0 se m è divisibile per u quadrato, e ivece vale ( l) r se m è il prodotto di r fattori primi distiti maggiori di 1 ; i particolare f*(l) 1. Fa eccezioe soltato il caso particolare i cui è la poteza di u umero primo: w = p' [perché i questo caso Fequazioe assume la forma più esplicita ( 3 ) : = xip ^PS** 1 H- xlp~ 2 te s ~' 1 H XP s ~ l -+-1 = 0. 2, Cosideriamo l'espressioe di DEDEKIKD ( 4 ) : S ( PlP%-Pr ( 1 ) Per mezzo di queste fuzioi si possoo costruire, core è oto, tutte le altre fuzioi simmetriche, e i particolare i coefficieti dell'equazioe cui soddisfao le dette radici. (2) Cfr. B. L. YAN DEE WAERDEN. Modere Algebra, I. ; (1950) p. 127, oppure : H. ÏÏASSB, Vorlesuge ibber Zahletheorie, (1950) p ( 3 ) Cfr. H. HASSE, cit. prec, p. 177; L. E. DICKSON, Höhere Algebra <1929) p (*) Cfr. «Jour, fur Math.», 54, 1857, pp

4 270 EMILIO GAGLIARDO (/>!,..., p r fattori primi distiti di ) ove el ostro caso R(m) idica la somma di tutte Ie radici m-esime dell'uita. Essa forisce allora la somma delle radici w-esime primitive : ifatti ua radice w-esima primitiva compare solo el termie R(ft)] al cotrario ua radice o primitiva è radice v-esima primitiva co v sottomultiplo di (ed è quidi radice di ordie qualsiasi multiplo di v) e chiamado q il umero dei fattori primi p % coteuti i v ad espoete miore che i si vede (seguedo la dimostrazioe geerale di DEDEKIND) che la radice i esame compare ua volta el termie R(), (*) volte el termie 2JR[ ), [*) volte el ter- W i W \2/ mie 2 R ( ),..., ( ' volte el termie 2 R f - metre *<; \P,PJJ W t i < t..<% q \p*..p* q ) o compare più egli evetuali termii successivi ; e segue che la radice i esame viee sommata u umero di volte eguale a : 1 ffj -f- (*)... + ( =zflh-(- 1)J = 0 ossia o dà cotributo, come deve essere o essedo radice primitiva. Tutto ciö sussiste ovviamete a che se ivece di cosiderare Ie radici si cosiderao Ie loro poteze 4-esime : idicado co S k () e co R k () la somma delle poteze fc-esime delle radici -esime primitive e l'aaloga somma estesa a tutte Ie radici si ha : (1) S k () = R k () - S R J - U- S R h f- (- iyr k i \PJ *<Q \PxP3l 3. Per calcolare, come ei siamo proposti, S h () siamo ora codotti a calcolare il valore di R k (m). Suppoiamo per ora k > 0. 2-mh Le radici m-esime dell'uità soo date da: e m {h = 1, 2,..., m) e la somma delle loro poteze ft-esime è quidi : Ztf e m =2± h cos -i- % u h sm i /( i h m i h m Per la simmetria delle radici m-esime rispetto all'asse reale (simmetria che si coserva elevadole tutte alla poteza ft-esima) la parte immagiaria è certo ulla. Quato alla parte reale essa ( 5 ) vale m se m è divisore di k> ed è ulla i caso cotrario* Itroduciamo il massimo comue divisore (, k) di e k; sia : p x a\p % a2 t p,ar (a t > 0? p % fattori primi di ) ( 5 ) Cfr. P. SBRANA, «Eed. Ace. Licei *, vol. XXXI, (1922) serie 5% 2 &em. fascicolo 12, p. 547.

5 LE FUNZIONI SIMMETRICHE SEMPLICI DELLE RADICI -ESlME, ECC. 271 (, k) (, k) = _ ri r2 '" rr r Dobbiamo ora distiguere due casi diversi : 1 caso: Sia u.1-1 = 0. Ciö avviee se- cotiee quai- \(, k)j (, k) che suo fattore primo a eepoete maggiore di 1 ossia se c'è qualche idice i per cui ; a v 1 > p,-. Allora essuo dei umeri che figurao core argometo délie R h el secodo membro délia (1) è divisore di &, perché essuo di questi umeri che soo tutti divisori di è divisore di (, k) ; e segue che i taie caso tutte queste R k soo ulle e quidi è : S k () = caso : Sia ivece : \i \~ f rr ] = ( IV ove s sia il umero dei fattori primi (ora tutti distiti) di -, rr, (se è divisore di & è s o ; se k è primo co è s = r). Ciö avviee se per tutti i vavori di i è : oc^ 1 ;< p^ ; e precisamete per s valori di i (siao : i = l, 2,..., s) deve essere: a,- l = p f -, metre per i rimaeti (cioè : i = s-f 1,..., r), ricordado che è : a 4 - >; p 4 - per ogi valore delf idice % deve essere : I umeri p e - co i = l 9 2,..., s devoo sempre figurare a deomiatore egli argometi délie fuzioi R k del secodo membro délia (1) perché ei termii i cui essi o figurao tutti a deomiatore gli argometi o possoo essere divisori di k essedo divisori di e o di (, k) e quidi le R h di questi argometi soo ulle. Le altre R h si riducoo ai loro argometi. Si ha quidi i questo secodo caso : Pi-p. (-1)-; i Pi ~PJP.+ <P t +J Pl-P#.+l~Pr Pl-Ps Pl-P.

6 272 EMILIO CAGLIARDO K) -fr-a Pi) \ p. Itroduciamo la fuzioe di GrATTSS : tp(m) = m( 1 I ove q 1,..., q k soo i fattori primi distiti di m e ricordiamo che el caso che stiamo trattado è : = (, k). y Pi-P. ' Abbiamo quidi (el secodo caso) : I risultati otteuti ei due diversi casi si compediao el- Fuica formula che ei eravamo proposti di trovare : Hfïr 4. Cocludiamo co alcue osseryazioi complemetari : osserviamo che se k è egativo posto k=zh si ha : S k () = S h () ifatti Ie radici w-esime primitive soo di modulo uitario e a due a due complesse ooiugate ; quidi facedo di ogua di esge P iverso (prima di elevarle alla poteza fe-esima) si ritrovao le stesse radici (i u ordie diverso). Per k 0 è ovviamete S Q () = o() ifatti S 0 () si riduce al umero délie radici -esime primitive che è, Jcome oto, (w). Abbiamo co ciö calcolato S k {) co k itero qualsiasi. Vogliamo osservare che il prodotto di tutte le radici -esime primitive è 1 essedo esse a due a due complesse coiugate e di modulo uitario. Nel caso particolare k 1, voledo cioè calcolare la somma délie radici %-esime primitive dell'uità si ottiee dalla (2) : S() = \j.() ; e ricordado la defiizioe di radici -esime primitive dell'uità e segue : 2TTV 9TTV S e = S cos H-,* S si = p() (v <, v primo co )

7 LE FUNZIONI SIMMETRICHE SEMPLICI DELLE RADICI -ESIME, ECC. ma essedo p() reale si ottiee : Vi 2TCV t ^. 27TV S cos = xx() 2si z= 0 v ' f (v <, v primo co ) La prima ai queste due relazioi era già stata trovata da KLUYVBR ( 6 ). Osserviamo ifie che dalla (2) segue : S h () -- S k () se è : h s h (mod. ). y