Il discriminante Maurizio Cornalba 23/3/2013

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1 Il discrimiate Maurizio Coralba 3/3/013 Siao X 1,..., X idetermiate. Cosideriamo i poliomi V (X 1,..., X ) = i>j(x i X j ) (X 1,..., X ) = V (X 1,..., X ) Il poliomio V (X 1,..., X ) è chiaramete atisimmetrico. I altre parole V (X σ(1),..., X σ() ) = ɛ(σ)v (X 1,..., X ) per ogi permutazioe σ S, dove ɛ(σ) sta per il sego di σ. Ioltre vale la seguete formula. Lemma 1 (determiate di Vadermode). 1 X 1 X1 X X X X 1 V (X 1,..., X ) = det 1 X X X 1 Dimostrazioe. Nella dimostrazioe idichiamo co V (X 1,..., X ) il lato destro della formula da dimostrare. Ragioiamo per iduzioe su. Quado = la formula è chiaramete valida. Per il passo iduttivo cosideriamo i due lati come poliomi i X 1 a coefficieti i Z[X,..., X ]. Etrambi hao grado 1 e hao radici X,..., X. Soo quidi proporzioali. D altra parte il coefficiete di X1 1 el lato siistro è ( 1) 1 V (X,..., X ), metre el lato destro è ( 1) 1 V (X,..., X ). La tesi segue per ipotesi iduttiva. Dato che V è atisimmetrico, il suo quadrato è u poliomio simmetrico, e quidi è della forma D (σ 1,..., σ ), dove D è u poliomio a coefficieti iteri elle fuzioi simmetriche elemetari σ 1,..., σ. Ad esempio (X 1, X ) = (X 1 X ) = (X 1 + X ) 4X 1 X = σ 1 4σ Calcolare D, cioè trovare l espressioe di i termii delle fuzioi simmetriche elemetari, o è immediato. Ua prima osservazioe è che il moomio massimo, rispetto all ordiameto lessicografico dei poliomi elle X i, che compare i è X 1 X 4 X 1 = X i i, e che compare co coefficiete 1. Quidi i moomi σ j i i o compaioo i D se il multiidice (j j, j + + j,..., j ) è maggiore di (, 4,...,, 0) e il moomio 1 σi

2 compare co coefficiete 1. I particolare, il grado di D è uguale a. Applichiamo queste cosiderazioi al calcolo di el caso = 3. Per quato abbiamo osservato (X 1, X, X 3 ) = σ 1σ + aσ 3 1σ 3 + bσ 3 + cσ 1 σ σ 3 + dσ 3 (1) dove a, b, c, d soo iteri da determiare. U modo per trovare questi coefficieti è quello di assegare valori particolari agli X i e calcolare le varie fuzioi simmetriche che compaioo i (1) per questi valori. Questo dà luogo a u sistema di equazioi lieari che permette di ricavare a, b, c, d. Scelta 1. Poiamo X 1 = 1, X = 1, X 3 = 0. I questo caso σ 1 = 0, σ = 1, σ 3 = 0, metre = 4. Ne segue che b = 4. Scelta. Poiamo X 1 = 1, X = ζ, X 3 = ζ, dove ζ è ua radice cubica primitiva di 1. Ricordiamo che 1 + ζ + ζ = 0. I questo caso σ 1 = 0, σ = 0, σ 3 = 1, metre Ne segue che d = 7. = (1 ζ) (1 ζ ) (ζ ζ ) = ( ζ ζ ) (ζ + ζ ) = 3 3 = 7 Scelta 3. Poiamo X 1 = X =, X 3 = 1. I questo caso σ 1 = 3, σ = 0, σ 3 = 4, metre = 0. Ne segue che a = 4. Scelta 4. Poiamo X 1 = X = X 3 = 1. I questo caso σ 1 = 3, σ = 3, σ 3 = 1, metre = 0. Sostituedo questi valori i (1) otteiamo che 0 = c , cioè che Ne segue che c = 18. La coclusioe è che Esercizio 1. Mostrare che 0 = b 1 3 (X 1, X, X 3 ) = σ 1σ 4σ 3 1σ 3 4σ σ 1 σ σ 3 7σ 3 () (X 1, X, X 3, X 4 ) = σ 1σ σ 3 4σ 1σ 3 σ 4 4σ 3 1σ σ 3 1σ σ 3 σ 4 7σ 4 1σ 4 4σ 3 σ σ 4 σ σ 1 σ σ σ 1 σ σ 3 σ 4 6σ 1σ 3σ σ 1σ σ 4 7σ σ σ 3σ 4 18σ σ 4 19σ 1 σ 3 σ σ 3 4 Ua osservazioe che può essere utile è che (X 1, X, X 3, 0) = σ 3 (X 1, X, X 3 ). Questo permette di determiare alcui dei coefficieti ella formula per (X 1, X, X 3, X 4 ) usado la formula (). Sia ora A u aello commutativo, e sia P (X) = X + ( 1) i a i X i = X a 1 X 1 + a X + ( 1) a u poliomio moico a coefficieti i A. Defiiamo il discrimiate di P come disc(p ) = D (a 1, a,..., a ) (3) Se scriviamo P (X) = (X b i ), dove i b i soo elemeti di qualche sovraaello commutativo di A, gli a i soo le fuzioi simmetriche elemetari ei b i. I formule, a i = σ i (b 1,..., b ). Possiamo duque scrivere disc(p ) = (b 1,..., b ) (4)

3 Segue da () che, se P = X 3 + px + q è u poliomio cubico i forma ridotta, il discrimiate di P è disc(p ) = 4p 3 7q Per u poliomio cubico moico geerale Q = X 3 a 1 X + a X a 3 la () dice ivece che disc(q) = a 1a 4a 3 1a a 1 a a 3 4a 3 7a 3 (5) Quest ultima formula può ache essere facilmete dedotta dalla precedete come segue. Osserviamo che (b 1 + d, b + d,..., b + d) = (b 1, b,..., b ) per ogi d. Questo sigifica che per ogi poliomio moico Q di grado si ha che disc(q(x + d)) = disc(q(x)) Quado Q = X 3 a 1 X + a X a 3, scegliedo d = a 1 /3, si ha che Q(X + d) = X 3 + (a a 1/3)X + (a 1 a /3 a 3 1/7 a 3 ) Applicado a questo poliomio la formula per il discrimiate di u poliomio cubico i forma ridotta si ottiee la (5). È otevole che si ottega u poliomio a coefficieti iteri i a, b, c metre i coefficieti di Q(X + d) soo solo poliomi a coefficieti razioali i a, b, c. La ozioe di discrimiate si estede facilmete ache a poliomi o moici. Siao Z 1,..., Z, W 1,..., W idetermiate e poiamo Θ(Z 1,..., Z ; W 1,..., W ) = i>j(z i W j Z j W i ) È chiaro che Θ(Z 1,..., Z ; 1,..., 1) = (Z 1,..., Z ) Per ogi sottoisieme I {1,..., } idichiamo co CI il complemetare i {1,..., } e poiamo Z I = i I Z i Se X è u altra idetermiata, (W i X Z i ) = ( 1) i τ i X i i=0 dove Notiamo che τ i = τ i (Z 1,..., Z ; W 1,..., W ) = Θ(Z 1,..., Z ; W 1,..., W ) = i>j(w i W j ) I {1,...,} I =i Z I W CI ( Z,..., Z ) ( = τ Z 0,..., Z ) W W W W

4 e che ( τ i Z = σ i,..., Z ) τ 0 W W Se idichiamo quest ultima quatità semplicemete co σ i, si ha duque che Θ(Z 1,..., Z ; W 1,..., W ) = τ 0 D (σ 1,..., σ ) Dato che, come si è osservato, il grado di D è, il lato destro di questa uguagliaza è i realtà della forma D (τ 0,..., τ ), dove D è u poliomio omogeeo di grado a coefficieti iteri. Più precisamete, se D (T 1,..., T ) = ji a j1,...,j T j 1 1 T j allora e I particolare D (T 0, T 1,..., T ) = ji a j1,...,j T ( j i ) 0 T j 1 1 T j Θ(Z 1,..., Z ; W 1,..., W ) = D (τ 0, τ 1,..., τ ) Θ(Z 1, Z ; W 1, W ) = τ1 4τ 0 τ Θ(Z 1, Z, Z 3 ; W 1, W, W 3 ) = τ1 τ 4τ1 3 τ 3 4τ 0 τ τ 0 τ 1 τ τ 3 7τ0 τ3 Θ(Z 1, Z, Z 3, Z 4 ; W 1, W, W 3, W 4 ) = τ1 τ τ3 4τ1 τ 3 τ 4 4τ1 3 τ τ1 3 τ τ 3 τ 4 7τ1 4 τ4 4τ 0 τ 3 τ3 + 16τ 0 τ 4 τ τ 0 τ 1 τ τ3 3 80τ 0 τ 1 τ τ 3 τ 4 6τ 0 τ1 τ3 τ τ 0 τ1 τ τ4 7τ0 τ τ0 τ τ3 τ 4 18τ0 τ τ4 19τ0 τ 1 τ 3 τ4 + 56τ0 3 τ4 3 Sia ora A u aello commutativo, e sia P (X) = ( 1) i a i X i = a 0 X a 1 X 1 + a X + ( 1) a i=0 u poliomio a coefficieti i A di grado. Defiiamo il discrimiate di P come disc(p ) = D (a 0, a 1,..., a ) (6) Notiamo che quado P è moico questa defiizioe coicide co quella data i precedeza. Se scriviamo P (X) = (b j X c j ), dove i b j e i c j soo elemeti di qualche sovraaello commutativo di A, a i = τ(b 1,..., b ; c 1,..., c ) Possiamo duque scrivere disc(p ) = Θ(b 1,..., b ; c 1,..., c ) (7)

5 I particolare a 1 4a 0a = a 1 a 4a3 1 a 3 4a 0 a a 0a 1 a a 3 7a 0 a 3 = 3 disc(p ) = a 1 a a 3 4a 1 a3 a 4 4a 3 1 a a3 1 a a 3 a 4 7a 4 1 a 4 4a 0a 3 a a 0a 4 a 4 +18a 0 a 1 a a a 0a 1 a a 3a 4 6a 0 a 1 a 3 a a 0 a 1 a a 4 7a 0 a a 0 a a 3 a 4 18a 0 a a 4 19a 0 a 1a 3 a a3 0 a3 4 = 4