Appunti di Analisi Matematica 1a

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1 Apputi di Aalisi Matematica a Damiao Foschi [aggiorato al ottobre 07]

2 Questi apputi soo acora i fase di completameto e coproo solo i parte gli argometi svolti a lezioe.

3 Isiemi Numerici. Numeri aturali L isieme N Tutti coosciamo già l isieme dei umeri aturali N := {,, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0,,, 3,... } Soo umeri che utilizziamo per stabilire u ordie sequeziale, (il primo, il secodo, il terzo,... ); oppure che utilizziamo per cotare gli elemeti di isiemi fiiti (i dieci comadameti, i sette ai, vetiquattromila baci,... ). Le proprietà di tali umeri le abbiamo studiate fi dalle scuole elemetari. I modo igeuo, l isieme dei umeri aturali si costruisce partedo da u primo umero, il umero, e poi osservado che ad ogi umero e può seguire sempre u altro distito dai precedeti: ad segue, a cui segue 3, a cui segue 4,... e così via. Osservazioe.. L isieme N 0 I questo testo adottiamo la covezioe di far partire i umeri aturali dal umero uo. A volte può essere coveiete icludere ache lo zero (per esempio quado vogliamo cotare quati elemeti cotiee u isieme vuoto); i tal caso utilizzeremo l isieme N 0 := {0} N. N 0 := {0,,, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0,,, 3,... } Assiomi di Peao Ua descrizioe logica e rigorosa della struttura dell isieme dei umeri aturali è stata formalizzata el 889 dal matematico Giuseppe Peao il quale propose il seguete sistema di assiomi per descrivere N: Assiomi di Peao. Esiste u umero, che chiameremo, i N.. Ad ogi umero aturale è associato i modo uivoco u umero aturale suo successore (o successivo); e duque esiste ua fuzioe S: N N che ad ogi umero aturale associa il suo successore S(). 3. Numeri aturali distiti hao successori distiti; ovvero, la fuioe S è iiettiva. 4. Il umero o è il successore di alcu umero aturale. 5. Se E è u sottoisieme di N che soddisfa le segueti due proprietà: (a) E cotiee il umero ; (b) E cotiee il successivo di ogi suo elemeto; ovvero allora E = N. k E = S(k) E; 3

4 Isiemi Numerici Osservazioe.. No abbiamo acora defiito operazioi algebriche su N, ma possiamo aticipare che la fuzioe successivo o fa altro che defiire l operazioe di aggiugere ua uità al umero, e quidi ci permettiamo di scrivere + := S()... Pricipio di iduzioe L ultimo ell eleco degli assiomi di Peao è detto Pricipio di Iduzioe Esso forisce u meccaismo molto utile per dimostrare proprietà dei umeri aturali. Lo possiamo riformulare el seguete modo: Proposizioe..3 Pricipio di Iduzioe Sia P() ua certa proprietà defiita per ogi N. Suppoiamo che valgao le segueti due proprietà: (a) P() è vera; (b) quado P(k) è vera per u certo k N ache P(k + ) è vera. Allora P() è vera per ogi N. Dimostrazioe Basta applicare l assioma 5 all isieme E := { N: P() è vera}...3 Operazioi i N I N possiamo defiire le operazioi algebriche di somma, di prodotto e di elevameto a poteza. Idichiamo co m,, k dei umeri aturali, Somma i N Per defiire la somma m + ripetiamo volte a partire da m l operazioe di calcolare il successivo: m + := m }{{} volte Per evitare di dover utilizzare i putii di sospesioe, possiamo defiire l operazioe m + procededo per iduzioe su : defiiamo cosa sigifica aggiugere, poedo m + := S(m) per ogi m N; ua volta defiito cosa sigifica aggiugere k, defiiamo cosa sigifica aggiugere S(k), poedo m + S(k) := S(m + k) per ogi m N. I questo modo, per il pricipio di iduzioe, la somma m + risulta essere defiita per ogi, m N. Prodotto i N Per defiire il prodotto m sommiamo volte il umero m: Oppure possiamo procedere i modo iduttivo: m := m + m + + m. }{{} volte defiiamo la moltiplicazioe per, poedo m := m; ua volta defiita la moltiplicazioe per k, defiiamo la moltiplicazioe per S(k), poedo m S(k) := m k + m. 4

5 . Numeri aturali Poteze i N Per defiire la poteza m moltiplichiamo volte per il umero m: Oppure i modo iduttivo: m := m } m {{ m }. volte per poteze co espoete, poiamo m := m; ua volta defiite poteze co espoete k, defiiamo poteze co espoete S(k), poedo m S(k) := m k m. Osservazioe..4 Operazioi i N 0 Le operazioi defiite su N si estedoo ache a N 0 poedo + 0 := 0 e 0 := 0 per ogi N 0, e poedo 0 := per ogi N, metre 0 0 o è defiito. Proposizioe..5 Proprietà delle operazioi su N Per ogi a, l,, m N valgoo le segueti proprietà: Proprietà associativa: (l + m) + = l + (m + ), (l m) = l (m ). Questa proprietà ci permette di scrivere, seza ambiguità, sequeze di operazioi seza dover iserire paretesi: l + m + e l m. Proprietà commutativa: m + = + m, m = m. Proprietà distributiva: (l + m) = (l ) + (m ). Siccome si coviee dare precedeza all operazioe di moltiplicazioe rispetto alla somma possiamo risparmiare di scrivere le paretesi ell espressioe a destra, metre soo idispesabili i qiella di siistra: Legge espoeziale: a m a = a m+. Composizioe di poteze: (a m ) = a m. (l + m) = l + m. Esercizio..6 Calcola le poteze ( 3 3) 3 e 3 (3 3 ) e spiega perché è ambiguo scrivere L operazioe di elevameto a poteza è associativa?..4 Ordiameto i N Ordie su N Tramite l operazioe di somma possiamo caratterizzare l ordiameto dei umeri aturali: dati l, m N, diciamo che l < m (l è strettamete miore di m), ovvero che m > l (m è strettamete maggiore di l), se esiste N tale che l + = m. Vale la legge di tricotomia, per cui per ogi coppia di umeri m ed si verifica sempre uo ed uo solo dei segueti tre casi: m <, oppure m =, oppure m >. 5

6 Isiemi Numerici Diciamo ioltre che l m (l è miore o uguale di m), ovvero che m l (m è maggiore o uguale di l), se si ha l < m oppure l = m. Proposizioe..7 Mootoia delle operazioi su N Per ogi l,, m N abbiamo che m = + l m + l, l m l, l m l, l l m. Ua proprietà otevole dell isieme dei umeri aturali è descritta dal: Il seguete teorema afferma che N è be ordiato dalla relazioe d ordie. Teorema..8 Pricipio del buo ordiameto Ogi sottoisieme E o vuoto di N possiede u miimo, ovvero esiste u elemeto m E tale che m per ogi E. No è detto ivece che u sottoisieme o vuoto di N possieda u massimo. pricipio del buo ordiameto è equivalete al pricipio di iduzioe. Esercizio..9 Si può dimostrare che il Fai u esempio di u sottoisieme E proprio di N tale che sia E che il suo complemetare N \ E o possiedao massimo. Esercizio..0 Dati i segueti sottoisiemi di N prova a determiare (se esistoo) i loro elemeti miimi e massimi: A := {,,,,,, 333, 33, 3, 444, 44, 4} ; B := { N: è u multiplo di 5} ; C := { N: 0 + } ; D := { N: 0 + } ; E := { N: 0 + } ; F := { N: 0 + } ; G := B C; H := B C. Esercizio.. Prova a defiire l aritmetica dell orologio cosiderado le ore idicate dal quadrate di u orologio. è possibile stabilire il cocetto di ora successiva, fare somme e multipli tra ore? Valgoo acora le proprietà che valgoo per N? Si può stabilire u ordiameto tra le ore? Vediamo ora ua semplice applicazioe del pricipio di iduzioe. Proposizioe.. P r ogi N vale la disuguagliaza <. Dimostrazioe Sia E := { N : < }. Siccome < = abbiamo che E. Suppoiamo ora che u certo umero aturale k sia elemeto di E, ciò sigifica che k < k ; siccome k è ach esso u umero aturale abbiamo ache che k, perchè è il miimo di tutti i aturali; duque combiado isieme le due cose otteiamo per il successivo di k: k + < k + k = k = k+, ovvero ache k + è elemeto di E. Per il pricipio di iduzioe e segue che E = N, ovvero la disuguagliaza è verificata per ogi umero aturale. 6

7 . Numeri iteri. Numeri iteri L isieme Z Ua volta defiita l operazioe di somma è possibile dare ua defiizioe di differeza tra due umeri: diciamo che l è la differeza tra m ed, l = m, se vale + l = m. Purtroppo i N la differeza o è sempre defiita, ad esempio metre abbiamo che 5 3 =, o c è alcu umero aturale che possa rappresetare la differeza 3 5. Il problema si risolve utilizzado u isieme umerico più ampio: l isieme Z dei umeri iteri (relativi) i cui agli elemeti di N 0 aggiugiamo gli opposti degli elemeti di N, Z := {..., 3,,, 0,,, 3,...} Le operazioi di somma e prodotto si possoo estedere a Z i modo che cotiuio a valere le proprietà algebriche (associativa, commutativa, distributiva). Ioltre, per ogi umero k i Z esiste sempre il suo opposto k tale che k + ( k) = 0. Questo ci permette di defiire la differeza tra due umeri come la somma algebrica co l opposto: m := m + ( ). Passado da N a Z perdiamo però la proprietà di buo ordiameto: ci soo sottoisiemi di Z che o hao miimo. Esercizio.. Fai u esempio di u sottoisieme di Z che o possiede miimo... Numeri razioali L isieme Q Ua volta defiita l operazioe di prodotto è possibile dare ua defiizioe di quoziete (o rapporto) tra due umeri: diciamo che r è il quoziete tra m ed, e lo idichiamo co r = m/ (oppure r = m : ), se vale r = m. Purtroppo i N e i Z il quoziete o è sempre defiito, ad esempio metre abbiamo 6/3 = o c è alcu umero itero che possa rappresetare il quoziete 3/6. Acora ua volta il problema si risolve utilizzado u isieme umerico più ampio: l isieme Q dei umeri razioali formato dalle frazioi del tipo m = m/ co m e iteri, { m } Q := : m, Z, 0, co la covezioe di idetificare tra loro frazioi equivaleti, ovvero si itede che a/b = c/d se vale ad = bc. L isieme Z è icluso i Q idetificado il umero itero m co la frazioe m... Operazioi e ordiameto i Q A partire dalle operazioi di somma e prodotto di Z possiamo defiire somma e prodotto i Q: a b + c d ad + bc =, bd a b c d = ac bd. L opposto della frazioe a/b è la frazioe (a/b) := ( a)/b. La differeza tra due frazioi diveta a b c d ad bc =. bd I Q possiamo ache defiire il reciproco della frazioe o ulla a/b che è dato dalla frazioe (a/b) := b/a (avedo a 0). La divisioe tra frazioi diveta a b : c d = a b d c = ad bc. 7

8 Isiemi Numerici Possiamo ache defiire ua aturale relazioe d ordie tra le frazioi poedo a b c se e solo se (bd > 0 e ad bc) oppure (bd < 0 e ad bc). d Co queste defiizioi l isieme Q possiede ua struttura algebrica di campo ordiato, co le tutte le proprietà che sarao descritte ella prossima sezioe. Esercizio.. Stabilisci, giustificado le tue risposte, quali delle segueti uguagliaze soo vere qualuque siao i umeri razioali a, b, c e d (idicado evetualmete le codizioi ecessarie affiché le espressioi abbiao seso): a c b d = a b c d, a c : =.3 Campi umerici ordiati.3. Assiomi di campo a c + b d = a + b c + d, a c : b d = a : b c : d, a, (a + b) : c = a : c + b : c, a : (b + c) = a : b + a : c. c : Nella seguete defiizioe elechiamo le proprietà che caratterizzao i modo assiomatico la struttura algebrica di campo umerico ordiato. Defiizioe.3. I algebra co il termie campo si itede u isieme K dotato di u operazioe di somma, +, e di u operazioe di prodotto,, che soddisfao le segueti proprietà: Proprietà della somma. Associativa: x, y, z K si ha (x + y) + z = x + (y + z). Commutativa: x, y K si ha x + y = y + x. Elemeto eutro: 0 K tale che x K si ha x + 0 = x. Opposto: x K, x K tale che x + ( x) = 0. Proprietà del prodotto. Associativa: x, y, z K si ha (x y) z = x (y z). Commutativa: x, y K si ha x y = y x. Elemeto eutro: K \ {0} tale che x K si ha x = x. Reciproco: x K \ {0}, x K tale che x x =. Proprietà che defiisce il legame tra somma e prodotto. Distributiva: x, y, z K si ha (x + y) z = (x z) + (y z). Ioltre il campo K si dice ordiato se su esso è defiita ua relazioe di ordiameto,, che soddisfa le segueti proprietà: Proprietà dell ordiameto. Riflessiva: x K si ha x x. Atisimmetrica: x, y K, se x y e y x allora x = y. Trasitiva: x, y, z K, se x y e y z allora x z. Ordie totale: x, y K, si ha x y oppure y x. Proprietà di compatibilità dell ordiameto co le operazioi di somma e prodotto. Mootoia della somma: x, y, z K, se x y allora x + z y + z. Mootoia del prodotto: x, y, z K, se x y e z 0 allora x z y z. 8

9 .3 Campi umerici ordiati Ad esempio: l isieme Q dei umeri razioali è u campo ordiato; l isieme Z dei umeri iteri o è u campo (i quato o tutti gli elemeti o ulli possiedoo u reciproco); l isieme C dei umeri complessi (che studieremo i seguito) è u campo, ma o è ordiato..3. Proprietà dei campi umerici Dagli assiomi di campo umerico ordiato, possiamo dedurre ulteriori proprietà e regole che ci permettoo di maipolare espressioi algebriche e risolvere equazioi e disequazioi. Ad esempio, possiamo ricavare le cosidette leggi dell aullameto del prodotto: Lemma.3. 0 aulla i prodotti Per ogi x si ha x 0 = 0. Dimostrazioe (Idichiamo a siistra le proprietà che giustificao i passaggi logici di destra) 0 è elemeto eutro di + x 0 = x defiizioe di opposto di x proprietà associativa di + = x 0 + (x + ( x)) = (x 0 + x) + ( x) è elemeto eutro di = (x 0 + x ) + ( x) proprietà distributiva = x (0 + ) + ( x) 0 è elemeto eutro di + = x + ( x) è elemeto eutro di = x + ( x) defiizioe di opposto di x = 0. Nel seguito, se la cosa o crea ambiguità, ometteremo il sego di moltiplicazioe e scriveremo xy per idicare il prodotto x y. Lemma.3.3 Legge di aullameto del prodotto Se xy = 0 allora x = 0 oppure y = 0. Dimostrazioe Se x = 0 la tesi è immediatamete verificata. Se x 0, possiamo cosiderare x, il reciproco di x. Moltiplichiamo etrambi i membri dell uguagliaza xy = 0 per x e otteiamo x (xy) = x 0. (.) L espressioe di siistra i (.5) si semplifica applicado la proprietà associativa del prodotto, la defiizioe di reciproco e la proprietà dell elemeto eutro : x (xy) = (x x)y = y = y L espressioe di destra i (.5) si semplifica applicado il lemma precedete, Lemma.3.: Duque l uguagliaza (.5) si riduce a y = 0. x 0 = 0. Esercizio.3.4 Se x, y, z soo tre umeri tali che xyz = 0, cosa puoi dedurre a proposito di x, y, z? E se ivece fosse stato xyz < 0? 9

10 Isiemi Numerici I u campo umerico possiamo sempre defiire la differeza tra due umeri come la somma del primo co l opposto del secodo: x y := x + ( y), x, y K. Ed essa è caratterizzata dal fatto che d = x y se e solo se y + d = x Aalogamete la divisioe (o rapporto) tra due umeri si defiisce com il prodotto del primo per il reciproco del secodo: x : y = x/y = x y := x y, x K, y K \ {0}. Essa è caratterizzata dal fatto che q = x/y se e solo se y d = x Osservazioe.3.5 Divisioe per zero Nel defiire i rapporti x/y abbiamo dovuto escludere il caso di deomiatori uguali a zero. No è ifatti possibile dare u seso alla divisioe per zero: se fosse a/0 = b ciò sigificherebbe che b 0 = a, ma abbiamo visto che ogi umero moltiplicato per zero fa zero, duque a/0 o può avere seso se a 0. E se fosse a = 0? Siccome b 0 = 0 per ogi b, ciò sigificherebbe che 0/0 = b per ogi b, ovvero il risultato di 0/0 o sarebbe uivocamete determiato. Per queste ragioi la divisioe o si defiisce; ogi volta che dobbiamo fare ua divisioe o u rapporto dobbiamo assicurarci che il divisore o il deomiatore o sia ullo. Osservazioe.3.6 Il campo Z Possoo esistere campi umerici co u umero fiito di elemeti. Ad esempio, si verifica facilmete che l isieme Z := {0, } co le operazioi di somma e prodotto defiite da = + = 0, 0 + = + 0 =, 0 0 = 0 = 0 = 0, =, soddisfa tutti gli assiomi di campo (o ordiato). Esercizio.3.7 Usado gli assiomi di campo dimostra che valgoo le segueti proprietà: L opposto di ogi elemeto è uico. Il reciproco di ogi elemeto è uico. L opposto di xy è ( x)y. Se x + z = y + z allora x = y. Se xz = yz e z 0 allora x = y. Esercizio.3.8 Traduci la seguete frase i ua formula matematica: Se la somma dei reciproci di due umeri positivi è, la somma dei due umeri è uguale al loro prodotto. Stabilisci quidi se l euciato è vero. Esercizio.3.9 Dimostra che i campo ordiato si ha che x = x x 0 per ogi x. Deduci da ciò che allora deve ecessariamete essere > 0. Esercizio.3.0 Dimostra che i u campo ordiato se x allora x per ogi N. 0

11 .3 Campi umerici ordiati Osservazioe.3. I u campo ordiato K vale sempre che > 0. Ne segue ache che < := + < 3 := + + < 4 := <... I questo modo si verifica (per iduzioe) che K cotiee u sottoisieme che possiamo idetificare co l isieme dei umeri aturali N. Aalogamete si può dimostrare che cotiee ache sottoisiemi che possiamo idetificare co Z e co Q. Duque i u campo ordiato K possiamo sempre supporre che N Z Q K. Per ogi a K e per ogi N possiamo acora defiire la poteza a ello stesso modo che abbiamo visto i precedeza: a := a } a {{ a }. volte Esercizio.3. Dimostra per iduzioe su N la seguete proprietà di mootoia delle poteze: per ogi coppia di elemeti x e y co x 0 e y 0 abbiamo che x y x y. Esercizio.3.3 Cosa c è di sbagliato el seguete ragioameto? Suppoiamo x = y; moltiplico etrambi i mebri per x e ottego: x = xy; sottraggo da etrambi i membri y e ottego: x y = xy y ; fattorizzo etrambi i membri: (x + y)(x y) = y(x y); semplifico per x y e mi rimae: x + y = y; per l ipotesi iiziale (x = y), e segue che y = y; semplifico per y e ottego che =. WOW! Esercizio.3.4 Risolvi le segueti disequazioi: x 5 x ; x + 3x + < ; x4 > 4x ; x x Disuguagliaza di Beroulli Dimostriamo ora ua disuguagliaza che ci sarà utile i futuro per cotrollare la crescita di poteze e espoeziali. Teorema.3.5 I u campo ordiato K, per ogi x e per ogi N vale la seguete disuguagliza: ( + x) + x. (.)

12 Isiemi Numerici Dimostrazioe Procediamo per iduzioe su. Il caso = si riduce a ( + x) ( + x) che è sempre verificata (co uguagliaza) per ogi x. Suppoiamo ora che la disuguagliaza valga quado = k e proviamo a dimostrare il caso = k +. Sappiamo duque che ( + x) k + kx. Moltiplichiamo a destra e a siistra per la quatità + x, che per l ipotesi su x è o egativa, e otteiamo ( + x) k+ = ( + x) k ( + x) ( + kx)( + x) = + (k + )x + x. Siccome il termie x è sempre o egativo, otteiamo che ( + x) k+ + (k + )x. Nel caso i cui x = la disuguagliaza (.) si riduce a Sommatorie Spesso avremo bisogo di calcolare somme di sequeze di molti umeri. Per scrivere queste somme i modo sitetico e compatto itroduciamo il simbolo di sommatoria. Defiizioe.3.6 Siao m, Z co m. Data ua sequeza fiita di umeri reali a m, a m+,... a idichiamo la loro somma co la seguete otazioe a k := a m + a m+ + + a. k=m Il simbolo di sommatoria è semplicemete ua steografia matematica che ci fa risparmiare spazio, oppure ci evita l imbarazzo di dover iserire dei vaghi putii all itero di formule matematiche. Ecco alcui esempi: 37 k = ; 8 k k + = ; ( ) k = ( ) + ( ). k=0 Nella defiizioe abbiamo utilizzato la lettera k come ome per l idice che ci permette di idividuare il geerico termie da sommare a k. Ovviamete possiamo utilizzare ua qualsiasi altra lettera, il valore della sommatoria o cambia: a k = a l. k=m Se i termii che sommiamo hao tutti lo stesso valore costate calcolare la loro somma è semplice: l=m c = c + c + + c = c. }{{} volte Vediamo alcue proprietà che ci permettoo di maipolare i modo formale le sommatorie.

13 .3 Campi umerici ordiati Liearità Moltiplicare tutti termii della somma per la stessa costate, i virtù della proprietà distributiva, ha lo stesso effetto che moltiplicare tutta la somma per quella costate: ca k = c a k. La sommatoria di ua sequeza di somme, i virtù della proprietà commutativa, è uguale alla somma delle sommatorie delle sigole sequeze: (a k + b k ) = a k + b k. Scomposizioe I virtù della proprietà associativa, possiamo scomporre ua sommatoria ella somma di due sommatorie: m+ m m+ a k = a k + a k. k=m+ Traslazioe di idici Possiamo maipolare gli idici cambiado l itervallo su cui essi variao purché ci assicuriamo di sommare sempre gli stessi termii. Ad esempio possiamo eseguire ua traslazioe degli idici: a k = k=m m l=0 a m+l (k l = k m), i quato a m + a m+ + + a + a = a m+0 + a m+ + + a m+( m ) + a m+( m). Iversioe di idici Possiamo ivertire l ordie co cui sommiamo: a k = l=0 a l (k l = k), i quato a + a + + a + a = a 0 + a + + a ( ) + a ( ). Esercizio.3.7 Determia quali delle segueti formule soo vere e quali soo false: + a k = a + + a k ; k=0 a k + k=0 kb k = k=0 (a k + kb k ); + a k = a k+ ; k=0 ( )( ) a k b k = a k b k. 3

14 Isiemi Numerici.3.5 Progressioi aritmetiche Esempio.3.8 Somma dei primi umeri aturali Proviamo ora a calcolare la somma S dei primi umeri aturali, ovvero S := k. Ivertedo l ordie della somma abbiamo che S = l=0 ( l), e traslado l idice di ua uità otteiamo S = ( k + ). Per la liearità ci ricoduciamo alla somma di ua sequeza costate: S = S + S = Quidi ricaviamo che k + ( k + ) = k = (k + k + ) = Ad esempio, la somma dei primi 00 umeri è 00 0 = Esercizio.3.9 ( + ) = ( + ). ( + ). (.3) Determia ua formula per calcolare la somma dei primi umeri aturali dispari. Defiizioe.3.0 Progressioe aritmetica Ua sequeza di umeri a, a,... a forma ua progressioe aritmetica se la differeza tra due termii cosecutivi è costate, ovvero se esiste u umero p (detto ragioe della progressioe) tale che a k+ a k = p per ogi k =,...,. Se a = b, allora a = b + p, a 3 = b + p ed i geerale avremo a k = b + (k )p per ogi k. Esercizio.3. Completa le segueti sequeze sostituedo dei umeri al posto dei putii i modo da formare delle progressioi aritmetiche: a 0 = 3 a = 5 a =... a 3 =... a 4 =... b 0 =... b =... b =... b 3 = b 4 = 5 c 0 = c = c =... c 3 =... c 4 =... d 0 = d = d =... d 3 =... d 4 =... e 0 = 3 e =... e =... e 3 =... e 4 = 5 f 0 =... f = f =... f 3 = f 4 =... g 0 =... g = 3 g =... g 3 =... g 4 = 3. Possiamo facilmete calcolare la somma dei primi termii di ua progressioe aritmetica di passo p e primo termie b, utilizzado le proprietà delle sommatorie e la formula (.7) per la somma dei primi umeri a k = (b + (k )p) = (b p + pk) = = ( + ) ( (b p) + p k = (b p) + p = b p ) + p. 4

15 .3 Campi umerici ordiati Esercizio.3. La somma dei primi 3 termii di ua progressioe aritmetica è 5, metre la somma dei primi 7 termii è. Determia il passo e il primo termie della progressioe..3.6 Progressioi geometriche Defiizioe.3.3 Progressioi geometriche Ua sequeza di umeri a, a,... a o ulli forma ua progressioe geometrica se il rapporto tra due termii cosecutivi è costate, ovvero se esiste u umero q (detto ragioe della progressioe) tale che a k+ /a k = q per ogi k =,...,. Se a = b, allora a = bq, a 3 = bq ed i geerale avremo a k = bq k per ogi k. Esercizio.3.4 Completa le segueti sequeze sostituedo dei umeri al posto dei putii i modo da formare delle progressioi geometriche: a 0 = 3 a = 5 a =... a 3 =... a 4 =... b 0 =... b =... b =... b 3 = b 4 = 5 c 0 = c = c =... c 3 =... c 4 =... d 0 = d = d =... d 3 =... d 4 =... e 0 = 3 e =... e =... e 3 =... e 4 = 48 f 0 =... f = 4 f =... f 3 = f 4 =... g 0 =... g = 3 g =... g 3 =... g 4 = 3. Proviamo a calcolare la somma S := qk dei primi termii della progressioe geometrica di ragioe q e primo termie. Se moltiplichiamo S per q otteiamo qs = q k. Mettiamo i evideza il primo termie della somma S e l ultimo della somma qs, ( S = + q k ), qs = k= q k) + q. Le due sommatorie tra paretesi idicao la stessa somma co idici traslati. Calcolado la differeza tra S e qs troviamo che ( q)s = q da cui possiamo ricavare facilmete il valore di S se possiamo dividere per q, ovvero quado q. D altra parte se q = il calcolo di S si riduce alla somma di termii tutti uguali a. Otteiamo così la seguete formula: Proposizioe.3.5 La somma dei primi termii di ua progressioe geometrica di ragioe q e primo termie b è data da: b, se q =, bq k = q b, se q. q ( 5

16 Isiemi Numerici.3.7 Somme telescopiche Defiizioe.3.6 Somma telescopica Data ua sequeza di umeri a, a,..., a + cosideriamo la sequeza delle differeze di termii cosecutivi a a, a a 3,..., a a +, la somma di tali differeze si dice somma telescopica. (a k a k+ ) Il calcolo di somme telescopiche risulta essere semplice i quato si verificao delle cacellazioi di termii tra la somma di ua differeza e quella successiva: (a k a k+ ) = (a a ) + ( a a 3 ) ( a a ) + ( a a + ) = a a +. Esempio.3.7 Somme di Megoli Se cosideriamo a k = k abbiamo che a k a k+ = k k + = k(k + ). Duque possiamo cocludere che k(k + ) = ( k ) k + = + = +. Esempio.3.8 Somma dei primi quadrati Per calcolare la somma dei quadrati dei primi umeri aturali, S := k, possiamo ricorrere ad u semplice trucco basato su ua somma telescopica. Partiamo cosiderado la differeza tra i cubi di due umeri cosecutivi: k 3 (k + ) 3 = 3k 3k. Se sommiamo rispetto a k, per liearità della somma otteiamo ( k 3 (k + ) 3) = 3 k 3 k. La somma a siistra dell uguale è ua somma telescopica che vale 3 ( + ) 3 ; la prima somma a siistra dell uguale è la ostra icogita S, la secoda l abbiamo calcolata (vedi formula (.7)) e vale ( + )/, e la terza vale. Ricaviamo così che ( + ) 3 ( + ) = 3S 3. Da quest equazioe possiamo ricavare ua formula per S: S = 3 ( + ( + ) 3 3 ) ( + ) = ( 3 + ) ( + ). 6

17 .4 Calcolo combiatorio Esercizio.3.9 Determia delle formule per calcolare le somme dei cubi e delle quarte poteze dei primi umeri: k 3, k 4. Esercizio.3.30 Calcola il valore delle segueti somme: 7 8 ( ) k, k=0 99 = 0 5 =3 k=3 3 +, k, ( + ), 99 ( ), ( k + ) (k + ) + + k, 9 k=0 ( ) k k+3 99 k=0 k=3 = 8 = (3k ), 0 k,, k+, ( ). +.4 Calcolo combiatorio.4. Permutazioi e fattoriale Defiizioe.4. Permutazioi Chiamiamo permutazioe (semplice seza ripetizioi) di elemeti distiti ogi sequeza ordiata i cui ciascu elemeto compare ua ed ua sola volta. Il umero di possibili permutazioi di elemeti lo idichiamo co P. Esempio.4. Le possibili permutazioi delle tre lettere A, B, C soo: ABC, ACB, BAC, BCA, CAB, CBA. Duque P 3 = 6 = 3. Defiizioe.4.3 Fattoriale Dato N defiiamo fattoriale di il prodotto di tutti i umeri aturali compresi tra e e lo idichiamo co!,! := ( ). Coviee ioltre defiire 0! =. Proposizioe.4.4 Per ogi N 0 il umero di permutazioi di elemeti è P =!. 7

18 Isiemi Numerici Esercizio.4.5 U gruppo di famiglie si ritrova per ua cea. Padri, madri e figli si siedoo i tre tavoli distiti preparati per loro. Sapedo che ci soo 7 padri, 5 madri e 9 figli determia i quati modi distiti è possibile sistemare le persoe ella sala. Esercizio.4.6 Nota la differeza che c è tra i umeri ()! e!. Quale delle due espressioi rappreseta la quatità più grade? Posto b := ()! b+!, per N, semplifica l espressioe corrispodete a b..4. Disposizioi Defiizioe.4.7 Disposizioi Chiamiamo disposizioe (semplice seza ripetizioi) di elemeti distiti di classe k (co k ) ogi sequeza ordiata di k elemeti i cui ciascu elemeto compare al più ua volta. Il umero di possibili disposizioi di elemeti di classe k lo idichiamo co D,k. Esempio.4.8 Le possibili disposizioi di classe delle quattro lettere A, B, C, D soo: AB, AC, AD, BA, BC, BD, CA, CB, CD, DA, DB, DC. Duque D 4, = = 4 3. Proposizioe.4.9 Per ogi, k N 0, co 0 k, il umero di disposizioi di elemeti di classe k è D,k = ( ) ( k + ) =! ( k)!. Esercizio.4.0 Quati soo i umeri aturali composti da 5 cifre tutte distite? Esercizio.4. Le targhe delle automobili soo composte da due lettere dell alfabeto, seguite da tre cifre decimali, seguite da altre due lettere dell alfabeto. Soo ammesse ache i casi co lettere o cifre ripetute. Qual è il umero massimo di targhe distite che si possoo produrre i questo modo? Qual è il umero massimo di targhe distite che si possoo produrre escludedo ripetizioi di lettere o cifre ella stessa targa?.4.3 Combiazioi Defiizioe.4. Combiazioi Chiamiamo combiazioe (semplice seza ripetizioi) di elemeti distiti di classe k (co k ) ua qualsiasi sottoisieme di k elemeti scelti tra gli dati (e quidi seza ripetizioi e seza badare all ordie). Il umero di possibili combiazioi di elemeti di classe k lo idichiamo co C,k. 8

19 .4 Calcolo combiatorio Esempio.4.3 Le possibili combiazioi di classe delle quattro lettere A, B, C, D soo: Duque C 4, = 6 = 4 3. AB, AC, AD, BC, BD, CD. Proposizioe.4.4 Per ogi, k N 0 co 0 k il umero di combiazioi di elemeti di classe k è C,k = D,k ( ) ( k + )! = = P k k(k ) ( k)!k!. Esercizio.4.5 Quate ciquie si possoo fare co i ovata umeri del lotto? Esercizio.4.6 All iizio di ua riuioe tutti partecipati si strigoo la mao reciprocamete. Se le strette di mao soo state i totale 36, qual è il umero dei partecipati?.4.4 Poteze del biomio Se svolgiamo tutti i prodotti per calcolare formalmete la poteza del biomio (a + b) = (a + b)(a + b) (a + b) }{{} volte si ottiee sempre u poliomio omogeeo di grado elle lettere a e b, ovvero ua combiazioe lieare di moomi della forma a k b k, co k che varia tra 0 e. Defiizioe.4.7 Coefficieti biomiali Il coefficiete umerico che compare davati al termie a k b k ell espasioe poliomiale di (a+b) si dice coefficiete biomiale di grado e ordie k e si idica co la otazioe ( k). Duque per defiizioe di tali coefficieti vale formula (detta di Newto): (a + b) = ( ) = a + 0 ( ) a b + ( ) ( ) ( ) a b + + a b + ab + = k=0 ( ) b = ( k ) a k b k. Ad esempio: (a + b) = a + b, (a + b) = a + ab + b, (a + b) 3 = a 3 + 3a b + 3ab + b 3, ( ) =, 0 ( ) =, 0 ( ) 3 =, 0 ( ) = ; ( ) =, ( ) 3 = 3, ( ) = ; ( ) 3 = 3, ( ) 3 =. 3 9

20 Isiemi Numerici Proposizioe.4.8 Il coefficiete biomiale di grado e ordie k coicide co il umero di combiazioi di elemeti di classe k, ovvero ( )! = C,k = k ( k)!k!. Dimostrazioe Svolgedo i prodotti termie a termie seza utilizzare la proprietà commutativa formalmete abbiamo: (a + b) = a + b, (a + b) = aa + ab + ba + bb, (a + b) 3 = aaa + aab + aba + abb + baa + bab + bba + bbb, (a + b) = somma di tutte le parole di lettere che si possoo formare co le lettere a e b. Sommado poi i moomi simili, ovvero le parole co la stessa quatità di a e di b, otteiamo che il coefficiete biomiale ( k) corrispode al umero di possibili parole di lettere che si possoo formare usado k volte la lettera a e k volte la lettera b. Ciò corrispode ai possibili modi di scegliere k elemeti (le k posizioi della lettera b) tra distiti (le lettere della parola), ovvero alle possibili combiazioi di k elemeti scelti tra. Esercizio.4.9 Verifica che i coefficieti biomiali godoo delle segueti proprietà: ( ) ( ) = ; = ; 0 ( ) ( ) = ; k k ( ) ( ) ( ) + = + ; (.4) k + k k + ( ) =. k k=0 Osservazioe.4.0 Triagolo di Tartaglia Possiamo calcolare facilmete il valore dei coefficieti biomiali per mezzo del triagolo di Tartaglia: = 0 = = = 3 = 4 = 5 = 6 k = 0 k = k = k = k = 4 k = 5 k = 6 0

21 .5 Numeri reali La proprietà (.4) esprime il fatto che ogi umero che compare all itero del triagolo o è altro che la somma dei due umeri che lo sovrastao ella riga precedete. Esercizio.4. Calcola (a mao) il valore dei segueti coefficieti biomiali (cercado di fare il mior umero di operazioi possibili): ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ,,,,,,,, Esercizio.4. Siao, k N. Semplifica il rapporto ( + ) k+ ) ( k e calcola il suo valore el caso i cui = 000 e k = 500. Esercizio.4.3 Determia quali delle segueti uguagliaze soo sempre verificate e quali soo false: ( ) + = + ( ) ( ) ( ) +, =, k k k ( ) = ( ) ( ) ( ) ( ), (k + ) + k =. k + k + k k + k k.5 Numeri reali.5. Icompletezza di Q U problema che si icotra lavorado co i umeri razioali è che essi o soo sufficieti per descrivere ache semplici quatità geometriche. Ad esempio se cosideriamo u quadrato di lato, per il teorema di Pitagora la sua diagoale ha ua lughezza d il cui quadrato è d = + =. d Purtroppo la misura di d o riusciamo a trovarla i Q. Teorema.5. Irrazioalità di No esiste alcu umero razioale il cui quadrato sia. Dimostrazioe Per assurdo suppoiamo che esista d Q tale che Possiamo scrivere d = m d =. come rapporto di due umeri iteri m e primi fra loro (ovvero o ci soo

22 Isiemi Numerici divisori primi comui ad m ed ). Avremo quidi m = da cui segue che m =. (.5) Ne deduciamo che il quadrato m è u umero pari, da cui segue ecessariamete che ache m è u umero pari. Quidi m sarà il doppio di qualche umero itero k, ovvero m = k. Sostituedo i (.5) otteiamo 4k =, ovvero = k. Ne deduciamo che il quadrato è u umero pari, da cui segue ecessariamete che ache è u umero pari. Duque sia m che soo umeri pari, ma questo è i cotraddizioe co il fatto che m e soo primi tra loro. Essedo giuti ad u assurdo, la ostra ipotesi di parteza o può essere valida. Esercizio.5. Dimostra che o esiste alcu umero razioale il cui quadrato sia 3. Dimostra che o esiste alcu umero razioale il cui cubo sia..5. Approssimazioi decimali Esercizio.5.3 Elabora u procedimeto per calcolare le prime tre cifre decimali dei umeri 3 e 3 utilizzado solo le operazioi di somma, sottrazioe, moltiplicazioe, divisioe e cofroto. Esercizio.5.4 Per ogi umero aturale N, sia D l isieme dei umeri reali che si possoo rappresetare i base 0 co al più cifre decimali a destra della virgola, { m } D := 0 : m Z. (Ad esempio, D 3, 7.3 D 5.) Verifica che ogi D è u sottoisieme dell isieme dei umeri razioali Q ed ioltre che D 0 D D D 3..., ma che N D Q, ovvero esistoo umeri razioali che o soo coteuti i essu D..5.3 Allieameti decimali Defiizioe.5.5 U allieameto decimale è u espressioe della forma ±m, α α α 3... α α +... dove m N 0 e α {0,,, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} per ogi N. U allieameto decimale si dice periodico se da u certo puto i poi le cifre decimali si ripetoo sempre ello stesso modo, ovvero se è della forma ±m, α α... α k β β... β }{{ m } β β... β }{{ m }... β β... β }{{ m }... e che idichiamo più brevemete co la scrittura ±m, α α... α k β β... β m,

23 .5 Numeri reali dove le cifre decimali α α... α k costituiscoo l atiperiodo (che evetualmete se k = 0 potrebbe ache o esserci), metre le cifre decimali β β... β m costituiscoo il periodo che si ripete sempre uguale. U allieameto decimale si dice fiito (o limitato) se è periodico e le cifre del periodo soo tutte zero. U allieameto decimale si dice improprio se è periodico di periodo 9. U allieameto decimale si dice proprio se o è improprio. Teorema.5.6 L isieme dei umeri razioali coicide co l isieme degli allieameti decimali periodici propri. Defiizioe.5.7 Defiiamo l isieme dei umeri reali R come l isieme di tutti gli allieameti decimali propri..5.4 Rappresetazioe decimale delle frazioi Esercizio.5.8 Calcola la rappresetazioe decimale dei umeri /, /3, /4, /5, /6, /7, /8, /9, /0, /,... e così via fio a quado o riesci a spiegare perchè la rappresetazioe decimale di u umero razioale è sempre data da u umero fiito di cifre oppure è periodica. Esercizio.5.9 Coverti i segueti umeri periodici i frazioi.3456, 0.90, 0.09, 0.909, Esercizio.5.0 Esegui a mao, seza l ausilio della calcolatrice le segueti operazioi ed esprimi il risultato sia sotto forma di frazioe che i forma decimale ; ; ((((((( ) ) ) ) ( ( : 3 : : 3 ( 4 : : 4 ( 5 : : 5 ( 6 : : 6 ( 7 : : ) : ) : ) ; ))))))) ; ( 8 : ; ; ;.3 : Esercizio.5. Metti i ordie, dal più piccolo al più grade, e seza utilizzare la calcolatrice, i segueti umeri: 5, 0.4, 6, 0.43,

24 Isiemi Numerici Esercizio.5. Determia u umero razioale compreso tra e Proprietà di completezza di R Oltre a tutte le proprietà di campo algebrico ordiato che abbiamo già discusso, l isieme dei umeri reali soddisfa ache u ulteriore fodametale proprietà che lo rede u campo completo e adatto agli scopi dell aalisi matematica. Teorema.5.3 Completezza di R Dati due sottoisiemi A e B o vuoti di R tali che a b per ogi a A e ogi b B. Allora esiste u elemeto c R (detto elemeto separatore) tale che a c b per ogi a A e ogi b B..5.6 Maggiorati, miorati, isiemi limitati. Defiizioe.5.4 Sia E u sottoisieme o vuoto di R e sia m R. Il umero m si dice maggiorate di E se per ogi elemeto x E si ha x m. Il umero m si dice miorate di E se per ogi elemeto x E si ha m x. L isieme E si dice superiormete limitato se esiste i R u maggiorate di E. L isieme E si dice iferiormete limitato se esiste i R u miorate di E. L isieme E si dice limitato se E è sia superiormete che iferiormete limitato. Esempio.5.5 Cosideriamo ad esempio gli isiemi A := [0, [:= {x R: 0 x < } ; B := {x R: x > 0} ; C := {x R: x } ; { } D := 0 : N 0 = {, 0., 0.0, 0.00, 0.000, ,... }. L isieme A è u isieme limitato, i suoi maggiorati soo i umeri x, i suoi miorati soo i umeri x 0. L isieme B è iferiormete limitato, i suoi miorati soo i umeri x 0, o ha maggiorati. L isieme C è superiormete limitato, i suoi maggiorati soo i umeri x, o ha miorati. L isieme D è u isieme limitato, i suoi maggiorati soo i umeri x, i suoi miorati soo i umeri x 0. Defiizioe.5.6 Sia E u sottoisieme di R e sia m R. Il umero m si dice massimo di E se m è u elemeto di E che è ache u maggiorate di E. Il umero m si dice miimo di E se m è u elemeto di E che è ache u miorate di E. 4

25 .5 Numeri reali Lemma.5.7 Se esiste il massimo di E questo è uico. Dimostrazioe Suppoiamo che m e m siao etrambi massimi di E. Allora deve essere m m perché m è massimo e m E, ma ache m m perché m è massimo e m E. Per la proprietà atisimmetrica dell ordiameto e segue che m = m. Naturalmete l uicità allo stesso modo vale ache per il miimo. Defiizioe.5.8 Sia E u sottoisieme di R e sia m R. Il umero m si dice estremo superiore di E se m è il miimo dell isieme dei maggiorati di E. Il umero m si dice estremo iferiore di E se m è il massimo dell isieme dei miorati di E. Lemma.5.9 Se esiste il massimo di E questo è ache estremo superiore di E. La seguete proposizioe ci illustra u modo per caratterizzare l estremo superiore e l estremo iferiore di u isieme Proposizioe.5.0 Sia E u sottoisieme o vuoto di R. Se E è superiormete limitato allora m = sup E se e solo se valgoo le segueti due proprietà: m è maggiorate di E, ovvero m x per ogi x E; se l < m allora l o è maggiorate di E, ovvero per ogi l < m esiste u x E tale che l < x. Se E è iferiormete limitato allora m = if E se e solo se valgoo le segueti due proprietà: m è miorate di E, ovvero m x per ogi x E; se l > m allora l o è miorate di E, ovvero per ogi l > m esiste u x E tale che l > x. Esercizio.5. Per ciascuo dei segueti sottoisiemi di umeri reali determia gli isiemi dei loro maggiorati e dei loro miorati, stabilisci se soo superiormete o iferiormete limitati, se ammettoo massimo o miimo, e determia i loro estremi superiori e iferiori: E = R; E = { x Q: x } ; { } { } ( ) E = : N ; E = : N ; E = {0.9, 0.99, 0.999, ,... } ; E = {( ) } : N ; E = { x : x R, x + x < } ; E = { x = 5 + 3: N } ; E =]0, ] := {x R: 0 < x } ; E = {x ]0, ]: si (/x) 0}. 5

26 Isiemi Numerici Esercizio.5. Dimostra co u cotroesempio che o è sempre vero che max {a, b} + max {c, d} max {a, b, c, d}. Esercizio.5.3 Dimostra che se A e B soo due sottoisiemi di R allora valgoo le segueti regole: sup A B = max {sup A, sup B}, if A B = mi {if A, if B}, sup A B mi {sup A, sup B}, if A B max {if A, if B}. Costruisci ioltre u esempio che mostri come si possoo effettivamete avere delle disuguagliaze strette per l itersezioe. La proprietà di completezza di R formulata el Teorema.5.3 si può euciare ache i u altra forma equivalete, utilizzado il cocetto di estremo superiore Teorema.5.4 Pricipio di completezza di R Ogi sottoisieme o vuoto e superiormete limitato di R ammette estremo superiore i R. Dimostrazioe Sia A u sottoisieme o vuoto e superiormete limitato di R. Sia B l isieme dei maggiorati reali di A. Ache B o è vuoto, i quato per ipotsi A possiede maggiorati reali. Per defiizioe di B abbiamo che a b per ogi a A e b B. Applicado la proprietà di completezza, Teorema.5.3, otteiamo che esiste u elemeto separatore c R tale che a c b per ogi a A e b B. Ne segue che c è sia u maggiorate di A, e duque c B, e sia u miorate di B, e duque c è miimo di B. Quidi c è il miimo dei maggiorati di A, ovvero c = sup A..5.7 Il umero di Nepero Teorema.5.5 L isieme dei umeri della forma ( + /) : { ( E := + ) } : N è superiormete limitato, e il umero 3 è u suo maggiorate. Dimostrazioe Sia u umero aturale. Usado la formula dello sviluppo delle poteze del biomio troviamo che: ( + ) = k( ) k = k!... k + k=0 k=0 }{{} k!. (.6) k=0 fattori tutti Per k abbiamo k! = k(k )(k )! k(k ), i quato (k )! ; duque k=0 k! = + + k= k(k )(k )! + k= k(k ). (.7) 6

27 .5 Numeri reali Il termie k(k ) si può scrivere i forma di differeza telescopica: k(k ) = k k ; ciò ci permette di calcolare facilmete la somma (di Megoli): k= k(k ) = =. (.8) Come cosegueza della catea di disuguagliaze (.6), (.7) e (.8) otteiamo che ( + ) k! + + = 3, k(k ) k=0 k= per ogi. Per = abbiamo ( + /) = < 3. Duque il umero 3 è u maggiorate dell isieme E. Defiizioe.5.6 Numero di Nepero L estremo superiore dell isieme dei umeri della forma ( + /), co N, è detto umero di Nepero e si idica co il simbolo e, { ( e := sup + ) } : N. Dalla dimostrazioe del teorema.5.5 segue che e 3. Si può dimostrare che il umero di Nepero è u umero irrazioale; la sua rappresetazioe decimale è: e = Radici eesime I questa sezioe studiamo l equazioe x = p e le disequazioi x > p e x < p. Lemma.5.7 Mootoia delle poteze Dati due umeri o egativi a, b 0 e u umero aturale N abbiamo che a b a b. (.9) Dimostrazioe Se a = 0 il lemma diveta ovvio. Se a > 0, dividiamo tutto per a e usiamo il fatto che poteze di umeri maggiori di soo acora maggiori di : Lemma.5.8 a b b a ( b a ) = b a a b. Siao r, p 0 e N. Se r > p allora esiste ε ]0, r[ tale che (r ε) > p. 7

28 Isiemi Numerici Dimostrazioe Le ipotesi su r e p ci garatiscoo che r > 0 e duque r 0. Roccogliedo e dividedo per r la disuguagliaza (r ε) > p risulta equivalete alla disuguagliaza ( ε ) p > r r, (.0) della quale cerchiamo soluzioi ε ell itervallo ]0, r[. Applichiamo la disuguagliaza di Beroulli (.), co x = ε/r >, e otteiamo ( ε ) ε. (.) r r La disequazioe r ε > p r (.) è equivalete a ε < ε := r ( p ) r. r Osserviamo che risulta ε / r. Quado ε ]0, ψ [ valgoo (.) e (.) e duque per la proprietà trasitiva vale ache (.0). Lemma.5.9 Siao r, p 0 e N. Se r < p allora esiste ε > 0 tale che (r + ε) < p. Dimostrazioe Se r = 0 allora scegliedo 0 < ε < mi {, p} abbiamo (r + ε) = ε < mi {, p } p. Se r > 0 allora l ipotesi r < p equivale a (/r) > /p. Possiamo allora applicare il lemma precedete co /r al posto di r e /p al posto di p e otteiamo che esiste δ ]0, /r[ tale che ( r δ ) > p. Passado ai reciproci, quest ultima disuguagliaza è equivalete a ( ) r < p. δr Abbiamo che r δr = r + ε quado ε = La codizioe ε > 0 segue dal fatto che δr <. r δr r = δr δr. Teorema.5.30 Dato u umero reale p 0 e u umero aturale N esiste uo ed u solo umero reale r 0 tale che r = p. Defiizioe.5.3 Radice -esima Dato p 0 e N si defiisce radice -esima di p quell uico umero r 0 tale che r = p e si idica co p. 8

29 .5 Numeri reali Dimostrazioe del Teorema.5.30 L uicità è cosegueza del Lemma.5.7, ifatti se r = p e r = p co r, r 0 allora abbiamo r r r e dal lemma segue che r r r, ovvero r = r. Per mostrare l esisteza, cosideriamo l isieme E := {x 0: x p}. Tale isieme è o vuoto, i quato 0 E. Ioltre, essedo p + p ( + p), per il Lemma.5.7 abbiamo che + p è maggiorate di E. Duque E è superiormete limitato. Per il pricipio di completezza di R, l isieme possiede estremo superiore reale, sia esso r := sup E. Se fosse r > p allora, per il Lemma.5.8 esisterebbe u ε ]0, r[ tale che (r ε) > p. Allora, per il Lemma.5.7, avremmo che ache r ε sarebbe u maggiorate di E. Ciò è i cotraddizioe co il fatto che r è defiito come il miimo dei maggiorati di E. Se fosse r < p, per il Lemma.5.9 esisterebbe u ε > 0 tale che (r + ε) < p. Duque sarebbe r + ε E. Ciò è i cotraddizioe co il fatto che r è u maggiorate di E. L uica possibilità allora è che sia r = p. Esercizio.5.3 Dimostra che se m/ e p/q soo due umeri razioali (co m, p Z e, q N) tali che m vale m < q p. < p q allora Esercizio.5.33 Semplifica le segueti espressioi: 4 3 ; (3 ) (3 ) ; 7 7 x 4 y / 3 ; ; ; k+ x k+ y k ; 3 0 ; Esercizio.5.34 Porta sotto radice i fattori esteri ei segueti prodotti: 3 ; 8; 5 0 ; ; (a + b) a b ; a b b a b ; a 4 a ; a a 9 a + 3 a. Esercizio.5.35 Porta fuori dal sego di radice tutti i possibili fattori dai segueti radicali: 8; 3 40; ; a ( + b ); x4 x 6. Esercizio.5.36 Razioalizza le segueti espressioi ; ; + + ; ; x y x + y ; 3. 9

30 Isiemi Numerici.5.9 Media aritmetica e media geometrica Defiizioe.5.37 Media aritmeitica Data ua sequeza di umeri x, x,..., x, la loro media aritmetica è data da µ := x + x + + x = x k. Esercizio.5.38 Calcola la media aritmetica dei primi 3 termii di ua progressioe aritmetica di passo 0 e primo termie 7. Defiizioe.5.39 Media geometrica Data ua sequeza di umeri x, x,..., x, o egativi, la loro media geometrica è data da γ := x x x = x k. Esercizio.5.40 Calcola la media geometrica dei primi 3 termii di ua progressioe geometrica di ragioe 0 e primo termie 7. Teorema.5.4 Siao x, x,..., x dei umeri o egativi, allora la loro media geometrica è sempre miore o uguale alla loro media aritmetica. Le due medie coicidoo se e solo se tutti i umeri soo uguali tra loro. Dimostrazioe Diamo ua dimostrazioe geometrica valida solo per il caso di due umeri ( = ). Q r = a+b h = ab A a P b B Siao a e b due umeri o egativi. Cosideriamo u segmeto AB di lughezza a + b e sia P u puto di AB scelto i modo che la lughezza di AP sia a e la lughezza di P B sia b. Costruiamo poi ua semicircofereza poggiata sul diametro AB; il raggio della semicircofereza risulta essere uguale a r = a+b, ovvero alla media aritmetica di a e b. Dal puto P tracciamo u segmeto perpedicolare ad AB che icotra la semicircofereza el puto Q. Il triagolo ABQ essedo iscritto i ua semicircofereza risulta essere rettagolo i Q. Per il secodo teorema di Euclide l altezza P Q relativa all ipoteusa è medio proporzioale tra le proiezioi AP e P B dei due cateti sull ipoteusa; se idichiamo co h la misura dell altezza P Q abbiamo duque che a : h = h : b, da cui si ricava che 30

31 .5 Numeri reali h = ab, che è la media geometrica di a e b. Si vede immediatamete che l altezza P Q o può mai essere più luga del raggio: h r, ovvero ab a + b ; ioltre osserviamo che si ha uguagliaza, h = r, se e solo se il puto P coicide co il cetro della circofereza, ovvero quado a = b. Esercizio.5.4 Sfruttado le idetità 4 abcd = ab cd, a + b + c + d 4 = a+b + c+d dimostra il teorema.5.4 el caso di medie di quattro umeri ( = 4). Da esso cerca poi di dedurre ache il caso di medie di tre umeri ( = 3) uedo ai tre umeri dati u quarto umero pari alla loro media aritmetica. Esercizio.5.43 iao N, a >. Determia quali disuguagliaze puoi ricavare cosiderado la disuguagliaza tra media geometrica e media aritmetica ei segueti casi speciali:. x = a, x =... x = ;. x = + (a ), x =... x = ; 3. x =, x =... x = ; 4. x =, x = = x + = +. Utilizza tali disuguagliaze per dimostrare che. l estremo iferiore dei valori di a al variare di N è ;. l isieme dei valori di a al variare di N o è superiormete limitato; 3. l isieme dei valori di al variare di N è superiormete limitato; 4. se poiamo e := ( + ) allora e e +.,.5.0 Poteze.5. Espoeziali e logaritmi 3

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33 Fuzioi elemetari. Che cos è ua fuzioe.. Defiizioi di base.. Fuzioi e equazioi..3 Restrizioi e prolugameti..4 Domiio aturale di ua fuzioe. Composizioe di fuzioi.. Fuzioi composte.. Fuzioi ivertibili.3 Fuzioi a valori reali.3. Fuzioi limitate.3. Operazioi tra fuzioi.4 Fuzioi a valori reali di ua variabile reale.4. Rapporti icremetali.4. Fuzioi mootoe.4.3 Fuzioi covesse.4.4 Simmetrie.5 Fuzioi umeriche elemetari.5. Alcue fuzioi speciali.5. Poteze.5.3 Espoeziali e logaritmi.5.4 Fuzioi trigoometriche.5.5 Fuzioi iperboliche 33

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35 3 Limiti e cotiuità 35

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37 4 Calcolo differeziale 37