FUNZIONI SUCCESSIONI PRINCIPIO DI INDUZIONE

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1 FUNZIONI SUCCESSIONI PRINCIPIO DI INDUZIONE. Le Fuzioi L'operazioe di prodotto cartesiao relazioe biaria La relazioe biaria fuzioe Fuzioi iiettive, suriettive, biuivoche Fuzioi ivertibili. Le Successioi defiizioe geerale particolari successioi Fiboacci, progressioi aritmetica e geometrica. Pricipio di Iduzioe euciato esempi di applicazioe esempi otevoli: progressioi aritmetica e geometrica

2 LE FUNZIONI L operazioe di prodotto cartesiao Defiizioe Siao dati due isiemi A e B; l operazioe di prodotto cartesiao ( ) associa alla coppia (A;B) u uovo isieme AB, i cui elemeti soo tutti e soli le coppie ordiate di tipo (x ; y), co xa e yb. I simboli: AB { (x ; y) xa e yb }. Esempio Dati gli isiemi A {; ; }, B {a; b}, determia AB:. rappresetazioe tabulare: AB { (; a); (; b); (; a); (;b); (; a); (;b) };. rappresetazioe grafica cartesiaa: Osserva che AB BA, ifatti, riferedoci all esempio:. rappresetazioe tabulare: BA { (a; ); (a; ); (a; ); (b;); (b; ); (b;) };. rappresetazioe grafica cartesiaa:

3 Relazioe biaria Defiizioe Siao dati due isiemi A e B; si chiama relazioe biaria tra A e B u sottoisieme R del prodotto cartesiao A x B così defiito: R { (x ; y) (x ; y) A x B e x R y } ( co x R y si itede quella particolare proprietà che mette i relazioe x A co yb ). I altre parole, si tratta di cercare i A x B quelle particolari coppie (x ; y) che soddisfao alla proprietà i esame. Esempi. Dati gli isiemi A {; ; } e B {7; 8}, rappreseta i vari modi la relazioe R { (x ; y) (x ; y) A x B e x + y è pari } ( rappresetazioe per caratteristica ): A - ; - ; ; + ; + ; B - ; - ; ;; +. Dati gli isiemi,

4 4 rappreseta la relazioe R { (x ; y) (x ; y) A x B e x + y }:. Dati gli isiemi A{ ; 5; 7 ; ; 8 } ; B {; 4 ;6 ; }, rappreseta la relazioe R { (x ; y) (x ; y) A x B e x è triplo di y}: 4. Dati gli isiemi A { - ; ; 4 ; 5 } ; B { 9 ; 6 ;5; }, rappreseta la relazioe R { (x ; y) (x ; y) A x B e y x }:

5 5 5. Dati gli isiemi A { Italia ; Fracia ; Spaga } ; B { Roma ; Parigi ; Madrid }, rappreseta la relazioe R { (x ; y) (x ; y) A x B e y è capitale di x }: Defiizioe Si chiama domiio della relazioe R A x B l isieme di tutti quegli elemeti di A che possiedoo almeo ua immagie i B: D R { x x A per cui y B x R y }. Defiizioe Si chiama codomiio della relazioe R A x B l isieme di tutti quegli elemeti di B che soo immagii di almeo u elemeto di A: C R { y y B per cui x A x R y }. Esempi: egli esempi,, 5, D R A e C R B ; ell esempio, D R { ; ; 8 }, C R { ; 4 ; 6 }; ell esempio 4, D R A, C R { 9 ; 6 ; 5 }.

6 6 La relazioe fuzioe Defiizioe Cosidero ua relazioe f da u isieme A ad u isieme B. La relazioe f che ad elemeti di A associa immagii di B è ua fuzioe da A a B se e solo se gode delle segueti proprietà:. D f A. la f è uivoca I simboli si scrive: A f { (x ; y) (x ; y) A x B e y f(x) } oppure x y f x f : B Esempi: egli esempi, 4, 5, la relazioe R è ua fuzioe; ell es., la relazioe R è ua fuzioe, se l isieme di parteza o è A, besì il suo sottoisieme D R {; ; 8}; ell es., la relazioe R o è ua fuzioe, perché o è uivoca. Nell isieme di tutte le fuzioi ve e soo alcue particolarmete importati: fuzioi iiettive, suriettive e biuivoche.. Fuzioi iiettive: ua f : A B si dice iiettiva se o accade mai che due elemeti distiti abbiao la stessa immagie.. Fuzioi suriettive: ua f : A B si dice suriettiva se e solo se il suo codomiio è tutto B, ossia C f B.. Fuzioi biuivoca: ua f : A B si dice biuivoca se e solo se è iiettiva e suriettiva.

7 7 Esempi: ell es. la fuzioe è suriettiva, ma o iiettiva; ell es. 4 la fuzioe è geerica, é iiettiva, é suriettiva; ell es. la fuzioe D R B è iiettiva, ma o suriettiva; ell es. 5 la fuzioe è biuivoca, perchè iiettiva e suriettiva. Grafici riassutivi di f : A B Relazioe e fuzioe iversa

8 8 Defiizioe Sia data ua relazioe R da A a B; la uova relazioe R - da B ad A formata da tutte e sole le coppie ( y ; x ) BA tali che ( x ; y ) R, si chiama relazioe iversa della R : R - {( y ; x ) ( y ; x ) BA e y R - x x R y }. Esempio Descrivi l iversa R - della relazioe R dell esempio : R - { (y;x) (y;x) B x A e y è la terza parte di x } R - { (;); (4;); (6;8) } BA Da u puto di vista grafico sagittale, basta ivertire il seso delle frecce: Osservazioe di carattere geerale: D R - C R C R - D R L iversa della R - riproduce la R : (R - ) - R. Ua relazioe i geerale è sempre ivertibile, quidi ache da ua fuzioe si può sempre otteere la relazioe iversa, tuttavia tale relazioe o è detto che sia a sua volta ua fuzioe: l iversa f - di ua fuzioe f è ach essa ua fuzioe se e solo se f è biuivoca. Quado si parla di fuzioe ivertibile, ci si riferisce ad ua fuzioe biuivoca. Osservado attetamete i grafici riassutivi, si comprede che, solo se la fuzioe è biuivoca, la relazioe iversa è ua fuzioe.

9 9 Esempi: egli esempi e 4 la fuzioe o è biuivoca, quidi o è ivertibile; ell esempio la fuzioe D R B o è biuivoca, quidi o è ivertibile, tuttavia se cosidero la fuzioe D R C R, essa è biuivoca e ivertibile; ell esempio 5 la fuzioe è biuivoca, quidi è ivertibile. Negli esempi,, (), 4 si può otteere semplicemete ua relazioe iversa. Esercizi Delle segueti relazioi determia il domiio D R e il codomiio C R, quidi stabilisci se la relazioe biaria tra D R e C R è ua fuzioe ed i caso affermativo determia, se è possibile, la fuzioe iversa. Esegui co cura i grafici.. R { (x ; y) (x ; y) R x R e y }. R { (x ; y) (x ; y) R x R e y/x }. R { (x ; y) (x ; y) R x R e x + y } 4. R { (x ; y) (x ; y) R x R e y x } 5. R { (x ; y) (x ; y) R x R e xy } 6. R { (x ; y) (x ; y) R x R e y + x } 7. R { (x ; y) (x ; y) R x R e y + x - 4 } 8. R { (x ; y) (x ; y) R + x R e y + x 4 } 9. R { (x ; y) (x ; y) R x R e y + x }. R { (x ; y) (x ; y) R + x R + e y - x }. R { (x ; y) (x ; y) R - x R + e y - x 4 }.

10 LE SUCCESSIONI E IL PRINCIPIO DI INDUZIONE LE SUCCESSIONI NUMERICHE Ua successioe è ua fuzioe reale di variabile aturale: f: N R (Domiio N e Codomiio R) UNA SUCCESSIONE PUÒ ESSERE DEFINITA:. Mediate la formula che defiisce il termie -esimo: a + N.. Per ricorreza, cioè idicado i primi termii e la legge che lega u termie al precedete: a, a,, a+ a++a... (a, a, a, a, a4, a5 5, a6 8, a7, a8 successioe di Fiboacci).

11 DUE PARTICOLARI SUCCESSIONI. Progressioe aritmetica: è ua successioe defiita per ricorreza dado il primo termie a e la legge che defiisce i termii successivi el modo seguete: a, aa+d, aa+d,, a+a+d Il umero reale d prede il ome di ragioe. Esempio: a, d, 5, 8,, La somma S dei primi termii è data dalla formula: S a k k a +a a + ( ) d Dall'esempio precedete: 4 S 4 a k k ( 4 ) 6. Progressioe geometrica : è ua successioe defiita per ricorreza dado il primo termie a e la legge che defiisce i termii successivi el modo seguete: a, a aq, a aq,, a+ aq Il umero reale q prede il ome di ragioe. Esempio: a, d,, 4, 8, La somma S dei primi termii è data dalla formula: -q S a k a k -q se q S a se q Dall'esempio precedete: 4 S 4 a k -4 k - 5

12 PRINCIPIO DI INDUZIONE Cosete di dimostrare (verificare) la correttezza di ua proposizioe matematica A() (formula o relazioe), dipedete da N, cioè co A() epressioe geerale di ua successioe ifiita di proposizioi. Esempio di ua proposizioe A(): la somma degli agoli iteri di u poligoo di lati ( ) è data dalla formula A() ( ) 8. Pricipio di iduzioe: data ua successioe di formule (più i geerale di proposizioi logiche) {A(), A(),..., A(k),, A()},. se A(k) è vera (cioè se è vera la k-esima formula-proposizioe) (base di iduzioe) e. se A() vera (cioè se è vera per u geerico umero ) implica che sia vera ache la formula successiva A(+), (ipotesi di iduzioe) allora la formula (proposizioe) è vera N, co >k. Esempio : La somma degli agoli iteri di u poligoo di lati ( ) è data dalla formula A() ( ) 8. Verifichiamo la verità della formula:. per k, A() (-) 8 8 è vera (base di iduzioe)

13 e. A( ) ( ) 8 vera A( +) ( ) 8 vera, (ipotesi di iduzioe) ifatti A( +) A( ) + 8 ; A( +) ; A( +) ( ) 8 c.v.d. allora la formula A() ( ) 8 è vera N, co >k. c.v.d. Esempio : Il umero A() è divisibile per 7 N. Per esempio: A() Verifichiamo la verità della formula:. per k, A() è vera (base di iduzioe). + + A + vera ifatti A h, e A vera, (ipotesi di id.) + + co h N 7h, quidi h h h +. c. v. d. A + + allora la proposizioe il umero A() è divisibile per 7 è vera N, co >k. c.v.d.

14 4 I particolare il pricipio di iduzioe è molto utile per verificare la correttezza delle formule che esprimoo la somma dei primi termii di ua successioe. Vedere gli esempi segueti. Esempio : La somma A i dei primi umeri aturali è data dalla formula A i + Per esempio A 5 5 i i Verifichiamo la verità della formula:. per k, A() è vera (base di iduzioe) e +. A vera A vera,(ipotesi di iduzioe) ifatti A + A c. v. d. allora la formula + A è vera N, co > k. c.v.d. Esempio 4 : La somma A i dei primi umeri dispari è data dalla formula i 4 i Per esempio i A A Verifichiamo la verità della formula:. per k, A() è vera (base di iduzioe)

15 5. A vera A + + iduzioe) ifatti + A c. v.. A d e allora vera, (ipotesi di la formula A è vera N, co > k. c.v.d. Esempio 5 : La somma formula A i i dei primi umeri aturali elevati al quadrato è data dalla + + A 6 Per esempio A 4 i i Verifichiamo la verità della formula:. per k, A è vera (base di iduzioe) e. A A + vera ifatti vera,(ipotesi di iduzioe) + A A c. v. d. la formula A è vera allora N, co > k. c.v.d. Esempio 6 :

16 6 Progressioe aritmetica di ragioe d: a ; a a +d; a a +d; ; a a +(-)d;... La somma A a, i co a i a + i d dei primi termii della progressioe aritmetica di ragioe d è data i dalla formula A a + a + a d Per esempio, fissati a e d A 4 i 4 4 a i Verifichiamo la verità della formula:. per k, A è vera (base di iduzioe) e. A a + d vera A + a d vera,(ip.di iduz.) ifatti + A + A + a + d a + d + a + d + a + d c. v. d. allora la formula A a + d è vera N, co > k. c.v.d. Esempio 7 : Progressioe geometrica di ragioe q: a ; a a q ; a a q ; ; a a q - ;... i- La somma A ai, co a i a q dei primi termii della progressioe geometrica di ragioe i q è data dalla formula - q a a - q a se q A A i Per esempio, fissati a e d i A 4 i i 4 a se q

17 7 Verifichiamo la verità della formula:. per k, A è vera (base di iduzioe) e - q - q. A a vera A + a - q - q + vera,(ip.di iduzioe) ifatti + + q q + q q q A + A + a q a + aq a a c. v. d. q q q allora - q - q la formula A a è vera N, co > k. c.v.d.