Forme Bilineari 1 / 34

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1 Forme Bilieari 1 / 34

2 Defiizioe applicazioe Dicesi forma bilieare su uo spazio vettoriale V, ua ϕ : V V R che è lieare i etrambi gli argometi, ossìa tale che u,v,w V e a,b R si abbia: ϕ(au + bv,w) =aϕ(u,w) + bϕ(v,w) ϕ(w,au + bv) =aϕ(w,u) + bϕ(w,v) Idicheremo co B 2 (V) l isieme delle forme bilieari su V Esercizio Sull isieme B 2 (V) si cosiderio le segueti operazioi di somma e prodotto per uo scalare: (ϕ ψ)(u,v) = ϕ(u,v) + ψ(u,v) (λ ϕ)(u,v) = λϕ(u,v). Si dimostri che rispetto a tali operazioi l isieme B 2 (V) è uo spazio vettoriale. 2 / 34

3 Esempi la forma ϕ(x,y) = x 1 y 1 x 2 y 1 + x 3 y 1 è ua forma bilieare su R 3, dove si è posto x = (x 1,x 2,x 3 ) e y = (y 1,y 2,y 3 ) la forma è ua forma bilieare su R 3 la forma è ua forma bilieare su R 3 ϕ(x,y) = x 1 y 1 x 2 y 2 + x 3 y 3 ϕ(x,y) = x 1 y 2 x 2 y 1 3 / 34

4 Defiizioe Ua forma bilieare ϕ B 2 (V) sarà detta simmetrica se per ogi u,v V si ha ϕ(u,v) = ϕ(v,u) atisimmetrica se per ogi u,v V si ha ϕ(u,v) = ϕ(v,u) Si osservi che se ϕ è atisimmetrica allora si ha ϕ(u,u) = 0 4 / 34

5 Esempi la forma bilieare su R 3 data da ϕ(x,y) = x 1 y 1 x 2 y 2 + x 3 y 3 è simmetrica la forma bilieare su R 3 data da è atisimmetrica la forma bilieare su R 3 data da ϕ(x,y) = x 1 y 2 x 2 y 1 ϕ(x,y) = x 1 y 1 x 2 y 3 o è e simmetrica e atisimmetrica 5 / 34

6 Deoteremo co S 2 (V) le forme bilieari simmetriche A 2 (V) le forme bilieari atisimmetriche Esercizio Si verifichi che S 2 (V) e A 2 (V) soo sottospazi di B 2 (V) la loro somma è diretta ed è uguale a tutto lo spazio B 2 (V) 6 / 34

7 Matrice associata ad ua forma bilieare Se V è uo spazio vettoriale di dimesioe fiita B = (e 1,...,e ) ua sua base ordiata e ϕ B 2 (V) È possibile associare a ϕ ua matrice A el modo seguete [A] ij = ϕ(e i,e j ) Tale matrice è detta matrice della forma bilieare ϕ rispetto alla base B 7 / 34

8 La matrice A ci permette di calcolare ϕ su ua coppia qualuque di vettori ua volta che si cooscoo le loro compoeti rispetto alla base B = (e 1,...,e ) Ifatti se u = u i e i i v = i v i e i X = u 1. u Y = v 1. v si ha ϕ(u,v) =ϕ ( i=1 u i e i, j=1 = u i v j a ij = i=1 j=1 ) v j e j = u i v j ϕ(e i,e j ) i=1 j=1 i i=1u j=1 a ij v j = i=1 u i [AY] i = X AY 8 / 34

9 Proposizioe Siao B = (e 1,,e ) B = (e 1,,e ) due basi ordiate di V P la matrice di passaggio da B a B Allora le matrici A,A di ua forma bilieare ϕ su V, rispetto a B e B rispettivamete, soo legate dalla seguete relazioe Dimostrazioe A = P AP P la matrice di passaggio da B a B e i = k p ki e k [A ] ij = ϕ(e i,e j) =ϕ( k = k p ki e k, s p ki s =[P AP] ij p sj e s ) = k p sj [A] ks = k=1 p kip sj ϕ(e k,e s ) s p ki [AP] kj = [P ] ik [AP] kj k 9 / 34

10 Il fatto che due matrici della stessa forma bilieare ϕ rispetto a due basi siao legate come visto sopra, permette di defiire il rago di ϕ come rago di ua sua matrice associata. Questa defiizioe o dipede dalla matrice associata poichè si ha ρa = ρ(p AP) = ρa No è ivariate il determiate di ua forma bilieare poichè si ha deta = det(p AP) = (deta)(detp) 2 Rimae comuque ivariato il suo sego, dato che si ha (detp) 2 > 0 10 / 34

11 Defiizioe Ua forma bilieare è detta o degeere se ha rago massimo, altrimeti è detta degeere 11 / 34

12 la matrice rispetto alla base caoica della forma bilieare su R 3 data da ϕ(x,y) = x 1 y 1 x 2 y 2 + x 3 y 3 è la matrice diagoale la matrice rispetto alla base caoica della forma bilieare su R 3 data da ϕ(x,y) = x 1 y 2 x 2 y 1 è Si vede quidi che ϕ ha rago 2 12 / 34

13 la matrice rispetto alla base caoica della forma bilieare su R 3 data da ϕ(x,y) = x 1 y 1 3x 3 y 2 x 2 y 3 è I questo caso la forma bilieare è o degeere. 13 / 34

14 Dualità e rago di ua forma bilieare Data ua forma bilieare ϕ B 2 (V), questa determia due applicazioi lieari s,d : V V defiite come segue: s(x) = ϕ(x, ) d(x) = ϕ(,x) s(x)(y) = ϕ(x,y) d(x)(y) = ϕ(y,x) Quado le applicazioi s, d soo degli isomorfismi? È sufficiete verificare che s, d siao iiettive: s iiettiva s(x) = 0 (applicazioe ulla) x = 0 s(x)(y) = 0 y V x = 0 ϕ(x,y) = 0 y V x = 0 d iiettiva ϕ(x,y) = 0 x V y = 0 14 / 34

15 s : V V B = (e 1,,e ) B = (e 1,,e ) base ordiata di V e base duale di V La matrice S = (s kj ) di s rispetto a tali basi è data da: s(e j ) = s kj e k k k s kj e k (e i ) = s kj δi k = s ij k s ij = s(e j )(e i ) = ϕ(e j,e i ) = a ji Quidi la matrice di s rispetto a tali basi è la trasposta della matrice di ϕ rispetto alla base B 15 / 34

16 Questo implica che il rago delle applicazioi s, d è uguale, poichè hao come matrici associate due matrici che soo ua la trasposta dell altra, e ioltre tale rago è pari a quello della forma bilieare ϕ. Riassumedo si ha Proposizioe Ua forma bilieare ϕ è o degeere ua delle due codizioi equivaleti segueti è verificata ϕ(x,y) = 0 per ogi x V y = 0 ϕ(x,y) = 0 per ogi y V x = 0 16 / 34

17 Forme quadratiche è u poliomio omogeeo di secodo grado ei v i 17 / 34 Ad ogi forma bilieare simmetrica ϕ B 2 (V ) è possibile associare ua fuzioe Φ : V R defiita come segue: Φ(v) = ϕ(v,v) La fuzioe Φ è detta forma quadratica associata a ϕ ed è ua fuzioe omogeea di grado due, ovvero Φ(λ v) = λ 2 Φ(v) Il ome forma quadratica è giustificato dal fatto che se B è ua base di V, A = (a ij ) la matrice (simmetrica) di ϕ rispetto a B Φ(v) = i,j=1 a ij v i v j = i=1 a ii v 2 i +2a ij v i v j, i<j

18 Esempi la forma quadratica associata alla forma bilieare su R 3 data da è ϕ(x,y) = x 1 y 1 x 2 y 2 + x 3 y 3 Φ(x) = x 2 1 x x 2 3 la forma quadratica associata alla forma bilieare su R 3 data da è ϕ(x,y) = x 1 y 2 + x 2 y 1 Φ(x) = 2x 1 x 2 la forma quadratica associata alla forma bilieare su R 3 data da è ϕ(x,y) = x 1 y 1 3x 3 y 3 x 2 y 3 x 3 y 2 Φ(x) = x 2 1 3x 2 3 2x 2 x 3 18 / 34

19 ϕ Φ(v) = ϕ(v,v) Φ ϕ? Φ(u + v) = ϕ(u + v,u + v) =ϕ(u,u) + ϕ(v,v) + 2ϕ(u,v) =Φ(u) + Φ(v) + 2ϕ(u,v) ϕ(u,v) = 1 (Φ(u + v) Φ(u) Φ(v)) 2 che viee detta forma polare di ϕ Proposizioe Data ua forma quadratica Φ associata ad ua forma bilieare simmetrica su V, esiste u uica ϕ S 2 (V) tale che ϕ(v,v) = Φ(v) 19 / 34

20 Defiizioe detta Ua forma quadratica Φ su uo spazio vettoriale V è 1 semidefiita positiva se Φ(u) 0 u V 2 defiita positiva se Φ(u) > 0 u 0 3 semidefiita egativa se Φ(u) 0 u V 4 defiita egativa se Φ(u) < 0 u 0 5 idefiita se o è semidefiita positiva o egativa 20 / 34

21 Defiizioe Ua forma quadratica Φ è o degeere se la forma bilieare ϕ associata è o degeere. Proposizioe Ua forma quadratica Φ defiita (positiva o egativa) è o degeere Dimostrazioe Sup. Φ defiita positiva Φ(u) > 0 u 0 No degeere sigifica ϕ(u,v) = 0 v V u = 0 Se per assurdo Φ fosse degeere, esisterebbe u 0 tale che ϕ(u,v) = 0 v V Questo varrebbe i particolare per v = u cotro l ipotesi che Φ sia defiita 0 = ϕ(u,u) = Φ(u) co u 0 21 / 34

22 Esempi le forme quadratiche x 2 1 x x 2 2 x x x 2 3 soo semidefiite positive. I particolare la terza è ache defiita positiva le forme quadratiche x 2 1 x 2 1 x 2 2 x 2 1 x 2 2 x 2 3 soo semidefiite egative. I particolare la terza è ache defiita egativa le forme quadratiche soo idefiite. x 2 1 x 2 2 x 2 3 x 2 1 x 2 2 x 2 1 x x / 34

23 Prodotto Scalare Defiizioe U prodotto scalare su uo spazio vettoriale V, è ua forma bilieare simmetrica defiita positiva. Lo spazio V muito di u prodotto scalare è detto spazio vettoriale Euclideo. Di solito si usa idicare u prodotto scalare col simbolo, 23 / 34

24 Forme quadratiche è u poliomio omogeeo di secodo grado ei v i 24 / 34 Ad ogi forma bilieare simmetrica ϕ B 2 (V ) è possibile associare ua fuzioe Φ : V R defiita come segue: Φ(v) = ϕ(v,v) La fuzioe Φ è detta forma quadratica associata a ϕ ed è ua fuzioe omogeea di grado due, ovvero Φ(λ v) = λ 2 Φ(v) Il ome forma quadratica è giustificato dal fatto che se B è ua base di V, A = (a ij ) la matrice (simmetrica) di ϕ rispetto a B Φ(v) = i,j=1 a ij v i v j = i=1 a ii v 2 i +2a ij v i v j, i<j

25 Forma caoica di ua forma quadratica Defiizioe Si dice che ua forma quadratica Φ su uo spazio vettoriale V è i forma caoica se è espressa el modo seguete Φ(x) = i=1 a i x 2 i, dove le x i soo le compoeti di x rispetto ad ua certa base e gli scalari a i possoo ache essere tutti ulli. I modo equivalete si può dire che Φ è i forma caoica se è scritta rispetto ad ua base (e 1,,e ) tale che la forma bilieare ϕ a cui è associata Φ verifica ϕ(e i,e j ) = 0 i j La matrice di ϕ rispetto a tale base è ua matrice diagoale 25 / 34

26 Teorema Sia Φ ua forma quadratica su V. Allora esiste ua base (o uica) rispetto alla quale Φ si scrive i forma caoica Dimostrazioe Dimostreremo il teorema per iduzioe sulla dimesioe di V. Per = 1 la proprietà è ovvia Suppoiamo vera la proprietà per 1 e dimostriamola per Siao Distiguiamo due casi Φ(x) = i,j=1 a ij x i x j A = (a ij ) Caso 1 almeo uo dei termii a ii è o ullo Caso 2 Tutti gli a ii soo ulli, ma almeo uo degli a ij, co i j, è o ullo 26 / 34

27 Caso 1 Ora è possibile applicare l ipotesi iduttiva alla forma quadratica Φ (y 2,,y ) che dipede da 1 variabili. 27 / 34 Suppoiamo che a 11 0 e cosideriamo la forma quadratica Φ (x) = Φ(x) 1 (a 11 x a 1 x ) 2 = Φ(x) 1 ( a 11 a 11 j=1 a 1j x j ) 2 Nella forma quadratica Φ (x) scompaioo tutti i termii dove appare x 1, quidi dipede solo da x 2,,x I questo modo abbiamo scritto Φ(x) = Φ (x) + 1 ( a 11 j=1 a 1j x j ) 2 Eseguiamo il seguete cambiameto di variabili y 1 = j=1 a 1j x j e y i = x i i 2 Φ(y 1,,y ) = Φ (y 2,,y ) + 1 a 11 y 2 1

28 Perché questa operazioe abbia seso bisoga assicurarsi che il cambiameto di variabili effettuato derivi effettivamete da u cambiameto di base. Cioè che (y 1,,y ) siao le compoeti rispetto ad ua uova base del vettore di compoeti (x 1,,x ) rispetto alla base attuale y 1 = j=1 a 1j x j e y i = x i i 2 y 1 a 11 a 12 a 1 x 1 y 2. = x y x Y = C X det(c) = a 11 0 La matrice di Φ rispetto alla uova base è (C 1 ) AC 1 28 / 34

29 Caso 2 Tutti gli a ii soo ulli, ma almeo uo degli a ij, co i j, è o ullo Operiamo il seguete cam- Suppoiamo a 12 0 e poiamo a 12 = 1 biameto di variabile: x 1 = z 1 + z 2 x 2 = z 1 z 2 x i = z i i 3 La forma quadratica diveta per certi scalari b ij Φ(z 1,...,z ) = 2(z 2 1 z 2 2) +b ij z i z j ij I coefficieti di z 2 1 e z2 2 soo diversi da zero ci si può ricodurre al Caso 1 29 / 34

30 Esercizio Scrivere i forma caoica la forma quadratica su R 3 data da Φ(x) = x 1 x 2 + x 1 x 3 + x 2 x 3 30 / 34

31 Teorema (Teorema di Sylvester) Sia Φ ua forma quadratica su uo spazio vettoriale V di dimesioe e ϕ la forma bilieare simmetrica associata. Sia ρ il rago di Φ. Allora esiste u umero s ρ uivocamete determiato da Φ e ua base (e 1,...,e ) tale che ϕ(e i,e j ) = 0 per i j ϕ(e i,e i ) = 1 per i s ϕ(e i,e i ) = 1 per s + 1 i ρ ϕ(e i,e i ) = 0 per i ρ + 1 La forma quadratica rispetto a tale base ha la seguete espressioe: Φ(x) = s i=1 x 2 i ρ i=s+1 I umeri s e ρ s soo detti rispettivamete idice di positività e di egatività di Φ la coppia (s,ρ s) è detta segatura x 2 i 31 / 34

32 Dimostrazioe Φ si può scrivere i forma caoica ρ i=1 a i x 2 i dove ρ è il rago di Φ Possiamo supporre che i primi s coefficieti siao positivi e a partire dal (s + 1)-esimo e fio al ρ-esimo egativi A questo puto possiamo fare il seguete cambiameto di variabili y i = a i x i y i = a i x i y i = x i i s s + 1 i ρ ρ + 1 i che porta Φ ella forma voluta 32 / 34

33 Dobbiamo ora dimostrare l uicità di s Suppoiamo per assurdo che esista t s tale che si abbia rispetto a due basi Φ(v) = s i=1 x 2 i ρ i=s+1 x 2 i = t i=1 y 2 i ρ y 2 i i=t+1 Possiamo supporre s > t e cosiderare i segueti sottospazi: Poichè si ha V 1 = L(e 1, e s ) V 2 = L(e t+1, e ) dimv 1 + dimv 2 = s + t > = dimv deve esistere u vettore o ullo u V 1 V 2 Φ(u) = s i=1 u = s i=1 x i e i = i=t+1 y i e i x 2 i 0 Φ(u) = u = 0 i=t+1 y 2 i 0 33 / 34

34 Corollario Se Φ è defiita positiva (risp. egativa), allora ha segatura (,0) (risp. (0,)) 34 / 34