AM110 - ESERCITAZIONI V - VI. Esercizio svolto 1. Dimostrare che ogni insieme finito ha un massimo ed un minimo.

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1 AM110 - ESERCITAZIONI V - VI OTTOBRE 2012 Esercizio svolto 1. Dimostrare che ogi isieme fiito ha u massimo ed u miimo. Sia A = {a 1,..., a } R. Dimostriamo che A ha u massimo si procede i maiera aaloga per il miimo). Iazitutto, A è limitato superiormete. Se così o fosse, ifatti, per ogi M R dovrebbe esistere u elemeto di A maggiore di M. Partedo da b 0 = a 1, si potrebbe scegliere b 1 A tale che b 1 > b 0. Iterado l argometo si otterrebbe ua successioe di elemeti b A tale che b > b 1. Questi elemeti sarebbero ovviamete distiti, e ciò cotraddirebbe il fatto che A è u isieme fiito. Sia S = sup A. Vogliamo dimostrare che si tratta di u massimo, cioè che S A. Suppoiamo per assurdo che S A. Quidi δ i := S a i > 0 per ogi a i A; scegliamo u ε < δ i per ogi i = 1,...,. Segue dalla defiizioe di estremo superiore che S ε o può essere u maggiorate, quidi esiste a j A tale che S ε a j. Quidi: S ε a j δ j = S a j < ε che è chiaramete ua cotraddizioe avevamo scelto ε < δ i per ogi i = 1,..., ). Questo coclude la dimostrazioe che S A e quidi si tratta di u massimo. Esercizio svolto 2. Siao A e B due isiemi. Defiiamo Dimostrare che: A + B := {a + b : a A, b B}. i) se A e B soo limitati superiormete, allora ache A + B lo è e si ha: supa + B) = sup A + sup B. ii) Se A e B soo limitati iferiormete, allora ache A + B lo è e si ha: ifa + B) = if A + if B. Dimostriamo soltato i); la dimostrazioe di ii) è aaloga. Sia α = sup A e β = sup B. Vogliamo dimostrare che α + β è l estremo superiore di A + B. Ifatti: α + β è u maggiorate per A + B. Ifatti, α è u maggiorate per A e β è u maggiorate per B, quidi: α + β a + b a A, b B. Dimostriamo che α + β è il più piccolo dei maggiorati per A + B. Sia ε > 0, dimostriamo che α + β ε o può essere u maggiorate. Ifatti: α + β ε = α ε 2 ) + β ε ) a + b a A, b B. 2 1

2 OTTOBRE 2012 Nell ultimo passaggio abbiamo usato il fatto che α è il più piccolo dei maggiorati per A quidi esiste a A tale che α ε 2 a) ed i maiera aaloga che β è il più piccolo dei maggiorati per B quidi esiste b B tale che β ε 2 b). Esercizio svolto 3. Dimostare che ogi poliomio di terzo grado ha almeo ua radice reale. Possiamo assumere che il poliomio sia della forma P x) = x 3 + ax 2 + bx + c, co a, b, c R. È sufficiete dimostrare che esistoo s < t tali che P s) < 0 e P t) > 0. Dimostriamo l esisteza di s tale che s 3 + as 2 + bs + c > 0. I particolare, possiamo cercare tale valore el semi asse positivo s > 0. Si osservi che se s > 1 a, allora: s 3 + as 2 + bs + c = s s 2 + as 2 + bs + c > 1 a) s 2 + as 2 + bs + c = = s 2 + bs + c. Se assumiamo che s > 1 b, si ottiee: s 2 + bs + c > 1 b)s + bs + c = s + c. I particolare, se s > c si avrà s + c > 0. I coclusioe: se s > max{0, 1 a, 1 b, c} = P s) > 0. Dimostriamo ora l esisteza di t tale che P t) < 0. Vogliamo trovare u valore di t per cui t 3 +at 2 +bt+c < 0. I particolare, possiamo cercare tale valore el semi asse egativo t < 0. Si osservi che, se t < 1 a, allora t 3 + at 2 + bt + c = t t 2 + at 2 + bt + c < 1 a)t 2 + at 2 + bt + c = = t 2 + bt + c. Se assumiamo che t < b 1, si ottiee: t 2 + bt + c < b 1)t + bt + c = t + c. I particolare, se t < c si avrà t + c < 0. I coclusioe: se t < mi{0, 1 a, b 1, c} = P t) < 0. Esercizio svolto 4. Per ogi umero reale x R, defiiamo: la parte itera di x: [x] := sup{ Z : x} = max{ Z : x} la parte frazioaria di x: {x} := x [x]. i) Dimostrare che [x] x < [x] + 1 per ogi x R. I particolare, [x] = x se e solo se x Z. Disegare il grafico di [x]. ii) Dimostrare che 0 {x} < 1 per ogi x R. I particolare, {x} = 0 se e solo se x Z. Disegare il grafico di {x}. iii) Provare che: { [x] se x Z [ x] = [x] 1 se x Z. iv) Provare che: { x} = { {x} se x Z 1 {x} se x Z.

3 AM110 - ESERCITAZIONI V - VI 3 v) Dimostrare che: [x + y] = { [x] + [y] se {x} + {y} < 1 [x] + [y] + 1 se {x} + {y} 1. Ricavare ua rappresetazioe aaloga per {x + y}. vi) Dimostrare che per ogi x R si ha: 1) {x} {1 x} 1 4. i) Deotiamo I x := { Z : x}. Ovviamete segue dalla defiizioe di parte itera come sup, i particolare massimo) che [x] I x e quidi è u itero e [x] x. Ioltre [x] + 1 > x, altrimeti [x] + 1 sarebbe u elemeto dell isieme I x, maggiore del massimo cotraddizioe). Dimostriamo ora la secoda parte. Se x Z, chiaramete x I x ed è u maggiorate se I x, per defiizioe x); quidi [x] := sup I x = x. D altro cato se [x] = x, x è u itero i quato [x] Z). Figure 1 ii) Segue dalla defiizioe di parte frazioaria e dal puto i) che 0 = [x] [x] {x} := x [x] [x] + 1 [x] = 1. I particolare {x} = 0 se e solo se [x] = x; segue dal puto i) che ciò è vero se e soltato se x Z. Figure 2 iii) Se x Z, allora x Z e quidi segue dal puto i)): [ x] = x = [x]. Suppoiamo ora che x Z. Dal puto i) sappiamo che [x] < x < [x] + 1, che equivale a dire: [x] 1 < x < [x]. Quidi segue facilmete che [x] 1 = max{ Z : x} =: [ x]. iv) Si dimostra facilmete usado iii) e la defiizioe di parte frazioaria.

4 OTTOBRE ) v) Osserviamo che: [x + y] = x + y) {x + y} = ) = x {x} + y {y} + {x} + {y} {x + y} = ) = [x] + [y] + {x} + {y} {x + y}. Da quest uguagliaza e dal fatto che la parte itera è, per defiizioe, u itero) possiamo dedurre che: {x} + {y} {x + y} Z. Se {x} + {y} < 1, allora usado il puto ii)) si verifica facilmete che 1 < {x} + {y} {x + y} < 1. L uico itero i questo itervallo è 0. Quidi, sostituedo i 2) si ottiee [x + y] = [x] + [y]. I maiera aaloga, se {x}+{y} 1, allora usado il puto ii)) si verifica facilmete che 0 < {x}+{y} {x+y} < 2. L uico itero i questo itervallo è 1. Quidi, sostituedo i 2) si ottiee[x+y] = [x] +[y] +1. Utilizzado la defiizioe di parte frazioaria e le uguagliaze appea dimostrate, si ricava: {x + y} = { {x} + {y} se {x} + {y} < 1 {x} + {y} 1 se {x} + {y} 1. vi) Se x Z, la disuguagliaza 1) è ovviamete vera. Cosideriamo il caso x Z. Usado i puti i), iv) ed osservado che {1} + { x} = { x} < 1, si ottiee: {1 x} = {1 + x)} = {1} + { x} = { x} = 1 {x}. Quidi, 1) diveta per x Z): 1 ) 4 {x} 1 {x} = {x} {x} 2 per 0 < {x} < 1. Si verifica facilmete che questa disuguagliaza è vera. Ifatti, la fuzioe ft) = t 2 + t rappreseta u parabola cocava co vertice i t = 1 2 ; di cosegueza max ft) = 1 4. Questo permette di cocludere che 1) è verificata. Esercizio svolto 5. a) lim = 1 2 Usado la defiizioe di limite, dimostare che: si π cos e ) e b) lim 2 = 0. Comiciamo da a). Vogliamo dimostrare che: ε > 0 N ε N tale che N ε si ha Osserviamo che: = ) = < ε.

5 AM110 - ESERCITAZIONI V - VI 5 Quidi: = < ε > 3 4ε 3 2. Basta scegliere u itero positivo N ε > 3 4ε 3 2. Dimostriamo ora b). Vogliamo dimostrare che: si e ε > 0 N ε N tale che N ε si ha Osserviamo che: si e Quidi: π cos ) 2 > 1 ε = = si e π cos ) si e π cos ) 2 Basta scegliere u itero positivo N ε > 1 ε. π cos ) < ε. < ε.