Seconda Prova Intermedia 28 Maggio 2019 Elementi di Probabilità e Statistica, Laurea Triennale in Matematica, M. Romito, M.

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1 Secoda rova Itermedia 8 Maggio 09 Elemeti di robabilità e Statistica, Laurea Trieale i Matematica, 08-9 M. omito, M. ossi roblema 0. Sia X, Y ) ua v.a. a valori i co desità dove N è u parametro fissato. f X,Y ) x, y) =! x y) e x I x>y>0,. osto U = X e V = e X Y, calcolare la legge cogiuta di U, V ).. Verificare che la v.a. V α è be posta per ogi α e determiare tutti i valori di α affiché V α abbia media. Soluzioe 0.. Applicheremo il Teorema del Cambio di Variabile. Siao A = {x, y) : x > 0, 0 < y < x} e B = {u, v) : u > 0, < v < e u }. Defiiamo la fuzioe h : A x, y) x, e x y ) B, h è u diffeomorfismo di iversa h u, v) = u, u log v). Lo matrice jacobiaa di h è quidi ) 0 v il cui determiate è /v. Si trova allora la desità di U, V ) f U,V ) u, v) = f X,Y ) h u, v)) v =! log v) e u I u>u log v>0 v = log v) e u I u>0, <v<e u.! v. Troviamo la desità di V : f V v) = = I v>! f U,V ) u, v) du = log v) v log v) = I v>.! v + log v! e u du log v) e u I u>0, <v<e u du v La v.a. V α è be posta per ogi α perché V > ) =. Si ha E[ V α ] = E[V α ] = v α f V v) dv = =! + Allora V α ammette media se e solo se α <. + 0 v α log v) dv! v e zα ) z dz.

2 roblema 0. Siao X, X,..., X e Y, Y,..., Y due campioi idipedeti, di taglia e legge Gaussiaa N µ X, σ ) e taglia e legge Gaussiaa N µ Y, σ ) rispettivamete, co µ X, µ Y e σ > 0.. roporre uo stimatore cosistete W di µ X µ Y.. roporre u test di livello α 0, ) per testare l ipotesi ulla H 0 ) µ X = µ Y, σ qualsiasi cotro l ipotesi alterativa H ) µ X µ Y, σ qualsiasi. Soluzioe 0.. Siao X = i= e Y = j= Y j, cosideriamo W = X Y. La successioe W ) è cosistete, ifatti per ogi ɛ > 0 ricordado che a b a b per ogi a, b ) W µ X µ Y > ɛ) X Y µ X µ Y ) > ɛ) X µ X + Y µ Y > ɛ) X µ X > ɛ/) + Y µ Y > ɛ/). Grazie alla disuguagliaza di Chebyshev e quidi la Legge dei Gradi Numeri) si ha X µ X > ɛ/) VarX ) ɛ /4 = σ ɛ /4 0 ed allo stesso modo dimostrado così la cosisteza di W ). Y µ Y > ɛ/) 0. oiamo V := i= Y i X Y )) e cosideriamo la statistica T := W. V ropoiamo il seguete test delle ipotesi: si rifiuta H 0 se T d, dove d > 0 è t.c. il livello del test sia α: µ X=µ Y T d) α. Questo equivale a µ X=µ Y d < X Y V / ) < d ) α. Sotto H 0 la v.a. X Y = Y i ) i=

3 ha legge Gaussiaa di media 0 e variaza σ /, la v.a. σ ) V ha legge χ ), e per quato visto a lezioe è idipedete da X Y. Quidi la v.a. X Y V / ) ha legge t-studet a gradi di libertà. Allora basta predere d = t α/, ) quatile di ordie α/ della legge t-studet a gradi di libertà per cocludere. roblema 0.3 Sia > 0. Si cosideri u campioe X, X,..., X di taglia e distribuzioe di desità { c x, x 0, ], f x) = 0, altrimeti, co c opportua costate da determiare).. Determiare lo stimatore di massima verosimigliaza di.. Dire se sia o meo o distorto. 3. Mostrare che ) è ua successioe di stimatori cosistete. 4. Determiare la distribuzioe limite di ). 5. Dato α 0, ), determiare ua regioe di fiducia al livello α per il parametro. Soluzioe 0.3 La fuzioe f è ua desità di probabilità se e solo se c > 0 e f x) dx =, da cui si ricava c =. La fuzioe di verosimigliaza L è così defiita: L : 0, + ) 0, ] + ), x,..., x ) x i.. Si dimostra che la fuzioe log L, x, x,....x )) ha u uico puto di massimo = i= log x i ); lo stimatore di massima verosimigliaza è quidi la seguete v.a. = i= i= ) log.. Dimostriamo u risultato prelimiare: sia X ua v.a. co desità f, allora Y = log ) X è ua v.a. di legge espoeziale di parametro. Ifatti: otiamo che Y prede valori i 0, + ), ioltre la sua f.d.r. F Y è, per y 0, + ), F Y y) := Y y) = X e y ) = X < e y ), 3

4 si ottiee quidi la desità p Y di Y p Y y) = e y/ I y 0,+ ). Lo stimatore risulta allora o distorto, ifatti [ ) ] E[ ] = E log = i= i= [ )] E log X }{{ i } = Notiamo ache che, essedo le v.a. logx ), logx ),..., logx ) i.i.d. espoeziali di parametro /, si ha ) log Γ, ). i= 3. I modo) Notiamo che f, 0, + )) è ua famiglia espoeziale, ed esiste la stima di massima verosimigliaza per ogi, duque per u teorema dimostrato a lezioe la successioe di stimatori ) è cosistete. II modo) Sia ɛ > 0, la disuguagliaza di Chebyshev ci assicura che ) ) Var > ɛ = 0, ɛ ɛ dimostrado la cosisteza della successioe di stimatori ). 4. La distribuzioe limite di ) = i= ) ) log è Gaussiaa di media 0 e variaza. Questo segue da ua semplice applicazioe del Teorema Limite Cetrale le v.a. logx ),..., logx ) soo i.i.d. co media e variaza ). 5. Dal puto. sappiamo che Γ, ), i particolare E[ ] = e Var ) =. Allora per Chebyshev d > 0) ) > d d. =. rededo d = α / si ha α / ) α. 4

5 Allora ua regioe di fiducia a livello α per è data da [ ],. + α / α / Ioltre, dal puto 4. sappiamo che ) d Z d), co Z v.a. Gaussiaa stadard. reso d = φ α/ quatile di ordie α/ della legge Gaussiaa stadard si ha Z d) = α. Allora se è grade abbastaza, ua regioe di fiducia approssimata a livello α per è, + φ α/ φ α/. roblema 0.4 Si scelgoo a caso due puti A e B sulla circofereza uitaria di cetro O. Qual è la probabilità che il triagolo di vertici A, O, B sia acutagolo? Soluzioe 0.4 Notiamo che, essedo il triagolo di vertici A, O, B isoscele per costruzioe, esso è acutagolo se e solo se l agolo i O è acuto. Ua formulazioe equivalete del problema è quidi la seguete: qual è la probabilità che la lughezza dell arco di circofereza più corto di estremi A e B sia iferiore a π/? ossiamo equivaletemete pesare A e B come i.i.d. di legge uiforme su [0, π); detto T a l eveto il triagolo AOB è acutagolo si ha duque T a ) = = A < π/, B < A + π/) + A < π/, B > A + 3π/) +π/ A 3π/, B A < π/) + A > 3π/, B > A π/) +A > 3π/, B < π/ π A)) ricordado che la desità cogiuta di A e B è f A,B) a, b) = π) I a [0,π)I b [0,π). 5