Università degli Studi di Salerno Pietro Coretto. Corso di Statistica FORMULARIO

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1 Versioe: 16 ottobre 2017 (h17:25) Uiversità degli Studi di Salero Pietro Coretto Corso di Statistica FORMULARIO Valori osservati per statistiche di posizioe, variabilità e correlazioe Nota: per ua distribuzioe i classi si deota co c i = (x i 1 + x i )/2 il valore cetrale della classe ima. Media Serie dati: x = 1 x i Distribuzioi semplici: x = 1 x i i Distribuzioi i classi: x 1 c i i Mometo secodo Serie dati: m 2,X = 1 x2 i Distribuzioi semplici: m 2,X = 1 x2 i i Distribuzioi i classi: m 2,X 1 c2 i i Variaza Serie dati: s 2 = 1 1 (x i x) 2 Distribuzioi semplici: s 2 = 1 1 (x i x) 2 i Distribuzioi i classi: s (c i x) 2 i Mometo misto per serie di dati: m XY = 1 x iy i Deviaze e mometi (x i x) 2 = (m 2,X x 2 ) 1

2 (x i x)(y i y) = (m XY x y) Quatile α per serie di dati. Sia x (i) la ima osservazioe ella serie ordiata, sia m = α( + 1), t=(parte itera di m) e γ=(parte decimale di m) q X (α) = { x (m) x (t) + γ [x (t+1) x (t) ] se m è itero altrimeti Quatile α per dati raggruppati i classi. Sia (x i 1, x i ] la classe coteete q X (α), ovvero x i è il più piccolo estremo superiore di classe tale che F i α, allora Boxplot q X (α) = x i 1 + (x i x i 1 ) α F i 1 F i F i 1 Quartili e mediaa: Q 1 = q X (0.25), M = q X (0.5), e Q 3 = q X (0.75) Differeza iterquartile: IQR = Q 3 Q 1 Cardii del boxplot: h = Q IQR, e H = Q IQR Estremi del boxplot: a = max{x mi, h}, e b = mi{x max, H} Covariaza e correlazioe s XY = 1 1 (x i x)(y i ȳ) = r XY = s XY s X s Y Poolig di alcue statistiche (m 1 XY x y) s 2 p = ( X 1)s 2 X +( Y 1)s 2 Y X + Y 2 ˆp 0 = X ˆp X + Y ˆp Y X + Y Probabilità Pr{A B} = Pr{A} + Pr{B} Pr{A B} Pr{A B} = Pr{A B} Pr{B}, Pr{B} > 0 A e B soo eveti idipedeti se e solo se Pr{A B} = Pr{A} Pr{B} 2

3 (Teorema di Bayes) Sia E u eveto, A 1, A 2,..., A mutuamete esclusivi e ecessari Pr{A i E} = Pr{E A i } Pr{A i } Pr{E A 1 } Pr{A 1 } Pr{E A } Pr{A } Odds i favore di A: Pr{A} 1 Pr{A} Mometi di variabili casuali discrete. casuale discreta X. Sia p(x) la fuzioe di probabilità della variabile Mometo primo/media: E[X] = x i p(x i ) Mometo secodo: E[X 2 ] = x2 i p(x i ) Variaza: Var[X] = (x i E[X]) 2 p(x i ) = E[X 2 ] (E[X]) 2 Modelli per variabili casuali discrete X Beroulli(p), p(x) = p x (1 p) x, E[X] = p, Var[X] = p(1 p) X Biomiale(, p), p(x) =! x!( x)! px (1 p) x, E[X] = p, Var[X] = p(1 p) λ λx X Poisso(λ), p(x) = e E[X] = λ, Var[X] = λ x! Mometi di variabili casuali cotiue. Sia F (x) la fuzioe di ripartizioe, e f(x) la fuzioe di desità, della variabile casuale cotiua X. Mometo primo/media: E[X] = + x f(x)dx Mometo secodo: E[X 2 ] = + x2 f(x)dx Variaza: Var[X] = + (x E[X])2 f(x)dx = E[X 2 ] (E[X]) 2 Quatili e valori di coda per variabili casuali cotiue. Sia F (x) la fuzioe di ripartizioe della variabile casuale cotiua X. Si assume F (x) strettamete mootoa. Quatile al livello α: q X (α) è il valore tale che Pr{X q X (α)} = α, ovvero F (q X (α)) = α Coda al livello α: x α è il valore tale che Pr{X > x α } = α Quatili e code: x α = q X (1 α) Trasformazioi lieari. Siao X e Y variabili casuali (cotiue o discrete) co mometo secodo fiito. Siao a e b costati reali fissate, e sia Y = a + bx E[Y ] = a + b E[X] Var[X] = b 2 Var[X] 3

4 q Y (α) = a + b q X (α) y α = a + bx α Sia W = ax + by, allora E[W ] = a E[X] + b E[Y ] e Var[W ] = a 2 Var[X] + b 2 Var[Y ] + 2ab Cov[X, Y ] Modello Normale: Siao X Normale(µ, σ 2 ) e Z Mometi: E[X] = µ, Var[X] = σ 2 Liearità: X = µ + σz, da cui Pr{X x 0 } = Pr { } Z x 0 µ σ, qx (α) = µ + σ q Z (α), e quidi x α = µ + σ z α Simmetria: Pr{Z z 0 } = Pr{Z z 0 }, quidi z (1 α) = z α Mesocurtosi: E[Z 4 ] = 3, Pr{Z 4} = 0 e Pr{Z 4} = 1 Altri modelli per variabili casuali cotiue Studet-t: X t k,desità di probabilità simmetrica rispetto a 0. Mometi: E[X] = 0 se k > 1, Var[X] = se k > 2. k k 2 Chi-quadrato: X χ 2 k,, E[X] = k, Var[X] = 2k Campioameto casuale semplice, statistiche e stimatori Media campioaria X = 1 X i E[X] = µ, Var[ X] = σ2 ( Popolazioe ormale X Normale µ, σ2 Sotto le codizioi del teorema cetrale del limite: X µ σ Proporzioe campioaria ) ˆP = 1 X i E[ ˆP ] = p, Var[ ˆP ] = p(1 p) Per sufficietemete grade e p(1 p) > 9): ˆP p p(1 p) Variaza campioaria 4

5 S 2 = 1 1 (X i X) 2 E[S 2 ] = σ 2 Popolazioe ormale: ( 1)S2 σ 2 χ 2 1. Distorsioe ed efficieza. Sia ˆθ è uo stimatore di θ: Distorsioe: D[ˆθ] = E[ˆθ] θ Efficieza: MSE[ˆθ] = E[(ˆθ θ) 2 ] = Var[ˆθ] + [D(ˆθ)] 2 Itervalli di cofideza Si assume uo schema di campioameto casuale semplice, ed u livello di sigificatività (1 α). Media di ua popolazioe ormale co variaza ota: σ x ± z α 2 Media di ua popolazioe ormale co variaza o ota: s x ± t 1, α 2 Proporzioe di ua popolazioe beroulliaa (gradi campioi co p(1 p) > 9): ˆp(1 ˆp) ˆp ± z α 2 Variaza di ua popolazioe ormale: [ ( 1)s 2 χ 2, 1, α 2 ] ( 1)s 2 χ 2 1,1 α 2 Test delle ipotesi Di seguito si riportao le fuzioi test co relativa distribuzioe sotto l ipotesi ulla. I ogi caso si assume uo schema di campioameto casuale semplice. Popolazioe ormale co variaza ota. H 0 : µ = µ 0 Z = X µ 0 σ 5

6 Popolazioe ormale co variaza o ota. H 0 : µ = µ 0 T = X µ 0 S t 1 Popolazioe beroulliaa (gradi campioi co p(1 p) > 9). H 0 : p = p 0 Z = ˆP p 0 p 0 (1 p 0 ) Popolazioe ormale. H 0 : σ 2 = σ 2 0 χ = ( 1)S2 σ 2 0 χ 2 1 Popolazioi ormali, idipedeti ed omoschedastiche co variaza comue o ota. H 0 : µ X µ Y = d 0 T = ( X Ȳ ) d 0 dove S 2 p X + S2 p Y t ( X+ Y 2) S 2 p = ( X 1)S 2 X + ( Y 1)S 2 Y ( X + Y 2) Popolazioi ormali, campioi appaiati. H 0 : µ X µ Y = d 0 T = (X Y ) d 0 S d t 1 dove D i = X i Y i, D = 1 D i, S 2 D = 1 1 (D i D) 2 Proporzioi di popolazioi beroulliae (gradi campioi). H 0 : p X p Y = 0 Z = ˆP X ˆP Y ˆP0 (1 ˆP 0 ) X + ˆP 0 (1 ˆP 0 ) Y dove ˆP 0 = X ˆP X + Y ˆPY X + Y 6

7 Regressioe lieare Stime dei miimi quadrati ordiari b 1 = (x i x)(y i ȳ) (x i x) 2 = m XY x y m 2,X x 2 b 0 = ȳ b 1 x ŷ i = b 0 + b 1 x i e i = y i ŷ i s 2 e = 1 2 e 2 i = SSE 2 s 2 b 1 = s 2 e ( 1)s 2 X = s 2 e (m 2,X x 2 ) s 2 e s 2 b 0 = m 2X ( 1)s 2 X = m 2X s 2 e (m 2,X x 2 ) Decomposizioe della deviaza osservata e coefficiete di determiazioe SST = SSR = (y i ȳ) 2 = (m 2Y ȳ 2 ) (ŷ i ȳ) 2 = b 2 1(m 2X x 2 ) SSE = (y i ŷ i ) 2 = e 2 i R 2 = SSR SST = 1 SSE SST = r2 XY 7

8 Test delle ipotesi per i parametri della retta di regressioe Sotto H 0 : β 1 = 0 (e tutte le ecessarie ipotesi sottostati il modello di regressioe) T = b 1 S b1 t 2 Sotto H 0 : β 0 = 0 (e tutte le ecessarie ipotesi sottostati il modello di regressioe) T = b 0 S b0 t 2 Itervalli di cofideza al livello (1 α) Itervallo per β 1 : b 1 ± t 2, α 2 s b 1 Itervallo per β 0 : b 0 ± t 2, α 2 s b 0 8