Statistica inferenziale, Varese, 25 novembre 2008 Prima parte - Modalità A - soluzione
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- Virgilio Alberti
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1 Statistica ifereziale, Varese, 25 ovembre 2008 Prima parte - Modalità A - soluzioe Cogome Nome: Numero di matricola: ISTRUZIONI: Il puteggio relativo alla prima parte dell esame viee calcolato el seguete modo: +1 se la risposta è corretta, -1 se la risposta o è corretta, 0 se la risposta o viee data. Codizioe ecessaria (o sufficiete) per superare l esame è otteere u puteggio maggiore o uguale a 5 ella prima parte. Tempo a disposizioe: 2 ore dalla cosega del testo d esame. Barrare co ua X la risposta corretta e riportarla chiaramete i maiuscolo (A, B, C...) ella seguete tabella: Domada Risposta D D B A D C D A B A 1. Date due variabili aleatorie idipedeti X N(40, 4 e Y N(50, 3 si ha (a) X + Y N(50, 5 (b) X + Y N(90, 4 (c) X Y N(90, 5 (d) X + Y N(90, 5 (e) X Y N( 10, 1) (f) X Y N( 10, 5) 2. Sia X ua variabile aleatoria cotiua, f(x) la sua fuzioe di desità ed F (x) la sua fuzioe di ripartizioe allora (a) f(x) è mootoa o decrescete (b) F (x) = a x f(t)dt (c) a, b R, a < b P [a < X < b] = F (a) F (b) (d) a R P [X = a] = 0 (e) la fuzioe di ripartizioe F (x) si ottiee derivado f(x) (f) F (x) = P (X x)
2 3. La variaza di ua variabile aleatoria X soddisfa (a) var[x] < 0 (b) var[x] E[X 2 ] (c) var[x] = E[X 2 ] + E[X] 2 (d) var[x] è u idice che garatisce la ormalità della distribuzioe (e) se X fosse ua variabile aleatoria di Poisso allora var[x] = E[X] 1 4. Cosideriamo ua variabile aleatoria Biomiale otteuta ripetedo 5 volte u esperimeto Beroulliao co probabilità di successo pari a 0.7. La probabilità che X [2, 4) (2 icluso, 4 escluso) vale (a) (b) (c) (d) (e) I u test d ipotesi sia H 0 l ipotesi ulla, H 1 l ipotesi alterativa e α il livello di sogificatività. Assegare il valore di verità alle segueti due affermazioi: 1) α è la probabilità di rifiutare H 0 quado è falsa 2) β è la probabilità di o rifiutare H 1 quado H 1 è falsa (a) 1) vera (b) 1) falsa (c) 1) vera (d) 1) falsa 2) vera 2) vera 2) falsa 2) falsa 6. Il sigor Pedolare può torare a casa co due trei T 1 e T 2. Cosideriamo gli eveti A = {il treo T 1 è soppresso}, B = {il treo T 2 è soppresso} e C = {il sigor Pedolare arriva a casa}. Quale affermazioe è vera? (a) C = A B (b) C = A c B c (c) C = A c B c (d) C = (A B) c 7. Uo stimatore (a) cosistete è ecessariamete corretto (b) cosistete è distorto (c) cosistete ha ecessariamete variaza che tede a 0 per
3 (d) se è asitoticamete corretto e ha variaza che tede a 0 per allora è cosistete (e) asitoticamete corretto è corretto 8. 1) I quati modi si possoo estrarre 5 carte da u mazzo di i blocco? 2) Sia X la variabile aleatoria che cota i umero di carte di cuori elle 5 estratte. Quato vale P (X = 3)? (a) 1) ( ) 5 (b) 1) ( ) 13 (c) 1) ( ) 5 (d) 1) ( ) 5 (e) 1) ( ) 13 2) (13 3 )( 39 ( 5 ) 2) (13 3 )( 39 ( 13) 2) (13 3 )( 13 1 )( 13 1 )( 13 ( 5 ) 2) (13 3 )( ( 5 ) 2) (13 3 )( ( 13) 1 ) 9. La fuzioe di ripartizioe F (x) di ua geerica variabile aleatoria X è tale che: (a) lim x F (x) = 1 (b) lim x + F (x) = 1 (c) lim x + F (x) = + (d) x 1, x 2 tali che x 1 < x 2 F (x 1 ) < F (x (e) F (0) = 0 (f) ε tale che 0 < ε < 1 lim x F (x) ε 10. Cosideriamo il test d ipotesi H 0 : µ = µ 0, H 1 : µ µ 0 per la media di ua popolazioe ormale di variaza ota co errore del primo tipo α. Sia I 1 α = [ X σ z 1 α, X + σ 2 z 1 α ] u itervallo di cofideza per µ 2 allora (a) rifiutiamo H 0 se e solo se µ 0 / I 1 α (b) rifiutiamo H 0 se e solo se µ 0 I 1 α (c) il fatto che µ 0 appartega o meo all itervallo I 1 α o iflueza l esito del test (d) rifiutiamo H 0 se e solo se µ 0 I α (e) rifiutiamo H 0 se e solo se µ 0 / I α
4 Secoda parte - Modalità A 1. I u certo tratto di strada, di lughezza 6.5 chilometri, i u ao si verificao i media 5.4 icideti a chilometro. Sia Y la variabile aleatoria che cota il umero di icideti i questo tratto ell arco di u ao. (a) I base a quato detto, proporre ua distribuzioe di probabilità per Y e scrivere la fuzioe di desità discreta. Y P( ) = P(35.1). P (Y = y) = e λ λ y e y y! y! y = 0, 1, 2 (b) Scrivere la formula che forisce la probabilità che i u ao, el predetto tratto di strada, si verifichio almeo 15 icideti. P (Y 15) = e λ λ i = i! i=15 e i i=15 (c) Scrivere la formula che forisce la probabilità che i u ao si siao verificati esattamete 30 icideti. P (Y = 30) = e ! 2. Siamo a Nicosia (Cipro), i vacaza. Sappiamo che l 80% degli abitati è greco ed il rimaete è turco. La probabilità che u abitate di icosia parli iglese, sapedo che è greco è 0.6; la probabilità che parli iglese sapedo che è turco risulta pari a 0.3. (a) Qual è la probabilità che u abitate di Nicosia sia greco e parli iglese? Idichiamo co I l eveto u abitate di Nicosia parla iglese, co G l eveto u abitate di Nicosia è greco e co T l eveto u abitate di Nicosia è turco Dalla defiizioe di probabilità codizioata segue P (I G) = P (I G)P (G) = 0.48 (b) Qual è la probabilità che u abitate di Nicosia sia turco e o parli iglese? P (I c T ) = P (I c T )P (T ) = 0.14 (c) Qual è la probabilità che ua persoa di Nicosia parli iglese? Per il th. delle probabilità totali P (I) = P (I G) + P (I T ) = = 0.54 i!
5 (d) Chiediamo ad u passate, che chiameremo Tizio, u iformazioe i iglese: Tizio capisce e rispode i iglese. Qual è la probabilità che Tizio sia greco? Si usa il th. di Bayes P (G I) = P (I G) P (I) = = Uo dei metodi per arrivare a previsioi i campo ecoomico cosiste ell itervistare u grade umero di affermati aalisti e chiedere a ciascuo la sua previsioe persoale sul valore futuro di u parametro ecoomico. La media dei valori otteuti i risposta è poi preso come valore del parametro da prevedere. Suppoiamo allora che l importate ete di ricerche ecoomiche SOTUTTOIO, affermi che la previsioe persoale di u gra umero di aalisti europei riguardate la percetuale di crescita del debito pubblico di SPENDILANDIA el corso del 2007, sia ua variabile aleatoria ormale X di media µ = 4.2% e deviazioe stadard σ = 0.4%. (a) Scegliedo a caso uo degli affermati aalisti itervistati, qual è la probabilità che la sua previsioe superi il valore 5%? Stadardiziamo P (X > 5) = P ( X > 5 4. = P (Z > 2) = P (Z 2) = = (b) Suppoiamo di dubitare dell affermazioe dell ete di ricerca riguardate la media µ ed effettuiamo u test. Per realizzarlo, si itervistao 10 aalisti. Ipotizzado che la variabile aleatoria X i, che rappreseta la risposta di ogi esperto, segua u adameto Normale di media µ e variaza 0.4 2, si dica che distribuzioe segue 10 i=1 X i. Dal TCL 10 i=1 X i N(µ, σ = N(10µ, 10σ (c) Che distribuzioe segue i=1 X i? X 10 = i=1 X i N(µ, σ2 σ2 ) = N(µ, 10 ) (d) Che distribuzioe segue X 10 µ σ? X 10 µ σ N(0, 1) (e) Quato vale il c tale che P ( X 10 µ σ c ) = 0.1? Dalle tavole segue che c = z 0.95 = (f) Dai puti precedeti ricavare u itervallo [a, b] che cotega la media campioaria co probabilità 0.9. σ [a, b] = [µ z 0.95 σ, µ + z 0.95 ]
6 (g) Dire qual è la probabilità che X 10 / [a, b]. 0.1 (h) Suppoiamo che la media campioaria osservata sia x 10 = Risulta sesato che il gioralista creda che µ = 4.2, come diffuso dall ete SOTUTTOIO? Facciamo u test sula media a livello α = 0.1: H 0 : µ 0 = 4.2,cotro σ H Se µ [ x 10 z 0.95 σ, x 10 + z 0.95 ] allora o si rifiuta H 0. Poichè 4.2 [ , ] = [4.11; 4.53] allora o possiamo rifiutare H 0 e quidi bisoga dar credito all ete SOTUTTOIO. 4. Dimostrare la seguete proposizioe: Proposizioe 1. L errore quadratico medio dello stimatore T di θ può essere scritto ella forma MSE(T ) = V AR(T ) + [B(T )] 2, dove B(T ) è la differeza tra il valore atteso dello stimatore T e il parametro stimato θ. Per defiizioe si ha MSE(T ) = E[(T θ) 2 ] = E[T 2 ] 2E[T ]θ + θ 2. Aggiugedo e togliedo E[T ] 2 si ottiee E[T 2 ] E[T ] 2 + E[T ] 2 2E[T ]θ + θ 2. I primi due addedi soo effettivamete V AR[T ], gli ultimi tre soo lo sviluppo del quadrato del biomio (E[T ] θ) 2. Da cui segue la tesi. 5. Esercizio facoltativo. Si è laciato u dado 244 volte otteedo le segueti frequeze d uscita delle facce da 1 a 6: N 1 = 55 N 2 = 46 N 3 = 32 N 4 := 40 N 5 = 35 N 6 = 58. (a) Impostare u test d ipotesi sulla distribuzioe che modellizza gli esiti del lacio del dado. L ipotesi ulla è che il dado sia regolare cioé che ogi faccia abbia la stessa probabilità delle altre: H 0 : π i = 1 6, i = 1,..., 6 cotro l ipotesi alterativa H 1 : h = 1,..., 6 : π h 1 6.
7 (b) Eseguire il test a livello α = 0.05: si accetta o si rifiuta l ipotesi ulla? Calcoliamo co i dati dell esercizio X5 2 = 5 dalle tavole della chiquadro χ 2 5;0.05 = 11.07, i=1 perciò rifiuto, perché = X 2 5 > χ 2 5;0.05 = (N i Nπ i) 2 Nπ i = e (c) Eseguire il test a livello α = 0.01: si accetta o si rifiuta l ipotesi ulla? Poiché χ 2 5;0.01 = > = X 2 5 allora o si rifiuta H 0. (d) Commetare i risultati otteuti el test. Dimiuedo il livello α del test è sesato che la regioe di rifiuto diveti più piccola, poiché sta dimiuedo la probabilità di rifiutare l H 0 quado essa è vera.
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