Politecnico di Milano - Anno Accademico Statistica Docente: Alessandra Guglielmi Esercitatore: Stefano Baraldo

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1 Politecico di Milao - Ao Accademico Statistica Docete: Alessadra Guglielmi Esercitatore: Stefao Baraldo Esercitazioe 8 14 Giugo 011 Esercizio 1. Sia X ua popolazioe distribuita secodo ua legge ormale di media µ e variaza ota σ = 4. Per verificare l ipotesi ulla H 0 : µ = 8 cotro l ipotesi alterativa H 1 : µ > 8, sulla base di u campioe casuale di ampiezza, si propoe u test caratterizzato dalla seguete regioe critica Nell ipotesi = 16, k=8.8, R = {X 1,..., X : X > k} 1. determiare la probabilità di errore di prima specie;. determiare la fuzioe poteza del test e la probabilità di errore di secoda specie ell ipotesi che il vero valore di µ sia 10. Nell ipotesi = 16, 1. determiare k i modo tale che la probabilità di errore di prima specie sia pari all 1%. Nell ipotesi che il vero valore di µ sia 10, seza fare calcoli, possiamo affermare che la probabilità di errore di secoda specie è sicuramete maggiore dell 1%? 1. Si commette l errore di prima specie quado si rifiuta H 0 metre questa è vera: Perrore I tipo = P H0 X X µ > k = P H0 σ > k µ σ = P Z > k µ σ. Co i dati del problema si ottiee Perrore I specie = La fuzioe poteza del test è la probabilità di rifiutare H 0, come fuzioe della vera media µ: βµ = P µ X > k. Co i dati del problema si ottiee βµ = 1 Φ8.8 µ. La probabilità di errore di secoda specie H 0 o viee rifiutata ma è falsa, quado il vero valore di µ è 10, è data da P µ=10 X < k = 1 β10 = = P errore I tipo = P H0 X > k = P Z > k µ σ, da cui k 8.33, ovvero k=9.16. Seza fare coti possiamo affermare che la probabilità di errore di secoda specie è sicuramete maggiore dell 1% perché il valore µ = 10 è più vicio all estremo della regioe critica rispetto al caso precedete, i cui l errore di secoda specie era pari all 1%. 4 = 1

2 Esercizio. Il calore i calorie per grammo emesso da u composto di cemeto è approssimativamete ormalmete distribuito di deviazioe stadard ota σ =. Si vuole testare co u campioe di dimesioe = 9. H 0 : µ = 100 vs H 1 : µ Se la regioe di accettazioe fosse data da 98.5 x 101.5, quale sarebbe l errore di prima specie α?. Determiare l errore di secoda specie e la poteza del test β quado la vera media del calore è pari a Determiare l errore di secoda specie quado la vera media del calore è pari a 105. Quale errore di II tipo, tra quello appea trovato e quello trovato el puto precedete, è più basso? Perché? σ = µ 0 + z α / = z α /, quidi otteiamo α = 1 Φ.5 = La probabilità di commettere u errore di secoda specie è pari a P µ= X = P Z = /3 /3 La fuzioe poteza per µ = 103 è pari a β = 1 PII type error = P µ= X = P /3 Z /3 0. I questo caso otteiamo ua miore probabilità di commettere u errore di II tipo, dato che il vero valore di µ el caso precedete è più vicio a µ 0 di quato lo sia µ = 105. Esercizio 3. I uo studio cliico si voglioo osservare i livelli X 1,..., X di colesterolo, espresso i mg/dl, i pazieti a cui viee sommiistrato il uovo farmaco Colmeo. Suppoiamo che le variabili aleatorie X i siao idipedeti e co legge gaussiaa di media µ icogita e variaza 50mg/dl. 1. Scrivere ipotesi ulla, ipotesi alterativa e regioe critica di u test statistico volto a dimostrare che il livello di colesterolo medio, i u paziete che assuma il farmaco Colmeo, è iferiore a 00 mg/dl.. Scegliere il livello α e la umerosità del campioe, affiché il test impostato al puto precedete abbia ua probabilità di errore di primo tipo pari a 0.05 e ua poteza, el caso i cui µ = 190mg/dl, di almeo Se su 10 pazieti si è osservata ua media campioaria pari a mg/dl, stabilire quale coclusioe si può trarre ad u livello del 5%.

3 1. H 0 : µ 00 vs. H 1 : µ < 00. La regioe critica è { } σ R = x < 00 z α. Per otteere ua probabilità di commettere errore di I tipo pari a 0.05 dobbiamo impostare α = Per otteere β dobbiamo richiedere che < P µ=190 X < 00 z 0.05 = P Z < z / che sigifica che z 0.05 > z 0.1. Otteiamo > 4.8, ovvero 5. 50/ 3. No possiamo rifiutare H 0 ad u livello di sigificatività del 5%, poiché / R. Esercizio 4. La Baltic Sea Compay produce macchiari per l iscatolameto del caviale. A causa di fluttuazioi aleatorie, la quatità di caviale elle lattie è ua variabile aleatoria Gaussiaa X di media µ e variaza σ, etrambe icogite. Prima di acquistare uo di questi dispositivi soo state cotrollate le quatità x i i grammi di caviale coteuto i u campioe casuale di 100 lattie, otteedo: x i = 3006 x i = i=1 Ioltre si cocede di commettere u errore di I tipo co probabilità al più uguale ad α; l errore di I tipo viee commesso se compriamo u dispositivo co fattore di imprecisioedeviazioe stadard di X maggiore o uguale a grammi, crededo erroeamete che il macchiario sia preciso. i=1 1. Si forisca ua stima putuale della variaza σ.. Si formuli u opportuo test d ipotesi per la variaza, specificado l ipotesi ulla, l ipotesi alterativa e la regioe critica di livello α. 3. Qual è la decisioe presa a livello α =.5%? 4. Si calcoli il p-value del test. 1. Chiaramete stimiamo σ co s 100, ovvero: 100 s i=1 100 = x i x = 100 i=1 x i 100 x 99 = = Dal testo dell esercizio si deduce che rifiutare H 0 quado è vera sigifica comprare u macchiario rifiutare H 0 quado σ H 0 vera. Per questa ragioe dobbiamo testare l ipotesi H 0 : σ 4 vs. H 1 : σ < 3

4 4 basadoci su u campioe casuale di ampiezza 100, estratto da ua distribuzioe N µ, σ. La regioe critica è pari a: { R = x 1,..., x 100 : 99 } s 100 σ0 = χ 99,1 α dove σ 0 = Per α = 0.05, abbiamo 1 α = e χ 99, il valore esatto è 73.36, quidi o possiamo rifiutare l ipotesi ulla. 4. Il p-value è il valore α tale per cui χ 99,1 α = 99 s 100 = 87.66, che sigifica σ0 α = 0.1. Per questa ragioe o c è evideza cotro H 0. Esercizio 5. La Health Pharmaceutical vuole mettere sul mercato u uovo prodotto, affermado che esso assicura ua perdita di 5kg di peso i 35 giori. Per verificare tale assuzioe, la compagia sceglie 10 pazieti e osserva i quati giori essi hao effettivamete perso 10 kg. I risultati soo: 7, 36, 38, 9, 37, 35, 38, 8, 31, 34 Suppoiamo che i dati provegao da ua distribuzioe N µ, σ. 1. Si forisca ua stima putuale per σ.. Il test H 0 : σ = σ 0 = 6 vs H 0 : σ < σ 0 ha regioe critica R = {S 8.36}. Si calcoli la probabilità α di commettere errore di I tipo co tale regioe critica. 3. Co i dati a disposizioe, si può rifiutare l ipotesi ulla? 4. Qual è il miimo valore α che permetterebbe di rifiutare l ipotesi ulla co i dati a disposizioe? 1. s = xi x 1 = 4.18 { } 9 s 10 χ σ0 9,1 α.. Abbiamo che 8.36 = σ 0 9 χ 9,1 α, dato che la regioe critica è Per questa ragioe otteiamo χ 9,1 α =.09, che sigifica α No possiamo rifiutare H 0 al livello calcolato al puto precedete, dato che s = è maggiore di Il miimo valore di α che permette di rifiutare l ipotesi ulla è l α tale per cui χ 9,1 α = 9 s σ = 4.447, che sigifica α = 0.1. Per questo motivo 0 o c è evideza cotro H 0. Esercizio 6. Ua compagia produce termometri per l idustria chimica. U chimico acquista uo di questi termometri e misura 10 volte la temperatura di ua soluzioe, otteedo i risultati segueti: , , , , , , , , ,

5 1. Si costruisca u itervallo di cofideza bilatero di livello 95% per la variaza della variabile X che rappreseta la temperatura misurata, chiaredo le ipotesi statistiche che si stao adottado.. Si costruisca u limite di cofideza superiore quidi u itervallo uilatero del tipo 0, u di livello 95% per la variabile X. 3. Si costruisca u limite di cofideza superiore quidi u itervallo uilatero del tipo l, + di livello 95% per la variabile X. Assumiamo che i dati provegao da variabili aleatorie idipedeti e ideticamete distribuite co distribuzioe ormale di media e variaza icogite. 1. L itervallo di cofideza di livello 1 α = 0.95 per la variaza σ è IC 0.95 = 9 s χ, 9 9,α/ s χ 9,1 α/ che corrispode all itervallo IC 0.95 = , dato che s = , χ 9,α/ = 19.0 e χ 9,1 α/ =.7.. L itervallo di cofideza superiormete limitato di livello 1 α = 0.95 del tipo 0, u è tale per cui 1s Pσ u = P σ 1s = 1 α, u, da cui otteiamo u = 9 s χ 9,1 α = , poiché χ 9,1 α = L itervallo di cofideza superiormete limitato è quidi pari a 0, L itervallo di cofideza di livello 1 α = 0.95 del tipo l, + è tale per cui 1s Pσ l = P σ 1s = 1 α, l da cui otteiamo l = 9 s χ = , 9,α poicé χ 9,α = L itervallo di cofideza iferiormete limitato è quidi pari a , +. Esercizio 7. Alcui giori prima delle elezioi ua società di ricerca demoscopica effettua u sodaggio al fie di otteere ua previsioe sulla proporzioe di cittadii favorevoli al cadidato A. Su 475 persoe itervistate, 47 hao risposto che voterao per A. 1. Si calcoli u itervallo di cofideza bilatero al 95% per la proporzioe di persoe che voterao per A. 5

6 . Co quale livello di cofideza possiamo affermare che A otterrà più del 50% dei voti? Sia X il umero di persoe che voterao per A durate le prossime elezioi: X B, p, dove p è la proporzioe di persoe favorevoli ad A. Ua stima per p è data da ˆp = x/ = 47/475 = 0.5, dove x = 47, = Poiché > 50, ˆp > 5 e 1 ˆp > 5, u itervallo di cofideza al 95% bilatero per p è dato da ˆp1 ˆp ˆp1 ˆp IC 0.95 = ˆp z 0.05, ˆp + z 0.05, co z 0.05 = L itervallo di cofideza desiderato è quidi 0.475, È richiesto di trovare il valore di α tale per cui il limite di cofideza iferiore per p di livello 1 α sia pari a 0.5. Quidi ˆp z α ˆp1 ˆp 475 = 0.5 z α = ˆp 0.5 ˆp1 ˆp , e otteiamo 1 α = Φ0.87 = Per questa ragioe possiamo dire che A otterrà più del 50% dei voti co livello di cofideza circa pari all 81%. Esercizio 8. Su 350 persoe itervistate, 1890 soo favorevoli alla costruzioe di u uovo ciema multisala. 1. Si verifichi, ad u livello di sigificatività del α = 5%, che la percetuale di cittadii favorevoli è uguale all 81% cotro l ipotesi alterativa che sia miore dell 81%.. Si calcoli il p-value del test precedete. 3. Si calcoli la probabilità di errore di II tipo e la poteza di u test co livello di sigificatività 5% el caso i cui la vera percetuale sia pari a Vogliamo testare l ipotesi H 0 : p 0.81 vs H 1 : p < Lo stimatore della percetuale di cittadii è ˆp = Essedo p 0 = 0.81, > 50, p 0 > 5 e 1 p 0 > 5, la regioe di rifiuto è R = { ˆp < p 0 z α p0 1 p 0 che corrispode, per u livello di sigificatività α = 5%, a R = {ˆp < }, quidi o possiamo rifiutare H 0.. Il p-value è il valore α tale per cui z α = Otteiamo α 0.. }, ˆp 0.81 = /350 6

7 3. Sotto l ipotesi che la vera proporzioe sia pari a 0.78, l errore di II tipo è ˆp p 0 P p=0.78 p0 1 p 0 / z α = ˆp p P p=0.78 p 0 p z α p0 1 p 0 /, p1 p/ p1 p/ quidi dobbiamo calcolare P Z p 0 p z α p0 1 p 0 / = p1 p/ P Z z /350 = /350 La poteza del test è pari a β = 1 P p=0.78 do t reject H 0 = Esercizio 9. Da u cesimeto effettuato el 003 riguardate i trasporti utilizzati dai cittadii di ua piccola città per raggiugere il posto di lavoro soo stati otteuti i segueti risultati: Trasporto Auto Trasp. Pubblico Altro Freq. Rel Ioltre, i segueti risultati soo stati otteuti da u sodaggio simile effettuato el 007 su u campioe di 1000 cittadii: Trasporto Auto Trasp. Pubblico Altro Freq. Ass Si stimi la percetuale di persoe che el 007 ha raggiuto il posto di lavoro i auto;. si verifichi ad u livello di sigificatività dell 1% se c è stato u aumeto dal 003 al 007 della percetuale di persoe che utilizzao il trasporto pubblico; 3. si costruisca u itervallo di cofideza al 95% per la percetuale di persoe che o vao sul posto di lavoro i auto. 1. ˆp C = 530/1000 = Vogliamo testare l ipotesi H 0 : p P 0.35 vs. H 1 : p P > Lo stimatore della percetuale di persoe che usao i trasporti pubblici è ˆp P = Dato che > 50, p P,0 = 0.35, p P,0 > 5 e 1 p P,0 > 5, la regioe di rifiuto si può scrivere come R = { ˆp P > z α che corrispode, per u livello di sigificatività dell α = 1%, a R = {ˆp P > }, quidi rifiutiamo H 0. }, 7

8 3. Lo stimatore della percetuale di persoe che o usao l auto è ˆp NA = Poiché > 50, ˆp NA > 5 e 1 ˆp NA > 5, possiamo scrivere l itervallo di cofideza IC 0.95 = ˆpNA 1 ˆp NA ˆpNA 1 ˆp NA ˆp NA z 0.05, ˆp NA + z co z 0.05 = L IC richiesto è quidi ,