Test di Ipotesi. Test di ipotesi - Prob. e Stat. a.a. 04/05 1

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1 Test di Iotesi Test di iotesi - Prob. e Stat. a.a. 45 Metodologia statistica che cosete di redere ua decisioe circa - ua iotesi formulata sul modello di ua oolazioe - u arametro icogito del modello di ua oolazioe. Defiizioe Ua iotesi statistica è ua roosizioe circa uo o iù arametri di ua oolazioe o circa la distribuzioe di robabilità della variabile aleatoria che descrive la oolazioe. Esemio Si vuole stabilire se ua certa moeta è equa, ossia se P(T)P(C).5. Si formula l iotesi di base (quella da sottoorre a test) che la moeta è oesta e si verifica l attedibilità di tale iotesi cotro l iotesi alterativa (che la moeta sia disoesta)..5 (iotesi ulla).5 (iotesi alterativa) Test di iotesi - Prob. e Stat. a.a. 45

2 .5. 5 (iotesi ulla) (iotesi alterativ a) Iotesi alterativa a due code.5 <.5.5 >. 5 (iotesi ulla) (iotesi alterativ a) (iotesi ulla) (iotesi alterativ a) Iotesi alterativa a ua coda Obbiettivo Determiare se il valore del arametro è cambiato Verificare la teoria sul modello Test di coformità Risultato da eserieza assata o coosceza del rocesso Risultato di ua iotesi formulata sul modello Risultato di secifiche di rogetto o obblighi cotrattuali Test di iotesi - Prob. e Stat. a.a Si chiama test di iotesi ua rocedura che cosete di redere ua decisioe circa ua articolare iotesi (ulla) a artire dalle iformazioi coteute i u camioe casuale estratto dalla oolazioe i esame. Se questa iformazioe è cosistete co l iotesi Se questa iformazioe o è cosistete co l iotesi o è rigettabile è falsa Ua iotesi o otrà mai essera accettata co certezza, ma il risultato del test sarà semre accomagato da ua valutazioe della ossibilità di commettere u errore accettado o rigettado l iotesi. selezioare u camioe casuale Procedura calcolare ua statistica test usado il valore calcolato redere ua decisioe circa l iotesi ulla Test di iotesi - Prob. e Stat. a.a. 45 4

3 Esemio Si vuole stabilire se il coefficiete di combustioe medio di u roellete solido usato er oteziare u sistema di fuga i u equiaggio aereo è 5 cm al secodo. 5cms (iotesi ulla) 5cms Si assuma che sia stato osservatou camioecasualedi taglia Si suoga di oter valutare la media camioaria E' legittimo assumeredi o rigettarel' iotesi e di rigettare l' iotesi La regioe critica di tale che si rigetta o aartiee a tale sottoisieme. a tale sottoisieme e si accetta x. se fosse x > 5.5 oure x < Defiizioe se il valore calcolato se il valore calcolato. se fosse 48.5 x 5.5 Il comlemeto della regioe critica viee chiamato regioe di accettazioe. Test di iotesi - Prob. e Stat. a.a s della statistica test (iotesi alterativa) u test di iotesi è quel sottoisieme di umeri reali aartiee s della statistca test Questo tio di rocedura decisioale uò codurre a due tii di errori Si commette u errore del I tio quado si rigetta l iotesi ulla ur essedo vera. Si commette u errore del II tio quado o si rigetta l iotesi ulla ur essedo falsa. I tio Regioe critica Reg.accettazioe Regioe critica vero x II tio vero x Test di iotesi - Prob. e Stat. a.a. 45 6

4 Iotesi ulla vera Iotesi ulla falsa No si rigetta l iotesi ulla o errore errore II tio Si rigetta l iotesi ulla errore I tio o errore Si defiisce livello di sigificatività del di commettereu errore di I tio P(errore di β P(errore di Defiizioe I tio) II tio) test o taglia del test la robabilità P(rigettare P(accettare quado è vera) quado è falsa) Iotesi ulla vera Iotesi ulla falsa No si rigetta l iotesi ulla - β Si rigetta l iotesi ulla - β Test di iotesi - Prob. e Stat. a.a P Toriamo all esemio del fattore di combustioe. Si assuma che la deviazioe stadard di tale variabile aleatoria sia.5 cm al sec. Determiare il livello di sigificatività del test er u camioe di taglia. ( rigettare vera) P( rigettare 5) P( regioe critica 5) P( < 48,5 > 5,5 5) P( 5 < 48,5 5) + P( 5 > 5,5 5) Υ 5 48,5 5 P < ,5 5 48,5 5 P > P Z < Regioe di accettazioe 48.5 x x x x 5 taglia Test di iotesi - Prob. e Stat. a.a. 45 8

5 Come si calcola β P(errore di la robabilità di commettere u errore di II tio? II tio) P(o rigettare P(o rigettare è vera) quado è falsa) Per calcolare l errore di secodo tio dobbiamo avere ua iotesi alterativa secifica. Quale? 5 Si assuma che è ecessario rigettare l iotesi ulla 5 se il coefficiete di combustioe medio dovesse raggiugere valori itoro a 5. Ad esemio, si commette u errore di II tio, se il camioe stima utuale della media camioari a comresa β P ( quado 5). 643 casuale forisce ua tra 48.5 e 5.5 quado 5. Test di iotesi - Prob. e Stat. a.a Lo statistico cotrolla l errore di I tio e i fuzioe di questo selezioa la regioe critica. Rigettare l iotesi ulla L errore di II tio diede dal vero valore del arametro i esame, che è ormalmete icogito, sicché si rocede er tetativi. Accettare l iotesi ulla o si rigetta l iotesi ulla Test di iotesi - Prob. e Stat. a.a. 45

6 Regioe di accettazioe 48.5 x x x x 5 taglia β co β co L errore di I tio è legato all errore di II tio. Se aumeta uo decresce l altro e viceversa. Al crescere della taglia del camioe, vegoo ridotti gli errori di I e II tio. L errore di II tio dimiuisce se il valore assegato al arametro si allotaa da quello imiegato ell iotesi ulla. Test di iotesi - Prob. e Stat. a.a. 45 Defiizioe Si defiisce oteza del test, la robabilità di rigettare l iotesi ulla quado è vera l iotesi alterativa. β è la robabilità di rigettare correttamete u iotesi ulla falsa Nell' esemio del fattore di combustioe dovesi effettua il test sull' iotesi cotro l' iotesi alterativa β β iotesi ulla è falsa.se si ritiee questo valorebasso, si tare la taglia del camioe..7357, ossia co i 73 casi su il test ricoosce che l' 5 5, se il valore vero del arametro è 5, allora uò aumetare oureaume - β Test di iotesi - Prob. e Stat. a.a. 45

7 Procedura geerale er la costruzioe di u test di iotesi. (a) Dal cotesto del roblema, idetificare il arametro di iteresse. (b) Formulare l' iotesi (c) Secificare ua oortua iotesi alterativa (d) Scegliere (e) Scegliere ua oortua statistica test (diede dal arametro). (f) Costruire ua oortua regioe critica.. (g) Determiare u camioe casuale e valutare ua stima utuale della statistica test. ulla u oortuo errore di I tio. (h) Decidere se rigettare o meo l' iotesi ulla, verificado se stima utale aartiee o meo alla regioe critica.. (test a o code). Esercizio La secifica assegata sul coefficiete di combustioe di u certo roollete è di 5cms. La deviazioe stadard di tale caratteristica è di cms. Selezioado u camioe casuale di taglia 5, si è trovato che la media camioaria è di 5.3 cms. Quale coclusioe si uò dedurre sulla secifica al livello di sigificatività del 5%? Test di iotesi - Prob. e Stat. a.a tale (a) Idetificare il arametro di iteresse la (b) Formulare l' iotesi (c) Secificare l' iotesi (d) Scegliere (e) Scegliere ua oortua statistica test (media cam.). (f) Costruire P( <? Poichè si sa di accettazioe del 5 z Υ u oortuo errore di I tio..5 ua oortua regioe critica >? che P( z < < z test è l' itervallo,5 + z Procedura er il test di iotesi ulla alterativa è vera) P(? < 5.96 media ) - allora la regioe,5 5 <? 5) (49.,5.78) 5 Test di iotesi - Prob. e Stat. a.a. 45 4

8 (g) Determiare u camioe casuale e valutare ua stima utuale della statistica test. x 53.. (h) Decidere se rigettare o meo l' iotesi ulla, verificado se stima utale aartiee o meo alla regioe critica oichè 5.3 (49.,5.78), l' iotesi ulla viee rigettata. tale Test di iotesi - Prob. e Stat. a.a Esercizio Si iotizza che l età media dei frequetatori di ua biblioteca sia 39 ai co ua variaza di. ai. Per verificare tale iotesi vegoo camioati frequetatori e la loro età media risulta essere 38 ai. Si verifichi l iotesi iiziale (si assuma la oolazioe ormale). (a) Idetificare il arametro di iteresse la (b) Formulare l' iotesi (c) Secificare l' iotesi (d) Scegliere (e) Scegliere ua oortua statistica test (media cam.). (f) Costruire P( <? Poichè si sa di accettazioe del 39 z Υ u oortuo errore di I tio..5 ua oortua regioe critica >? che P( z < < z test è l' itervallo,39 + z ulla alterativa 39. è vera) P(? < media ) - <? 39.) - allora la regioe , (38.48,39.5) Test di iotesi - Prob. e Stat. a.a. 45 6

9 (g) Determiare u camioe casuale e valutare ua stima utuale della statistica test. x 38. (h) Decidere se rigettare o meo l' iotesi ulla, verificado se stima utale aartiee o meo alla regioe critica oichè 38 (38.4,39.5), l' iotesi ulla viee rigettata. tale Test di iotesi - Prob. e Stat. a.a T est di Iotesi sulla Medi a variaz a ota Iotesi (test a due code) Z Regioe Accettazioe P ( z Z z quado ) Iotesi (test a ua coda) > ( < ) Z R. Accettazioe P ( Z ( ) z ) Test di iotesi - Prob. e Stat. a.a. 45 8

10 Per calcolare l'errore di II tio (a) Ricavare la regioe di accettazioe ella (b) Calcolare β P stadardizzazioe. ( ( x, x )...) forma ( x, x ). mediate oerazioe di T est di Iotesi sulla Medi a variaz a icogita Iotesi (test a due code) T ( oolazioe S Regioe Accettazioe P ormale) ( t T t quado ),, Test di iotesi - Prob. e Stat. a.a Esercizio U camioi soo articolo el giorale Materials di u test di adesioe su camioi Egieeri g (989) descrive di ua certa lega. I coefficie ti di i risultati fallimeto dei Si assuma che si ha 9,8 8,8 8,5 7,5 7,6 5,4 che i camioi 6,7 5,4 5,8 9,5 rovegao 5,4 4,9 4,,7 da ua oolazio u fallimeto quado la media è diversa 3,6,9 da?,9,4 e ormale.,4, I dati,4 7,9 suggerisco o M edia 3, E rrore stadard, M ediaa 3,85 4 M oda,4 Deviaz ioe stadard 3, V ariaza camioaria,679 7,5,575 3,65 6,75 Altro Curtos i -,7537 Classe Frequeza A s immetria -,53 Dati relativi 7,5 Itervallo,3 M iim o 7,5 all istogramma,575 3 M assimo 9,8 3,65 7 S omma 3,7 6,75 7 Coteggio Altro 4 P iù grade() 9,8 P iù iccolo() 7,5 Test di iotesi - Prob. e Stat. a.a. 45 Livello di cofideza(95,%), Frequeza

11 Come ver ificar e l assuzioe che la oolaz ioe è or male? 9.8,4 3,8 5,7 7.9 Normal robability lot I dati x, x, Κ, x vegoo ordiati i x (), x ( ), Κ, x ( ). Tali valori ordiati vegoo lottati i coia co i -.5 * (le frequeze cumulative ) Costruedo u box lot, si osserva che la oolazioe è simmetrica. Test di iotesi - Prob. e Stat. a.a. 45 T est di Iotesi sulla Variaz a Poolazioe or male Iotesi (test a due code) Regioe Accettazioe χ P ( ) S ( oolazioe ormale) ( χ χ χ quado ),, Esercizio Ua macchia er l imbottigliameto automatico di liquido detergete viee sottoosta a verifica, selezioado u camioe di bottiglie. Per queste bottiglie, viee misurata la quatità di liquido coteuta i ciascua di esse e calcolata la variaza camioaria che risulta ari a.53. Se la variaza associata al rocesso di imbottigliameto del liquido suera lo., si corre il rischio di avere bottiglie troo iee risetto alla secifica assegata o viceversa. C è ua evideza dai dati raccolti er cocludere che il rocesso di imbottigliameto o fuzioa bee? Si assuma che il volume di liquido i ciascua bottiglia sia distribuito come ua ormale. Test di iotesi - Prob. e Stat. a.a. 45

12 Test di iotesi - Prob. e Stat. a.a T est di Iotesi sulle Per cetuali ( ) ( ) quado z Z z P Z Regioe Accettazioe a due code) (test Iotesi T est di Iotesi sulle Di ffereze tra medi e - Variaz a ota ( ) + quado ) ( z Z z P Z Regioe Accettazioe a due code) (test Iotesi Test di iotesi - Prob. e Stat. a.a T est di Iotesi sulle Differ ez e tr a medie - Variaz a icogita ( ) + + +, ) (,, t T t P S T Regioe Accettazioe a due code) (test Iotesi T est di Iotesi sui raorti tra variaz e - Variaz a icogita ( ), S S,,,, f F f P F Regioe Accettazioe a due code) (test Iotesi