Test non parametrici. sono uguali a quelle teoriche. (probabilità attesa), si calcola la. , cioè che le frequenze empiriche

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1 est o parametrici Il test di Studet per uo o per due campioi, il test F di Fisher per l'aalisi della variaza, la correlazioe, la regressioe, isieme ad altri test di statistica multivariata soo parte dei metodi di ifereza classici o metodi di statistica parametrica. Prima della loro applicazioe, è fodametale che siao soddisfatti alcui assuti che riguardao la popolazioe d'origie; Primo assuto: l'idipedeza dei gruppi campioari i campioi sottoposti ai differeti trattameti dovrebbe essere formati per estrazioe casuale da ua popolazioe, i cui ogi soggetto abbia la stessa probabilità di essere icluso i u gruppo qualsiasi. I questo modo, i fattori aleatori o o cotrollati, quelli che el test t formao l errore stadard, sarebbero distribuiti casualmete. Secodo assuto: ormalità delle distribuzioi da essa deriva,per via del teorema del limite cetrale, ua stretta relazioe tra popolazioe e campioi. erzo assuto: omoschedasticità o omogeeità delle variaze. Quado questi assuti o soo rispettati si ricorre ai c. d. metodi statistici o parametrici, i quali o dipedoo dalla forma di distribuzioe della popolazioe, o si basao sui parametri della distribuzioe ed è possibile applicarli ache ei casi di dati qualitativi. Vi soo diversi metodi, o tests o parametrici, e si dividoo i due gradi categorie: quelli basati sulle frequeze e quelli basati sull'ordiameto delle iformazioi. I metodi o parametrici soo meo efficaci ma più geerali e vegoo utilizzati quado o possoo essere applicati i metodi parametrici. ES ² (Chi-quadro). Quado si dispoe di u solo campioe spesso si ricorre alla verifica di accordo della distribuzioe osservata co ua distribuzioe teorica o attesa. Per questo scopo si usa il test della ², uo dei più diffusi test o parametrici. Esso è basato sulle frequeze, oto come botà d'adattameto. Si tratta di cofrotare le frequeze empiriche co quelle teoriche (probabilità a- priore) per stabilire se la fuzioe di distribuzioe di ua v.c. è quella da oi ipotizzata. Sotto l'ipotesi ulla H 0 : ˆ, cioè che le frequeze empiriche soo uguali a quelle teoriche i i (probabilità attesa), si calcola la ˆi

2 i c α statistica ( i ˆ i ) g c i ˆ e se c < α o si rifiuta H0, metre si rifiuta l'ipotesi ulla se > co probabilità pari a α (g soo i g.d.l., g k v 1, v soo i parametri da stimare, k è il umero add.). Esempio 1). Adattameto di ua distribuzioe di Poisso alla distribuzioe del umero di icideti i 10 settimae, co α ic settimae H 0 : X~> Poisso P( x) x λ exp( λ) x! la media è λ 1.5 quidi 1.5 P( x) x exp( 1.5) x!. ic. i Pi N x Pi CHI-q gdl Poiché c.884 < si accetta H

3 Esempio ). Normalità della pressioe sistolica i u campioe di 1000 persoe. H 0 : X~> N(µ,σ²) co α Si stimao la media e la variaza dal campioe. x 1 x i f i Sˆ ( xi x) classi soggetti Z1 Z Prob freq. teorichechi-q media var dev st oltre gdl P-val 6.70E Il valore della rifiuta H 0. c è superiore al valore teorico della Chi-quadro, quidi si

4 Metodi o parametrici co ordiameto delle iformazioi. Questi metodi o parametrici soo test statistici basati sui raghi delle osservazioi, cioè sul loro umero d'ordie ivece che sulle osservazioi i se. Essi prescidoo dalla distribuzioe della popolazioe (ifatti si usao quado o è possibile cooscerla). Rispetto alle stime soo meo efficieti di quelli parametrici. Soo giustificati quado: 1) le variabili hao evideti scostameti dalla ormalità (o soo fortemete asimmetriche o presetao più di u picco); ) quado il campioe è troppo piccolo per compredere se esiste ua distribuzioe ormale dei dati; 3) quado le osservazioi soo rappresetate da classifiche ordiali (es. gravità di ua malattia da 1 a 4). est di Ma-Whitey (o della somma dei raghi): due campioi idipedeti; è uo dei test o parametrici più poteti e serve a verificare se due gruppi idipedeti appartegoo alla stessa popolazioe. È u'alterativa molto valida al test parametrico -Studet, quado o possoo cosiderarsi i postulati del test, oppure la scala di misura è più debole di ua scala ad itervalli. Es. diuresi i due gruppi di soggetti sottoposti a due trattameti (3 co placebo e 4 co farmaco) Placebo Farmaco Diuresi Rago Diuresi Rago est di Verifica: Ipotesi Ho :me(1) me() mi R, 1 R i j U µ u 1 ( )

5 1 ( ) σ u 1 Z (+0.5 coda a sx; 0.5 coda a dx) U µ u ± 0. 5 σ u Oppure: U ( 1 + 1) R Nel caso di piccoli campioi, ua volta calcolato la somma dei raghi si cofrota questa co il valore teorico di ua tavola i corrispodeza delle dimesioi dei due campioi. Per gradi campioi si usa Z N(0,1). Es.: u gruppo di comuità co u certo comportameto e u altro gruppo di cotrollo soo sottoposti ad u test i cui risultati soo espressi i puteggi: g1) gruppo di cotrollo, g) gruppo di comuità. est uidirezioale a siistra: ipotesi: H 0 :me(1) me() cotro H 1 :me(1) < me(). g1 g C ord. datirag N1 N R est MANN-WHINEY mu U304 var sigma alfa avole di U(16,3)53 U > 53, quidi si rifiuta P-value Ho, I due gruppi Z critico differiscoo sigif

6 est della Mediaa Cosiste el costruire ua tabella di cotigeza x dove soo riportati i valori dei due campioi distiti maggiori del valore mediao dell'isieme dei due campioi e i valori miori o uguali al valore mediao. gruppo 1 gruppo maggiore della mediaa A B A+B mi. e uguale alla mediaa C D C+D m N Calcolare poi la statistica ² per tabelle x co 1 gdl: N( AD BC N / ) ( A + B)( C + D)( m)( )

7 L'potesi è Ho :me(1) me(). Il test si può usare quado i valori ei due gruppi soo misurati almeo su ua scala ordiale. Applicazioe all'esempio precedete dove la mediaa comue è 11 e α g1 g > mediaa <mediaa coeffi. XqP-value Poiché il valore ² è > (valore teorico Chi-q) si rifiuta H 0. est di Wilcoxo (o test del sego per raghi): campioi dipedeti o dati appaiati; è l'equivalete del paired test. Questo test è molto utile el campo delle scieze comportametali. Cosete di cosiderare la direzioe e la gradezza della differeza dei dati appaiati (metre il test dei segi cosidera solo la direzioe delle differeze delle coppie dei dati). est di verifica: Ipotesi Ho :me(1) me() + ΣR+ 1 ( 1 + 1) µ d µ 4 1 ( 1 + 1)(1 + 1) σ Z 4 µ σ Nel caso di piccoli campioi (<0) si ricorre a delle tavole dove ai valori di + soo associate delle probabilità P( + c) i base a ; per accettare Ho la codizioe è che P > α; si può ricorrere ache a questa statistica: + W e se il P-value ad essa associato è miore di α si rifiuta Ho. R

8 Per campioi gradi (>0) si usa Z Z < Z α (oppure Z < Zα e Z > -Zα ). µ σ e si accetta Ho se Esempio: stimoli visivi ell'iterpretazioe di segali uditivi (cogrueza tra movimeti delle labbra e suoi delle parole). Esperimeto i codizioi di ormale coversazioe co 1 bambii da 10 a 16 settimae. Quatità di tempo durate la quale ogi bambio guarda il viso di ua persoa che parla i sicroia e fuori sicroia. Ipotesi ulla H 0 : la quatità di tempo che il bambio trascorre a guardare o dipede dalla presetazioe; i termii di test di Wicoxo o c'è differeza tra mediaa dei raghi positivi e mediaa raghi egativi (per piccoli campioi o c'è differeza tra la somma dei raghi positivi e la somma dei raghi egativi ). est a due code (la direzioe delle differeze o è ota i aticipo) co α 0.01 e 0.05; la regioe critica cosiste i tutti i valori di (somma dei raghi positivi) elevati co ua probabilità iferiore ad α 0.01 e Il tempo misurato cosiste i percetuali di disattezioe alla presetazioe i o fuori sicroia. diff sogg. sicroe asicroe As-S rak diff (rak diff)^ sego rak sego rak (rak diff)^ Somme Wilcoxo P-value alfa0.01 Z critico alfa0.05 Z critico

9 Sia la tavola della somma raghi che la statistica Z portao al rifiuto di H 0 (co 1, P( + 73) 0.004, al valore di 73 corrispode ua prob. x0.004 e Z.8633 > di Z(α).576). I bambii soo i grado di discrimiare le parole dai movimeti delle labbra i sicroia e fuori sicroia. est dei segi. Es. effetto di u diuretico su 6 soggetti: Sogg. DiuresiP DiuresiD Diff. Rago diff. Rago co sego (N.B. : i raghi soo attribuiti sulla base del valore assoluto) sogg. A B rak diff B-A diff (rak diff)^ sego rak sego rak (rak diff)^ Somme Wilcoxo P-value Z critico est di Wilcoxo applicato ad u solo campioe. I questo caso il test o parametrico sostituisce il calcolo dell'itervallo di cofideza sulla media quado o è possibile ricorrere ai metodi parametrici perché macao le codizioi (o è rispettata la ormalità della distribuzioe, ecc.). L'ipotesi sul valor medio viee verificata prededo come riferimeto la mediaa. Stabilita la mediaa (ipotesi ulla), si fao

10 le differeze dei valori dalla mediaa e i raghi delle differeze i valore assoluto. Si sommao poi i raghi di sego positivo. Es.: 13 osservazioi, Ho: mediaa300, H1: mediaa < 300, α 0.05 oss diff(ho) raghi media sigma Zc Z critico Dalle tavole, co 13, P( + 7) > α ( + può essere al massimo 1.7), quidi si accetta Ho. I codizioi di icertezza sull esisteza delle codizioi richieste da u test parametrico, ua soluzioe sempre più diffusa suggerisce ua duplice strategia: 1 - utilizzare u test appropriato di statistica parametrica, - covalidare tali risultati mediate l applicazioe di u equivalete test o parametrico. Se le probabilità stimate co i due differeti metodi risultassero simili, soo cofermate la robustezza del test parametrico e la sua sostaziale validità ache i quel caso. Il test o parametrico può servire per cofermare i risultati otteuti co quello parametrico. Se le probabilità risultassero sesibilmete differeti, dovrebbe essere cosiderato come più attedibile il test o parametrico e sarebbe coveiete riportare ella pubblicazioe solo esso, i quato fodato su codizioi meo rigorose e caratterizzato da ifereze più geerali.