Analisi dei segnali nel dominio del tempo

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1 Appui di Teoria dei Segali a.a. / Aalisi dei segali el domiio del empo L.Verdoliva I quesa prima pare del corso sudieremo come rappreseare i segali empo coiuo e discreo el domiio del empo e defiiremo le operazioi fodameali (cambiameo di scala, raslazioe, somma, prodoo) che è possibile eseguire su ali segali. Iolre, irodurremo il coceo di media, eergia e poeza e quello di fuzioe di correlazioe. Segali elemeari empo coiuo Di seguio soo elecai alcui dei pricipali segali elemeari empo coiuo che icoreremo i queso corso. Quesi segali possoo essere combiai per cosruire segali più complessi, ma possoo ache essere uili per modellare feomei fisici paricolarmee semplici. a) Impulso o fiesra reagolare: { Π() = / alrimei b) Impulso o fiesra riagolare: { Λ() = alrimei c) Gradio uiario: { u() = alrimei d) Sigum: sig() = { <

2 Segali elemeari empo coiuo e) Impulso espoeziale moolaero: { e x() = alrimei f) Impulso espoeziale bilaero: { e x() = e = e < e) f) Figura : Segale espoeziale moolaero e segale espoeziale bilaero U primo modo per classificare i segali è quello di irodurre il coceo di duraa, che forisce ua misura dell esesioe emporale di u segale, cioè dell iervallo di empo all iero del quale il segale assume valori o rascurabili. I segali possoo allora essere classificai i. segali a duraa rigorosamee limiaa; quesi segali si aullao ideicamee al di fuori di u cero iervallo emporale come accade egli esempi a) e b);. segali a duraa illimiaa; quesi segali assumoo valori o rascurabili su uo l asse emporale (esempi c) e d)); 3. segali a duraa praicamee limiaa; quesi segali decadoo asioicamee a zero (esempi e) e f)), per cui si possoo rieere rascurabili al di fuori di u cero iervallo, che idica la misura della duraa. La defiizioe di ale misura è quidi arbiraria e va specificaa i base al ipo di applicazioe cosiderao. I segali a duraa illimiaa soo solo u asrazioe maemaica, molo uile quado si devoo schemaizzare cere siuazioi praiche mediae semplici modelli. Di fao i segali che si possoo rovare ella realà hao sempre duraa limiaa, i quao osservai su iervalli di empo fiii. I segali a duraa rigorosamee o praicamee limiaa soo ache dei rasiori. a.a. - Aalisi dei segali el domiio del empo

3 Elaborazioi elemeari dei segali empo coiuo 3 Elaborazioi elemeari dei segali empo coiuo I quesa sezioe ci focalizziamo su ua classe limiaa, ma molo imporae, di rasformazioi, che coivolgoo sia la variabile idipedee che dipedee. Quese elaborazioi possoo essere descrie maemaicamee mediae u sisema y() = T [x()] e risulao paricolarmee ieressai sia perchè modellao diverse siuazioi di praico ieresse sia perchè cosiuiscoo i blocchi elemeari co cui cosiuire sisemi più complessi. x() T ( ) y(). Traslazioe Quesa operazioe coivolge la variabile idipedee: y() = x( b) () Per compredere il ipo di rasformazioe che subisce il segale si può procedere osservado i valori assui da y() i relazioe a x() i deermiai isai. Nell ipoesi, per esempio, i cui b = si ha: y( ) = x( 3) y() = x( ) y() = x( ) y() = x() y(3) = x() Osserviamo come il valore che x() assume ell isae = viee assuo da y() all isae = + b (ell esempio + ), il segale y() risula quidi ua versioe riardaa del segale x() (raslazioe verso desra). Di seguio si mosra u esempio i cui x() = Π(). x() y() 3 5 Si oi come sia ache possibile procedere aaliicamee e risula: y() = Π( ) = { / alrimei = { 3/ 5/ alrimei Oeiamo i queso modo direamee l espressioe di y(). a.a. - Aalisi dei segali el domiio del empo

4 Elaborazioi elemeari dei segali empo coiuo 4 Provae a fare u ragioameo aalogo quado b =, verificado che il segale risula ua versioe aicipaa di quello origiale (raslazioe verso siisra). Ricordae poi che deve sempre accadere y(b) = x() (ell esempio y() x()), la verifica di quesa relazioe può risulare u modo uile per corollare che si sa procededo correamee.. Cambiameo di scala. Cambiameo di scala sulle ampiezze. Quesa operazioe coivolge la variabile dipedee: y() = A x() () dove A rappresea il faore di scala. Se A > l effeo di ale operazioe è quello di amplificare (A > ) o aeuare (A < ) i valori assui dal segale, per esempio, se x() = Π() il segale y () = Π() sarà ua versioe amplificaa vole dell impulso reagolare. Se, ivece, A < il segale, olre all amplificazioe o aeuazioe, viee ribalao rispeo all asse delle ascisse (iversioe). I figura si mosra y () = Π(). x() y () y (). Cambiameo di scala sull asse dei empi. y() = x(a) (3) A differeza del caso precedee adesso è la variabile idipedee a subire il cambiameo di scala e l operazioe risula più delicaa. Suddividiamo allora l aalisi i base ai valori assui da a: (a) a >. Per compredere l effeo di ale operazioe effeuiamo u cambiameo di scala di u faore a = e osserviamo cosa succede i deermiai isai di empo: y( ) = x( 4) y( ) = x( ) y() = x() y() = x() y() = x(4) a.a. - Aalisi dei segali el domiio del empo

5 Elaborazioi elemeari dei segali empo coiuo 5 I queso caso il valore che x() assume per = viee assuo da y() ell isae =, queso sigifica che y() dimezza la sua duraa, il segale subisce quidi ua compressioe rispeo all asse delle ordiae (si oi ifai come quesa operazioe o aleri mai il valore assuo ell origie y() x()). E possibile però ache procedere aaliicamee suppoedo, per esempio, x() = Λ(): y() = x() = Λ() = { alrimei / = + / alrimei Il che coferma che l operazioe effeuaa è ua compressioe del segale di u faore, come mosrao ella figura i basso. (b) < a <. Se si ripee lo sesso discorso per a = / si scopre che il il valore di x() per = si oiee i y() per =, queso sigifica che y() raddoppia la sua duraa, il segale subisce quidi u espasioe rispeo all asse delle ordiae. Aaliicamee: y() = Λ(/) = { / / alrimei / = + / alrimei x() x() x(/) (c) a =. Queso è u caso paricolare i cui si ha y() = x( ), il segale viee quidi ribalao rispeo all asse delle ordiae (riflessioe). A queso proposio ricordiamo la defiizioe di segale pari e dispari: { x() = x( ) segale pari x() = x( ) segale dispari E chiaro quidi che la riflessioe o ha alcu effeo per u segale pari che risula simmerico rispeo all asse delle ordiae (come l impulso reagolare e riagolare), mere coicide co u iversioe per u segale dispari. a.a. - Aalisi dei segali el domiio del empo

6 Elaborazioi elemeari dei segali empo coiuo 6.. Esempio Cosideriamo il segale x() mosrao i figura e suppoiamo di voler deermiare y() = 3 x( 3). Vedremo sia il procedimeo grafico che aaliico. Noiamo che il segale subisce u cambiameo di scala sulle ampiezze pari a u faore 3, ua riflessioe e u espasioe sull asse emporale di u faore 3 (essedo a = 3 < ). Possiamo procedere graficamee applicado quese re operazioi al segale i u ordie qualsiasi. x() y() 3 Procediamo adesso ache da u puo di visa aaliico. Il segale x() si può scrivere come: + x() = alrimei 3 3 Per cui si ha: y() = 3 x ( 3 ) = 3 ( 3 ) alrimei 3 3 = 3 3 alrimei Il segale oeuo aaliicamee corrispode proprio a quello rappreseao graficamee..3 Cambiameo di scala e raslazioe Adesso meiamo assieme le operazioi () e (3) e cosideriamo y() = x(a b) (4) Ci chiediamo: per poer oeere y(), quale operazioe bisoga fare prima? Iaziuo, comiciamo col verificare che se si scambia l ordie co cui si realizzao quese due operazioi o si oiee lo sesso risulao. Suppoiamo di cosiderare il segale x() = Π(/) e di voler oeere il segale y() = x(3 ); operiamo graficamee: i u caso si rasla di verso desra e poi si effeua la compressioe di u faore /3 (y ()), ell alro si opera al corario (y ()). Nella figura di seguio soo mosrai i risulai. Spesso vedremo che i diverse siuazioi è possibile procedere sia da u puo di visa grafico che aaliico. I due approcci soo perfeamee equivalei, si sceglierà di vola i vola quello che risula più comodo. a.a. - Aalisi dei segali el domiio del empo

7 Elaborazioi elemeari dei segali empo coiuo 7 x() y () y () E evidee che le due uscie o soo uguali. Sicuramee possiamo procedere ad u rapido corollo oado che dalla (4) deve risulare: { y() = x( b) y(b/a) = x() { y() = x( ) y(/3) = x() Queso ci pora a rieere che il primo risulao sia quello correo. Per compredere il moivo cosideriamo la cascaa delle due operazioi i ordie iverso così come mosrao ella seguee figura: x() S z() S y() x() S z() S y() dove abbiamo idicao co S il sisema che effeua la raslazioe e co S quello che realizza il cambiameo di scala. A queso puo deermiiamo il legame igresso/uscia complessivo i erambi i casi: S-S: S-S: { z() = x( b) y() = z(a) = x(a b) { z() = x(a) y() = z( b) = x[a( b)] Noae come le due relazioi igresso/uscia siao diverse, e quella del primo caso coicida co la (4). Riprediamo allora l esempio precedee, il risulao correo è il primo i cui viee prima effeuaa la raslazioe e poi il cambiameo di scala, dao che la relazioe ra i due segali è proprio y() = x(3 ). I effei, è possibile realizzare le operazioi i ordie iverio, ma prima bisoga esprimere la relazioe igresso/uscia come: y() = x[3( /3)]. A queso puo, si può effeuare la compressioe u faore /3 e poi la raslazioe verso desra di /3, oeedo lo sesso risulao di prima. Ovviamee si può procedere ache da u puo di visa aaliico; dao che: x() = { alrimei a.a. - Aalisi dei segali el domiio del empo

8 Elaborazioi elemeari dei segali empo coiuo 8 si ha: y() = x(3 ) = { 3 alrimei = { /3 alrimei Abbiamo oeuo acora ua coferma della correezza del procedimeo..3. Esempio Suppoiamo di cosiderare l impulso reagolare x() = Π() e di voler rappreseare graficamee il segale ( ) y() = A Π T co > e T >. Per quao deo prima, l impulso reagolare va prima espaso di u faore T e poi raslao i. Si oiee così u impulso reagolare di ampiezza A, cerao i e di duraa T, coì come mosrao i figura. x() A y() T + T Provae a raslare prima il segale i /T e poi espaderlo di u faore T, verificado che si oiee lo sesso risulao. Se per esempio si cosidera il segale: ( ) y() = Π 6 per eviare di cofodersi coviee esprimerlo come: ( ) / y() = Π 3 che rappresea u impulso reagolare di ampiezza e duraa 3 cerao i /. Allo sesso modo si può mosrare che il segale: ( ) y() = A Λ T è u impulso riagolare di ampiezza A, cerao i e di duraa T. a.a. - Aalisi dei segali el domiio del empo

9 Elaborazioi elemeari dei segali empo coiuo 9.4 Operazioi arimeiche ra segali Quese operazioi coivolgoo due o più segali.. Prodoo y() = x () x () (5) Il segale y() è dao dal prodoo dei corrispodei valori di x () e x (). Nel caso i cui i segali o siao defiii sullo sesso iervallo emporale, il risulao è u segale ullo, alrimei bisoga fare aezioe all isieme i cui si sovrappogoo e i cui dovrà essere realizzao il prodoo. I figura si mosra u esempio di prodoo ra u impulso riagolare e u impulso reagolare. x () x () y() Il segale risulae si può esprimere aaliicamee come: y() = ( ) Π() ma ache come: ( ) ( ) /4 + /4 y() = ( ) Π + ( + ) Π / / Si oi come il prodoo di u segale per u impulso reagolare di ampiezza uiaria o faccia alro che delimiare l iervallo i cui è defiio il segale, ifai risula: { x() / y() = x() Π() = alrimei Modificado opporuamee la duraa dell impulso è possibile delimiare l iervallo su cui è defiio qualsiasi segale. Lo sesso vale per il gradio, per cui risula: { x() y() = x() u() = alrimei che può essere usao per riscrivere la defiizioe di impulso espoeziale moolaero el seguee modo: y() = e u() Per quello bilaero risula ivece: y() = e = e u() + e u( ) a.a. - Aalisi dei segali el domiio del empo

10 Elaborazioi elemeari dei segali empo coiuo. Somma y() = x () + x () Ache i queso caso l operazioe è realizzaa puualmee, si veda l esempio mosrao i figura i cui si somma u impulso reagolare e uo riagolare: x () x () y() I queso caso proviamo a procedere ache da u puo di visa aaliico, facedo aezioe agli iervalli emporali: ( ) + / y() = x () + x () = ( ) + / alrimei / = / alrimei Osserviamo come uo sesso segale si possa esprimere spesso sia come somma che come prodoo di due segali. Mosriamo alcui esempi di segali e la loro descrizioe aaliica i ermii di prodoo, somma o differeza ra due segali: x() a) x() = Π() = u( + /) u( /) b) x() = Π() sig() = Π ( ) ( ) /4 / Π +/4 / x() x() c) x() = Π(/) = Π(/) Λ() a.a. - Aalisi dei segali el domiio del empo

11 Elaborazioi elemeari dei segali empo coiuo.5 Derivazioe e Iegrazioe I segali empo coiuo maemaicamee o soo alro che fuzioi, quidi è possibile applicare ui i cocei raai ei corsi di maemaica. I paricolare, è possibile irodurre le operazioi di derivazioe e iegrazioe per segali coiui: e Di seguio si mosrao alcui esempi.. Derivaa di u impulso riagolare. y() = d x() (6) d y() = x(α)dα (7) y() = d d + alrimei = alrimei x() y(). Iegrale di u impulso reagolare. y() = { alrimei + = alrimei x() y() a.a. - Aalisi dei segali el domiio del empo

12 Segali periodici 3 Segali periodici U segale x() si defiisce periodico di periodo T se risula: x() = x( + T ) (8) co T cosae posiiva. E chiaro che u segale periodico di periodo T risulerà ache periodico di periodo T, 3T, 4T,, ed ha duraa illimiaa. Il più piccolo valore di T che soddisfa la relazioe (39) è deo periodo fodameale di x(), il suo iverso è ivece la frequeza fodameale: f = /T, che descrive quao velocemee u segale si ripee e si misura i herz (Hz) o cicli al secodo. a) Treo di impulsi reagolari. Si cosideri il segale periodico mosrao i figura. x() T T 4 T 4 T Il segale è cosiuio da ua replica di impulsi reagolari di duraa T / disaziai di T, aaliicamee il segale si può quidi esprimere come la somma di ifiii impulsi reagolari opporuamee raslai: ( ) ( ) x() = + Π +T T / + Π T / ( ) + Π T T / + = ( ) + = Π T T / U segale periodico quidi può, i geerale, essere espresso come: x() = + = dove x g () è deo geeraore del segale, e el osro caso vale x g () = Π(/T ) x g ( T ) (9) E chiaro che il geeraore o è uico, si può ache scegliere per esempio: ( ) T x g () = Π T / U alra oazioe spesso uilizzaa per i segali periodici è la seguee: x() = rep T [x g ()] () i cui si evidezia il periodo T e u suo possibile geeraore x g (). a.a. - Aalisi dei segali el domiio del empo

13 Segali periodici 3 b) Treo di impulsi riagolari. x() T T T T I queso caso il segale si può esprimere come: + ( ) T x() = Λ = rep T / T [Λ(/T )] = Noae come u alro possibile geeraore sia: ( ) ( ) T / T / x g () = Π Λ T / c) Treo di impulsi reagolari alerai (oda quadra). Si cosideri il seguee segale periodico: x() = + T = ( ) ( ) Π T Per rappreseare graficamee il segale e idividuare il periodo è più coveiee esprimerlo ella seguee forma: + ( ) x() = ( ) T / Π T / = Ci accorgiamo poi che la preseza di ( ) o fa alro, quado è dispari, che redere egaivi gli impulsi reagolari. Ifai risula: ( ) x() = + Π +T T / Π ( ) ( ) +T / T / + Π T / Π ( ) T / T / ( ) + Π T T / + Il segale mosrao i figura è u oda quadra di periodo pari a T. U alro possibile modo i cui esprimerlo è: x() = rep T [Π(/T ) Π(/T )] x() T T T a.a. - Aalisi dei segali el domiio del empo

14 Segali periodici 4 d) Segale periodico co geeraore che si sovrappoe. Si cosideri il seguee segale: x() = rep T [Π(/3T )] Se si prova a disegare il segale, ci si accorge che i geeraori si sovrappogoo. Per rappresearlo graficamee i modo correo ella regioe di sovrapposizioe i segali vao sommai, oeedo il segale mosrao i figura. x() T T 4 T 4 T Queso segale può ache essere espresso come: x() = rep T [ Π(/T ) Π(/T )] D alra pare si può ache decomporre come la somma di u segale cosae e di u reo di impulsi reagolari: x() = + rep T [Π(/T )] Provae, ifie, ad esprimerlo come la somma di ua cosae e di u oda quadra. e) Segale siusoidale. Tra i segali periodici di paricolare ieresse e uilià c è il segale siusoidale: x() = A cos(πf + θ) E facile verificare che queso segale risula periodico di periodo T = /f, ifai risula x( + T ) = A cos(πf ( + T ) + θ) = A cos(πf + π + θ) = A cos(πf + θ) = x() Rappreseiamo graficamee il segale x(), ierpreadolo come raslazioe e cambiameo di scala sulle ampiezze e sulla scala dei empi del segale cos(), periodico di periodo π. Bisoga prima raslare cos() verso siisra di u riardo θ e poi effeuare u cambiameo di scala pari a πf. Si oiee così il segale mosrao i figura. Equivaleemee si può ache pesare di scrivere il segale come x() = A cos[πf ( + θ/πf )] i cui si effeua prima l espasioe che causa il cambiameo di periodo da π a π/(πf ) T e successivamee si rasla il segale di θ/πf. Suppoiamo come esempio di cosiderare il segale siusoidale x() = cos(4π π/), è facile ricooscere che il segale è periodico di periodo T = / ed è riardao di /8. a.a. - Aalisi dei segali el domiio del empo

15 Segali periodici 5 A T θ πf Figura : Segale siusoidale f) Segale periodico oeuo araverso ua fuzioe composa. Si cosideri il seguee segale periodico: x() = u[cos(π/)] Comiciamo col oare che ale segale è sao oeuo mediae ua fuzioe composa: x() = f[g()], dove g() è l oda siusoidale e f[ ] è la fuzioe gradio. Per compredere come rappreseare il segale, bisoga prima ricordare come si defiisce la fuzioe gradio: u() = { alrimei Nel osro caso si ha che ale defiizioe va applicaa al segale g() = cos(π/) periodico di periodo T = 4 oeedo il segale mosrao i figura. x() = u[g()] = { g() alrimei = { cos(π/) alrimei x() 4 4 a.a. - Aalisi dei segali el domiio del empo

16 Caraerizzazioe dei segali empo coiuo 6 4 Caraerizzazioe dei segali empo coiuo I quesa sezioe vegoo irodoi alcui parameri (media, eergia e poeza) che coseoo di descrivere sieicamee i segali el domiio del empo. 4. Media emporale Dao u segale x(), si defiisce media emporale ell iervallo (, ) la quaià: < x() > (, )= x() d () Il risulao di ale operazioe è u umero che idica ioro a quale valore evolve l adameo del segale ell iervallo (, ). Esededo ale defiizioe a uo l asse dei empi si oiee la media emporale di x(): T/ < x() >= lim x() d () T T T/ Se il segale è periodico di periodo T, il calcolo della media si riduce all osservazioe su u sigolo periodo: < x() >= T / x() d (3) T T / I effei, da u puo di visa coceuale è ovvio rieere che se il segale si ripee co u cero periodo, o ha seso calcolare la sua media su uo l iervallo emporale, ma basa valuarla sul sigolo periodo. Tuavia, per compleezza riporiamo la dimosrazioe di seguio. Dimosrazioe. Facedo riferimeo al solo iegrale ella relazioe (), possiamo porre T = T + ε, dove idica il umero di periodi coeui ell iervallo [ T/, T/] ed ε è la frazioe di iervallo emporale residua; allora risula T/ T/ x() d = = (T +ε)/ ( T ε)/ T / ( T ε)/ x() d (4) T / x() d + x()d + T / (T +ε)/ T / x() d (5) Si oi adesso che sia il primo che il erzo iegrale ella (5) dao u coribuo fiio, perché calcolai su u iervallo di duraa fiia pari a ε, perao quado si divide per T e si passa al limie per T, cioè per il loro coribuo è ullo. Il secodo iegrale, ivece, per la periodicià di x() è pari a vole l iegrale eseso ad u solo periodo. Quidi risula: T / < x() > = lim T + ε = lim T + ε T / T / T / x() d (6) x() d (7) = T / x() d (8) T T / a.a. - Aalisi dei segali el domiio del empo

17 Caraerizzazioe dei segali empo coiuo 7 Di seguio si mosrao alcui esempi di calcolo della media emporale. a) Impulso reagolare: x() = A Π(/T ). Per o cofodere la duraa dell impulso reagolare co il paramero T che compare ella (), riscriviamo il segale come x() = A Π(/T ). T < x() >= lim / T T T / A d = lim T A T T = b) Impulso riagolare: x() = A Λ(/T ). T A T < x() >= lim T T A( ) d = lim T T = c) Espoeziale moolaero: x() = A e /T u(). T/ < x() >= lim T T A e /T A T d = lim T T = d) Segale gradio: x() = A u(). T/ < x() >= lim T T A d = A e) Segale periodico: x() = A rep T [Π(/T )]. < x() >= T T /4 T /4 A d = A f) Segale siusoidale: x() = A cos(π/t ). < x() >= T T / T / A cos(π/t ) d = Noiamo come sia l impulso reagolare che quello riagolare hao media ulla. I effei, ale risulao può essere eseso a ui segali a duraa fiia, che assumoo valori fiii ell iervallo di defiizioe. Queso risulao o deve sorprederci dao che il valore che assume mediamee u segale a duraa fiia osservao su iervallo emporale ifiio è chiaramee pari a zero. Ovviamee queso o sigifica che i segali a media ulla hao duraa fiia come mosra l esempio c). La media emporale spesso è ache chiamaa compoee coiua di u segale e la si idica co x dc : x dc =< x() > a.a. - Aalisi dei segali el domiio del empo

18 Caraerizzazioe dei segali empo coiuo 8 Si defiisce quidi la compoee aleraa come: x ac = x() xdc Ovviamee la compoee aleraa ha media ulla. 4.. Esempio Si cosideri uovamee il reo di impulsi reagolari di periodo T : x() = A rep T [Π(/T )] Abbiamo calcolao la media emporale di queso segale pari a x dc =< x() >= A/. Il segale x() può quidi ache essere espresso come la somma di ua cosae e ua compoee aleraa, che i queso caso è u oda quadra: x() = A [ A + rep T Π(/T ) A ] Π(/T ) 4.. Esempio La media emporale del gradio uiario è pari a /, soraedola al segale oeiamo la sua compoee aleraa: da cui: 4..3 Proprieà della media x ac = u() = sig() u() = + sig() La media gode delle proprieà elecae di seguio:. Ivariaza emporale. Dao u segale x() se e cosideri la sua versioe raslaa: y() = x( ) co > si ha che < y() >=< x( ) >=< x() > R (9) la media cioè è ivariae per raslazioe del segale. Dimosrazioe. < y() > = lim T T = lim T T = lim T T = lim T T T/ T/ T/ T/ T/ y()d x( )d x(τ)dτ () T/ [ T/ T/ ] T/ x(τ)dτ + x(τ)dτ x(τ)dτ () T/ T/ T/ a.a. - Aalisi dei segali el domiio del empo

19 Caraerizzazioe dei segali empo coiuo 9 La () è saa oeua mediae il cambio di variabili τ =, mere ella () l iegrale è sao semplicemee decomposo ella somma di re iegrali. Si oi adesso che sia il primo che il erzo iegrale dao u coribuo fiio, perché calcolai su u iervallo di duraa fiia, perao quado si divide per T e si passa al limie per T il loro coribuo è ullo. Da qui l assero.. Liearià. Dao u segale z() = a x() + a y(), combiazioe lieare di due segali, risula: < z() >= a < x() > +a < y() > a, a C () la media è ach essa combiazioe lieare, secodo gli sessi coefficiei, delle medie dei due segali. La dimosrazioe segue baalmee dal fao che sia l operazioe di limie che l iegrazioe soo operazioi lieari. Cosideriamo adesso alcui segali di cui si vuole calcolare la media. a) x() = e ( ) u( )+4u(). Applicado la proprieà di liearià e di ivariaza emporale e ricordado che < u() >= /, si ha: < x() >=< e u( ) > +4 < u() >= + 4 = b) x() = + cos(π + π/8). Ache i queso caso applichiamo erambe le proprieà: < x() >= + < cos(π + π/8) >= + = I effei, i queso esempio il segale risula già espresso come somma della compoee coiua x dc = e della compoee aleraa, daa dall oda siusoidale raslaa. 4. Poeza ed Eergia Si defiisce valore quadraico medio la quaià: < x() T/ >= lim x() d (3) T T T/ dove deoa il modulo del segale (i modo che la defiizioe si possa esedere ache ai segali complessi). Tale paramero è chiamao ache Poeza media di x(): P x =< x() > Ifai, i mole applicazioi i segali rappreseao quaià fisiche; per esempio, u segale può rappreseare la esioe, v(), o la corree, i(), lugo u resisore co resiseza R; i al caso, la poeza isaaea dissipaa è: p() = v()i() = v () R = R i () (4) a.a. - Aalisi dei segali el domiio del empo

20 Caraerizzazioe dei segali empo coiuo I effei sia che il segale sia ua esioe o ua corree la poeza isaaea risula comuque proporzioale all ampiezza del quadrao del segale. Allora la (3) può essere cosideraa la poeza media dissipaa da u segale su ua resiseza di R = Ω. Allo sesso modo possiamo defiire l eergia di u segale come T/ E x = lim x() d = T T/ + x() d (5) E molo imporae ricordare che i ermii eergia e poeza soo usai idipedeemee dal fao che il segale x() sia effeivamee legao ad ua quaià fisica. (Teiamo comuque presee che ache se x() fosse ua esioe bisogerebbe dividere il suo valore per la resiseza per oeere le dimesioi di u eergia fisica). Come per la media, la poeza di u segale periodico di periodo T si semplifica i: T / P x = x() d (6) T T / Co quese defiizioi possiamo ideificare re imporai classi di segali:. I segali che hao eergia fiia: < E x <. Tali segali hao sicuramee poeza ulla e vegoo dei segali di eergia;. i segali che hao poeza fiia: < P x <. Tali segali hao eergia ifiia e vegoo dei segali di poeza; 3. i segali che o hao é eergia é poeza fiia. Quesi segali o soo di ieresse praico. Di seguio vegoo mosrai alcui esempi di segali di eergia e di poeza. a) Impulso reagolare: x() = A Π(/T ). E x = +T/ T/ A d = A T b) Impulso riagolare: x() = A Λ(/T ). E x = T ( A ) T d = 3 A T c) Espoeziale moolaero: x() = A e /T u(). E x = + A e /T d = A T. a.a. - Aalisi dei segali el domiio del empo

21 Caraerizzazioe dei segali empo coiuo d) segale cosae: x() = A. T/ P x = lim T T T/ A d = A e) gradio uiario: x() = A u(). T/ P x = lim T T A d = A f) sigum: x() = A sig(). T/ P x = lim T T T/ A d = A g) segale periodico: x() = A rep T [Π(/T )]. P x = T /4 T T /4 A d = A h) segale siusoidale: x() = A cos(πf ). P x = T / T T / A cos (πf )d = T / [ T T / A + cos(4πf ) ] d = A I segali rasiori soo ideificabili co l isieme dei segali di eergia, mere i segali periodici soo sempre segali di poeza. Verificae che il segale x() = u() (rampa) o è é di eergia é di poeza, quidi E x = P x =. 4.. Proprieà L eergia e la poeza godoo delle proprieà elecae di seguio:. Ivariaza emporale: dao u segale x() se e cosideri la sua versioe raslaa: y() = x( ) si ha che P y = P x e E y = E x, la poeza cioè è ivariae per raslazioe del segale. La dimosrazioe è aaloga a quella della media pe i segali di poeza, si riduce ad u semplice cambiameo di variabile per i segali di eergia.. No liearià: Dao u segale z() = x() + y(), calcoliamo la poeza di z(): P z = < z() >=< x() + y() >=< (x() + y())(x() + y()) > = < x() > + < y() > + < x()y () > + < y()x () > = P x + P y + P xy + P yx = P x + P y + Re[P xy ] a.a. - Aalisi dei segali el domiio del empo

22 Caraerizzazioe dei segali empo coiuo dove si defiisce P xy =< x()y T/ () >= lim x()y () d (7) T T T/ poeza muua di x() e y(), che iee coo delle relazioi eergeiche muue ra i due segali. Aalogamee P yx =< y()x () > è la poeza muua di y() e x(). Se i segali soo reali si ha che P xy P yx per cui: P z = P x + P y + P xy (8) Se P xy = P yx = i segali si dicoo orogoali e vale la proprieà di addiivià della poeza. Sesso discorso vale per l eergia, per cui risula i geerale dove E z = E x + E y + Re[E xy ] + E xy = x()y ()d (9) rappresea l eergia muua. Ache i queso caso se i segali soo reali si ha: e se E xy = E yx = i segali si dicoo orogoali. E z = E x + E y + E xy (3) Di seguio si riporao alcui esercizi sul calcolo dell eergia e della poeza per segali del ipo z() = x() + y(). a) z() = 3 Π( + 3) + e / u(). I segali cosiderai soo erambi di eergia e o si sovrappogoo el empo, quidi sicuramee il loro prodoo è ullo (E xy = ). L eergia è daa dalla somma dell eergia dei due segali, quidi E z = 9+ =. Nel calcolo si è sfruao il fao che l eergia di u impulso reagolare è A T ed è ivariae per raslazioe (A = 3, T = ), mere quella del segale espoeziale moolaero è A T/ (A =, T = ). Si oi come la somma di due segali di eergia è acora u segale di eergia. b) z() = Π(/) + Λ()sig(). Ache i queso caso i segali risulao orogoali, dao che il prodoo di u segale pari (Π(/)) e di u segale dispari (Λ()sig()) è u segale dispari ed ha area ulla per cui E xy =. L eergia di x(), impulso reagolare di ampiezza uiaria e duraa è pari proprio a, mere quella di y() coicide co l eergia di u impulso riagolare di ampiezza e semiduraa uiaria pari a /3. Perao E z = 8/3. c) z() = Π(/) + Λ(). Abbiamo a che fare acora co due segali di eergia, che quesa vola si sovrappogoo, per cui bisoga valuare E xy. Il segale prodoo è: x()y() = Π(/)Λ() Λ() la cui area è pari a. Quidi E z = + /3 + = 4/3. a.a. - Aalisi dei segali el domiio del empo

23 Caraerizzazioe dei segali empo coiuo 3 d) x() = u( ) + sig( + ). Quesa vola abbiamo a che fare co due segali di poeza. Sfruiamo il fao che la poeza è ivariae per raslazioe e che abbiamo già calcolao la poeza per u() e sig(), pari a / e a, rispeivamee. Per quao riguarda, ivece, la poeza muua, risula: x()y() = u( )sig( + ) = u( ) per cui bisoga calcolare P xy che coicide co la media emporale del gradio raslao, già calcolaa i precedeza, e pari a /. I oale, P z = / + + / =. e) z() = + rep [ Π() Π( )]. Noiamo come i queso esempio il segale sia espresso mediae la somma della compoee coiua ed aleraa: z() = z dc + z ac (), per cui la poeza muua risula: < z dc z ac () >= z dc < z ac () >= roviamo i queso modo che compoee coiua ed aleraa soo sempre orogoali. La poeza di z dc è zdc, i queso caso 4, mere la poeza del segale periodico è: Complessivamee P z = 8. f) z() = Π() + cos(π). P z = 4 d = 4 I queso caso il segale è dao dalla somma di u segale di eergia e di u segale di poeza. Noiamo come z() risuli u segale di poeza, dal momeo che l eergia è ifiia (a causa della siusoide), quidi P z = P x + P y + P xy = + / + = / I queso coo si è sfruao il fao che l impulso reagolare ha poeza ulla, il segale siusoidale ha poeza pari a A / (A = ) e il segale prodoo x()y() risula essere u segale a duraa fiia (a causa della fiesra reagolare) e quidi è u segale di eergia che ha media ulla. e) z() = cos(πf ) + si(πf ). I queso esempio oiamo come i segali risulio orogoali, ifai: allora: < cos(πf ) si(πf ) >= < si(4πf ) >= P z = P x + P y = / + / = Ache i queso caso la somma di due segali di poeza è u segale di poeza. a.a. - Aalisi dei segali el domiio del empo

24 Aalisi dei segali empo discreo 4 5 Aalisi dei segali empo discreo I quesa sezioe esederemo l aalisi el domiio del empo ai segali empo discreo (o sequeze), i cui la variabile idipedee appariee ad u isieme discreo (fiio o ifiio, ma umerabile). Quesi segali possoo rappreseare feomei per loro aura discrei, come per esempio la successioe delle emperaure miime o massime gioraliere i ua daa localià. Essedo però i segali di ieresse di aura aalogica (audio, voce, immagii, video), per poerli elaborare al calcolaore essi devoo essere rappreseai mediae ua successioe di valori presi i deermiai isai emporali (campioameo). Per queso moivo ella maggior pare dei casi i segali empo discreo derivao dal campioameo di segali empo coiuo. Useremo la oazioe x(), dove è ua quaià iera. 5. Defiizioe dei segali elemeari a) Impulso uiario o dela di Kroecker: { δ() = = alrimei R a) Fiesra reagolare: 6 () { R N () = N alrimei 5 B b) Fiesra riagolare o di Barle: 6 () { B N () = N N N alrimei 5 c) Gradio uiario: { u() = alrimei c) Segale espoeziale moolaero: { x() = a alrimei a.a. - Aalisi dei segali el domiio del empo