Capitolo 3 Il trattamento statistico dei dati

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1 Capolo 3 Il raameo sasco de da 3. - Geeralà Nel descrere feome, occorre da u lao elaborare de modell (coè delle relazo maemache fra le gradezze, che coseao d descrere e preedere l feomeo) e dall alro dars degl srume per erfcare l grado d approssmazoe d quese elaborazo (essezalmee errogado la realà fsca, coè msurado gradezze) Msura delle gradezze No è possble qu aalzzare le delcae e profode queso mplce ella defzoe e classfcazoe delle gradezze e dell operazoe d msura; bas pesare che o è mmedao decdere se u alore, arbuo ad ua gradezza co u qualche procedmeo, s possa defre msura d quella gradezza (è uo cosa sgfca msurare ua lughezza, pù problemaco è affermare che l quozee elleo è ua msura dell ellgeza oppure defre u meodo d msura del beessere d ua azoe). C lmamo perao ad affermare che l coceo d msura o può prescdere dalla cosderazoe delle caraersche dello srumeo co cu la s effeua, delle sue erazo co l ambee e co la defzoe (alola solao mplca) d u modello della gradezza sessa, che ee assuo come soddsfacee agl scop del procedmeo d msura. I seguo l aezoe errà posa sulle caraersche dello srumeo e sull erazoe fra esso e l ambee, poché da quese asce ua arablà de rsula (es umerc) dell operazoe d msura. Per meglo compredere ece l sgfcao del modello mplcamee assuo per la gradezza msuraa, s cosder ad esempo la msura del damero d u psoe. Parlado d damero mplcamee ammeo che la sezoe del psoe sa crcolare: se però spgess la

2 Il raameo sasco de da 8 raffaezza del meodo d msura al dsoo del mcromero e rpeess la msura poszo derse, dore cocludere che realà la crcolarà, per le mprecso d laorazoe, è u modello roppo semplce, per descrere ua sezoe del psoe, rspeo a da msura Icerezza d msura L esgeza d rodurre l cerezza asce dalla osserazoe spermeale che la rpezoe della msura d ua medesma gradezza alue codzo pora a rsula ders. Pesamo alla msura della lughezza d ua rae relea, effeuaa co u mero graduao mllmer. Se la rae è luga ders mer, la arablà de rsula asce almeo da due cause: a) samo cosre a rporare pù ole lo zero del mero b) se aluamo la lughezza al mllmero, dobbamo smare a quale acca della graduazoe corrspode l esremo della rae. I og rpezoe del processo rpor e la sma soo sogge a fluuazo accdeal che geerao percò pccole arazo el alore fale smao della lughezza. Noamo che: ao maggore è l umero d rpor, ao maggor sarao le dscordaze fra le rpezo della msura; se la rae fosse luga meo d u mero, o occorredo rpor, le msure dfferrebbero al pù per mllmero. Da quese osserazo s comprede che qualsas srumeo/meodo d msura ha ua propra cerezza. Quesa è messa edeza quado le codzo cu s solge l processo d msura roducoo u rumore superore alla sesblà dello srumeo e quado edamo usare lo srumeo a lm della sua sesblà (ad esempo, se olessmo smare l decmo d mm co la rga mllmeraa). Se msurass ece al cm (coè arroodado le leure al cm) co la sessa rga, asseza d rpor oerre sempre lo sesso alore: ho usao uo srumeo d sesblà superore a quella rchesa, e le codzo d mpego o hao rodoo cerezze superor al cm. La cosderazo sopra fae c mpogoo allora d abbadoare l coceo d alore d ua gradezza come eà a sé sae: doremo sempre esprmere l rsulao d og operazoe d msura assocado al alore umerco la aluazoe dell cerezza co cu esso è sao rcaao. Essoo, accao alle fluuazo accdeal, ache le cosddee cause ssemache d errore, la cu aura emerge charamee cosderado l modello usao per descrere l feomeo.

3 8 Capolo Approssmazoe del modello Og descrzoe maemaca d u feomeo fsco, ulzzaa per esprmere l alore d ua daa gradezza fuzoe d alre gradezze o paramer, dee rcorrere a semplfcazo, sa per rago operae sa per la dffcolà d scedere a cer lell d deaglo ella aals de faor goco. Il modello dee essere percò: a) l pù semplce possble, perché sa ulzzable faclmee (o rcheda la coosceza o la msura d ropp paramer); b) complcao quao ecessaro, relazoe alla approssmazoe (cerezza) che s rchede a alor prede dal modello sesso. Nel modello s dsguoo ua compoee fuzoale ed ua socasca, che soo sreamee coesse. La compoee fuzoale descre aalcamee la relazoe fra la gradezza osserable ed paramer (fsc, geomerc) che soo ad essa collega. La rleaza, l umero ed l ruolo d ques paramer ero l modello dee essere aluao relazoe alla cerezza da oeere ella sma della osserazoe: fa, fuzoe d ale alore, porao assumere mporaza o meo effe d po ssemaco che possoo essere modellzza, sa pure al prezzo d u maggore mpego ell esecuzoe delle msure e/o el corollo della arablà d deerma faor ambeal. La compoee socasca del modello è ece legaa al complesso delle cause d arablà del alore osserao che o s cludoo esplcamee el modello fuzoale: essa ee coo coè della dspersoe delle msure doua a cause, dee accdeal, che sfuggoo ad ua modellzzazoe aalca o che s decde d o modellzzare aalcamee perché roppo complesse. Per compredere meglo la aura delle due compoe, cosderamo la msura d ua dsaza paa L co ua roella merca cemeraa, luga 5 m. Suppoamo che l coeffcee d dlaazoe ermca della roella merca sa b -5 C - e che la emperaura ell ambee d msura sa d C superore a quella rspeo a cu la roella merca è saa graduaa. Aalogamee, suppoamo che l coeffcee d allugameo del maerale cosuee la roella merca sa a 5 5 kg e che la esoe applcaa fase d msura sa d 5 kg. Le corrspode arazo d lughezza della roella merca soo qud par a

4 Il raameo sasco de da 83 5 L b T 5m C C cm 5 L a F 5m 5kg 5 kg,5cm E edee che se oglo msurare co cerezza ca al cm deo eere coo della deformablà della bdella, coè sosaza deo correggere alor msura Loss delle quaà L e L. Il modello fuzoale dea percò ( b T a F) L oss L (3.) doe Loss rappresea la sma d L, coè la aluazoe della lughezza oeua base alle msure fae (se rpeess la msura preseza d dsurb accdeal, l alore umerco d L camberebbe). Il modello fuzoale clude qud due effe ssemac (la dlaazoe ermca e l allugameo douo alla forza applcaa), cosdera lear, che rchedoo d cooscere alor d b ed a, olre alla msura d T ed F. Queso è l prezzo che bsoga pagare per oeere ua correa aluazoe della dsaza. Osserazo:. I codzo ambeal sabl e co forza applcaa cosae, se o correggo oego ua lughezza Loss more d L (lughezza effea): commeo coè u errore d sma della gradezza a cu soo eressao. La caraersca d queso errore, per cò che dpede da F e T, è l fao che posso preedere l eà, perché soo grado d descrerlo aalcamee: u errore d queso po è deo ssemaco e la sua preseza deoa ua adeguaezza del modello fuzoale.. Suppoamo d oler msurare ua lughezza per cu sa ecessaro l rporo, aalogamee a quao deo per l rghello pù sopra. Eseguamo derse sere d msure, arado modo casuale da ua sere all alra le codzo ambeal e le forze applcae, seza correggere le osserazo. Oego allora ua dspersoe d rsula assa maggore rspeo al caso precedee, cu alor ossera soo ds a gruppe, cascuo corrspodee ad ua sere d msura. I sosaza, se aro modo accdeale le codzo ambeal e la forza, quese cause assumoo, se o corree, u comporameo d po accdeale, poché aumeao la dspersoe delle osserazo. Perao la dszoe fra comporameo ssemaco ed accdeale, pur chara coceualmee, all ao praco dpede dalle codzo specfche. Spesso, quado è presee u comporameo ssemaco che uaa o s resce a correggere (ad esempo perché o è oo l alore d u paramero da cu esso dpede),

5 84 Capolo 3 l uca aleraa è propro quella d redere arfcalmee accdeale l ssemasmo, rpeedo pù ole la msura. Nelle operazo opografche gl srume mpega, le codzo operae e ambeal, le modalà d msura soo al per cu l cerezza d msura dee quas sempre essere cosderaa. S poe perao l problema d ua correo raameo de da rlea I feome aleaor C soo feome l cu eso o è preedble a pror. Ad esempo: l rsulao del laco d u dado la msura d ua lughezza l peso d uo sudee scelo a caso l sae cu ascerà l prossmo bambo a Mlao Sudado cascuo d ques feome uaa c accorgamo che, per quao capac d preedere co esaezza l rsulao del sgolo eeo, samo però grado edezare delle regolarà, d descrere u comporameo meda. La descrzoe sarà percò sfumaa, ma pur sempre rcca d formazo: essa passa araerso l assegazoe d probablà agl ee. Nel caso che pù eressa la opografa, oero la msura d gradezze, l affermazoe appea faa mplca l assuzoe che la arablà (oero l cerezza) d msura d po accdeale possa essere descra a pror da u meccasmo d po probablsco, coè che le oscllazo de alor ossera sao rappreseabl come esrazo da ua arable casuale (cfr. pù aa). Quesa affermazoe può essere presa semplcemee come gusfcazoe emprca d u crero operao assa fruuoso, seza coè rcercare mplcazo causal: poché l raameo sasco de da m cosee ua maggor compresoe del feomeo e m offre ua capacà presoale e decsoale fodae eorcamee e cofermae pracamee, è sesao adoperarlo. Le dscple che sudao come descrere e erpreare feome aleaor soo la eora della probablà e la sasca. La prma, essezalmee dedua, sega a cosrure le probablà d ee compless a parre da u modello socasco oo. La secoda, d po duo, cerca d rcosrure u modello socasco a parre da ee gà realzza; essa s arcola ella eora della sma (la rcerca della mglor sraega d errogazoe della realà per esrarre formazo sul feomeo) e ell fereza, coè ella erfca d poes sul modello erpreao del feomeo, erfca che, ecessaramee, s effeua sulla base d da esra dal feomeo.

6 Il raameo sasco de da I paramer sasc Cosdereremo sere d msure affee da sol error d po accdeale. Aedo raccolo ua sere d da su ua popolazoe, occorroo dc che rassumao fedelmee le formazo coeue e da. Ques alor, desa a rappreseare da orgal d ua sere d msure egoo de paramer sasc della sere. Preseare la oalà delle msure permee d cooscere peamee l feomeo, ma compora due coee: l prmo è che l seme d da o è charo e ale charezza peggora all aumeare delle msure: occorre preseare gl sess forma pù seca; l secodo è che l seme o s presa a calcol e a cofro. Il secodo coeee è assa peggore del prmo. S può rsolere l problema roducedo rappreseazo grafche, po sogramm, che soo d scuro effeo, ma o coseoo calcol uleror, é es rgoros, soo coè preseazo, erm sasc, poco effcac. Ifa uamee possamo dre che u paramero sasco è ao pù effcace quao meglo rassume l coeuo formao de da zal co la mor perda d formazo e quao meglo s presa a calcol uleror e es. Nel campo delle msurazo paramer sasc pù effcac soo la meda armeca de da e la araza o la deazoe sadard La meda La meda armeca, cooscua f da emp ach, è l alore cerale aoro a cu s dsrbuscoo da. µ X f (3.) N doe le f soo le frequeze relae degl N alor argomeal X. Essa racchude solo ua pare dell formazoe su da perché le maca ua caraersca essezale, quella coè d o dre come alor soo dspos oro ad essa. Ifa se, ad esempo, predamo re sere d msure (abella 3.): 3 a a a sere sere sere 999;; 9;; ;;9 Tab. 3. meda meda meda

7 86 Capolo 3 la meda è la sessa per le re sere, ma l sgfcao d cascua sere è profodamee derso perché lo è la dspersoe de alor. Se aessmo ora alre 3 sere d msure co dsperso aaloghe alle re precede e co meda, è charo che la dffereza è ea el caso della sere, dscuble per la sere, pra d sgfcao per la La araza e la deazoe sadard Coraramee alla meda, che quao barcero de da è u coceo quas uo, la araza, che msura la dspersoe de alor aoro alla meda, e corrspode duque al momeo d erza, lo è assa meo. Cercado d defre u dce d dspersoe, fra a che s possoo adoare, l erallo d arazoe, defo dalla dffereza ra la pù pccola e la pù grade delle msure, rappresea ua ozoe semplce e ua. U aals pù aea mosra però che essa o ee coo della dsrbuzoe de da all oro. Essa po è poco robusa, coè sesble agl error grossola; olre alor esrem soo pù flueza dalle oscllazo accdeal e soo sabl: se s rpeoo le msure ques alor possoo arare grademee. U alro paramero uo e semplce è la deazoe meda o scaro, oero la dffereza fra u geerco alore della sere e l alore medo. Lo scaro medo s oee facedo la meda de alor assolu degl scar ed è d facle compresoe. La araza e la deazoe sadard soo paramer d dspersoe pù ulzza e comu sud sasc. La araza, che s dca geeralmee co la, è defa maemacamee come: ( µ ) f (3.3) N La deazoe sadard alr o è che la radce della araza. Suppoamo d aere la seguee sere d gradezze lear:

8 Il raameo sasco de da 87,,,9,4, X Valor X ( m),9 6,735 µ,, 5,5,, 5,5,9, 5,35,4, 5,,5,5,9, 5 X X Scar Nµ Tab. 3.,5,65 Quadra degl scar,5 6,,,, 4, , da cu - Meda µ X f N 6,735/6,5 - Varaza f,/5,3-5 N - Deazoe sadard o e.q.m.,3 5, 36 - Coeffcee d arazoe µ,36,5,358% - Errore sadard della meda o eqm della meda m,36, 6 N 6 Gl ulm due paramer (coeffcee d arazoe e errore sadard della meda o eqm della meda) l edremo seguo, così come l coceo d grad d lberà (perché - e o ). No damo qu dmosrazoe del perché ques paramer soo pù effcac, rporado solo quao u grade sasco Fscher ha deo : La grade fduca che u gl specals hao ques paramer è probablmee basaa assa pù sulla eccelleza de rsula oeu dopo a d uso couao, che o sulle dmosrazo formal.

9 88 Capolo I grad d lberà Nella sere d msure Tab. 3. abbamo se alor dpede seso maemaco, coè o cola da relazo. Idpede o sgfca che o dpedoo da ulla, perché quaomeo dpedoo dal dsposo spermeale adoao (se soo lughezze dpederao dalla bdella o dal dsazomero), ma sgfca che essu alore della sere può essere dedoo dalla coosceza degl alr alor. Soo coè dpede fra loro. I al caso dremo che ua sere d alor ha grad d lberà. Cosderamo ora gl scar della sere: l prmo alore o deerma l secodo e così a fo al peulmo. L ulmo è deermao e può essere calcolao a parre da prm cque alor perché la somma algebrca degl scar dee essere uguale a zero. Percò, ella sere degl scar cque alor soo dpede fra loro e o se, oero grad d lberà della sere scar soo -. Passado dalla sere msure alla sere scar s perde sempre u grado d lberà. I grad d lberà soo la dffereza ra l umero d da dspobl ed l umero d relazo che l colao. No è l umero oale de da che coa, ma l umero de da dpede Ua sere d msure come campoe d ua popolazoe La sasca è ua sceza dua: rae cocluso geeral a parre da da parcolar. La sere d msure prma sa alr o è che u campoe esrao dalla popolazoe delle msure possbl d quella gradezza, che soo fe. Il problema che s poe, però, è queso: fo a che puo l campoe esprme le caraersche della popolazoe orgara? Come s porebbe caraerzzare quaaamee ua popolazoe deale sosazalmee fa? L espereza ha dmosrao, assa pù delle dmosrazo eorche, che la maggor pare delle msurazo possoo cosderars esrae da popolazo dsrbue ormalmee. Ua dsrbuzoe ormale ha ua sua defzoe maemaca be precsa, ma a o basa sapere che ua popolazoe ormalmee dsrbua uo de alor apparrà co frequeza massma, e alor pù bass o pù al d queso comparrao co ua frequeza ao more quao s alloaao dal alore pù frequee. La cura ha ua forma a campaa ed è smmerca rspeo al alore d massma frequeza.

10 Il raameo sasco de da 89 La cura ormale, dea cura o dsrbuzoe d Gauss è compuamee oa quado s cooscoo l ascssa della sommà della cura, che è l alore medo, e la dsaza da queso de pu d flesso della cura, smmerc a desra e a ssra della meda, che alr o soo che la deazoe sadard. La fgura 3. mosra la dsrbuzoe ormale d ua popolazoe co meda µ e deazoe sadard ±. I alor che s alloaao dalla meda soo pù rar d quell ad essa c. L espressoe maemaca della cura, che è asoca, c dce che u gl ddu della popolazoe sao soo la cura ra - e ; la probablà che u dduo preso a caso fra la popolazoe prese u alore compreso ero u erallo assegao è daa dal calcolo dell area soesa dalla cura quell erallo. Ques alor soo coeu appose aole. frequeze relae -k µ k alor Fg. 3. Per esempo l 68,6% della popolazoe s roa ell erallo µ ±, l 94,44% fra µ ±, l 99,73% fra µ ± 3, l % fra µ ±. Fssao u erallo sull asse de alor real, posso leggere sulla cura la probablà che ua msura ero l erallo La sma d m e d s La mglor sma della meda µ della popolazoe è la meda armeca X ; la mglor sma della deazoe sadard della popolazoe è la deazoe sadard S del campoe.

11 9 Capolo 3 Nella abella 3. la meda X,5 o è l alore della era meda µ della popolazoe d orge del campoe, ma la mglor sma che ruscamo a fare. No però oglamo ache sapere quale msura la osra sma X della meda s approssma al ero alore µ, la cu esaa coosceza o aremo ma, perché la popolazoe è fa e o o possamo esamare ua la popolazoe L errore sadard della meda I rfermeo alla abella 3. abbamo rappresea paramer sasc X e S del campoe esrao dalla popolazoe delle msure possbl. Suppoamo ora d esrarre dalla popolazoe u alro campoe d se msure e calcolamo la meda X (pure essa ua sma d µ): l suo alore sarà leggermee derso da X. Procedamo aalogamee oeedo u alro campoe d se ddu e qud ua meda X e così a. Se rpeessmo fe ole quesa operazoe oerremmo ua popolazoe d campo cascuo co l suo alore della meda. Esse u eorema fodameale che dce che : Se ua popolazoe è dsrbua ormalmee co meda µ e deazoe sadard, le mede d u umero fo d campo, cascuo composo da ddu esra a caso dalla popolazoe, s dsrbuscoo secodo la cura ormale la cu meda è µ e la cu deazoe sadard è. m Dalla abella 3. qud la deazoe sadard della meda smaa del campoe d se alor è daa da S m S,36 6,6 (queso ell poes che S ). Poché paramer della dsrbuzoe delle mede soo µ e m e la loro sma è X e Sm, è sempre possble co l auslo delle cae aole roare la perceuale d ddu della popolazoe delle mede o probablà che s ro u erallo X ± κ S. Co rfermeo ora alla fgura 3. s ede come le mede calcolae a parre da u campoe oscllo molo meo aoro alla meda d quao o faccao gl ddu che cosuscoo l campoe. m

12 Il raameo sasco de da 9 frequeze relae Dsrbuzoe d mede d campo d alor Dsrbuzoe d mede d campo d 6 alor Dsrbuzoe de da ddual µ - alor Fg. 3. S ede ache che quao è maggore la dmesoe del campoe oero l umero d ddu che lo compogoo, ao more è la dspersoe delle mede aoro al alore ero. Al lme, quado, la deazoe sadard ede a zero e qud la meda smaa ede alla meda era, oero alla msura era. Cocludedo, che cosa dobbamo fare quado abbamo ua sere d msure:. Occorre calcolare la meda X e la araza S o la sua radce S (deazoe sadard) dopo aer appurao che ella sere d msure o sao error grossola o ssemac.. Ua sere d msure dee essere cosderaa come u campoe d ddu esra da ua popolazoe deale, fa, che è caraerzzaa da due paramer meda µ e araza (dalla sua deazoe sadard ). I paramer er µ e o possoo essere deerma co esaezza a parre dal campoe, ma le mglor sme che s possoo aere soo X e S (o S). 3. Se da ua popolazoe s esraggoo de campo d ddu, alor oeu per le mede d ques campo oscllao oro alla era µ, cosuedo ua popolazoe d mede cu paramer soo la meda µ e la deazoe sadard, o errore sadard della meda, m. Paredo da u solo campoe d ddu s può oeere ua sma del ero errore sadard co la formula S m S. Geeralmee paramer che abbamo so fuzoao bee el descrere l feomeo. Essoo però cas, che o soo quell abual delle popolazo d msure, cu le sme de paramer sasc possoo o essere effcac. Cò parcolare quado o s resce a modellare

13 9 Capolo 3 l feomeo della dsrbuzoe de da, che, goa rpeerlo, el caso delle msure l espereza c ha mosrao essere propro ormale. 3.3 La propagazoe dell errore medo Abbamo so come la meda e la araza d ua arable casuale moodmesoale sao grado d rappreseare l barcero e la dspersoe. I opografa però raramee s msura dreamee la quaà che s uole deermare: ad esempo s msurao agol azmual, zeal, dsaze e dslell per deermare coordae ecc.. Occorre allora poer rcaare la meda e la araza della arable casuale fuzoe d alre arabl casual, oero derare le caraersche d aleaoreà della gradezza msuraa dreamee, ua ola o paramer caraersc delle quaà msurae dreamee La propagazoe dell errore medo per le fuzo lear o o lear d gradezze osserae dpede Cosderamo la fuzoe leare: ( X, Y,Z,... ) ax by cz... l f (3.4) cu le gradezze X, Y, Z,... sao dpede ra loro e dreamee msurabl. Sao X, Y, Z,... ; X, Y, Z,... ;...; X, Y, Z,... sere d alor delle gradezze X, Y, Z,... oero s esragga u campoe d alor d cascua arable. Poremo screre, per ogua delle sere d alor, le relazo: f f f ( X, Y,Z,... ) ( X, Y,Z,...)... ax ax soraedo cascua d quese dalla f s oee: by cz... l by cz... l ( X, Y,Z,...) ax by cz... l (3.5) f f f f... f f a a a ( X - X ) b( Y - Y ) c( Z -Z ) ( X - X ) b( Y - Y ) c( Z -Z ) ( X - X ) b( Y - Y ) c( Z- Z )... (3.6) Poedo f f ε, X X, Y Y y, Z Z z (3.7)

14 Il raameo sasco de da 93 f f ε, X X (3.8) S oee:... cz by a cz by a... cz by a ε ε ε (3.9) Quese relazo esprmoo learmee gl error do f dagl error d msura delle gradezze X, Y, Z,.... Quadradole s ha:... z bcy z ac y ab... z c y b a z bcy z ac y ab... z c y b a... z bcy z ac y ab... z c y b a ε ε ε (3.) Sommado membro a membro:... y ab... z c y b a ε (3.) Se gl error da cu soo affee le msure soo solo accdeal, ques arao deca probablà d essere pos o ega. Qud, al crescere del campoe d eleme, la loro frequeza ede a lellars; percò le sommaore..., y ab (3.) edoo a zero. Qud, per grade, possamo screre:... z c y b a ε (3.3) da cu, ddedo cascu erme per,... z c y b a ε (3.4)

15 94 Capolo 3 Idcado co f,, y, z,... rspeamee gl error med d ua deermazoe semplce delle gradezze f, X, Y, Z,... la relazoe dea: f a b y c z... (3.5) Se la fuzoe o è leare ma la s può learzzare sluppadola sere d Taylor arresaa al orde aoro a alor ossera X, Y, Z,... delle gradezze dpede, l'espressoe della araza della fuzoe f è aaloga a quella sopra scra, oe s pogao, al poso de coeffce a, b, c, quadra delle derae delle derae parzal d f rspeo alle gradezze osserabl X, Y,. f o, f y o,... (3.6) calcolae per u alore approssmao. Quao ora deo per le fuzo o lear ha la seguee spegazoe. S abba la fuzoe f (X, Y,...) cu X, Y,... rappreseao gradezze dpede e dreamee msurabl. Eseguedo ua sere d msure s oerrao per X, Y,... de alor ossera X, Y,.. ; X, Y,.. che sarao affe da error, y,... ;, y,.... Aremo coè, per esempo X X, Y Y y,... (3.7) ( X, Y,...) f ( X, Y y,... ) f e, d cosegueza, al orde dello sluppo sere d Taylor (3.8) f f (3.9) X Y ( X, Y,...) f ( X, Y,... ) y... f Le derae al membro soo alor o che dchamo co a, b, c,.... L errore che s ha f sosuedo alor ossera X, Y,... luogo de er sarà dao da ε b y... (3.) a Cosderado ora le alre osserabl X, Y,..., Xk, Yk,..., X, Y,... s arao alreae relazo aaloghe alla precedee elle qual coeffce a, b,..., ak, bk,..., a, b,..., rappreseao le derae d f rspeo a X, Y,..., co alor X, Y,..., X, Y,..., X, Y,.... E edee che daa la cocerazoe delle arabl osserae s porao assumere per coeffce a, b, c,... alor uc oeu sosuedo elle derae

16 Il raameo sasco de da 95 Z f, Y f, X f,... (3.) alor prossm d X, Y, Z,.... Per esempo quell geerc X, Y, Z,... d ua sere d osserazo. S possoo qud screre le relazo... cz by a cz by a... cz by a ε ε ε (3.) che soo perfeamee aaloghe a quelle roae per le fuzo lear La propagazoe dell errore medo per le fuzo lear o o lear d gradezze osserae dpede Rpredamo l'espressoe geerale sa prma el caso dpedee leare... y ab... z c y b a ε (3.3) o learzzaa, geeralmee oro al alore medo o ad ua osserable ε y y f f... z z f y y f f K K (3.4) doe, per mo sudde, l doppo prodoo è, per grade, edee a zero. Suppoamo ece che le gradezze X, Y, Z,... o sao ra loro dpede e aluamo cosa succede. S può mmedaamee edere che erm de dopp prodo y o edoo a zero al crescere d perché l comporameo d ua arable (arable scaro X-X, Y-Yy,...) dpede dal comporameo dell'alra. S può edere che la y alro o è che la sommaora del prodoo degl scar e che y alro o è che la meda del prodoo degl scar ( ) y M. L'espressoe del doppo prodoo rsula, perao, e due cas sopra s, quado s passa alle araze:

17 96 Capolo 3 a b... abm( y) (caso leare) f y (3.5) f f y f f y... M( y) f (3.6) m m y m m (caso o leare) S può dmosrare che l'espressoe M ( y ) è equalee al prodoo delle arazo sadard y per u coeffcee r y. Ques'ulmo, deo coeffcee d correlazoe leare, msura l grado d dpedeza leare fra le arabl. Esso può arare ra - e. S soolea, fe, che la espressoe ( y ) M, equalee a ry y s roa quas sempre o spesso scra ella forma y. ( y ) r M( V V ) M (3.7) y y y y La propagazoe della araza medae la marce d araza-coaraza Abbamo so la legge d propagazoe della araza esposa el modo classco. S può procedere però ache alro modo, cosruedo la marce d araza-coaraza. Occorre premeere alcue cosderazo. Paramo dal eorema della meda. Sa y casuale muldmesoale. Per defzoe la meda della fuzoe g( ) è: [ ] doe f() è la desà d probablà cogua della. Poso che essa, la meda d y è daa da: La meda è ua operazoe leare: Ifa poso yab g( ) ua rasformazoe da R a R m ed X ua arable M g( ) g( ) f( ) d (3.8) [ ] M[ g ] M y ( ) (3.9) [ b] AM b My M A (3.3)

18 Il raameo sasco de da 97 Se po la arable è be coceraa aoro alla meda, modo ale da poer screre: y g() g(m) J ( M) (3.3) s ha: ma sccome M[ ( M) ] [ ( M) ] My g(m) M J (3.3) My g( M) (3.33) Nella arable casuale a pù dmeso, olre alla meda posso defre mome della arable casuale moo o -dmesoale, fuzoe d alre arabl casual. Coceramo l aezoe su mome del orde: [ ] c M ( M ) ( M ) (3.34) k k k e per k [ ] c M ( M ) (3.35) kk k k k coè la araza della compoee k-esma. Per k c k è la coaraza delle compoe,k. Nauralmee c k c k Se passo alla forma marcale s ha: T [ ] {[ ]} [ ] C c M ( M ) ( M ) M ( X MX) ( X MX) (3.36) XX k k k C XX è la marce d coaraza della.c. X Come gà fao per la meda oglo deermare la coaraza d ua arable casuale Y fuzoe d u eore X d arabl casual. Nel caso d fuzoe leare s ha: dao che operado per sorazoe s oee: YAXb (3.37) MY A MX b (3.38) Y MY A ( X MX ) (3.39)

19 98 Capolo 3 che è lo scaro della arable casuale Y Per la coaraza s ha: T T T [ ] {[ ] [ ]} C M ( Y MY ) ( Y MY ) M A ( X MX ) ( X MX ) A (3.4) YY Per la learà della meda: T [ ] T T C A M ( X MX) ( X MX) A A C A (3.4) YY Quesa è la legge d propagazoe della coaraza per fuzo lear. S o che per Y scalare s ha: Y a X K a X (3.4) queso caso A è u eore e C YY è uo scalare. XX T C A C A a a c (3.43), YY Y XX se c k per k, allora le compoe X soo dpede: a c a Y k k k (3.44) La formula appea sa forsce l grado d dspersoe d ua gradezza Y fuzoe leare d alre gradezze X msurae modo dpedee. E fe possble, come fao per la meda, geeralzzare la legge d propagazoe della coaraza el caso cu Y o sa leare elle compoe X. S ha: e applcado le formule del caso leare: g X Y g X g MX ( ) X MX ( ) ( ) ( ) MX (3.45) C YY g X g X ( ) CXX J C J ( ) MX T MX T X XX X (3.46) co J X Jacobao della arable X Nel caso cu Y sa uo scalare s ha: Y k g( X) g X c X ( ) X k k (3.47)

20 Il raameo sasco de da 99 e se X ha solo due compoe: Y M M M M g g g g X X ( ) ( ) ( ) ( ) (3.48) Il crero d massma erosmglaza e l prcpo de mm quadra Suppoamo d aere ua gradezza η della quale s faccao osserazo l dpede; sao,,... gl error d osserazoe. η η η l... l l (3.49) Il problema è quello d deermare l alore pù probable d η sulla base delle osserazo l, l che equale a roare pù probabl alor per.ques ulm, elle poes fae, soo arabl casual, cascua delle qual segue la dsrbuzoe ormale, la cu desà d probablà è daa dalla ( ) e f π (3.5) Sccome le arabl soo fra loro dpede per l eorema delle probablà compose, la probablà che aegao ee coemporaeamee è daa dal prodoo delle probablà de sgol ee, s ha che la fuzoe desà d probablà cogua è daa dal prodoo delle are fuzo compoe: ( ) π π π π e... e... e e,...,, f (3.5) La fuzoe ( ),...,, f desà d probablà ragguge l massmo del suo alore quado l espoee ragguge l mmo, oero

21 Capolo 3 m (3.5) Se roducamo ua cosae arbrara o o ee modfcao l rsulao della codzoe d mmo, quao o rappresea umercamee u faore d scala. o m (3.53) o Deo P, peso dell osserazoe, la codzoe d mmo dea: P P m (3.54) Ua osserazoe che abba araza peso. ha peso e percò è chamaa araza dell uà d o Il prcpo de mm quadra applcao alla compesazoe co l meodo delle osserazo dree Queso po d compesazoe rguarda ssem d equazo lear o learzzae che hao u umero d equazo maggore del umero d arabl. I ssem soradeerma o hao ua soluzoe uca e qud s cerca la soluzoe mglore (d mma araza). Suppoamo d poer screre, per ogua delle msure (d dsaza, d agol e d dslell), effeuae u rleo, ua relazoe del po f (, α ), doe è l eore delle m coge e α l eore delle r quaà msurae. A causa degl error d msura prese elle quaà α, error che rerremo d po accdeale oero escludedo error ssemac o grossola, l legame ra osserazo e coge arà u resduo. I poche parole, se rsolessmo el ssema soradeermao u umero d equazo uguale al umero delle coge aremmo u ssema esaamee deermao. Sosuedo però le coge elle rmae equazo del ssema soradeermao quese o soo decamee ulle, ma ammeoo de resdu dou agl error d msura. Coee perao deermare le coge modo ale che resdu sao rpar ragoe proporzoale all cerezza delle osserazo, così che sa mma la sommaora de loro scar quadra.

22 Il raameo sasco de da Il ssema soradeermao è del po f (, α ) (, ) f α., doe og equazoe alle msure è del po V soo due problem da rsolere. Il prmo è che o ue le equazo del ssema coao allo sesso modo, occorre coè pesarle. Il secodo è che molo spesso le equazo s preseao forma o leare e percò occorre learzzarle. La soluzoe al secodo problema è semplce quao se suppoamo che le quaà msurae α o sao eccessamee dsperse, oero sao affee da error solo accdeal e pccol, ache le k o dfferrao eccessamee ra d loro. Sarà percò possble roare de alor approssma delle coge e operare u cambameo d arabl del po o δ sluppable sere d Taylor arresaa al prmo orde. Esplcado ua equazoe f (, ) α geerca del ssema s ha: f f f f ( o, α )... δ m δ δ (3.55) m doe l prmo erme è ua quaà oa l e coeffce o o o f k o (3.56) delle uoe coge δk cosuscoo ua marce A. Il uoo ssema leare (o learzzao) assume la forma A δ l m coge δ e coge. Il prmo problema, quello de pes delle equazo, può essere rcodoo alla deermazoe della araza dell osserazoe. Ache seza doerla smare emprcamee araerso l aals della dsrbuzoe d og sgola osserazoe, s può fare rfermeo, ell ambo delle msure, alla araza dello srumeo d msura. Il peso da assegare a cascua equazoe è percò ersamee proporzoale alla araza dell osserazoe. La marce de pes P è ua marce dagoale del po: P P (3.57).... P P

23 Capolo 3 Il ssema soodeermao A δ l, assocao alla codzoe d mmo pesao della somma degl scar al quadrao, dà luogo ad u ssema esaamee deermao deo ssema ormale Aδ l P m mo ssema ormale (3.58) la cu soluzoe è daa da: δ δ δ ( A PA) A Pl (3.59).. δ m La sma delle araze delle coge δ è daa da erm dagoal h della marce quadraa ( A PA) molplca per u erme deo araza dell uà d peso. o Queso è formao dalla sommaora degl scar pesa al quadrao ds per la rdodaza del ssema, oero P P o (3.6) m m Le coaraze Ck ra le coge deermae soo dae dal molplcao per erm fuor o dagoale hk. C k h (3.6) o k Il ssema ormale Il ssema A δ l equazo e m coge (m<) s rsole u ssema ormale e co la codzoe d mmo quadrao della sommaora degl scar P P m. Paramo dalla codzoe d mmo P Il secodo erme Pd d m e dfferezamo. S ha: ( P) d P Pd (3.6) è uo scalare, come s può faclmee edere:

24 Il raameo sasco de da 3.. P d d (,) (, ) (,) P.. P.. (, )(,) (,) (3.63) d La marce * è oamee uguale alla sua rasposa e percò: quao L abbameo: ( Pd) d P d P Pd (3.64) P P essedo quesa ua marce dagoale. S ha perao Dalla Aδ l s ha, facedoe la rasposa, d P d P (3.65) Aδ l Aδ l (3.66) P m d P ( δ A ) δ A l d d (3.67) oero d d d P ( δ A ) d ( δ A ) P (3.68) e acora, euo coo che A δ l ( A ) P( Aδ l) d δ (3.69) Quesa equazoe è soddsfaa qualuque sa l dfferezale d( δ ) coè: A P ( A l) A PAδ A Pl e perao l equazoe dea: δ (3.7) ( A PA) A Pl Dmesoalmee s ede che l ssema è ormale. Ifa: δ (3.7)

25 4 Capolo 3 P ( ) A PA ( m, )(, )(,m) ( m, m) A,m (, ) ( A PA) ( m, m) ( m,) A Pl ( m, )(, )(,) ( m,) (,) δ ( m, m)( m,) ( m,) A l (3.7) Nell applcazoe delle osserazo dree è sempre bee screre delle relazo che legao le quaà msurae a delle coordae coge de pu da rleare u prefssao ssema caresao. Così facedo s ea l rscho d screre u ssema el quale le equazo o soo dpede. ESERCIZIO N.6 Del ragolo fgura soo sa msura due la e l agolo compreso (Fg. 3.3). Fg. 3.3 Sa : a. m c.5 m β5 g d(3d [Km]) [mm] a5 mm c6 mm β 5 cc g,5 π,5 Deermare : rad

26 Il raameo sasco de da 5. La lughezza del lao b e la sua araza. La superfce S del ragolo e la sua araza 3. Il coeffcee d correlazoe ra l lao b e la superfce S Calcolo della superfce S : S ac sβ 53.33,859 m Calcolo della araza della superfce S : S J S C acβ J S S S S J S c s a s ac cos a c β β β β [ 53,33 353, ,9] C acβ a c,5 β,36 6,6858 S 8,88 m 4 S5,374 m S53.33,8 m ± 5,37 m Calcolo della lughezza del lao b : Dal eorema d Caro s rcaa b : b a c -ac cosβ b.6,3934 m Calcolo della araza d b : b J b a b c b a c c a ac s cosβ cosβ β β b b b [ 5, 798, , ]

27 6 Capolo 3 C ac β a, 5 c, , β b 8,68-5 m b9,34-3 m b6,39 m ± 9,3 mm Calcolo della correlazoe ra la msura del lao b e la superfce S : bs a c cosβ c sβ a b c a cosβ a sβ c b ac sβ ac cosβ b β 4,4 - m 3 bs rbs,85885,3% b S Il lao b e la superfce S soo molo correla. ESERCIZIO N.7 I queso secodo caso sao o del ragolo due agol (α, β) e l lao compreso (Fg. 3.4). Fg. 3.4 Sa : c. m α5 g β7 g

28 Il raameo sasco de da 7 α β g, d(53d [Km]) [mm] Deermare :. La lughezza del lao a e la sua araza. La lughezza del lao b e la sua araza 3. La superfce S e la sua araza 4. Il coeffcee d correlazoe ra la a e b Calcolo della lughezza de la a, b e della superfce S : γ g -5 g -7 g 8 g π α β, c8 mm,8 m,578-5 rad Dal eorema de se s rcaa : c b a sγ sβ sα sα a c s ( α β) sβ b c s ( α β) S a b sγ c sβ b c s ( α β) sα a c s ( α β) sα sβ s ( α β) 936,8597 m 743,496 m Calcolo della araza d b : 33.9,94 m b J b C cβα J b

29 8 Capolo 3 b b b sβ cosβ s( α β) sβ cos( α β) c c β α s( α β) s ( α β) [, , ,44697] cos c s β s Jb C c βα c, 64 β, 467 α, 467 b,983-4 m b,56 - m b936,8597 m ±,5 m ( α β) ( α β) Calcolo della araza d a : C J a J a cβα a a J a c a a sα β α s ( α β) ( α β) ( α β) [ , 4, , ] C c βα c, 64 β, 467 α, 467 a,89-4 m a,76 - m a743,496 m ±,7 m ( ) s ( ) s ( α β) c cos sα cosα s α β α cos α β c s Calcolo del coeffcee d correlazoe ra la a e b : C r ab ab Ja M M L L Cc Ja J b 89, 65, J βα L bl M M, 65, 98 ab a b,64664% I la a e b soo sgfcaamee correla a ab ab b Calcolo della araza dell area S :

30 Il raameo sasco de da 9 C J S J S cβα S J S S c S c β S α c c s α s β s( α β) 6, 4598 cosβ s( α β) sβ cos( α β) sα s ( ) , 3 α β s( ) s ( ) , 54 cosα α β α cos α β sβ s ( α β) C c βα c, 64 β, 467 α, 467 S 94,456 m 4 S 9,788 m S33.9,9 m ± 9,7 m

31 Capolo 3 ESERCIZIO N.8 S uole deermare l area d ua fgura ragolare (Fg.3.5) rleaa per coordae polar (drezo agolar rspeo ad u asse d rfermeo e dsaza). Sao o : L3 g L g L35 g d5 m d. m d35 m d(5 D [Km]) [mm] L g, Deermare : L area S e la sua araza Calcolo dell area S come somma delle 3 aree S, S, S3 : Fg. 3.5 αl-l8 g αl3-l4 g α34-(l3-l)8 g d6 mm,6 m d7 mm,7 m d36 mm,6 m L π,, rad [( ) ( ) ( )] S S S S3 ddsα dd3sα d3dsα ,5 m (*)

32 Il raameo sasco de da Calcolo della araza d S: S applca la legge d propagazoe della araza all equazoe (*), doe α, α, α3 NON soo dpede ma dpedoo da L, L, L3. C J αα C J L LL L C LL L L L L 3 J L C αα L S J S C J S C L L L L L L L L L d d d3 4, 9348, 4674, 4674, ,, 4674, 4674, ,, 36, 49, 36

33 Capolo 3 J S d d d d d d d sα d sα d sα cosα cosα 3 cosα 3 3 d sα d sα d sα , , , , , 84 48, 767 S 5,93 m 4 S 7,3 m S ,5 m ± 7,3 m ESERCIZIO N.9 (STIMA DELLA PRECISIONE DELLA MISURA DI UNA BASE CON STADIA ORIZZONTALE) Co l aeo de dsazomer ad ode eleromageche la msura drea delle dsaze co meod sadmerc ha perso l mporaza che aea e rleame celermerc. Solo l uso della sada orzzoale ar rsula acora auale quado s debbao msurare core bas co eleaa precsoe. Ifa queso caso la precsoe de dsazomer ad ode rsee degl error dpede dalla dsaza (dffclmee feror a 3 mm), mere co la sada orzzoale la precsoe sulla dsaza dpede da quella d msura dell agolo azmuale. Fg. 3.6 Voledo msurare la dsaza LAB (Fg. 3.6) co ua sada orzzoale, è preferble esegure baue da 5 m oppure da 5 m?

34 Il raameo sasco de da 3 Sao o : ω g, (precsoe ella msura agolare) l m (lughezza sada) LAB5 m (lughezza del rao da msurare) l ω d cog ω ω D 5m 5 m g l d π d g,73 g,545 co: per d5 m per d5 m d D l se ω se ω 6 π,578. ω se ω d ( D ) 5 m, 578 s 6 (, 545),44 m, 578 D 5 m s ( ) 6 (, 73),4 m Effeuado baue da 5 m s ha ua precsoe superore.

35 R R R 3 4 Capolo 3 ESERCIZIO N. (MEDIA PONDERATA) La quoa d u caposaldo T è saa calcolaa a parre da pu R co cerezza proporzoale alle dsaze d. Deermare la quoa pù probable d T. d T d 4 R 5 R 4 Fg. 3.7 Calcolo de pes P: Il peso P ale P doe d e è la araza a pror (arbrara) che per comodà ee assua par a d 4 ( d 4 46,5 m). d La quoa Q T Q P P Poso qq-8,7 R Qr (m) d (m) P q P (mm) V -4 V P -4 V P -8 8,75 56,8,576 3, ,3 57,544 8,7 35,,63,33 3 4,449 56,37 3 8,76 84,3,337 34, ,6 74, ,74 46,5, 4, , 9, 5 8,78 98,6,59 45,6-7 -7,563,94 S 7,485 39,887 -,85 (» ) 76,685

36 Il raameo sasco de da 5 Calcolo la meda poderaa: 3 39,887 Q T 8,7 8,79m 7,485 Calcolo dell errore quadraco medo della meda poderaa: S ± V P ( ) P ± 76, 685 ( 5 ) 7, ±, m Calcolo della quoa del puo T: QT8,79m ±,m

37 6 Capolo 3 Esercz d compesazoe delle osserazo dree ESERCIZIO N. (RETTA INTERPOLANTE) Soo dae le coordae pae d re pu (Fg. 3.8). ( ; 4) (4, ; 5,8) 3 (6 ; 8) Troare la rea erpolae pu,, 3. Deermazoe della equazoe della rea : yab ab-y doe coeffce a e b soo cog Fg. 3.8 Deermazoe del ssema d equazo : a b 4 4, a b 5, 8 6a b 8 3 Rsoluzoe del ssema ormale : Al 4 A 4, l 5, a b ( A A) A l A A 57, 64, 3 ( A A), a b 3, 9, , 8 45, 6, , 4, 8, 57, 64 A l 8, 36 7, 8

38 Il raameo sasco de da 7 y,9934,8937,, 7, 5 Calcolo delle araze :, 3 ( a) h,, 37 4, 8 57, 64 ( b) h,, 633 4, 8 ( a ) ±, ( b ) ±, 5,, 4,8 ab h,6 ESERCIZIO N. Suppoamo d aer msurao ua dsaza dsa due roch allea, adaa e roro, osserado segue alor Msura : y d, m d5, m d, m d4, m d5, m d39,98 m No: d d mm 3, 3 d d d d mm Deermare : Fg. 3.9

39 8 Capolo 3. I alor pù probabl d e. Il coeffcee d correlazoe leare ra e meodo d rsoluzoe : Deermazoe del ssema d equazo : Scelo u ssema d rfermeo X e chamaa co la coordaa del puo e co quella del puo, s può screre l ssema alle msure : d d d 3 d d 5 d 4 6 Cosruzoe della marce de pes : P poso s ha : P

40 Il raameo sasco de da 9 Rsoluzoe del ssema ormale : A, 5,, l 4, 5, 39, 98 Il ssema Al è gà leare. La soluzoe è daa da : ( ) A PA A Pl A P A Pl ( A PA) 4 84, 79 99,55 5,, 548, 4, 45, 54, 976, 476 ( A PA), A PA 4 A Pl 4,, , 99 5, 4 Calcolo delle araze : P m P, 6 ( ) h, ( ) h, 6

41 Capolo 3 ( ) 3,mm ( ) 7,4mm Calcolo della correlazoe ra e : C r h, C, ( ) ( ) meodo d rsoluzoe : Se aessmo preso alor med delle msure corrspode, aremmo oeuo : d ( d d ), 5m d ( d d ) 5, 5m d ( d d ) 39, 99m Le araze deao : ( d ) ( d ) ( d ) ( d ) ( d ) ( d ) ( d ) ( d ) ( d ) 3, 3mm Cosruzoe della marce de pes : mm P poso 5s ha : P Deermazoe del ssema d equazo :

42 Il raameo sasco de da, 5 5, 5 39, 99 3 Rsoluzoe del ssema ormale : A, 5 l 5, 5 39, 99 A P A PA ( A PA),5,48,47 6,6,55 89,995 5, A Pl 6, 6 89, 995 Calcolo delle araze : ( ) h 4, 53 ( ) h ( ), mm 5 6 ( ) 5, mm Calcolo della correlazoe ra e : C r h, 7 6 C, ( ) ( ) Come s ede, l aer preso alor med pora a medesm rsula erm d paramer cog, pur aradoe la araza quao le osserazo soo pù precse.

43 Capolo 3 ESERCIZIO N.3 (ANELLO DI LIVELLAZIONE GEOMETRICA) S è esegua ua lellazoe geomerca d precsoe el cero d Mlao, seguedo lo schema fgura 3.. I dslell fra capsald e le dsaze fra d ess soo rpora d seguo. Il erce d Brera ha quoa d -768, mm rspeo ad ua caposaldo d quoa zero suao all Area. Tale dao è sao rcaao dalla ree caasale. No : Quoa orge : Q-768, mm (Brera) Fg. 3. Quoe approssmae : Q -.575, mm (P.le Baracca) Q 3-945, mm (P.a Veeza) Msure effeuae : Q Q 89,4 mm Deermare :. Le quoe Q e Q3 3 Q Q 3-634,4 mm 3 Q 3 Q -77,4 mm. La araza delle coge e la loro correlazoe. Co l meodo delle osserazo dree scro ua equazoe per og ramo d lellazoe msurao; l equazoe esprmerà che la dffereza ra le quoe de due esrem del ramo d lellazoe è par al dslello msurao. S screrao percò 3 equazo elle coge Q e Q3 essedo la quoa Q (Brera) assegaa a pror. Deermazoe del ssema d equazo :

44 Il raameo sasco de da 3 Malgrado l ssema sa charamee leare è comodo passare a uoe coge prma d applcare l meodo de mm quadra, quao così facedo possamo laorare co quaà ragoeolmee pccole. Assumedo qud come coge le arazo delle quoe rspeo alle quoe approssmae, e poso : Q Q 575., Q Q 945, S oee l seguee ssema d equazo : Q Q Q Q Q Q Ordado rspeo a, 3 s oee : ( Q Q ) 3 ( Q Q 3 3 ) 3 ( Q Q 3 3 ) 3 A, 4 l 4, 4 3, 4 Calcolo della marce de pes P : Nel meodo de mm quadra co osserazo dree l peso d og sgola equazoe corrspode al peso della msura che essa coee. Paredo dal presupposo che d, s ha: P k' k, d e, poso k d [Km] /d P,49,4 4 4,65,,,74,57 5,7

45 4 Capolo 3 4 P, 5, 7 Rsoluzoe del ssema ormale : A PA 4 6,,,, 7, 9 5, 7,, ( A PA) , , A Pl 4, 4 9, 8, 4, 4 7, 4 5, 7, 4 A PA A Pl 3, 8 ( ), 8 Da cu s rcaao le quoe : Q-.575, - 3,8-.578,8 mm Q3-945,,8-944,9 mm Calcolo degl scar : Per l calcolo degl scar (error) sosuamo le coge el ssema marcale ormale Al, 68, 4, 48 Calcolo della marce d araza-coaraza e delle s Q e s Q 3 : Iazuo deermo la araza dell uà d peso: $ P m

46 Il raameo sasco de da 5 doe : m umero equazo (3) P m- umero coge () 6,55 $ 6,55 mm Varaza delle coge: C Q Q3 Q QQ3 Q Q 3 Q 3 ±,8 mm ±,96 mm A PA , 7, 3 $ ( ) , 3, 9 Q-.578,8 mm ±,8 mm Q3-944,9 mm ±,96 mm r Q Q 3 $ $ $ QQ3 Q Q3, 3, 38, 8, 96 La correlazoe è d crca l 3% ESERCIZIO N.4 (COMPENSAZIONE DI UN QUADRILATERO ALLE OSSERVAZIONI INDIRETTE) S suppoga d rleare ua saza co sole msure lear. Fssao u ssema d rfermeo arbraro, possamo screre le equazo alle dsaze, che po adrao queso caso ecessaramee learzzae aoro a alor approssma. Cosderamo come osserabl l quadrao della dsaza (cfr. 4..). y 3 Fg. 3. 4

47 6 Capolo 3 ( ) ( ) k k k k y y d I al caso parcolare aezoe a posa alla deermazoe de pes, propagado l cerezza d osserazoe da d alla uoa osserable d. Poso δ M δ k k k y y δy M y y δy k k k ( δ δ ) ( δ δ ) k k k k k k y y y y d f(, y ) f(, y) [ f(, y )] δ L [ ] ( ) ( ) f(, y) y y d f k k k ( k ) ; ( k ) f L equazoe learzzaa è duque: k ( ) ( ) ( ) ( ) δ δ y y δy y y δy d d P k k k k k k k k k l d k d ( l ) k d P ( l ) k d k k 4 d k d k 5 m m y m δ m 3 7 m m y 5 m δy m 34 5, m 3 7 m y 3 5, m 4 7,6 m 4 7,6 m y 4 m δy 4 m 4 9, m 3 9, m 5 δy

48 Il raameo sasco de da 7 ( 7 ) ( δ δ ) ( 5, 5) ( δy δy ) ( 7 ) ( 5, 5) ( 7,6 7) ( δ δ ) ( 5,) ( δy ) ( ) ( ) ( 7,6) ( δ ) ( ) ( ) ( 7,6 ) ( ) [ ] 7 3 [ 7,6 7 5, ] 5, 34 [ ] 7,6 4 [ 7,6 5 ] 9, ( 7,6 ) ( δ δ ) ( 5) ( δy ) ( ) ( ) 4 4 [ ] ( ) ( δ ) ( ) ( δ ) ( ) ( ) 3 7 5, y 7 5, 9, δ δ 4 5, δ 3 4, 4 δ 4, 5, 5, δy δy,4 δy 3,4,4,4 δy 4 l,4,36,76 8, δ δ δ δ δy δy l,4,36,76 8,6 4 A 5, 4, 4, 5, 5,,4,4,4,4 P k 4 d k k Poamo cm per ue le msure, suppose fae co ua roella merca k ± 4 5 P P 3,, 5 4 7, 9 4 5, P 34, , 6 P 4

49 8 Capolo 3, P 4, 3 4 9, P 3 5, 9, P 4, 3 3, 3, ( ) δ A PA A Pl 7, 4 47, 7, 4, 4 4 A P, 4 65, 36 47,, 4 3, 4 95, 68 3, A PA ( A PA) A Pl 75., , 6 76, 4 44, 64 8, , 6. 6, 848 3, 48 8, 56 35, , 4 3, 48. 7, , 4, 86 44, 64 8, 56 47, 3., 86, 86 8, 56 35, 544 4, 86, 86. 3, 368, 46 9, 83 5, 46 3, 8, 77 9, 83, 3 3, 8, 3 3, 64 5, 46 3, 8 8, 5, 4, , 77 3, 64, 64 4, 9 8, , 36, 3 869, 54, 48 33, , 8, 3, 4 9, 6 4, 9

50 Il raameo sasco de da 9 ( A PA) δ δ δ δy δy 3 4 3, 35, 434 A Pl, 79, 58, 63, 35, 434, 79, 58, 63 y, 35m y 5, 58m 3 7, 434m y3 5, 63m 4 7, 679 y4, , 34, 59 4, 4 8, 3, 87 P 4 63 m P, ( ),,, ( ),,, ( ),,, ( y ),,, ( y ),,, ( ) ±, 44m ( 3 ) ±, 3m ( 4 ) ±, 86m ( y ) ±, 93m ( y3 ) ±, 87m C C C y 4 3 4, 63 9, 83, , 63 5, 46, 4 4, 63 3, 8,

51 3 Capolo 3 C y C C y C y C y C y C y y 4 463, (, 77 ), , 63 3, 8, 4 3 4, 63, 3, , 63 ( 3, 64 ), 4 4, 63 (, 4 ), 4 4 4, 63 (, 64 ), , 63 ( 4, 9 ), 3 La correlazoe leare fra le coordae è daa da r k C k k ESERCIZIO N.5 (VERIFICA DI UN MANUFATTO) Il meodo de mm quadra può essere mpegao ue le ole cu s uole smare dreamee ua gradezza o dreamee msurable mmzzado gl error accdeal d msura d osserabl fuzoalmee collegae alla gradezza coga. S abba ad esempo u slos cldrco del quale ee rcheso d erfcare le dscrepaze rspeo al raggo R d progeo. Facedo sazoe all ero co u eodole egrao soo sa collma 6 pu sulla paree ed l puo O, cero omale del slos, rducedo le dsaze all orzzoale. a oss [go] doss [m] 9,8356 4,44 5,48 3, ,334,5 4 9,544, ,89 4, ,6738 5,3 O 58,693,768 S coosce po u alore approssmao del raggo approssmao : R 3,77 m

52 Il raameo sasco de da 3 Coordae de pu rlea: Preso u ssema d rfermeo locale co orge el puo d sazoe e asse y ella drezoe dello del cercho azmuale le coordae de pu algoo: d sα y d cosα y 4,,53,, 3 -,9,7 4 -,73 -,43 5 -,7-3,97 6 3, -4,3 O,8 -,4 Deermazoe delle equazo d osserazoe : Le equazo d osserazoe del modello fuzoale soo del po : ( ) ( y y ) R che learzzae rspeo alle coge degoo: ( ) ( y y ) y R R ( ) ( y y ) R doe,, y R soo le correzo da apporare a alor approssma. Rsoluzoe del ssema ormale : Iroducedo alor umerc el ssema marcale s oegoo le segue marc de coeffce e de erm o : 6, 6 3, 86 7, 54, 4 7, 7, 54 4, 74 6, 4 7, 54 A 7, 6, 94 7, 54 5, 58 5, 4 7, 54 4, 6 5, 66 7, 54, 37, 76, 37 l, 456, 789, 6666

53 3 Capolo 3 Per defre correamee la marce de pes, occorre eer presee che og equazoe soo prese pù d ua osserazoe per cu l modello de mm quadra so ad ora so (che preede ua osserazoe per og equazoe) a dfeo. I realà cò succede perchè l modello è d po semplfcao. Se s suppoe che le osserazo sao ue della sessa precsoe (cò garao dal fao che le dsaze soo crca ugual e lo srumeo d msura è lo sesso) la marce de pes può essere assua per semplcà par alla marce I deà. La soluzoe queso caso è la seguee:, , 699 Dao che l modello o è leare e le correzo soo cosdereol, ale la pea proare ua secoda erazoe, sosuedo a alor approssma d prma saza quell che egoo coo delle correzo calcolae:,8-.4,876 m y -,4.7-,39 m R 3,77-.63,78 m Iroducedo uo alor umerc el ssema marcale s oegoo le segue marc de coeffce e de erm o : 6, 468 3, 78 7, 46, 647 6, 857 7, 46 4, , 46 A 7, 3, 798 7, 46 5, 73 5, 83 7, 46 4, 668 5, 8 7, l Alla secoda erazoe la soluzoe è la seguee: Seza scedere uleror spegazo basa osserare che la marce de pes può essere oeua come prodoo marcale (BQB ) - doe Q è la marce d araza (dagoale ) delle osserazo (el osro caso ua 4 4 deermaa propagado la araza dalle msure), B è la marce de coeffce delle osserazo (el osro caso ua marce 6 4, doe og rga soo prese solo alor o ull).

54 Il raameo sasco de da , 6 7 9, 4, 576 Le correzo delle coordae del cero del slos soo rrsore: cò sa a sgfcare che le coordae rcaae dopo la prma erazoe erao gà corree. Lo sesso o s può dre del raggo. Occorre qud ua erza erazoe ella quale ee arao l alore approssmao del raggo. Nauralmee ella marce de coeffce arerà solo la erza coloa mere occorrerà rscrere l eore de erm o. R 3,78.583,738 m 6, 468 3, 78 7, 48, 647 6, 857 7, 48 4, , 48 A 7, 3, 798 7, 48 5, 73 5, 83 7, 48 4, 668 5, 8 7, 48, 3, 84, 96 l, 6, 63, 7 Dopo la erza erazoe la soluzoe è la seguee: 5, , Le correzo soo feror alla precsoe d msura per cu a queso puo s può rcaare la marce d araza e coaraza delle coge. Iazuo s procede al calcolo della araza dell uà d peso:, 4, 84, 963, 6, 6, 7 P m,58 m

55 34 Capolo 3 La marce d araza e coaraza delle coge è la seguee (doe della marce, essedo smmerca, ee rporao solo l ragolo superore): y R 6,, 6, 44 3, 4,, 7 C y y y R ( A PA),58 6, 5, 33, 7 5, 7 m R Ry R 3, 3 67, La soluzoe è:, 876m ±, 8m y, 39m ±, 8m R 3, 74m ±, 3m 3 5 Da ua aals sugl scar s cosaa che quello del puo ha u alore aormale: probablmee è affeo da errore grossolao. U es che aalzz gl scar ormalzza porebbe edezare la preseza (cfr. par. 4...). E charo comuque che se effeamee s raa d u errore grossolao, ua ola elmaa l equazoe, l alore del dmurà eamee. Procedamo qud rcalcolado la soluzoe aullado l peso della secoda equazoe. Nauralmee la marce de coeffce e de erm o soo arae mere cambao sa la marce ormale(a PA) che quella del erme oo ormale (A PL). La soluzoe queso caso è la seguee: 8,56,76 8, Le correzo soo sgfcae (superao l cerezza d sma): è opporuo allora rcalcolare paramer cog e la uoa marce d araza e coaraza. -,64 -,49,6 -, -,53,68 P m,77 m

56 Il raameo sasco de da 35 E da oare che m adesso è 5 qud la rdodaza è dmua a. La marce d araza e coaraza delle coge è la seguee: ,6 6,34 7, C ( A PA ) 6,77 3,4 m -5,9 La soluzoe fale è:, 885m ±, 7m y 3, m ±, 8m R 3, 7m ±, 5m Il dmusce, e molo; d cosegueza ache l cerezza d sma delle coge dmusce. ESERCIZIO N.6 (VERIFICA DI UN MANUFATTO) S rsole ora u eserczo smle al precedee, ma scredo le equazo d osserazoe co u alro crero. S suppoga d aere deermao de pu lugo u cooro crcolare e d olere così roare l cercho erpolae a mm quadra. I pu, rlea u opporuo ssema d rfermeo, co precsoe uguale e modo dpedee, soo 9; le coordae algoo rspeamee : (4 ; 6,5) (6,5 ; 4,5) 3 (5,5 ;,5) y 9 4 (5,8 ; 5,8) 4 5 (6,4 ; 3) 8 6( 3,6 ;,7) 7 (,5 ;,7) (, ; 3,5) (,6 ; 5,6)

57 36 Capolo 3 Sappamo che l equazoe geerale d ua coca è : Fg. 3. f(, y) A By Cy D Ey F el caso della crcofereza dee essere: AC ; B f(, y) A Ay D Ey F coè : y a by c da cu s rcaa: a b y c y r a b y r y c Possamo screre ua equazoe per og puo deermao : 4a 6, 5b c 58, 5 6, 5a 4, 5b c 6, 5 5, 5a 5, b c 3, 5 3 5, 8a 5, 8b c 67, 8 4 6, 4a 3b c 49, , 6a, 7b c 3, , a, 7b c 5, 4 7, a 3, 5b c 3, , a 5, 6b c 33, 9 9 A l ( ) A A A l ( A A), 644, 9, 974, 9, 8899, 965, 974, 965, 857

58 Il raameo sasco de da 37 a b c ,,, y r ,,, ,,,,,,,,, 5596 m, ( ),, a ( ),, b ( ),, c ( ) r a b c 4 858, Calcolo delle araze de paramer geomerc (, y, R): meodo d rsoluzoe : Il calcolo delle araze può essere fao applcado la legge d propagazoe della araza forma scalare. S ha: (a) ) ( (b) ) y (

59 38 Capolo 3 γ 4 a Aedo poso : γ 4 α 4 S oee : r r (r) (a) a b r r r r a b a c (a) γ b (b) γ (c) C 4 ( a b ) ( a b ) c c ( ) r (b) (c) c r r b c ( ab) ( ac) ( bc) 3 C ab, 9, 6 ( ) C ac 9, 74, 5367 ( ) C bc 9, 6, 597 ( ) ( a), 6348 ( y ) ( b), 6389 γ,368 α,7495 (r) γ a 4 C ab α a b C ( r ), , 745 ±, 6 y 3, 66 ±, 63 r, 857 ±, 44 ac α a C bc α ab α a b C ac α a C (a) γ b (b) γ (c) LL γ a (a) b (b) (c) bc α b b,739,57,34,87,97

60 Il raameo sasco de da 39 meodo d rsoluzoe : Lo sesso problema s può rsolere medae l calcolo dello Jacobao, applcado la propagazoe forma marcale. a b y r y c C J C J c αα c, 5 J c, 5, 655, 645, 7495 J c, 5, 655, 5, 645, 7495, 4568, 6, 5367 C αα, 6, 59, 597, 5367, 597, 46895, 364, 3, 33 5 C, 3, 398 5, 5, 33 5,, 93 ( ), 6348 ( y ), 639 ( r ), , 745 ±, 6 y 3, 66 ±, 63 r, 857 ±, 44 Come s ede s è pereu allo sesso rsulao.

61 4 Capolo Compesazoe delle osserazo dree codzoae Queso meodo d compesazoe o è aualmee pù ulzzao el raameo delle osserazo; s prefersce quello delle osserazo dree quao, a froe d u maggor mpego d calcolo, rchede la formulazoe d poch, essezal, legam fuzoal ra osserazo e paramer cog. Il meodo delle osserazo dree soggee a codzo mpega ceramee meo ella fase d calcolo (esge la formazoe e la soluzoe d ssem lear co u umero d equazo par alla rdodaza del ssema) ma compora ua dffcolà maggore ella formulazoe del modello fuzoale. Comuque sa, sa la sua mporaza da u puo d sa coceuale, cee dedcargl u cero spazo. Sao ora le f, m equazo dpede fuzo lear d msure dree. f( α, α,..., α ) f( α, α,..., α ) M fm ( α, α,..., α ) α α f( α) α M α (3.73) I geerale l eore αm, formao dalle msure, o soddsferà l ssema: s raa, al solo, d roare u crero d regolarzzazoe che legh l eore delle osserazo αm alle msure eorche α coge. Il legame fuzoale è l seguee : α α (3.74) m Iolre se soo le araze delle compoe α, dcado co P la marce dagoale, cu erm soo ersamee proporzoal a,abbamo la sola marce de pes : P P P O P (3.75) doe :

62 Il raameo sasco de da 4 P P (3.76) e è ua cosae d proporzoalà dea errore dell uà d peso a pror. Voglamo deermare ua sma delle osserabl α mpoedo la codzoe d mmo P m, P m, oero: ( α α ) P ( α α ) m (3.77) m Il ssema dea allora, el caso geerale cu le equazo esprmoo u legame o leare fra le osserabl: m che learzzaa dea: f( α) f( α ) (3.78) m f( αm ) f( αm ) f( αm ) l A (3.79) α doe : f( α m ) f m l ( α ) M f m ( α m ) f( αm ) f( α m ) f( αm ) L α α α A L L L L L L L L fm ( αm ) fm ( αm ) f m( αm ) L α α α (3.8) La codzoe d mmo, abbaa al ssema, dea : A l ( α αm ) P ( α α m ) m (3.8) Il problema d mmo codzoao s può rsolere co correlaor d Lagrage : P k ( A l) k ( A l ) L k ( A l) m (3.8) d cu occorre cercare l mmo lbero, pù secamee P ( A l ) k m (3.83) La codzoe d mmo corrspode all aullameo del dfferezale per ua arazoe qualsas dell coga. m m

63 4 Capolo 3 δ( ) δ[ P ( A l) k] ( ) ( ) (3.84) δ P δ P Pδ δ P P δ δ P δ P δ P (3.85) δ[ ( A l) k] δ( A k l k) δ A k (3.86) δ P δ A k δ ( P A k) (3.87) P A k P A k (3.88) ma A l AP A k l (3.89) da cu : ( ) k AP A l (3.9) ed essedo P A k (3.9) s oee ( ) P A AP A l (3.9) Ua sma correa d a poseror è daa da P m (3.93) La sma de ( ) è daa da doe d soo erm dagoal della marce ( ) d (3.94) ( ) D P A AP A AP I coeffce d correlazoe delle coge, k soo da da ( ) C d M k k k (3.95) (3.96)

64 Il raameo sasco de da 43 Quese formule dao le araze e coeffce d correlazoe degl scar. Se s ogloo calcolare le aaloghe gradezze per le quaà compesae α occorre usare la seguee formula ( α ) ( αm ) ( ) d d (3.97) P P doe l è quello calcolao a poseror P m A ale rsulao s peree osserado che. ( ) α α α P A AP A l m m (3.98) e se s sorae a quesa equazoe l equazoe meda corrspodee, s oee ( ) δα δα P A AP A δl m (3.99) essedo δl A δαm s oee δα I P A AP A A δα Calcolado M( ) δαδα s roa ( α ), fa ( δαδα ) ( ) [ ( ) ] [ ] ( δαδα m ) [ ( ) ] [ I P ( ) ] [ ( ) ] A AP A A P I A AP A AP [ P P A ( AP A ) AP ] [ I A ( AP A ) AP ] M I P A AP A A M I A AP A AP { } [ P P A ( AP A ) AP ] m (3.) P d (3.) Per quao rguarda coeffce d coaraza s rcord che ( ) C d M k k k mere, se s ogloo quell delle quaà compesae α occorre rcordare che ( ) ( ) M δd δd M d k k k (3.) (3.3)

65 44 Capolo 3 ESERCIZIO N.7 (COMPENSAZIONE ALLE OSSERVAZIONI DIRETTE CONDIZIONATE) Compesare l ragolo (Fg. 3.3) cu soo sa msura u e re gl agol (è lo sesso problema che errà rsolo ell eserczo.7 co l meodo delle osserazo dree). Msura : α8 g, α4 g,5 α378 g,745 No : P P,5 P3,33 Fg. 3.3 Deermazoe dell equazoe rsolee : α α α3 αm α m α3m 3 cc l αm α m α3m 3 l equazoe rsolee è allora 3 l Rsoluzoe del ssema : poso α α α α 3 α m α α α m m 3m α α m 3 l f( αm )