Misura della distanza focale. di una lente convergente. Metodo di Bessel

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1 Zuccarello Francesco Laboratoro d Fsca II Msura della dstanza focale d una lente convergente Metodo d Bessel A.A

2 Indce Introduzone..pag. 3 Presuppost Teorc.pag. 4 Anals de dat.pag. 8. Modo d operare...pag. 8. Calcolo d f medante la relazone (6)..pag Determnazone d f con ft lneare...pag Msure d f con l metodo d Bessel..pag Ingrandmento: verfca della relazone(0)..pag. 8 Concluson general....pag. Appendce...pag. Bblografa pag. 3

3 Introduzone L esperenza consste nella msura della dstanza focale d una lente convergente. Msureremo la dstanza focale f servendoc d tre dfferent metod: l metodo d Bessel, un ft lneare d una opportuna formula e una meda pesata de valor della dstanza focale della lente rlevate con applcazone dretta d una opportuna formula. Vedremo n dettaglo le caratterstche possedute da questa lente e le approssmazon e convenzon che s faranno. Voglamo ora descrvere l apparato spermentale utlzzato. Rportamo come prma cosa una schematzzazone d tale apparato. P O L S Fg. Schematzzazone del banco ottco Vedamo d commentare l banco ottco rappresentato n fgura: P è un proettore per dapostve che emana luce banca, davant ad esso è posto un pannello contenente una scanalatura, esattamente una V, che funge da oggetto; L è una lente convergente fssata su un apposto sostegno, realzzato n modo tale da poter scorrere su una guda tarata con apposto regolo n modo da poter msurare le dstanze necessare durante l esperenza. Infne S è uno schermo, anch esso moble, che permette d vsualzzare l mmagne, la quale, come emerge dalla schematzzazone e come vedremo d seguto, è capovolta; per poter msurare l ngrandmento della fgura lo schermo è dotato d una carta mllmetrata. 3

4 Presuppost teorc Supponamo d avere una sorgente lumnosa, per esempo un corpo che emette luce propra oppure che dffonde la luce emessa da un altro corpo. Nell ottca geometrca s assume che l percorso seguto dalla luce può essere descrtto attraverso un raggo e per questo s parla d ragg lumnos qual obbedscono alle due legg: d rflessone e rfrazone (o trasmssone ). Nello studo della lente convergente c s servrà della legge d Snel che rportamo d seguto sn ϑ sn ϑ r n n () Dove ϑ è l angolo formato dal raggo ncdente con la normale alla superfce d separazone de due mezz, avent rspettvamente come ndc d rfrazone n e n, mentre ϑ r è l angolo che l raggo rfratto forma con tale normale. Cò detto, s defnsce superfce dottrca o semplcemente dottro una superfce su cu avvene la trasmssone del raggo lumnoso da un mezzo all altro, n altre parole un dottro è una superfce rfrangente. Su una superfce dottrca avvene sempre rflessone, ma no la supporremo trascurable, supportat dal fatto che l energa rflessa da una tale superfce è solo qualche percento dell energa rfratta. Defnamo lente semplce un blocco d materale delmtato da due dottr avent lo stesso asse. Tornamo a dottr e consderamo la seguente fgura Dottro H?? r? a? P V K O Q n n Fg. Schematzzazone d un raggo ottco n un dottro. La trattazone teorca segue l mpostazone d Ref., al quale s rfanno pure le fgure e 3 4

5 Dalla quale emergono le seguent relazon tra gl angol ϑ + α, ϑ + ϑ ' α ϑ r E applcando la () approssmando snϑ ϑ s ottene n ' + n ϑ ( n )α () ϑ n Dove s è supposto n <n. Detta h HV HK, s rcavano le seguent relazon h ϑ, p ' h ϑ, q α h R Ottenendo n ultma anals l equazone del dottro sferco convesso n n n n + (3) p q R Questa relazone c servrà per determnare l equazone d una lente semplce. Consderamo la seguente fgura la quale schematzza una lente : Dottro Dottro n n n 3 p s q q p Fg. 3 Schematzzazone d una lente convergente 5

6 I due dottr dvdono lo spazo n tre regon, essendo n,n ed n 3 gl ndc d rfrazone d quest tre mezz, allora graze alla (3) possamo scrvere n p n q +, n n R n p n n n 3 3 +, p s q q R La prme due sono applcate al prmo e al secondo dottro che hanno ragg d curvatura rspettvamente R e R, mentre la terza esprme l fatto che l mmagne del prmo dottro è l oggetto del secondo. Detto l vertce l punto d ntersezone tra l asse del dottro e l dottro stesso, dremo p la dstanza tra l oggetto e l vertce, mentre dremo q quella tra mmagne e vertce, s è nvece la dstanza tra due vertc. Supponamo che la lente sa sottle, coè che la dstanza tra vertc de due dottr sa trascurable rspetto alle altre dmenson; supponamo noltre che la lente sa mmersa n uno stesso mezzo, le due supposzon s traducono analtcamente mponendo nelle precedent relazon s 0 e nn3 Rcavamo così la seguente relazone n p n + q ( n ) n R R (4) Donde ponendo f n n n R R (5) Osservando che s 0 e che dunque p è la dstanza dell oggetto dalla lente, mentre q è la dstanza dell mmagne dalla lente, è dunque lecto, sotto l potes d lente sottle, porre p p e q q; s ottene così l equazone della lente sottle + (6) p q f Da questa equazone s vede che se p q f, mentre se q p f, f è chamata dstanza focale della lente; s vede dunque che, se l oggetto è posto a grande dstanza dalla lente 6

7 l mmagne sarà n un punto che dsta f dalla lente, mentre se l oggetto è posto ad una dstanza f dalla lente l mmagne sarà a dstanza nfnta, ovvero ragg saranno parallel. Queste consderazon sono mportant per costrure l mmagne d un segmento ortogonale all asse e dunque per poter determnare l ngrandmento. S consderno tre partcolar ragg lumnos: quello passante per l vertce, che non vene devato, quello passante per l fuoco F ed un raggo parallelo all asse ottco. Schematzzamo l tutto servendoc d una fgura Lente x F F y Fg. 4 Schematzzazone de ragg lumnos L ngrandmento è allora dato, servendos d consderazon geometrche, da y q f f q I (7) x f p f p 7

8 Anals de dat. Modo d operare Lo scopo fnale dell esperenza è quello d fornre una stma della dstanza focale f della lente. No per fare cò c servremo non tanto della equazone de costruttor d lent (la (5)), mpossble da usare n laboratoro, ma della (6). La (6) opportunamente lnearzzata permette d dare una stma d f eseguendo un ft lneare; la lnearzzazone opportuna s ottene ponendo x e y allora la (6) s scrve y a + bx p q dove s ha a ; s può dunque rcavare la dstanza focale. Il rapporto Π è detto potenza f f della lente e se f è stmata n metr la potenza s msura n dottre. Dunque d volta n volta fsseremo le p e determneremo le q. Voglamo sn d ora osservare che, mentre l errore sulle p è l errore d lettura, l errore sulle q sarà dato da tutto l sem ntervallo n cu l mmagne appare ntda; nfatt uno strumento reale non può essere perfettamente stgmatco (uno strumento s dce stgmatco quando ragg uscent da un punto dell oggetto s ncontrano n un sol punto dell mmagne). Determnate le coppe (p,q) con l metodo sopra descrtto useremo drettamente la (6) per determnare d volta n volta una msura d f ottenendo così pù valor d f, la loro meda pesata c fornrà allora un ulterore stma della dstanza focale. Infne s userà per determnare la f l metodo d Bessel. Cerchamo d vedere n cosa consste; detta D la dstanza dell oggetto dallo schermo, per l formalsmo adottato s ha D p + q allora la relazone (6) s potrà scrvere nel seguente modo f p( D p) (8) D Scrtta n questo modo sembra d non aver guadagnato pù d tanto, ma osservamo che la (8) può pure scrvers p Dp + Df 0 8

9 Dalla quale s ottene p D + D 4 Df (9) Da questa relazone emerge che se D < 4 f la soluzone non è reale l che mplca che s avranno mmagn vrtual, se D 4 f s avrà una sola mmagne ntda, se, nfne, D > 4 f s avranno due valor d p, per ogn fssata dstanza D, per qual sarà possble determnare una mmagne ntda. Ma c è d pù; due valor d p che s determnano devono essere per la (9) smmetrc rspetto a D ; dunque, se non lo sono, s è n grado d rlevare un certo errore sstematco, dovuto a qualche mprecsone del banco ottco. Per esegure la msura d f con l metodo d Bessel sono state fssate le D e s è varata la poszone della lente sno a determnare le p per le qual s avevano mmagn ntde; stavolta l errore sulle p è dato dal sem ntervallo per cu s aveva un mmagne ntda, mentre l errore sulle D è semplcemente l errore d lettura della poszone dello schermo sul regolo del banco ottco. Per ogn valore d p e D s è calcolato l valore d f e come sua stma è stata fornta la meda pesata d tutte queste msure. Infne dette p e p le due msure d p per ogn fssata D D ( p <p ) s sono valutate le dfferenze x p e x 9 D p, s è calcolato ε x x e s è vsto quanto questo valore dscostasse dallo zero, nfatt ε 0 mplca l assenza del tpo d error sstematc da no suppost. Le msure effettuate con l metodo d Bessel non s sono potute usare per l ft lneare, cerchamo d vedere l motvo. A tal proposto dcamo p e p le due soluzon della (9) allora s ha q D-p e q D-p ; bene, accadeva che, mentre l errore sulla p era molto pù pccolo dell errore sulla q, l errore sulla p era nvece molto pù grande dell errore sulla rspettva q ; questa stuazone s rpeteva per ogn coppa p e p delle nostre msure. Quest problem falsavano dunque rsultat del ft stesso nel quale s suppone che l errore su una delle due msure sa costantemente nferore rspetto a quello sull altra msura. Un altro passo dell esperenza è l calcolo dell ngrandmento m dato dalla (7) dove s è posto I m con q m valore che s deve confrontare con quello dato da p m dove s è ndcato con o la dmensone dell oggetto e con la dmensone dell mmagne. S o vuole dunque verfcare la valdtà della seguente relazone q m (0) p o

10 . Calcolo d f medante applcazone dretta della relazone (6) Inzamo l anals de dat con l calcolo d f medante la meda pesata de valor f ottenut per applcazone dretta della (6). A tal proposto rportamo d seguto valor d p e d q con loro rspettv error. Tabella. Valor d p con errore Tabella. Valor d q con errore p [m]?p [m] q [m]?q [m] 0,40 0,00 0,360 0,00 0,30 0,00 0,70 0,003 0,370 0,00 0,40 0,005 0,550 0,00 0,0 0,003 0,300 0,00 0,50 0,008 0,470 0,00 0,30 0,004 0,30 0,00 0,440 0,08 0,80 0,00 0,0 0,008 0,30 0,00 0,80 0,006 0,580 0,00 0,0 0,003 0,330 0,00 0,40 0,004 0,380 0,00 0,40 0,005 0,40 0,00 0,30 0,006 0,480 0,00 0,30 0,005. S not che per le q vene fornto l errore calcolato come ampezza del sem ntervallo d ntdezza dell mmagne. I due valor delle dstanze dell mmagne dalla sorgente verranno rportate esplctamente n appendce. Mentre per l errore sulle p s tene conto del fatto che vengono esegute due letture una per fssare l oggetto sullo zero del regolo e l altra per la lettura della poszone della lente. 0

11 D seguto rportamo valor della potenza? e della dstanza focale f calcolat con loro rspettv error dat dalle seguent relazon che rportamo Π +, f f Π () p q Tabella 3. Valor d? con errore Tabella 4. Valor d f con errore? [dottre]??[dottre] f [m]? f [m] 9,9 0,8 0,0 0,00 0,4 0, 0,099 0,00 0,08 0,6 0,099 0,003 0,9 0, 0,097 0,00 0,09 0,39 0,099 0,004 0,3 0,7 0,099 0,003 9,99 0,7 0,00 0,003 0,06 0, 0,099 0,00 0,0 0,5 0,00 0,00 9,99 0, 0,00 0,00 0,7 0, 0,098 0,00 0,04 0,9 0,00 0,003 0,07 0,33 0,099 0,003 0,0 0,3 0,00 0,003 Allora la stma d f e del suo errore sono date dalle seguent relazon dove s è posto dove è l errore sulla stma d f. f f f ()

12 Utlzzando le () s è rcavato l seguente valore d f 0,099 ± 0,00 m. Voglamo rportare n un grafco valor delle f con loro error e l valore f calcolato. 0,0 msure d f 0,0 0,00 f [m] 0,099 0,098 0,097 0,096 0, Fg. 5 Grafco delle msure d f e del loro valor medo. In blu sono rportat valor d f present n tab. 4, mentre n verde è rportato l valore f calcolato con la prma delle (). Nell asse delle ascsse sono rportat l numero d punt spermental

13 3. Determnazone d f con l ft lneare Nel precedente paragrafo abbamo determnato una stma della dstanza focale servendoc d una applcazone dretta della formula (6). Ora voglamo nvece determnare f eseguendo un ft lneare e confrontare l valore ottenuto con quello dato alla fne del precedente paragrafo. Per fare cò è necessaro rendere lneare la relazone (6) come descrtto nel paragrafo. Per questo rportamo d seguto valor t t t dove t ndca una volta la p e una volta la q. e con loro error dat dalla seguente relazone p q Tabella 5. Valor d /p con errore [m - ]? [m - ] p p Tabella 6. Valor d /q con errore [m - ]? [m - ] q q 7,4 0,0,78 0,08 4,35 0,04 5,80 0,08,70 0,0 7,38 0,5,8 0,0 8,47 0, 3,33 0,0 6,76 0,37,3 0,0 8,00 0,6 7,69 0,,30 0,5 5,56 0,06 4,50 0,6 4,35 0,04 5,67 0,,7 0,0 8,6 0,0 3,03 0,0 7,4 0,0,63 0,0 7,4 0,7,4 0,0 7,66 0,3,08 0,0 7,94 0,3 3

14 4 Nell esegure l ft per stmare valor d a e b e loro error s sono usate le seguent formule x x y x x y x a b a x σ σ x x y x y x b b x x σ Rportamo d seguto rsultat da no ottenut a 0,4 ± 0, m - e b -,04 ± 0,0 (dove a è l recproco della dstanza focale f, mentre b è l coeffcente angolare della retta) da cu s rcava l valore della dstanza focale f 0,098 ± 0,00 m. S not che l valore della b dscosta alla seconda cfra decmale dal valore atteso -, un dsaccordo comunque accettable se s tene conto degl error spermental. Rportamo nel seguente grafco valor delle tabelle 5 e 6 con la retta determnata dal ft lneare. Ft-lneare /p[m - ] /q[m - ] Fg.6 Grafco del ft lneare per la determnazone della dstanza focale

15 4. Msure d f con l metodo d Bessel In questo paragrafo voglamo elaborare dat relatv alla seconda parte dell esperenza, ovvero la msure della dstanza focale con l metodo d Bessel. A tal proposto rportamo nelle tabelle successve valor d D, p, D-p e della f,ottenuta servendos della (8), con loro rspettv error. L errore sulle D è dovuto alla sensbltà d lettura ( ved nota del paragrafo ),l errore sulle p è dato dal sem ntervallo n cu l mmagne s vede a fuoco, l errore su D-p è dato da ( D p) p + D, nfne l errore sulla f è dato dalla seguente relazone f Allora s ha p D ( D p) f + +. p D D p Tabella 7. Valor d D e?d Tabella 8.Valor d D-p e?(d-p) Tabella 9. Valor d p e?p D [m]? D[m] D-p [m]? D-p [m] p [m]? p[m] 0,450 0,00 0,30 0,005 0,40 0,003 0,450 0,00 0,4 0,008 0,309 0,006 0,500 0,00 0,368 0,006 0,3 0,004 0,500 0,00 0,3 0,006 0,369 0,004 0,550 0,00 0,40 0,006 0,30 0,004 0,550 0,00 0,8 0,006 0,4 0,004 0,600 0,00 0,474 0,006 0,6 0,004 0,600 0,00 0,5 0,006 0,476 0,004 0,650 0,00 0,58 0,005 0,3 0,003 0,650 0,00 0, 0,006 0,59 0,004 0,700 0,00 0,580 0,006 0,0 0,004 0,700 0,00 0,9 0,006 0,58 0,004 0,750 0,00 0,63 0,005 0,9 0,003 0,750 0,00 0,9 0,007 0,63 0,005 0,800 0,00 0,683 0,005 0,8 0,003 0,800 0,00 0,6 0,005 0,684 0,003 5

16 Tabella 0. Valor d f e? f f [m]? f [m] 0,096 0,004 0,097 0,007 0,097 0,005 0,097 0,005 0,099 0,005 0,098 0,006 0,00 0,005 0,099 0,006 0,099 0,003 0,099 0,005 0,099 0,005 0,099 0,006 0,00 0,003 0,00 0,007 0,00 0,003 0,099 0,005 Rportamo n un ulterore tabella valor della f corrspondent a valor d D, D-p e p rpropost nelle tabelle sopra rportate I dat con loro error sono stat elaborat, coè s è fatta una meda pesata de valor della dstanza focale servendos ancora una volta delle relazon () dove però le f e? f sono valor qu accanto rportat e rcavat con l metodo d Bessel. I valor rcavat sono seguent f 0,099 ± 0,004 m. Rportamo n un grafco del tutto smle a quello del paragrafo valor d f con loro error ( ved a tal proposto nota del paragrafo ). 0,06 Metodo d Bessel f [m] 0,04 0,0 0,00 0,098 0,096 0,094 0, Fg. 7 Grafco delle msure d f e del loro valor medo 6

17 Prma d concludere l paragrafo è necessaro verfcare la presenza o meno d error spermental. C servremo per fare cò de rsultat del paragrafo. Rportamo dunque nelle seguent tabelle valor d D, x, x, x -x e? x -x Tabella. Valor d D, x, x, con gl error su x e x D [m] x [m] x [m] x -x [m]? x -x [m] 0,450 0,085 0,083 0,005 0,00 0,500 0,8 0,8-0,0005 0,009 0,550 0,45 0,47 0,000 0,00 0,600 0,74 0,75-0,005 0,00 0,650 0,0 0,03-0,000 0,008 0,700 0,30 0,3-0,000 0,00 0,750 0,56 0,56 0,0005 0,009 0,800 0,8 0,8-0,005 0,007 S rporta nel seguente stogramma la dstrbuzone della dfferenza x -x ntorno al valore atteso: lo zero; nfatt x -x 0 mplca l assenza d questo partcolare tpo d errore sstematco, non escludendo però la presenza d altr error sstematc non ndvduabl nel suddetto modo. Error sstematc 4 3 N -,5-0,5 0,5,5,5 x -x [mm] Fg. 8 Istogramma delle dstrbuzon delle dfferenze x -x 7

18 Dall stogramma emerge la presenza d un errore sstematco. Però s vede come questo errore sstematco, ottenuto con operazon elementar sulle msure d D e p, è affetto da un errore talmente grande che lo rende confrontable con lo zero; è possble renders conto d questo vendendo dat d tabella. Possamo dunque concludere che l errore sstematco rlevato con l metodo d Bessel non sembra essere sgnfcatvo a fn della stme del valore della dstanza focale della lente adoperata. 5. Ingrandmento: verfca della relazone (0) È gunto l momento d occuparc d un altro aspetto rlevante per una lente, ovvero la capactà che essa ha d ngrandre o rmpccolre un mmagne. Cerchamo d affrontare quanttatvamente l problema. Voglamo dunque verfcare la seguente relazone q m p o Per la verfca d tale relazone s prenderanno nuovamente n consderazon dat relatv a paragraf e 3, coè quell adoperat per calcolare f servendos de metod che qu chameremo, pur se con mpropretà d lnguaggo, non Bessel. Per non appesantre ulterormente la trattazone non rporteremo valor d p e d q ma solamente valor d m calcolat rspettvamente come rapporto d dmensone dell oggetto o era 0,0 ± 0,00 m. q e p o Nella seguente fgura rportamo valor d p e le q corrspondent con loro error. Dcamo esplctamente che la 8

19 q [m] 0,50 0,45 0,40 0,35 0,30 0,5 0,0 0,5 0,0 0,05 0,00 ngrandmento 0,0 0, 0, 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 p [m] Fg. 9 Andamento delle q n funzone d p In fgura sono rportate le p e le corrspondent q, n defntva è rportato l andamento della m fornto però dalla prma uguaglanza. S vede come la dstrbuzone present un andamento asntotco quando la p, ovvero la dstanza lente oggetto, o la q, dstanza lente mmagne, s avvcnano al valore 0,0 m, nfatt al d là d quel valore non s avranno pù mmagn real, ma solo vrtual perchè l oggetto s troverebbe tra la lente e l fuoco. Nella seguente tabella rportamo valor d m msurat con le due formule e loro error, mentre nella successva fgura quest dat verranno dspost n un grafco. Come emerge da dat le nostre msure concordano n modo molto soddsfacente, verfcando a peno la relazone (0). Molt punt sono addrttura sovrappost, rendendo dffcoltosa la lettura del grafco. Possamo consderare dunque concluso questo paragrafo, presentando d seguto le tabelle con valor e l successvo grafco. 9

20 Tabella. Valor d mq/p con errore q q m? m p p Tabella 3. Valor d m/o con errore m? m o o,57 0,0,5 0, 0,75 0,04 0,77 0,0 0,37 0,0 0,36 0,0 0, 0,0 0,6 0,0 0,49 0,0 0,49 0,03 0,7 0,0 0,8 0,0 3,35 0, 3,9 0,5,3 0,06,8 0,06 0,77 0,04 0,75 0,03 0, 0,0 0, 0,0 0,4 0,0 0,45 0,0 0,36 0,0 0,38 0,0 0,3 0,0 0,33 0,0 0,6 0,0 0,4 0,0 m,6,4,,0 0,8 0,6 0,4 0, 0,0 confronto msure d m Fg. 0 Confronto degl andament d m rlevat con le due formule m q /p m / o. Nel grafco non s sono rportat due valor esattamente l prmo e l settmo esclusvamente per motv grafc; comunque come emerge dalle tabelle e 3 quest valor sono ampamente confrontabl tra loro. 0

21 Concluson general Rprendamo rsultat ottenut ne paragraf precedent per dare una stma defntva della dstanza focale della lente convergente da no usata. Rportamo dunque d seguto le stme d f ottenute con metod precedent. f f f Dretta Ft Bessel 0,099 ± 0,00m 0,098 ± 0,00m 0,099 ± 0,004m S esegue ora una meda pesata de tre valor n modo da fornre una stma defntva del valore della f che rportamo d seguto ( s useranno sempre()) f 0,098 ± 0,00 m Cò detto voglamo, prma d concludere, fare delle consderazon su delle dffcoltà operatve che s sono presentate: esse sono dovute prncpalmente a problem d rfrazone che s creano a bord dell oggetto, qual provocano una notevole dffcoltà nello stablre quando un mmagne sa a fuoco o meno. Infatt, I contorn sono sfuocat mentre l centro dell mmagne rsulta essere notevolmente a fuoco : s è cercato, nel rlevare le msure, d tener conto d entramb gl aspett. Le msure della dstanza focale della nostra lente, esegute ne su descrtt mod, sono tra loro molto consstent; dunque possamo rtenere l esto dell esperenza abbastanza soddsfacente.

22 Appendce Rportamo d seguto gl ntervall delle q per qual l mmagne, tenuto conto d quanto detto nel paragrafo precedente, sembrano ntde. Quest valor sono quell d cu c s è servt nel paragrafo per determnare l errore sulle q. In modo analogo rportamo gl ntervall n cu l mmagne era ntda per le p, nfatt nel metodo d Bessel abbamo fssato la d e varato la p sno a determnare le condzon d ntdezza. Inzo Fne Inzo Fne ntervallo ntervallo ntervallo ntervallo q [m] q [m] p [m] q [m] 0,350 0,370 0,37 0,43 0,70 0,75 0,303 0,34 0,3 0,40 0,8 0,36 0,5 0, 0,365 0,37 0,40 0,56 0,6 0,34 0, 0,9 0,48 0,46 0,407 0,463 0, 0,30 0,4 0,30 0,47 0,480 0,70 0,83 0,0 0,5 0,8 0,4 0,55 0,53 0,36 0,44 0,6 0,4 0,30 0,40 0,577 0,585 0,5 0,36 0,6 0, 0, 0,3 0,66 0,636 0,5 0,0 0,68 0,687

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