DICAT Università di Genova

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1 INTRODUZIONE ALLA TEORIA DELLA PROBABILITÀ E DEI PROCESSI ALEATORI DICAT Uiversità di Geova Versioe: Luigi Carassale

2 Sommario Teoria della Probabilità Eveti e sazio camioario Probabilità Defiizioe classica (eveti equirobabili, Lalace, 8) Defiizioe emirica (frequetista, Vo Mises 9) Defiizioe assiomatica (Kolmogorov 933) Teoremi classici della robabilità Teorema dell eveto comlemetare Teorema dell eveto totale....4 Probabilità codizioata e comosta....5 Variabili Aleatorie Defiizioe Distribuzioe di robabilità Fuzioe di robabilità (di ua variabile aleatoria discreta) Desità di robabilità (di ua variabile aleatoria cotiua) Valore atteso Mometi statistici di ua variabile aleatoria Fuzioe caratteristica di ua variabile aleatoria cotiua Cumulati Etroia Trasformazioi lieari di variabili aleatorie Trasformazioi o lieari di variabili aleatorie Modelli di variabili aleatorie Distribuzioe ormale (o Gaussiaa) Distribuzioe uiforme Modello log-ormale Modello di Rayleigh Modello di biomiale Modello di Poisso... 36

3 .7 Raresetazioi arossimate della desità di robabilità Esasioe i serie di fuzioi ortogoali Priciio di massima etroia Trasformazioe o-lieare di variabili Gaussiae Raresetazioe della relazioe robabilistica fra due gradezze Distribuzioe cogiuta di robabilità Desità cogiuta di robabilità Variabili aleatorie statisticamete idiedeti Valore atteso Somma di variabili aleatorie statisticamete idiedeti Correlazioe e covariaza Modello ormale bi-variato Distribuzioe codizioata di robabilità di ua variabile aleatoria Prorietà delle variabili aleatorie Gaussiae Idiedeza statistica di variabili o-correlate Liearità dello sazio delle variabili Gaussiae Teorema del limite cetrale Simmetria olare delle variabili Gaussiae Variabili Gaussiae e cumulati Variabili Gaussiae e massima etroia Vettori Aleatori Defiizioe Mometi statistici Modello ormale (Gaussiao) Gradezze statistiche di ordie sueriore al secodo Etroia ed iformazioe mutua Raresetazioe di vettori aleatori Aalisi a comoeti riciali (PCA) Simulazioe di vettori Gaussiai Processi aleatori

4 3. Defiizioi Medie statistiche del rimo ordie Medie statistiche del secodo ordie Processi aleatori stazioari Medie temorali di ua fuzioe camioe Processi aleatori ergodici Raresetazioe el domiio della frequeza di rocessi stazioari Raresetazioe cogiuta di ua coia di rocessi aleatori Medie statistiche cogiute del secodo ordie Desità di Poteza settrale icrociata Fuzioe di coereza Trasformazioi lieari di rocessi stazioari Derivazioe di rocessi stazioari Mometi settrali Modelli di rocessi stazioari Processo armoico Processo a bada stretta Processo a bada estesa Rumore biaco Aalisi statistica di rocessi aleatori stazioari Aalisi el domiio del temo - stima della fuzioe di autocorrelazioe Aalisi el domiio della frequeza - stima della fuzioe desità di oteza settrale Simulazioe di rocessi aleatori Metodo di Shiozuka Equatio Chater (Next) Sectio 4

5 Teoria della Probabilità Il cocetto di robabilità, utilizzato a artire dal '6, è divetato co il assare del temo la base di diverse discilie scietifiche. I rimi studi che ortaroo successivamete a cocetti legati alla robabilità ossoo essere trovati a metà del VI secolo i Liber de ludo aleæ di Girolamo Cardao (scritto el 56, ma ubblicato solo u secolo e mezzo doo, el 663) e i Sulla scoerta dei dadi di Galileo Galilei (ubblicato el 656). I articolare, Galileo siegò il motivo er cui, laciado tre dadi, il sia iù robabile del 9 oostate che etrambi i risultati si ottegao da u uguale umero di combiazioi. La ascita del cocetto modero di robabilità viee attribuita a Blaise Pascal (63-66) e Pierre de Fermat (6-665). Nel 657 Christiaa Huyges (69-695) scrisse u Libellus de ratiociiis i ludo aleæ, il rimo trattato sul calcolo delle robabilità, el quale itroduceva il cocetto di valore atteso. Nel 73 viee ubblicato ostumo Ars coectadi di Jakob Beroulli, dove veiva dimostrato il teorema che orta il suo ome, oto ache come legge dei gradi umeri. Successivamete, de Moivre ervee ad ua rima formulazioe, oi geeralizzata da Pierre Simo Lalace (749-87), del Teorema del limite cetrale. La teoria della robabilità raggiuse così basi matematicamete solide e, co esse, il rago di uova discilia.. Eveti e sazio camioario I teoria della robabilità si cosidera u feomeo osservabile esclusivamete dal uto di vista della ossibilità o meo del suo verificarsi, rescidedo dalla sua atura. U ruolo cetrale i questo cotesto è svolto dal cocetto di eveto. Si cosideri ua sigola osservazioe o misura di u feomeo (es. la tesioe di servameto i u rovio metallico soggetto alla rova di trazioe, il umero di studeti i u aula, la velocità del veto i u determiato luogo e i u dato istate). Se il feomeo i esame è determiistico, il risultato dell osservazioe (o dell eserimeto) uò essere redetto co esattezza. Se il feomeo è aleatorio, il risultato dell osservazioe o è oto a riori; tuttavia è ossibile idetificare u isieme, che cotiee tutti i ossibili risultati dell eserimeto. L isieme è chiamato sazio camioario; gli elemeti di soo detti uti camioari. Si defiisce eveto, E, u isieme di uti camioari (e quidi di risultati ossibili dell osservazioe). Lo sazio camioario Ω cotiee tutti i ossibili uti camioari, quidi gli eveti soo sottoisiemi dello sazio camioario. Si defiisce eveto elemetare l eveto che cotiee u solo uto camioario; eveto certo, quello che cotiee tutti i uti camioari (cioè coicide co lo sazio camioario); eveto imossibile, quello che o cotiee uti camioari. Gli eveti vegoo ormalmete idicati co lettere maiuscole. Dati due eveti A e B, si idica co AB la loro uioe, ovvero l'eveto costituito dal verificarsi dell'eveto A oure dell'eveto B. Si idica co AB la loro itersezioe, ovvero l'eveto costituito dal verificarsi sia dell'eveto A che Il 9 si ottiee co le sei combiazioi (,,6), (,3,5), (,4,4), (,,5), (,3,4), (3,3,3), il co le sei combiazioi (,3,6), (,4,5), (,,6), (,3,5), (,4,4), (3,3,4). Tuttavia, metre ua combiazioe di tre umeri uguali uò resetarsi i u solo modo, ua co due umeri uguali uò resetarsi i tre modi diversi, ua co tre umeri diversi i sei modi diversi. Si uò quidi otteere il i 7 modi ( ), il 9 i 5 modi ( ). Il Cavalier de Méré (u accaito giocatore assato alla storia er questo) aveva calcolato che otteere almeo u 6 i 4 laci di u dado era equivalete ad otteere almeo u doio 6 i 4 laci. Tuttavia, visto che giocado secodo tale covizioe ivece di vicere erdeva, scrisse a Pascal lametado che la matematica falliva di frote all'evideza emirica. Da ciò scaturì ua corrisodeza tra Pascal e Fermat i cui iiziò a deliearsi il cocetto di robabilità ell'accezioe frequetista. 5

6 dell'eveto B. Se AB = i due eveti A e B vegoo detti mutuamete esclusivi o icomatibili (o ossoo verificarsi simultaeamete). Il comlemeto di u eveto A risetto a Ω, Ω\A, è detto egazioe di A e idica il suo o verificarsi (ovvero il verificarsi dell'eveto comlemetare). Esemio.. Eveti. Nel lacio di u dado, i ossibili risultati soo i umeri,, 6. Oguo è u uto camioario ω dello sazio camioario Ω = {,, 3, 4, 5, 6}. Si cosiderio i segueti eveti: A = occorreza di u umero ari =,4, 6; B = occorreza di u umero disari =, 3, 5; C = occorreza del umero = ; D = occorreza del umero 7 = ; E = AB = ; A e B soo eveti icomatibili; C è u eveto elemetare, D è u eveto imossibile, E è l eveto certo.. Probabilità Esistoo diverse defiizioi di robabilità. Nel seguito si forirao 3 defiizioi che hao rilievo er la loro imortaza storica o utilità ratica... Defiizioe classica (eveti equirobabili, Lalace, 8) Secodo la rima defiizioe di robabilità, er questo detta classica, la robabilità P(A) di occorreza dell eveto A è defiita come: N (.) N A P A dove N è il umero di risultati ossibili (assumedo che siao equirobabili) e N A è il umero di risultati favorevoli all eveto A. Esemio.. Defiizioe classica di robabilità Lacio di ua moeta Ω = {T, C}; sia A:=T, allora P(A) = /; Lacio di u dado Ω = {,,,6}; sia A = {, }, allora P(A) = /6 = /3; Estrazioe umero roulette: Ω = {,,,9}; sia A = estrazioe umero disari = {, 3,,89}, allora P(A) = 45/9. La defiizioe classica cosete di calcolare effettivamete la robabilità i molte situazioi. Ioltre, è ua defiizioe oerativa e forisce quidi u metodo er il calcolo. Preseta tuttavia diversi asetti egativi o irrilevati: si alica soltato a feomei co risultati equirobabili; resuoe u umero fiito di risultati ossibili; la defiizioe è circolare erché utilizza la ozioe di robabilità (eveti equirobabili) er defiire la robabilità stessa. 6

7 .. Defiizioe emirica (frequetista, Vo Mises 9) Per suerare tali difficoltà, Richard vo Mises ( ) roose di defiire la robabilità di u eveto come il limite cui tede la frequeza relativa dell'eveto al crescere del umero degli eserimeti. Si cosideri u eserimeto che ossa essere rietuto u umero ifiito di volte e si assuma che u eveto E si sia verificato u umero E di volte durate l esecuzioe di eserimeti. La robabilità di occorreza dell eveto E si defiisce come il limite er che tede a ifiito della sua frequeza relative E /: (.) lim E P E Esemio.3. Defiizioe frequetista di robabilità: covergeza alla defiizioe classica Si simuli il lacio di u dado e si verifichi mediate la defiizioe (.) che l eveto A = {, } ha robabilità /3. Il codice Matlab riortato i Figura - geera ua successioe di umeri casuali, x, mediate il comado rad. I valori di x così geerati soo comresi ell itervallo chiuso [ -53, ]. A artire da x, il codice geera umeri iteri, y, casuali equirobabili comresi fra e 6. La Figura - mostra i rimi risultati di ua sequeza casuale. La Figura -3 mostra la covergeza della robabilità calcolata mediate la defiizioe frequetista al valore otteuto dalla defiizioe classica (/3). Si osserva che er avere ua buoa corrisodeza fra i due valori soo ecessari circa 4 eserimeti. % Covergeza defiizioe frequetista robabilità % Esemio: lacio di u dado % = umero eserimeti % A = eveto % y = risultati eserimeti % fa = eleco eveti favorevoli () e sfavorevoli () % PA = robabilità di occorreza eveto A = e6; x = rad(,); y = roud(6 * x +.5); A = [ ]; fa = zeros(,); for k=: fa(k) = sum(a==y(k)); ed PA = cumsum(fa)./ (:)'; figure() lot(:,y(:),'xr') ylim([ 7]) grid o xlabel('') ylabel('y_') figure() semilogx(:,pa, :, oes(,)*legth(a)/6,'r--') xlabel('') ylabel('_e/') grid o set(gca,'xmiorgrid','off') Figura -. Codice Matlab er verifica covergeza defiizioe frequetista di robabilità. 7

8 E / y Figura -. Lacio di u dado: uti camioari corrisodeti a eserimeti Figura -3. Covergeza della frequeza relativa al valore della robabilità defiita mediate la (.). La defiizioe frequetista, come quella classica, è oerativa, cioè cosete di calcolare raticamete la robabilità di eveti i molte circostaze; ioltre, è coerete co quato forito dalla defiizioe classica el caso di eveti equirobabili. Tuttavia è ecessario osservare: il "limite" delle frequeze relative o corrisode all'aalogo cocetto matematico; ad esemio, data ua successioe {a }, si dice che a è il suo limite se er ogi ε > esiste u umero aturale N tale che a - a < ε er ogi > N, e, comuque dato ε, è semre ossibile calcolare N; ella defiizioe frequetista, ivece, N o è semre calcolabile; o tutti gli eserimeti soo rietibili; ad esemio, ha sicuramete seso chiedersi quale sia la robabilità che vi sia vita su Marte o che tra 5 ai il tasso di atalità i Africa diveti la metà di quello attuale, ma i casi simili o è ossibile immagiare eserimeti rietibili all'ifiito...3 Defiizioe assiomatica (Kolmogorov 933) L'imostazioe assiomatica della robabilità vee roosta da Adrey Nikolaevich Kolmogorov el 933 i Grudbegriffe der Wahrscheilichkeitsrechug (Cocetti fodametali del calcolo delle robabilità). Va otato che la defiizioe assiomatica o è ua defiizioe oerativa e o forisce idicazioi su come calcolare la robabilità. Il ome deriva dal rocedimeto er "assiomatizzazioe" basato sull'idividuare di cocetti rimitivi, da cui idividuare i ostulati e, er via deduttiva, i teoremi. 8

9 L'imostazioe assiomatica muove dal cocetto di σ-algebra, o classe additiva. Dato u qualsiasi eserimeto casuale, i suoi ossibili risultati costituiscoo gli elemeti di u isieme o vuoto Ω, detto sazio camioario, e ciascu eveto è u sottoisieme di Ω. La robabilità viee vista, i rima arossimazioe, come ua misura, cioè come ua fuzioe che associa a ciascu sottoisieme di Ω u umero reale o egativo tale che la somma delle robabilità di tutti gli eveti sia ari a. Si assuma che ogi eveto ello sazio camioario sia associato a u umero reale P(E), chiamato robabilità di E. Questo umero soddisfa le tre segueti codizioi:. La robabilità è u umero o-egativo: P(E) ;. La robabilità dell eveto certo è uitaria: P(Ω) = ; 3. Dati due eveti A e B defiiti come mutuamete esclusivi, allora P(AB) = P(A) + P(B). Si osservi che, come cosegueza degli assiomi recedeti, ecessariamete, P(E). I tre assiomi itrodotti da Kolmogorov soo coereti co la defiizioe emirica forita da Vo Mises e co la defiizioe classica euciata da Lalace..3 Teoremi classici della robabilità Dagli assiomi recedeti si ricavao i teoremi di seguito riortati..3. Teorema dell eveto comlemetare Si defiisce eveto comlemetare E c = \E dell eveto E, l eveto che comrede tutti i uti camioari di Ω o comresi i E (Figura -4). E E c Figura -4. Eveto comlemetare. U eveto E e il suo comlemetare E c soo mutuamete esclusivi, cioè la loro itersezioe forisce l eveto vuoto, metre la loro uioe geera l eveto certo EE E E c c (.3) Alicado alla (.3) l Assioma 3 si deduce: c PE P E (.4) I articolare, essedo Ω c =, l alicazioe della (.4) dimostra che l eveto vuoto ha robabilità di occorreza zero (P() = ). La (.4) e l assioma dimostrao che P(E). 9

10 Esemio.4. Probabilità dell eveto comlemetare Sia P = -6 la robabilità di collasso di ua struttura i u ao. La robabilità che tale struttura o collassi i u ao è P = Teorema dell eveto totale Il teorema della robabilità totale cosete di calcolare la robabilità dell'uioe di due, ovvero la robabilità che si verifichi almeo uo di essi. Essa è la somma delle robabilità dei sigoli eveti se soo mutuamete esclusivi; i caso cotrario, alla somma va sottratta la robabilità dell itersezioe. Si cosideri due eveti E e E i (Figura -5): E E E E Figura -5. Eveto totale. L uioe degli eveti E e E uò essere scritta come: E E E E E E E E (.5) dove (E E ) cotiee i uti camioari reseti i E, ma o i E (E E è defiito aalogamete). I tre eveti raresetati dagli isiemi del termie di destra della (.5) soo mutuamete esclusivi, quidi er l Assioma 3 risulta: P E E P E E P E E P E E (.6) Da Figura -5 risulta ioltre che E E E E E dell eveto E E risulta ertato:. La robabilità di occorreza P E E P E P E E (.7) Sostituedo la (.7) (e u esressioe aaloga er E E ) ella (.6), la robabilità di occorreza dell eveto totale E E risulta: P E E P E P E P E E (.8) Dalla (.8) e dall assioma di ositività discede la codizioe: P E E P E P E (.9)

11 Esemio.5. Probabilità dell eveto totale. Si cosideri il lacio di u dado e si cosiderio i segueti eveti: E,,3 ; E 3,4 ;,,6 Alicado la defiizioe (.) risulta: P E P E 3; P E E 6 Alicado il teorema dell eveto totale risulta: P E E P E P E P E E 3.4 Probabilità codizioata e comosta Si dice robabilità codizioata di A dato B, e si scrive P(A B), la robabilità che l'eveto A ha di verificarsi quado si saia che B si è verificato. P A B P A B PB (.) P B La defiizioe di robabilità codizioata uò essere facilmete siegata cosiderado il caso di uo sazio camioario coteete N uti camioari equirobabili. Sia N B il umero di risultati favorevoli er l eveto B e N AB il umero di risultati favorevoli cotemoraeamete er gli eveti A e B (e quidi er l eveto A B). Sostituedo ella (.) la defiizioe classica di robabilità (Eq. (.)): P A B N N N (.) N N N AB AB La robabilità codizioata P(A B) uò essere duque iterretata come la robabilità di occorreza di A ello sazio camioario ridotto determiato da B (Figura -6). B B A B Figura -6. Probabilità codizioata. Esemio.6. Probabilità codizioata. Si cosideri il lacio simultaeo di due dadi. Si voglia determiare la robabilità di occorreza del umero 7 (eveto A), dato che uo dei due dadi ha forito il umero (eveto B). Lo sazio camioario cotiee i 36 uti camioari equirobabili: (, ), (, ), (, 3), (, 4), (, 5), (, 6), (, ), (, ), (, 3), (, 4), (, 5), (, 6), (3, ), (3, ), (3, 3), (3, 4), (3, 5), (3, 6), (4, ), (4, ), (4, 3), (4, 4), (4, 5), (4, 6), (5, ), (5, ), (5, 3), (5, 4), (5, 5), (5, 6), (6, ), (6, ), (6, 3), (6, 4), (6, 5), (6, 6).

12 Il umero di risultati favorevoli a A è N A = 6, quidi P(A) = /6; il umero di risultati favorevoli a B è N B =, quidi P(B) = /36; il umero di risultati favorevoli simultaeamete ad A e B è N AB =, quidi P(AB) = /8; il umero di risultati favorevoli a A, dato che si è verificato B soo su ossibilità, quidi P(A B)=/. Attraverso il cocetto di robabilità codizioata si erviee al teorema della robabilità comosta, che cosete di calcolare la robabilità dell'itersezioe di due o iù eveti, ovvero la robabilità che essi si verifichio etrambi. Nel caso di due eveti, si ha P A B P A B P B P B A P A (.) Nel caso che la robabilità di A dato B, P(A B), sia uguale a P(A), i due eveti vegoo defiiti stocasticamete (o robabilisticamete, o statisticamete) idiedeti e dalla stessa defiizioe segue ua diversa formulazioe della robabilità comosta, caso articolare del recedete: P AB P A PB (.3) Esemio.7. Eveti statisticamete idiedeti. Si cosideri i segueti eveti legati al lacio di u dado:,,3,4,5,6 ; A, ; B,3,5 ; C,4,6 P A /6; PB 3/6; PC 3/6 ; A B, P A B /6 PA PB A, B idiedeti; B C, PB C PB PC B, C diedeti. Si osserva che gli eveti A e B soo idiedeti, ma o mutuamete esclusivi, metre gli eveti B e C soo mutuamete esclusivi, ma o idiedeti. Si otrebbe osservare, i roosito, che due eveti mutuamete esclusivi o ossoo essere statisticamete idiedeti, i quato la realizzazioe di uo comorta la o-realizzazioe dell altro. Il codice Matlab riortato i Figura -7 valuta, alicado la defiizioe frequetista, la robabilità di occorreza dell eveto A = {, } e la robabilità di occorreza di A codizioata all occorreza di B = {, 4, 5}. La Figura -8 mostra che, all aumetare del umero di eserimeti, le robabilità P(A) e P(A B) tedoo al medesimo valore. Ciò idica che gli eveti A e B soo statisticamete idiedeti.

13 P(A), P(A B) % Esemio: lacio di u dado % verifica che gli eveti A = [ ] e B = [ 4 5] soo statisticamete % idiedeti. % % = umero di eserimeti % y = risultati eserimeti (laci dado) % fa = eleco eveti favorevoli () e sfavorevoli () er A % fb = eleco eveti favorevoli () e sfavorevoli () er B % fab = eleco eveti favorevoli () e sfavorevoli () er A e B % cotemoraeamete % PA = robabilità di occorreza eveto A % PAcB = robabilità di occorreza di A dato B = e5; x = rad(,); y = roud(6 * x +.5); A = [ ]; B = [ 4 5]; fb = zeros(,); fab = zeros(,); for k=: fa(k) = sum(a==y(k)); fb(k) = sum(b==y(k)); fab(k) = sum(a==y(k)) & sum(b==y(k)); ed PA = cumsum(fa)./ (:)'; PAcB = cumsum(fab)./ cumsum(fb); Figura -7. Codice Matlab er verifica idiedeza statistica mediate defiizioe frequetista di robabilità Figura -8. Probabilità di A (liea blu), e robabilità di A dato B (liea rossa). 3

14 .5 Variabili Aleatorie I teoria della robabilità, ua variabile casuale (o variabile aleatoria o variabile stocastica o radom variable) uò essere esata come il risultato umerico di u eserimeto quado questo o è revedibile co certezza (ossia o è determiistico). Ad esemio, il risultato del lacio di u dado uò essere matematicamete modellato come ua variabile casuale che uò assumere uo dei sei ossibili valori,, 3, 4, 5, 6. Bruo de Fietti defiiva umero aleatorio (termie suggerito dallo stesso er deotare la variabile casuale) u umero be determiato ma o oto er careza di iformazioi..5. Defiizioe Dato uo sazio camioario Ω su cui è defiita ua misura di robabilità, ua variabile aleatoria è ua fuzioe (misurabile) dallo sazio camioario a uo sazio misurabile (es. l isieme dei umeri aturali, l isieme dei umeri reali, ecc.; Figura -9). I questo caitolo, si cosiderao variabili aleatorie a valori scalari (dette moo-variate). Variabili aleatorie a valori vettoriali soo defiite ei caitoli successivi. Ua variabile aleatoria è defiita cotiua se ha valori i itervalli cotiui di. Ua variabile è detta discreta si ha valori i u isieme di umeri fiito o umerabile (es. ). Ua variabile aleatoria è detta mista se assume valori i u isieme cotiuo, ma ossiede u umero discreto di valori aveti robabilità di occorreza fiita. Nel seguito, le variabili aleatorie verrao idicate co lettere maiuscole (es. ), metre le corrisodeti lettere miuscole (es. x) verrao utilizzare er idetificare geerici valori assuti da, detti realizzazioi. La realizzazioe x uò essere iterretata come l immagie del uto camioario attraverso (Figura -9). x = () x Figura -9. Variabile aleatoria..5. Distribuzioe di robabilità La distribuzioe di robabilità (o distribuzioe cumulative, o cumulative distributio fuctio, CDF) è ua fuzioe che defiisce la robabilità che la variabile aleatoria assuma valori miori o uguali ad u arametro i. F P (.4) La distribuzioe di robabilità è defiite er qualsiasi valore dell argometo i e ossiede le segueti rorietà (facilmete deducibili dalla (.4) e dagli assiomi della teoria della robabilità): F P P (.5) F P P (.6) 4

15 F () P F F (.7) Dalla (.7) discede (er l assioma di ositività) che la distribuzioe di robabilità è ua fuzioe o-decrescete i cui valori aartegoo all itervallo chiuso [, ]. Sarebbe ossibile dimostrare ache l imlicazioe iversa: ua fuzioe o-decrescete che soddisfa le codizioi (.5) e (.6) rareseta la distribuzioe di robabilità di ua qualche variabile aleatoria. Esemio.8. Stima distribuzioe di robabilità di ua variabile aleatoria discrete La Figura - mostra il codice Matlab er la stima della distribuzioe di robabilità di ua variabile aleatoria discreta, raresetativa dei risultati del lacio di u dado. La Figura - mostra la distribuzioe di robabilità stimata. Si osserva la struttura discotiua della fuzioe, tiica delle variabili aleatorie discrete. I salti ella fuzioe raresetao robabilità fiite di avere risultati i corrisodeza dei valori,,,6. % stima distribuzioe di robabilità di v.a. discreta = e5; = roud(6*rad(,) +.5); % lacio di u dado xi = lisace(-,, 3); F = zeros(size(xi)); for k=:legth(xi) F(k) = sum(<=xi(k))/; ed lot(xi,f,'.') xlabel('\xi') ylabel('f_(\xi)') grid o ylim([.]) Figura -. Codice Matlab er stima distribuzioe di robabilità: esemio variabile aleatoria discreta Figura -. Distribuzioe di robabilità dei risultati del lacio di u dado stimata mediate il codice di Figura -. Esemio.9. Stima distribuzioe di robabilità di ua variabile aleatoria cotiua Il codice riortato i Figura - stima la distribuzioe di robabilità della variabile aleatoria cotiua, il cui sazio camioario è geerato attraverso ua trasformazioe o-lieare di umeri casuali Gaussiai u. Per ogi valore (k) dell ascissa discretizzata, la distribuzioe di robabilità è otteuta valutado la robabilità dell eveto (k) mediate la defiizioe frequetista. La Figura -3 mostra la distribuzioe di robabilità stimata. 5

16 F () % stima CDF della variabile aleatoria = e5; % umero eserimeti u = rad(,); = u +.*u.^ +.5*u.^3; % geerazioe sazio camioario er xi = lisace(-,, 3); % defiizioe ascissa discretizzata F = zeros(size(xi)); for k=:legth(xi) F(k) = sum(<=xi(k))/; ed lot(xi,f) xlabel('\xi') ylabel('f_(\xi)') grid o ylim([.]) Figura -. Codice Matlab er stima distribuzioe di robabilità Figura -3. Distibuzioe di robabilità di ua variabile aleatoria cotiua stimata mediate il codice di Figura Fuzioe di robabilità (di ua variabile aleatoria discreta) Si cosideri ua variabile aleatoria discrete che uò assumere gli valori discreti ( =,,). Si defiisce fuzioe di robabilità di la fuzioe: P P (.8) che defiisce, la robabilità di realizzazioe di ogi ossibile valore. La fuzioe di robabilità e la distribuzioe di robabilità soo legate dalla relazioe: F P P F F (.9) (.) dove - idica u umero reale miore, ma arbitrariamete vicio a. La Figura -4 mostra la fuzioe di robabilità e la corrisodete distribuzioe di robabilità di ua variabile aleatoria discreta. 6

17 F () P () Figura -4. Fuzioe di robabilità e distribuzioe di robabilità di ua variabile discrete. Esemio.. Stima della fuzioe di robabilità Si cosideri u eserimeto realizzado laciado due dadi. Sia otteuto come somma dei risultati foriti dai due dati. La Figura -5 riorta il codice er simulare il lacio di due dadi; la fuzioe di robabilità è valutata attraverso la fuzioe riortata i Figura -5 realizzata itroducedo la defiizioe frequetista di robabilità ella (.8). La Figura -7 mostra la fuzioe di robabilità (a) e la distribuzioe di robabilità (b) stimata sulla base di 5 laci di dadi simulati. % esemio lacio di due dadi = e5; = roud(6*rad(,) +.5); % lacio di u dado = roud(6*rad(,) +.5); % lacio di u dado = + ; [P, xi] = f(); figure() for k=:legth(xi) lot(xi(k)*[ ],P(k)*[ ],'b',xi(k),p(k),'.b') hold o ed hold off xlim([ 4]) grid o xlabel('\xi') ylabel('p_(\xi)') Figura -5. Codice Matlab er simulazioe del lacio di due dadi. fuctio [P, xi] = f(x) % stima fuzioe di robabilità er v.a. discreta di cui soo disoibili % realizzazioi coteute el vettore x % P = fuxioe di robabilità % xi = ascissa P xi = mi(x):max(x); % ascissa fuz di robabilità P = zeros(legth(xi),); z = x - mi(x) + ; for k=:legth(x) P(z(k)) = P(z(k)) + ; ed P = P / legth(x); ed Figura -6. Codice Matlab er stima dai dati della fuzioe di robabilità di ua variabile aleatoria discreta. 7

18 P () F () (a) (b) Figura -7. Fuzioe di robabilità (a) e distribuzioe di robabilità (b)..5.4 Desità di robabilità (di ua variabile aleatoria cotiua) La distribuzioe di robabilità, F, di ua variabile aleatoria cotiua,, è ua fuzioe cotiua i, ma o ecessariamete derivabile. Si assuma che i uti i cui F o è derivabile formio u isieme umerabile. Ove F è derivabile, si defiisce la desità di robabilità () (o robability desity fuctio, o df) come derivata di F risetto all argometo : d F d (.) I virtù delle rorietà di F si deducoo le segueti rorietà della desità di robabilità: F (.) d (.3) d (.4) d P F F (.5) I cui si è suosto che, ei uti dove o è defiita (F o derivabile), essa assuma u qualsiasi valore ositivo fiito. La Figura -8 descrive la relazioe fra e F defiita dalla (.3): l ordiata F () equivale all area sottesa da a siistra dell ascissa. La Figura -9 mostra che l occorreza di u uto * i cui F o è derivabile si riflette i ua discotiuità i. 8

19 (a) (b) Figura -8. Relazioe fra desità (a) e distribuzioe (b) di robabilità. Figura -9. Puti sigolari ella desità di robabilità. La (.5) afferma che l area sottesa dalla desità di robabilità, comresa fra due valori di ascissa, e, rareseta la robabilità che la variabile aleatoria assuma u valore comreso i tale itervallo (Figura -). Poedo = e = +, la (.5) uò essere riscritta ella forma: (.6) d P Nella quale, l alicazioe del teorema della media imoe di assumere che sia cotiua i. Figura -. Sigificato robabilistico di desità e distribuzioe di robabilità. 9

20 L alicazioe della defiizioe emirica di robabilità alla (.6) forisce uo strumeto er stimare la desità di robabilità attraverso la relazioe: lim (.7) dove () è il umero di volte i cui il valore di è comreso ell itervallo (, + ] i eserimeti. La desità così otteuta è raresetata da u istogramma (Figura -) che, se è sufficietemete iccolo uò essere iterretato come la discretizzazioe di ua fuzioe di variabile cotiua. Figura -. Stima della desità di robabilità. Esemio.. Stima della desità di robabilità. Si cosideri la variabile aleatoria del recedete Esemio.9 e si stimi la desità di robabilità utilizzado la defiizioe frequetista. % stima df della variabile aleatoria = e6; % umero eserimeti u = rad(,); = u +.*u.^ +.5*u.^3; % geerazioe sazio camioario er xi = lisace(-,, 3); % defiizioe ascissa discretizzata = zeros(size(xi)); Dx = xi() - xi(); for k=:legth(xi) (k) = sum( > xi(k)-dx/ & <= xi(k)+dx/)//dx; ed lot(xi,) xlabel('\xi') ylabel('_(\xi)') grid o xlim([-6 6]) Figura -. Codice Matlab er stima desità di robabilità.

21 () Figura -3. Desità di robabilità stimata mediate il codice riortato i Figura -. Il codice riortato i Figura - è molto semlice erché imlemeta brutalmete l estimatore defiito dalla (.7). Sfortuatamete, tale algoritmo è iuttosto iefficiete, avedo ua comlessità comutazioale ari a. I alterativa, la desità di robabilità uò essere stimata mediate la fuzioe riortata i Figura -4, che ha comlessità comutazioale ari a. fuctio [, xi] = df(x,nx) % stima df er v.a. cotiua di cui soo disoibili le realizzazioi % raccolte el vettore x % = df % xi = ascissa df % Nx = umero uti ascissa df xi = lisace(mi(x),max(x),nx)'; Dx = (max(x)-mi(x)) / Nx; % ascissa discretizzata df % amiezza itervalli = zeros(nx,); z = (x - mi(x)) / (max(x) - mi(x)); % x è maato i [ ] z = roud((nx-) * z)+; % umero d'ordie itervallo ascissa for k=:legth(x) (z(k)) = (z(k)) + ; ed = / legth(x) / Dx; % ormalizzazioe ed Figura -4. Codice Matlab er stima distribuzioe di robabilità..5.5 Valore atteso Il valore atteso (o media, o exectatio) di ua variabile aleatoria, è u umero E[] che formalizza l'idea euristica di valore medio di u feomeo aleatorio. I geerale il valore atteso di ua variabile aleatoria discreta è dato dalla somma dei ossibili valori di tale variabile, ciascuo moltilicato er la robabilità di essere assuto (ossia di verificarsi), cioè è la media oderata dei ossibili risultati. Se la variabile aleatoria uò assumere i valori ( =,, ), il valore atteso è defiito dalla relazioe: P (.8) E

22 Per ua variabile aleatoria cotiua il valore atteso è essere defiito mediate u itegrale. E df d (.9) Si osservi che la defiizioe di valore atteso otteuta attraverso l itegrale di Stieltes ella (.9) uò essere alicata ache ei casi i cui la fuzioe desità di robabilità o è defiita, come er le variabili aleatorie discrete e miste. Il valore atteso è u oeratore lieare che dallo sazio delle variabili aleatorie coduce ello sazio dei umeri reali. Esso gode quidi delle rorietà: a by a b Y dove e Y soo variabili aleatorie, metre a e b soo costati reali. E E E (.3) Il valore atteso ha la rorietà di mootoia, cioè se ua variabile aleatoria aartiee all itervallo [a, b], allora ache il suo valore atteso E[] aartiee ad [a, b]. Il valore atteso di ua variabile aleatoria di cui è disoibile u isieme di realizzazioi uò essere stimato attraverso la media statistica. Ciò uò essere dimostrato facilmete el caso di variabili aleatorie discrete (il cocetto è altrettato valido er le variabili cotiue) sostituedo la defiizioe frequetista di robabilità ella (.8) E (.3) dove rareseta il umero di volte che si è realizzato il valore el corso di eserimeti, co grade a sufficieza. La (.3) cotiee la somma dei risultati ossibili moltilicati er il umero di volte che questi si soo realizzati. Questa somma corrisode alla somma dei valori x k realizzati dalla variabile aleatoria egli eserimeti (ammesso che sia grade a sufficieza a fi che l isieme dei risultati x k cotega tutti i risultati aveti ua robabilità di occorreza sigificativa). La (.3) uò duque essere riscritta ella forma: E xk (.3) k Il cocetto di valore atteso uò essere esteso al caso di ua variabile aleatoria Y legata, attraverso ua fuzioe determiistica, ad ua variabile aleatoria di cui è ota la desità di robabilità (cioè, Y = f(), co f fuzioe determiistica). Il valore atteso di Y è forito dalle esressioi: Y f f P E E (.33) E Y E f f d (.34) er i casi di variabili aleatorie discrete e cotiue, risettivamete.

23 .5.6 Mometi statistici di ua variabile aleatoria Si defiisce mometo statistico di ordie k (k ) di ua variabile aleatoria il valore atteso della oteza di ordie k di : k mk E k,, (.35) Sostituedo la (.35) elle (.33) e (.34), oedo f() = k, si ottegoo le esressioi: m k P k,, (.36) k k k mk d,, (.37) Il mometo statistico di ordie, = m [], è detto valore medio (o media); il mometo statistico di ordie, = m [], è detto valore quadratico medio (o media quadratica). Si defiisce mometo statistico cetrale di ordie k (k ) di ua variabile aleatoria la quatità: E k k,3, k (.38) Il mometo statistico cetrale di ordie, = [] è detto variaza, metre la sua radice quadrata,, è detta deviazioe stadard. I mometi statistici cetrali soo legati ai mometi statistici da relazioi ricorsive. Arrestadosi all ordie 4, risultao: m m m 3m m m m 4m m 6m m 3m (.39) Nel caso i cui è ua variabile aleatoria cotiua, la media = m [] rareseta, da u uto di vista grafico, la osizioe (ascissa) del baricetro dell area sottesa dalla desità di robabilità; ertato, la media misura la osizioe della fuzioe di desità di robabilità risetto all asse reale. La media ha la medesima dimesioe (uità di misura) delle realizzazioi della variabile aleatoria. La variaza = [] rareseta il mometo d ierzia dell area sottesa dalla desità di robabilità risetto all asse baricetrico; ertato, la variaza rareseta ua misura di disersioe, itoo al valore medio, delle realizzazioi di ua variabile aleatoria. La deviazioe stadard ha la medesima dimesioe delle realizzazioi della variabile aleatoria. I accordo co le (.39), media, variaza e media quadratica soo legate dalla relazioe: (.4) Il raorto fra deviazioe stadard e media è detto coefficiete di variazioe: I (.4) 3

24 Il mometo cetrale di ordie 3, adimesioalizzato co la deviazioe stadard è detto skewess (o coefficiete di asimmetria). Il mometo cetrale di ordie 4 adimesioalizzato co la deviazioe stadard è detto kurtosis (o coefficiete di iattezza). skw ; kurt (.4) Lo skewess è geeralmete idicato co il simbolo 3. Frequetemete, al valore del kurtosis defiito dalla (.4) si sottrae 3; i questo caso modo si ottiee u valore detto coefficiete di eccesso (o eccesso di kurtosis), geeralmete idicato co il simbolo 4. ; (.43) La Figura -5 mostra l effetto della media e della deviazioe stadard sulla forma della desità di robabilità. La media determia ua traslazioe della curva lugo l asse delle ascisse, metre la deviazioe stadard cotrolla l amiezza della curva (alla quale corrisode u abbassameto er coservare l area uitaria). La Figura -6 mostra l effetto di skewess e coefficiete di eccesso sulla forma della desità di robabilità. La codizioe 3 = corrisode ad ua fuzioe simmetrica risetto alla media; la codizioe 3 > rareseta la situazioe i cui la desità di robabilità ha la coda di destra iù alta della coda di siistra. Ua variabile aleatoria avete 4 > è detta suergaussiaa e ha desità di robabilità alta sulla moda (ascissa corrisodete al icco) e sulle code; ua variabile aleatoria avete 4 < è detta subgaussiaa e ha desità di robabilità bassa sulla moda e sulle code; il caso 4 = corrisode alla distribuzioe Gaussiaa che verrà descritta el seguito. Per lo studio delle code della distribuzioe è geeralmete coveiete diagrammare le fuzioi di desità di robabilità co ordiata i scala logaritmica, come mostrato i Figura -7 er i casi già discussi i Figura -6. È ossibile dimostrare che il coefficiete di eccesso è iferiormete limitato a 4 = -; tale valore è attito da variabili aleatorie co desità del tio: (.44) Ua variabile aleatoria è detta stadardizzata se è cetrata risetto alla sua media e scalata i modo da avere variaza uitaria: ˆ (.45) da cui ovviamete risulta ˆ e ˆ. 4

25 (), Y (), Z () (), Y (), Z () (), Y (), Z () (), Y (), Z () (), Y () (), Y ().4.35 = = Y = Y =.4.35 = = Y = Y = , (a) , (b) Figura -5. Desità di robabilità: iflueza della media (a) e deviazioe stadard (b) =.5 4 = 3 = = 3 = 4 = = 4 = 5 3 = 4 = = 4 = ,, (a) ,, (b) Figura -6. Desità di robabilità: iflueza skewess (a) e coefficiete di eccesso (b) ,, (a) ,, (b) Figura -7. Desità di robabilità (scala logaritmica): iflueza skewess (a) e coefficiete di eccesso (b). I mometi statistici della variabile aleatoria ossoo essere stimati a artire da u isieme di sue realizzazioi x ( =,,) attraverso u esressioe aaloga alla (.3) m k k k E x (.46) 5

26 .5.7 Fuzioe caratteristica di ua variabile aleatoria cotiua Si defiisce fuzioe caratteristica (o fuzioe geeratrice dei mometi) della variabile aleatoria, la fuzioe a valori comlessi: i E ex i e d (.47) dove l argometo è defiito i R. I base alla (.47), la fuzioe caratteristica è la trasformata di Fourier della desità di robabilità, ertato essa determia comletamete la struttura robabilistica di. La fuzioe caratteristica uò essere raresetata attraverso la serie di McLauri: d k (.48) k k k k! d Oerado er derivazioe sulla (.47), i termii della (.48) risultao ella forma: k d k k k i E i mk k,, k d (.49) che, sostituedo ella (.48), foriscoo u esressioe della fuzioe caratteristica i termii di mometi statistici. k i k mk (.5) k! k La (.5) dimostra che, cooscedo i mometi statistici fio all ordie ifiito, è ossibile raresetare la fuzioe caratteristica e quidi la desità di robabilità. I questo seso, la coosceza dei mometi statistici è equivalete alla coosceza della distribuzioe di robabilità, quidi determia comletamete la struttura robabilistica della variabile aleatoria..5.8 Cumulati Si defiisce log-fuzioe caratteristica Ψ (θ) della variabile aleatoria il logaritmo aturale della fuzioe caratteristica Φ (θ); tale fuzioe uò essere esasa attraverso la serie di McLauri come segue: d log! d i! (.5) i cui coefficieti κ [] soo detti cumulati. I cumulati soo legati ai mometi statistici ed ai mometi cetrali attraverso le relazioi ricorsive riortate i aedice A; tali relazioi, fio all'ordie 4, hao la forma: 6

27 f() m m m m 3m m m m 3m 4m m m m 6m (.5) Si osserva che il quarto cumulate adimesioalizzato risetto alla deviazioe stadard corrisode al coefficiete di eccesso defiito i (.43)..5.9 Etroia Sia ua variabile aleatoria discreta co fuzioe di robabilità P (ξ ). Si defiisce etroia (di Shao) la quatità: H P log P (.53) dove la sommatoria è estesa a tutti i valori ξ che uò assumere. Cosiderado la fuzioe f log diagrammata i Figura -8, l'etroia uò essere geeralizzata ella forma: f P H (.54) Figura -8. Fuzioe f() ell'itervallo [,] Dalla (.54) si osserva che H è u umero o egativo ed è ullo el caso i cui sia determiistica (u articolare ξ ha robabilità uo e tutti gli altri hao robabilità zero). I geerale H è iccola se u valore ξ ha ua robabilità di occorreza domiate, metre H è grade se molti valori ξ hao robabilità di occorreza comarabile. I termii qualitativi, l'etroia misura il grado di "aleatorietà" di ua variabile aleatoria o, i termii iù corretti, secifica quato ua variabile aleatoria è strutturata. I teoria dell'iformazioe l'etroia è utilizzata er quatificare il coteuto di iformazioe di u caale digitale. Sia ora ua v.a. cotiua; si defiisce etroia (differeziale) la quatità: H log d (.55) 7

28 dove l'itegrazioe è estesa all'itero domiio di defiizioe di. A differeza dell'etroia di Shao, l'etroia itegrale uò assumere valori egativi (dato che la fuzioe desità di robabilità uò essere maggiore di uo); da u uto di vista qualitativo ossiede il medesimo sigificato..5. Trasformazioi lieari di variabili aleatorie Sia ua variabile aleatoria cotiua e Y ua sua trasformazioe lieare tale che Y = a + b co ab,. Le risettive distribuzioi di robabilità soo legate dalla relazioe b b FY PY Y PY a b P F a a (.56) Segue che le desità di robabilità soo legate dalla relazioe Y dfy df b d a d b a a a (.57) Le fuzioi caratteristiche di e Y ed i loro logaritmi soo legate dalle relazioi E exi Y E ex i a b Y a b a b E ex i ex i ex i (.58) log a i b (.59) Y Y Dalla (.59) segue che i cumulati delle due variabili aleatorie e Y soo legati el seguete modo Y a b Y a (.6) Nel caso articolare i cui b = la (.6) vale ache er i mometi e assume la forma m a a m a a (.6) La (.6) dimostra che mometi e cumulati di ordie soo oeratori omogeei di grado. Ifie l'etroia di e Y si relazioao el seguete modo log H Y d Y Y b b log d a a a a log d a H log a (.6) 8

29 da cui si deduce che l'etroia aumeta co la scala a ed è ivariate risetto alla osizioe. I altri termii, fissata la forma della distribuzioe di robabilità, l'etroia cresce all'aumetare della variaza ed è ivariate risetto al valor medio..5. Trasformazioi o lieari di variabili aleatorie Sia ua variabile aleatoria cotiua e Y = g() co g fuzioe mootoa crescete. La fuzioe di distribuzioe F Y uò essere relazioata a F imoedo che PY sia ari a P g dove g - è la fuzioe iversa di g (Figura -9). Da questa uguagliaza discede la relazioe: Y che i termii di desità di robabilità risulta: Figura -9. F F g (.63) Y Y g d d g d d df df dg dg (.64) Se la fuzioe g è mootoa decrescete la relazioe che lega F e F Y uò essere ricavata PY e P g (Figura -3). eguagliado Figura -3. Da questa uguagliaza discedoo le relazioi 9

30 F F g Y Y g dg d (.65) Le (.65) ossoo essere uificate er comredere sia il caso di fuzioe crescete che decrescete attraverso la relazioe: Y g Le etroie di e Y soo legate dalla relazioe dg d (.66) log H Y d Y dg log d d g dg H log d d Y dg dg g log g d d d (.67) L'itegrada ella (.67) forisce u cotributo ositivo all'etroia er i valori di ξ er cui dg d, metre forisce u cotributo egativo quado dg d. Questo effetto è esato dalla desità di robabilità..6 Modelli di variabili aleatorie Nel resete caitolo si itroducoo alcui modelli robabilistici rilevati er lo studio della meccaica delle vibrazioi e dell affidabilità strutturale. Il modello ormale (o Gaussiao) è descritto co maggiore efasi i virtù delle sue caratteristiche robabilistiche e della sua imortaza alicativa..6. Distribuzioe ormale (o Gaussiaa) Ua variabile aleatoria ha distribuzioe ormale (o Gaussiaa) se la sua desità di robabilità è ella forma: ex (.68) Ua variabile aleatoria, co distribuzioe ormale e variaza è formalmete defiita attraverso l esressioe = N(, ). La Figura -3 mostra la desità di robabilità di ua variabile aleatoria ormale stadardizzata; el iao semilogaritmico la curva è costituita da ua arabola. 3

31 () () (a) (b) Figura -3. Desità di robabilità ormale: ordiata i scala decimale (a) e logaritmica (b). La distribuzioe di robabilità è data dall esressioe: F ex d (.69) che uò essere scritta i forma aalitica attraverso la fuzioe di errore F erf (.7) Per isezioe della (.68) è immediato verificare che se Y = a + b, co a e b costati determiistiche e = N(, ), allora Y = N(a + b, a ). La fuzioe caratteristica di ua variabile Gaussiaa uò essere otteuta calcolado la trasformata di Fourier della (.68) e risulta: exi (.7) Se è ua variabile aleatoria Gaussiaa stadardizzata, = N(,), allora desità di robabilità e distribuzioe di robabilità risultao: F ex (.7) ex d erf (.73) ex (.74) Si osserva che la fuzioe caratteristica di ua variabile Gaussiaa stadardizzata è formalmete idetica alla corrisodete fuzioe desità di robabilità..6. Distribuzioe uiforme Ua variabile aleatoria cotiua ha distribuzioe uiforme se la sua desità di robabilità è esresso ella forma: 3

32 () F () / ba er a b a b altrove (.75) Il modello uiforme è utilizzato quado ua variabile aleatoria uò assumere valori equirobabili i u itervallo chiuso [a, b]. La fuzioe di distribuzioe uò essere otteuta dalla (.75) er itegrazioe e risulta: er a F a / b a er a b er b (.76) La media e la variaza di ua variabile aleatoria uiforme risultao: a b / (.77) b a / (.78) /(b-a) a b a b Figura -3. Desità e distribuzioe di robabilità di ua variabile aleatoria uiforme..6.3 Modello log-ormale Ua variabile aleatoria è della log-ormale se Y = log() ha distribuzioe ormale. La desità di robabilità di ua variabile log-ormale è esressa ella forma: log m ex s s (.79) dove m e s soo i arametri della distribuzioe (e raresetao, risettivamete, la media e la deviazioe stadard di Y). La media e la variaza di risultao: s exm m s s ex ex (.8) 3

33 () F () () F () Figura -33. Desità e distribuzioe di robabilità di ua variabile aleatoria log-ormale (m =, s = )..6.4 Modello di Rayleigh Ua variabile aleatoria è detta di Rayleigh se ha desità di robabilità ella forma: b ex b (.8) dove b è il arametro della distribuzioe Figura -34. Desità e distribuzioe di robabilità di ua variabile aleatoria di Rayleigh (b = )..6.5 Modello di biomiale Si cosideri ua successioe di variabili aleatorie discrete, k (k =,, ), aveti sazio camioario Ω = {, }. Si assuma che gli eveti legati a ogi ossibile coia di variabili aleatorie h e k (h,k =,, ; hk) siao statisticamete idiedeti; sia ioltre P( k = ) =. La successioe k è detta sequeza di Beroulli. La fuzioe di robabilità di ua variabile aleatoria di Beroulli risulta duque: k P P k P P k k (.8) Sia Y m ua variabile aleatoria discreta defiita come la somma dei rimi m termii di ua sequeza di Beroulli (Figura -35): 33

34 Y m m (.83) k k k, Y k k Figura -35. Sequeza di Beroulli (blu) e corrisodete sequeza biomiale (rosso). La fuzioe di robabilità di Y m uò essere otteuta oerado i modo ricorsivo. Per m=, la fuzioe di robabilità di Y m = Y risulta: Y Y P P Y P P P Y P (.84) Aalogamete, er m=, la fuzioe di robabilità di Y m = Y risulta (er il teorema dell eveto totale e er l iotesi di idiedeza statistica fra le variabili di Beroulli): Y Y Y P P Y P P P Y P P P Y P (.85) Le (.84) e (.85) ossoo essere geeralizzate, er u m qualsiasi i, attraverso l esressioe: m m PY P Y m m (.86) dove il biomio di Newto è esresso ella forma: m m!! m! (.87) Sostituedo la (.86) ell esressioe di media e variaza risulta: Ym Ym m m (.88) 34

35 da cui si evice che la media e la variaza di ua variabile biomiale soo lieari i m. Esemio.. Sequeze di Beroulli e variabili biomiali Il codice riortato i Figura -36 simula ua serie di sequeze di Beroulli di lughezza e la variabile Biomiale Y m otteuta er m =. La stima di media (Figura -37a), variaza (Figura -37b) e fuzioe di robabilità (Figura -38) è effettuata alicado la defiizioe frequetista di robabilità. I risultati della stima soo cofrotati co quato revisto dal modello biomiale. Nseq = ; = 3; =.; % umero realizzazioi % umero eserimeti di Beroulli % rob. di successo eserimeti di Beroulli = rad(,nseq) >= (-); % sequeza di Beroulli Y = cumsum(); % sequeza biomiale m = ; % cosidero m = eserimeti % stima fuzioe di robabilità dai dati [PY_data, eta_data] = f(y(m,:)); % modello biomiale eta = :m; % ascissa er PY PY_bi = factorial(m)./factorial(eta)./factorial(m-eta).* (.^eta).* ((- ).^(m-eta)); figure() lot(:,mea(y,),'--.b', :,(:)*,'-r') xlabel('m') ylabel('\mu_{y_m}') figure() lot(:,var(y,[],),'--.b', :,(:)*(-)*,'-r') xlabel('m') ylabel('\sigma^_{y_m}') figure(3) bar(eta_data,py_data) hold o lot(eta, PY_bi,'-*r') hold off xlabel('\eta') ylabel('_{y_m(\eta)}') xlim([ ]) Figura -36. Codice Matlab er simulazioe di sequeze di Beroulli e biomiali; stima di media, variaza e fuzioe di robabilità della variabile biomiale Ym 3 Y m m (a) m (b) Figura -37. Media (a) e variaza (b) della variabile biomiale simulata el codice di Figura -36: stima dai dati (blu), modello (rosso). 35

36 P Y () Ym () Figura -38. Fuzioe di robabilità della variabile biomiale simulata el codice di Figura -36: stima dai dati (blu), modello (rosso)..6.6 Modello di Poisso Ua variabile aleatoria discrete Y ha distribuzioe di Poisso se la sua fuzioe di robabilità è ella forma: P Y! ex,, (.89) Dalla (.89) risulta, evidetemete, che P Y () = e - ; ioltre Y = Y =. Al variare del arametro, la fuzioe di robabilità assume le forme mostrate i Figura = =.5..5 = Figura -39. Fuzioe di robabilità di ua variabile di Poisso al variare del arametro. Ua variabile aleatoria di Poisso, Y, uò essere iterretata come il limite, er m, di ua sequeza biomiale Y m derivata da ua sequeza di Beroulli k avete robabilità di successo. I tal caso la variabile Y è defiita dal arametro = m. 36

37 P Ym (), P Y () La Figura -39 mostra la fuzioe di robabilità di tre variabili aleatorie biomiali defiite, risettivamete, dai arametri m =, e e =.5,.5,.5 (blu) e di ua variabile aleatoria di Poisso defiita dal arametro = 5..5 m =. m =.5 m = Figura -4. Covergeza di variabili biomiali (blu) a ua variabile di Poisso (rosso)..7 Raresetazioi arossimate della desità di robabilità Si affrota il roblema di defiire u'arossimazioe della desità di robabilità di ua variabile aleatoria sulla base di limitate iformazioi sitetiche, come ad esemio u umero fiito di mometi statistici e cumulati..7. Esasioe i serie di fuzioi ortogoali Sia ua variabile aleatoria cotiua e la sua versioe stadardizzata; e soo le risettive desità di robabilità. Sia ioltre G la desità di robabilità di ua variabile Gaussiaa stadardizzata, ovvero G e (.9) Se ha le code sufficietemete basse (è sufficiete che G L serie di fuzioi ortogoali è uiformemete covergete i : ), allora la seguete G a (.9) dove Ψ so u isieme di fuzioi ortogoali i che uò essere defiito come segue: H G (.9)! i cui H (ξ) soo oliomi di Hermite (Aedice B). Le fuzioi defiite i (.9) soo ortoormali i, cioè: k d k (.93) 37

38 Sfruttado la (.93), i coefficieti a della serie (.9) ossoo essere valutati attraverso la relazioe: ˆ a d H d! G E H ˆ! (.94) I coefficieti della serie (.9) soo roorzioali al valore atteso dei oliomi di Hermite i ˆ. Sostituedo la (.9) e la (.94) ella (.9), dove i coefficieti ˆ assume la forma: ˆ b H (.95) G! b! a E H ˆ (.96) soo detti mometi di Hermite o quasi-mometi. I rimi mometi di Hermite hao la forma: b b b E ˆ ˆ ˆ 3 3 ˆ ˆ 4 ˆ ˆ ˆ E b E b E (.97) I geerale i mometi di Hermite soo legati ai cumulati dalla relazioe ricorsiva: r r r3 r! r! 3! b k k b (.98) Nota la desità di robabilità della variabile stadardizzata ˆ, (ξ) uò essere calcolata attraverso la (.57)! G b H (.99) dove μ e σ soo la media e la deviazioe stadard di. La (.99) è chiamata serie di Gram-Charlier tio A..7. Priciio di massima etroia Si suogo di cooscere la variabile aleatoria attraverso le gradezze 38