Serie di Fourier: proprietà e applicazioni. Claudio Magno. Revisione set CM_Portable MATH Notebook Series

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1 Serie di Fourier: rorietà e alicazioi - Revisioe set 5 Serie di Fourier: rorietà e alicazioi Claudio ago wwwcm-hysmathet C_Portable ATH Notebook Series

2 Serie di Fourier: rorietà e alicazioi - Jea Batiste Joseh Fourier (768-83

3 Serie di Fourier: rorietà e alicazioi - Itegrazioi relimiari Gli Itegrali di Werer (JOHANN, Si calcolio gli itegrali segueti, co { α, β } R { α, β } {, } : K : = cosαx cos βxdx La formula di Werer cosθ cosϕ ( / ( cos ( θ ϕ cos ( θ ϕ, co θ ± ϕ, dà K = ( / cos (( α β x dx ( / cos (( α β x dx si( α β x si ( α β x = C ( ( α β ( α β Ivece, se α β, si trova che ( K = ( cosαx dx = ( / ( cos ( αx dx = ( / dx cos ( αx dx x si( αx C = = x siαx cosαx C α ; ( α S : = siαx si βxdx La formula di Werer siθ siϕ ( / ( cos ( θ ϕ cos ( θ ϕ, co θ ± ϕ, dà S = ( / cos (( α β x dx ( / cos (( α β x dx si( α β x si ( α β x = C ( ( α β ( α β Ivece, se α β, si trova che ( S = ( siαx dx = ( / ( cos ( αx dx = ( / dx cos ( αx dx si ( αx x C = = x siαx cosαx C α ; ( α 3 : = cosαx si βxdx La formula di Werer cosθ siϕ ( / ( si ( θ ϕ si ( θ ϕ, co θ ± ϕ, dà = ( / si (( α β x dx ( / si(( α β x dx cos ( α β x cos ( α β x = C (3 ( α β ( α β Ivece, se α β, si trova che

4 Serie di Fourier: rorietà e alicazioi - 3 cos ( αx = siαx cosαxdx = ( / si( αx dx = C 4α cos ( αx ( siαx ( siαx C = C C (3 α α 4α α Osservazioe Dai risultati recedeti, si calcolao certi itegrali defiiti, frequeti elle alicazioi delle Serie di Fourier: 4 / ω ω K : = cos t cos ωtdt, co {, } Z {, } {, } ( Posto x : = ωt, si geera la trasformazioe ( e (, risettivamete, si ha / ω ( dt ( / ω dx dell oeratore itegrale Quidi, dalle Eq, se, = ( / ω K cosx cosxdx = = (4 / ω, se ; 5 / ω si ωt si S : = ( ( ωt dt, co {, } Z Si rocede come er il calcolo di K otteedo, dalle Eq ( e (, risettivamete,, se, S = (5 / ω, se ; 6 / ω cos ωt si = ( ( ωt dt, {, } Z Co u calcolo aalogo a quello er K e er S, risulta, da etrambe le Eq (3 e (3, (6 ( Nel testo, soo usati i simboli sitetici Z Z { }, R R \{ }, etc

5 Serie di Fourier: rorietà e alicazioi - 4 Richiamo sull itegrazioe delle fuzioi P-eriodiche È defiita fuzioe P-eriodica ( P R i R ogi alicazioe f del tio Se f è P-eriodica i R, segue che, f : x f ( x f ( x P x P x R, P f ( x dx = f ( x dx (7 x Ifatti, er l additività dell oeratore itegrale vs l itervallo di itegrazioe, si uò scrivere P x P P x f ( x dx f ( x dx f ( x dx f ( x dx x x P x P x = f ( x dx f ( x dx f ( x P dx x = f ( x dx I articolare, quado x P/, risulta che P x f ( x dx f ( x dx, q e d P / f ( x dx = f ( x dx (7 P / Ioltre, se f è ari \ disari, allora, risettivamete, si ha P / P f ( x dx = f ( x dx P / P P / f ( x dx, (7

6 Serie di Fourier: rorietà e alicazioi Periodi dei modi armoici elemetari e riduzioi a forma armoica Deve risultare, {, k } Z ω R, cos ( ω ( t P ϕ = cos (( ωt ϕ ωp, cos ( ωt ϕ = cos (( ωt ϕ k, da cui, si deduce che ωp k, mod La scelta miima k = defiisce il arametro P : = = /( ω, (8 detto il eriodo del modo armoico -simo (o della fuzioe armoica -sima Per =, si ottiee il eriodo del modo (armoico fodametale, : = = / ω (8 Il arametro ω : = ω è la frequeza agolare del modo (armoico -simo, essedo ω ω la frequeza agolare del modo (armoico fodametale L agolo ϕ rareseta la fase iiziale (del modo armoico -simo Il rocedimeto e la coclusioe riferiti alla fuzioe armoica x si ( ωt ϕ soo idetici Ora, la combiazioe lieare di modi armoici u ( t : = a cos ( ωt ϕ b si( ωt ϕ, (9 co Z ω ω ω /, è suscettibile della riduzioe seguete: avedo defiito C u ( t C (( a / C cos ( ωt ϕ ( a / C si( ωt ϕ, / : = ( a b Poiché si uò orre a / C, b / C e ( a / C ( b / C =, cosθ : = a / C, siθ : = b / C (9 Quidi, u ( t C ( cosθ cos ( ωt ϕ siθ si ( ωt ϕ = C cos ( ωt ϕ θ, ie, u ( t C cos ( ωt δ, (9 dove, θ = ta ( b / a ( /, /, Z, e δ : = ϕ θ ϕ ta ( b / a Alterativamete, defiedo η : = δ / ϕ ta ( b / a / ϕ cot ( b / a, l Eq (9 muta ella riduzioe armoica u ( t = C si ( ωt η (93

7 Serie di Fourier: rorietà e alicazioi - 6 Problema Sia { a, b} R \{ } { /, / } Q, co,, rimi tra loro ; { δ, η } R I termii dei arametri assegati a, b,,,,, δ, η, si determii il eriodo fodametale (o miore della fuzioe Soluzioe f : x a cos (( / x δ b si (( / x η f ( x Poiché vs la coia di eriodi aroriati e valgoo le idetità goiometriche cos (( / x δ cos (( / x δ, cos (( / ( x δ = cos (( / x δ ( /, ( si(( / x η cos ( / (( / x η = cos ((( / x η /, (cos è ua fuzioe ari cos ((( / x η /, vs l ultimo membro recedete, cos (( / ( x η / = cos ((( / x η / ( /, ( allora, devoo sussistere le uguagliaze simultaee ( / =, cfr le Eq (, ( / =, cfr le Eq (, dalle quali, si ottegoo i eriodi = ( /, = ( / ( Il raorto tra e è il umero razioale : = / = /( Se i umeri iteri ( e ( soo rimi tra loro, allora, il eriodo fodametale di f è esresso da = ( ( = Z (3 Ivece, se i umeri iteri ( e ( o soo rimi tra loro, sia k : = CD{(, ( } Poiché si ha co { m, r } = km = kr, Z, segue che m e r soo rimi tra loro Allora, il eriodo fodametale di f risulta m r = m = r = Q (3 Osservazioi I valori risettivi di a, b, δ e η soo iiflueti su I arametri a e b modulao uicamete la variazioe del valore f ( x ma o e determiao la eriodicità Questa diede solo dai umeri (iteri,,, Il eriodo fodametale di ua fuzioe combiazioe lieare fiita del tio x a cos (( / x δ b si(( / x η j j, j, j j k k, k, k k uò essere otteuto iterativamete dai risultati (3 e (3 recedeti

8 Serie di Fourier: rorietà e alicazioi - 7 Raresetazioi della Serie di Fourier ateedo le varie defiizioi recedeti, si associa la Serie di Fourier ( F-serie ertiete alla fuzioe t f ( t, -eriodica ( / ω e limitata, co la corrisodeza f ( t C u ( t S F ( t (5 = C ( a cos ( ωt ϕ b si ( ωt ϕ, (5 = forma armoica ordiaria, C C cos ( ωt δ, (5 = a forma armoica cotratta (v Eq (9, C C si( ωt η, (53 = a forma armoica cotratta (v Eq (93, dove, C : = a / metre S F è la fuzioe, se esiste, geerata utualmete dalla F-serie Ifatti, la corrisodeza formale (5 a f della F-serie, co i coefficieti a j e b j calcolati i modo rescritto, o imlica che la F-serie sia covergete é, se lo è, che la sua somma sia f Codizioi di covergeza della Serie di Fourier Il teorema seguete esrime u criterio sufficiete er la covergeza utuale della F-serie: Teorema (di Dirichlet, formulazioe ristretta La fuzioe -eriodica e limitata t f ( t sia ache regolare a tratti i R, ie, t R, f C (( t, t, trae, al iù, che i corrisodeza di u umero fiito di uti t j di discotiuità o elimiabile o di º tio ( f ( t f ( t, j, f cotiua a tratti; f ( t i ( t, t, trae, al iù, che i corrisodeza di u umero fiito di uti t k, tali che, erò, f ( t f ( t, k ( f derivabile a tratti f cotiua a tratti Allora, la F-serie coverge a f ( t i media, k k t j R, ie, j f ( t S ( t ( / ( f ( t f ( t (6 I articolare, se f è cotiua ell isieme Ω R, vale l uguagliaza F a f ( t SF ( t = ( a cos ( ωt ϕ b si( ωt ϕ = (6 (si dice: f è F-esadibile i Ω La F-serie coverge uiformemete a f se Ω è comatto Nella forma (5, la F-serie coverge i R se coesistoo le codizioi

9 Serie di Fourier: rorietà e alicazioi - 8 Esse imlicao, = = a < (7 b <, che u ( t a b Quidi, la F-serie risulta o solo assolutamete ma ache uiformemete covergete a f i R, er il criterio di Weierstrass Osservazioe Se f è -eriodica ed esadibile i T-serie ( Taylor i geerale, l asserto iverso è falso A R, essa è ache esadibile i T-serie i A I La raresetazioe esoeziale della Serie di Fourier Risolvedo il sistema delle idetità di Euler, iα e = cosα i siα, iα e = cosα i siα vs cosα e a siα, si ottegoo le relazioi equivaleti cosα = siα = e e i i e e iα iα iα i ( α ( e e / ( / ( e e, iα iα iα i ( α ( /( ( / ( (8 Si cosideri la fuzioe t f ( t, cotiua, -eriodica ( / ω e limitata sull isieme comatto Ω R L alicazioe delle relazioi (3 alla F-raresetazioe uiformemete covergete (6 di f ( t, ie, co α ωt ϕ t/ ϕ : = θ, dà i θ i ( θ i θ i ( θ = f ( t = ( a / ( / ( a ( e e ib ( e e iθ i ( θ = = ( a / ( / (( a ib e ( a ib e (9 Ora, doo aver defiito ϕ : = ϕ, si ricooscoo le idetità formali θ ( t/ ϕ θ, a : = ( / f ( t cos ( t / ϕ dt ( / f ( t cos ( ( t/ ϕ dt a, b : = ( / f ( t si ( t / ϕ dt ( / f ( t si ( ( t/ ϕ dt b Quidi, grazie alla covergeza uiforme della F-raresetazioe di f, si uò modificare la scrittura dell esressioe (3 come segue: iθ f ( t ( a / ( / (( a ib e ( a ib e = iθ = = iθ iθ ( a / ( / ( a ib e ( / ( a ib e iθ ( a / ( / ( a ib e ( / ( a ib e = = iθ ( a / ( / ( a ib e ( / ( a ib e, = = iθ iθ

10 Serie di Fourier: rorietà e alicazioi - 9 ie, ifie, oedo c : = a/ e : ( i c / = a ib e ϕ Z \{ }, f ( t ce = i ( / x ( Il Calcolo dei coefficieti della Serie di Fourier Nell iotesi che la fuzioe f sia -eriodica ( / ω, limitata e regolare a tratti i R, si moltilichio i membri dell Eq (6 er cos ( ωt ϕ, Z, e li si itegrio, quidi, ell itervallo comatto Ω [ ϕ, ϕ ] I Ω, la F-serie coverge uiformemete e le oerazioi di itegrazioe e di somma dei termii di ua serie commutao tra loro Pertato, quado, si scrive ϕ a ϕ ϕ cosϕ f ( t dt = cosϕ dt a cosϕ cos ( ωt ϕ dt ϕ ϕ ϕ = = ( a / cosϕ a ( / ω cosϕ ϕ, b cosϕ si ( ωt ϕ dt ϕ =, Dall aullameto termie-a-termie di etrambe le somme recedeti e dall idetità itegrale (7 di -eriodicità, risulta Ivece, se, ricorredo alle Eq (4,, (7, si ha ϕ ω / ω a = f ( t dt f ( t dt ϕ ( a f ( t cos ( ωt ϕ dt = cos ( ωt ϕ dt ϕ ϕ ϕ ϕ, ϕ a cos ( ωt ϕ cos ( ωt ϕ dt = ϕ ϕ sse b si ( ωt ϕ cos ( ωt ϕ dt = ϕ = a ( / a ( / ω,, Quidi,, risulta ϕ ω / ω a = f ( t cos ( ωt ϕ dt f ( t cos ( ωt ϕ dt ϕ ( Aalogamete, si moltilichio i membri dell Eq (6 er si( ωt ϕ, Z, e li si

11 Serie di Fourier: rorietà e alicazioi - itegrio su Ω [ ϕ, ϕ ], acora secificado rovvisoriamete che sia / ω Quado, si scrive ϕ a ϕ ϕ siϕ f ( t dt = siϕ dt a siϕ cos ( ωt ϕ dt ϕ ϕ = ϕ da cui, si ri-ottiee l Eq (8 Ivece, se, allora, = ( a / siϕ a ( / ω siϕ, a f ( t si ( ωt ϕ dt = si( ωt ϕ dt ϕ ϕ ϕ ϕ Quidi,, risulta ϕ, b siϕ si( ωt ϕ dt = ϕ, ϕ, a cos ( ωt ϕ si( ωt ϕ dt = ϕ ϕ,, b si ( ωt ϕ si( ωt ϕ dt = ϕ = b ( / b ( / ω, sse ϕ ω / ω b = f ( t si( ωt ϕ dt f ( t si ( ωt ϕ dt ϕ (3 Le Eq (, ( e (3 defiiscoo gli F-coefficieti a j e b j ache quado f corrisode alle richieste del Teorema di Dirichlet, o solo el caso i cui è cotiua e limitata i R Di iù, si dimostra che il Teorema di Dirichlet uò valere i seso geeralizzato, i circostaze elle quali la fuzioe f o è limitata Nel seguito, recisamete, referedo la raresetazioe di regime temorale a quella di regime armoico ( / ω, se valgoo le D-codizioi ( Dirichlet geeralizzate segueti: f è -eriodica i R ; f C ( I, dove I è u itervallo limitato (aerto o semi-aerto o chiuso, salvo, al iù, che i corrisodeza di u umero fiito di uti i I di discotiuità di qualsiasi tio er f ; 3 f ( t dt <, sia questo itegrale defiito ordiario o geeralizzato, ie, el cotesto iù rofodo della Teoria della isura, f L ((,, la classe delle fuzioi sommabili assolutamete ell itervallo aerto (,, allora, f rimae esadibile i F-serie t che o sia u uto di discotiuità di º tio, co il valore f ( t dato acora dall Eq (6 I corrisodeza di u uto di discotiuità di º tio, si uò assegare a f u valore fiito oortuo

12 Serie di Fourier: rorietà e alicazioi - Pertato, gli F-coefficieti cotiuao a corrisodere alle Eq (3, (3 e (33 I altri termii, assegata t f ( t, le defiizioi delle loro esressioi geerali, R, soo: a : = f ( t dt C, a : = f ( t cos (( / t ϕ dt,, Z b : = f ( t si (( / t ϕ dt, Z ( ovvero, i regime armoico eslicito, a ω / ω : = f ( t dt C, ω / ω a : = f ( t cos ( ωt ϕ dt,, Z ω / ω b : = f ( t si( ωt ϕ dt, Z ( Ua raresetazioe ulteriore degli F-coefficieti, talvolta coveiete ei calcoli, corrisode alla loro ormalizzazioe dall itervallo [, all itervallo [, di eriodicità (ie, quello di frequeza ciclica uitaria, ω : dalla osizioe ωt t/ ( t/ : = x, segue che t = ( /( x e, quidi, dt = ( /( dx Pertato, mediate la trasformazioe ( dt (( /( dx dell oeratore itegrale, le Eq (9, assumoo le forme -ormalizzate (o caoiche a : = f ( x /( dx C, a : = f ( x /( cos ( x ϕ dx,, Z b : = f ( x /( si ( x ϕ dx, Z (93 Estededo la trasformazioe di variabile t : = x/( all Eq (6, questa si riscrive come a f ( t f ( x /( fɶ ( x ( a cos ( x ϕ b si( x ϕ ( =

13 Serie di Fourier: rorietà e alicazioi - L Uguagliaza di Parseval Si suoga che, oltre a valere le D-codizioi geeralizzate er f i (, (v 9, si abbia ure che f L ((,, la classe delle fuzioi a quadrato sommabile i (,, ie, che f sia tale che ( f ( t dt < Se, moltilicati i membri dell Eq (6 er f ( t, li si itegra da a (o su u qualsiasi altro itervallo di amiezza, allora, teuto coto della cotiuità uiforme di f su (, e delle Eq (9, risulta e, quidi, ( = ( f ( t dt = ( a / f ( t dt a f ( t cos (( / t ϕ dt b f ( t si (( / t ϕ dt ( = ( ( ( / ( t dt a / ( = a b ( f L Eq ( esrime la cosiddetta Uguagliaza di Parseval (DES CHÊNES, -A, , utile, tra l altro, el calcolo della somma di molte serie umeriche corrisodeti a fuzioi ari Teorema (Disuguagliaza di Bessel Si suoga che, oltre a valere le D-codizioi geeralizzate er f i (,, si abbia ure che f L ((, Al solito, siao a e b i coefficieti della F-esasioe di f Allora, vale la Disuguagliaza (atteuata di Bessel a ( a b ( f ( t dt = ( Dimostrazioe La successioe di fuzioi a { SF ( t; } : = ( a cos (( / t ϕ b si (( / t ϕ Z = Z (3 è quella delle somme arziali della F-serie associata a f ( t Certamete, essedo Z, risulta erché la fuzioe itegrada è o-egativa ( f ( t S ( t; dt (4 F >, ie, i modo equivalete F F f ( t S ( t; dt ( S ( t; dt ( f ( t dt (4 Ora, se si moltilicao er f ( t le raresetazioi del termie geerale della successioe (4 i etrambi i membri, le si itegrao da a e si alicao le Eq (9 er a e b, si ottiee

14 Serie di Fourier: rorietà e alicazioi - 3 ( F = f ( t S ( t; dt = a / ( a b (5 Ioltre, quadrado le quatità ei membri dell Eq ( e itegradole da a teedo coto delle Eq (4, (5 e (6, elle quali si reda / ω e si icludao evetuali sostameti di fase ϕ, eraltro iiflueti ei calcoli, si trova che ( F = ( S ( t; dt = ( / a / ( a b (6 Sostituedo le esressioi (5 e (6 ell Eq (4, e rededo il limite, si ottiee la Disuguagliaza di Bessel (, q e d Se vale l uguagliaza ella disuguagliaza atteuata (, si riottiee l Uguagliaza di Parseval Si uò esare a SF ( t; come a ua arossimazioe di f ( t, metre il membro destro della Diseq (4, diviso er, e rareseta l errore quadratico medio L Uguagliaza di Parseval idica che, er, l errore quadratico medio è ifiitesimo, metre la Disuguagliaza di Bessel idica la ossibilità che tale errore quadratico medio teda a u valore fiito (ositivo I risultati otteuti soo coessi co il cocetto fodametale di comletezza di u sistema di fuzioi ortoormali geeratrici atto a raresetare ua classe secifica di fuzioi, eg, quelle -eriodiche L ortoormalità delle fuzioi geeratrici (di umero fiito o ifiito si maifesta ei valori degli itegrali, defiiti su uo stesso itervallo fiito, dei loro rodotti a coie: gli itegrali valgoo o o È il caso dell ifiità umerabile delle fuzioi armoiche elemetari x cosϕ, x cos (( t / ϕ, x si(( t / ϕ, {, } Z, quado se e itegrio i rodotti a coie i u itervallo di amiezza Il legame stretto tra comletezza di u sistema di fuzioi ortoormali geeratrici e qualità della arossimazioe della fuzioe f emerge dal fatto che, se si esclude ache u solo termie della F-esasioe, l errore quadratico medio o uò mai divetare ifiitesimo er quati termii vegao comuque cosiderati Teorema (di Riema Se vale la Disuguagliaza (atteuata di Bessel er f i (,, allora Dimostrazioe: lim a lim f ( t cos (( / t ϕ dt = lim b lim f ( t si (( / t ϕ dt = L asserto è subito evidete osservado che, se a / ( a b <, questo imlica che a = o( b = o ( er, q e d =

15 Serie di Fourier: rorietà e alicazioi - 4 Sulla covergeza i media della Serie di Fourier Sia l F-esasioe (5 associata alla fuzioe f, -eriodica e cotiua a tratti Doo aver scomosto la Formula di Dirichlet (A35 ella forma additiva simmetrica si ( / u SF ( x; = f ( u x du si ( u/ si ( / u f ( u x du si( u/ (er f ( u x, si ha S ( x ; =, v Eq (A3, 6, se si moltilicao, ordiatamete, F l itegrale defiito i (, er f ( x e quello defiito i (, er f ( x sommao le esressioi risultati, si ha che (7 e, quidi, si f ( x si( / u f ( x si( / u ( f ( x f ( x = du du (8 si( u/ si( u/ I tal modo, sottraedo membro a membro l Eq (8 dall Eq (7, si determia la differeza f ( u x f ( x SF ( x; ( f ( x f ( x = si (( / u du si ( u/ f ( u x f ( x si (( / u du (9 si ( u/ Co l iotesi ulteriore di regolarità a tratti er f i (,, si coclude che ache la fuzioe u f ( u x f ( x si ( u/ λ( u è cotiua a tratti i (, ] erché f è cotiua a tratti Ioltre, f ( u x f ( x u/ f ( u x f ( x! lim λ( u lim = lim u u u si( u/ u u erché, er iotesi, essedo f regolare a tratti, allora f, u Ne cosegue che u λ ( u cotiua a tratti i [, ] I modo idetico, si deduce che la fuzioe x f ( u x f ( x si( u/ è è cotiua a tratti i [, ] Poi, cosiderato il rimo addedo itegrale ell Eq (9 (er il secodo, valgoo cosiderazioi comletamete aaloghe, si uò riscrivere la fuzioe itegrada risettiva come λ ( u si ( / u = λ ( u si( u/ cosu λ ( u cos ( u/ siu e rilevare che le fuzioi u λ ( u si ( u/ e u λ ( u cos ( u/ soo etrambe cotiue a tratti, essedolo u λ ( u Pertato, i forza del Teorema di Riema ( 3, etrambi gli addedi itegrali ell Eq (9

16 Serie di Fourier: rorietà e alicazioi - 5 soo ifiitesimi er, ortado alla coclusioe fodametale (cfr/c Eq (6 che lim SF ( x; = ( f ( x f ( x (3 Derivazioe e Itegrazioe delle Serie di Fourier Ovviamete, le oerazioi di derivazioe e di itegrazioe di ua Serie di Fourier soo soggette alle stesse codizioi aalitiche geerali, come er qualsiasi altra serie di fuzioi Oltre a questo, vale la codizioe sufficiete esressa dal Teorema Se f è -eriodica e geeralmete cotiua su [ t, t] { t, t} [ t, t ], la F-serie associata a f ( t è itegrabile termie-a-termie da t a t, geerado ua F-serie covergete uiformemete alla fuzioe rimitiva di f i [ t, t ], t t f ( u du G( t t

17 Serie di Fourier: rorietà e alicazioi - 6 Alicazioi della Serie di Fourier Esemio Calcolo della Somma ζ di Riema di ordie ositivo ari La defiizioe geerale, Z, è ζ ( : = (A = Il calcolo di ζ ( richiede l alicazioe dei risultati itegrali segueti: Ξ, : = x dx = ; (A six Ξ, : = x cos x dx = x six ( x dx cosx cosx x si x dx x (( x = = dx ( ( ( = x cos x dx (A3 ( ( Ξ,, che costituisce ua comoda forma iterativa Ora, valedo chiaramete il Teorema di Dirichlet i R er la restrizioe f, -eriodica, della fuzioe cotiua ari x x, si scrive l F-esasioe, ella quale, soo reseti uicamete comoeti-coseo, ( f ( x = x dx ( / x cos x dx cos x = Quidi, dalle Eq (A e (A3, si calcola, co =, ( f ( x = x dx ( / x cos x dx cos x = ( six = cosx 3 = ( = 4 cosx (A4 3 = Se x, l Eq (A4 dà

18 Serie di Fourier: rorietà e alicazioi - 7 ( = 4 ( = = da cui, risolvedo risetto alla sommatoria, risulta ζ ( = =, 6 (A5 I modo idetico al calcolo di ζ (, ache la restrizioe -eriodica f della fuzioe cotiua ari x x 4 è F-esadibile i termii di sole comoeti-coseo, avedosi ( ( ( f x x dx ( / 4 4 = x cos x dx cos x = 4 4 = x dx ( / x cosxdx cosx = 4 ( 4 3 = 4 5 = 3 x cos x dx cos x 4 ( ( 4 = 8 cos x cos x dx cos x 5 = = 4 ( ( = 8 cosx 48 cosx 4 5 = = Per x e teedo coto dell Eq (A5, l Eq (A6 dà 48 ( six cosx = 4 (A = 8 ( / 48 ( / = = = 48 ( /, = 5 3 da cui, risolvedo risetto alla sommatoria, si trova che ζ ( 4 = 4 = 4 9 (A7 Il metodo seguito ella determiazioe di ζ ( e di ζ ( 4 uò essere alicato al calcolo di tutte le Serie di Riema successive di ordie, ie, ζ ( 6, ζ ( 8, etc, assegado x = ella F- esasioe della restrizioe eriodica della fuzioe x x all itervallo [, e avvaledosi delle somme otteute er le ζ -serie calcolate recedetemete Così, el caso delle somme delle rime quattro ζ -serie successive alla (A7, si trova che ζ ( 6 = ζ ( 8 6 = 8 = 6 945, (A8 8 = 945, (A8

19 Serie di Fourier: rorietà e alicazioi - 8 ζ ( ζ ( = 93555, (A83 = 69 = (A84 = Serie associate alla Serie di Riema η ( : = λ ( : = = ( = ζ ( ζ ( = 3 4 ( ζ ( (A9 = ( ( = ζ ( ζ ( ζ ( 3 4 ( ζ ( (A Combiado le Eq (A5, (A7, (A8, (A8 e (A83 ell Eq (A9, er le quali, sia,, 3, 4, 5, si ottegoo, ordiatamete, i valori delle somme ( η ( =, (A = 4 ( 7 η ( 4 = 4 7, (A = 6 ( 3 η ( 6 = 6 34, (A3 = 8 ( 7 η ( 8 = 8 96, (A4 = ( 73 η ( = (A5 = Aalogamete, la combiazioe delle stesse Eq (A5, (A7, (A8, (A8 e (A83 ell Eq (A, corrisodeti a =,, 3, 4, 5, forisce i valori risettivi delle cosiddette λ -serie di ordie ari (si veda, ache, l Uità tematica dell autore: La determiazioe di serie di oteze reali dalle Fuzioi Geeratrici di Beroulli e di Euler, P 6, ESERCIZIO

20 Serie di Fourier: rorietà e alicazioi - 9 λ ( = ( 8, (A = 4 λ ( 4 = 4 ( 96, (A = 6 λ ( 6 = 6 ( 96, (A3 = 8 7 λ ( 8 = 8 ( 68, (A4 = 3 λ ( = = ( 934 (A5 Esemio Calcolo delle rime due Somme β D di Dirichlet di ordie ositivo disari, Defiizioe geerale: β ( : = D ( ( =, (A, er x (, La fuzioe x f ( x è regolare a tratti i [, ], dove,, er x [, ] quidi, è F-esadibile Ioltre, essedo ua fuzioe disari, la sua F-esasioe è esressa i termii di sole comoeti-seo, aveti come coefficieti f si ( si si ( b = ( / ( x xdx ( / ( xdx xdx Pertato, = ( / si( x dx sixdx = ( / si( x dx ( / sixdx cosx = sixdx = = 4 /(, secodo che è ari o disari 4 si3x si5x 4 ( six f ( x b six six = 3 5 = = 4 si ( x (A3 = Dalla defiizioe di f i [, ], si ha, er x / e teedo coto dell Eq (A36, 9, 4 si ( / 4 ( = =, = = ie, risolvedo vs la sommatoria (Serie di Gregory o ciclometrica, ( βd ( = ( ta (A4 4 =

21 Serie di Fourier: rorietà e alicazioi - x ( x, er x (, La fuzioe x f ( x : =, è cotiua i [, ], x ( x, er x [, ] dove, quidi, è F-esadibile Ioltre, f è ua fuzioe disari Ifatti, osservato che f ( x : = : = x ( x, i (,, risulta f ( x x ( x f ( x i (, Quidi, l F-esasioe di f viee esressa i termii di sole comoeti-seo, che hao come coefficieti, Z, ( b = ( / f ( x si x dx ( / x ( x si x dx x ( x si x dx ( / ( I I Ora, osto x : = u, segue che e, ertato, I = (( u( u si( u d( u du = ( u ( u siu du I b = ( / x ( x sixdx = x sixdx ( / x sixdx ( / I cosx = x sixdx x x cosxdx cosx ( 4 six = x cos x dx x six dx ( = six ( 4 cosx 4 ( = 3 L F-esasioe di f (cotiua sul suo itervallo di eriodicità si scrive 4 ( 8 si ( x f ( x b six six 3 3 ( = = =, (A5 Dalla defiizioe di f i [, ], si ha, er x / e teedo resete l Eq (A364, 9, f ( / = ( / ( / = / 4 ( 8 si ( / 8 (( i 8 i = = ( ( ( = = = 8 ( = 3 ( = dalla quale, co la traslazioe idiciale, si ottiee,, Z, β ( 3 D 3 ( = 3 = ( 3 (A6 La raresetazioe geerale i forma chiusa delle somme β (, si trova, eg, a P 9, Eq (63, dell Uità tematica dell autore: La determiazioe di serie di oteze reali dalle Fuzioi Geeratrici di Beroulli e di Euler D

22 Serie di Fourier: rorietà e alicazioi - Problema Si determii il valore S ( della somma ( = ( 4 3 ( Soluzioe Osservato che S ( e che, sostituedo x / ell Eq (A5, si scrive l uguagliaza 3 / / / / / / / / 8 f ( / 4 = S S segue il immediatamete risultato: ( ( S, = ( (A7 Problema Sfruttado oortuamete il risultato esresso dall Eq (A7, si determii il valore S ( della somma Soluzioe = ( 8 5 ( Ricooscedo l ivariaza della somma della serie (assolutamete covergete! del Problema risetto a qualsiasi ridisosizioe dei suoi termii, è legittima la raresetazioe S ( β ( = ( (, si ottiee rotamete S = ( S β ( 3 = (A ( 3 3 ( = ( (

23 Serie di Fourier: rorietà e alicazioi - Problema 3 Dalla F-esasioe -eriodica della restrizioe f della fuzioe x si x, si determii la somma S della serie, Soluzioe ( = Poiché f è ua fuzioe ari, la sua F-esasioe è costituita di sole comoeti-coseo Pertato, si ha a = sixdx ( cosx = = ; a = ( six six cosxdx = = ; oi, Z \{ }, si calcola a Segue che cos ( x cos ( x = si x cos x dx = ( ( =, Z \{ } ( ( 4 f ( x = cosx cosx (A9 4 = = Ora, alicado l Uguagliaza di Parseval (, Eq ( all Eq (A9, si scrive 8 6 ( six dx = ( 4 = ie, co il comletameto del calcolo dell itegrale el membro a siistra, ( x cosx six 8 = = ( 4, Ifie, risolvedo risetto alla (somma della serie, risulta 8 S = (A = ( 4 6 Problema 4 4 Si determii u esressioe geerale, che risulti valida Z, er la somma della serie umerica seguete:

24 Serie di Fourier: rorietà e alicazioi - 3 S( : = = ( ; 4 servedosi, dove aroriato, del risultato otteuto al Puto 4 recedete, si determii la somma S della serie, Soluzioe u = ( ( 4 Poiché (, allora, ν ν ν S( lim lim ν ν = = = = ν ν = lim ν = = = ν = lim = = lim ν ν ν = = ν = = ; (A = 4 Co il metodo delle frazioi arziali, si scrive A B C u = ( (, e, quidi, i forma itera equivalete, si ha = ( A B C ( 3A B C A Per il Priciio di Idetità dei Poliomi, questa uguagliaza è soddisfatta i modo uivoco sse valgoo le codizioi simultaee Quidi, risultado A B C = 3A B C =, A = ie, i modo equivalete, sse / / u, segue ure che A = / B = C = / u = ( = ( ( ( ( ( ( k = co gli addedi u, k idetificabili ordiatamete u, k Ora, teedo coto dell Eq (A5, 7, si calcolao rotamete le somme delle serie segueti:,

25 Serie di Fourier: rorietà e alicazioi - 4 u, = 4 4 ; (A = = ; (A 6 5 = (A3 u, = ( = = u, 3 = ( = 3 = Circa la valutazioe delle somme delle tre serie rimaeti, l Eq (A forisce i risultati segueti: u, 4 u, 5 = ; (A4 = ( 3 = = = ( 8 ; (A5 = = ( ( ( ( (A6 u, 6 = = = Quidi, oiché u è uiformemete covergete, S si ottiee elemetarmete come somma delle sei somme arziali (A,, (A6 Il risultato è S 4 39 = (A3 6 Problema 5 Dalla F-esasioe i R della restrizioe -eriodica disari f della fuzioe cerchi ua serie umerica la cui somma è S / 4 x cosx, si Soluzioe Poiché f è ua fuzioe disari -eriodica, la sua defiizioe è cosx, er x (, f ( x : = cosx, er x (, Vale il Teorema di Dirichlet, co la F-esasioe costituita di sole comoeti-seo Pertato, co Z, si calcola b = f ( x si xdx = ( cosx sixdx cosx sixdx = ( si( x x si ( x x dx ( si( x x si ( x x dx cos ( x cos ( x cos ( x cos ( x = ( ( ( ( =

26 Serie di Fourier: rorietà e alicazioi - 5 = ( ( Quidi, teedo coto dell Eq (A8, si trova che 8 f ( x = ( ( six six (A4 4 = = Riguardo alla serie umerica richiesta, se si oe x / 4 ell Eq (A4, sussiste l uguagliaza 8 8 = si (, 4 ( 4 ( 4 3 = = ( = = Segue immediatamete che dall Eq (A366, 9, ( = = (A5 Problema 6 Sia f il rolugameto eriodico i R della restrizioe all itervallo [, ] della fuzioe / x x 6 Si giustifichi che f è F-esadibile i R Quidi, si scriva la F-esasioe di f ; 6 secificati i valori f ( e f (, si deducao ua raresetazioe i serie doia di 6 / e ua (o-baale di 3 /, risettivamete Soluzioe 6 La fuzioe ari f è regolare a tratti i [, ], co f ( valore o-defiito Pertato, valedo il Teorema di Dirichlet er f, che risulta F-esadibile i R i termii di sole comoeti-coseo, si ha / / / f / a / ( / ( x dx = ( / x dx ( / x dx = 3 / ; oi, Z, si calcola / / / a = ( / x cos ( / dx = ( / = La sostituzioe / six x / x cos xdx six six dx = / / / x ( ( x u : = ( x / itegrale ell Eq (A6, così da riscriverlo ella forma dx (A6 iduce il cambiameto ( dx u/( du dell oeratore a = u du ( ( / si ( σ (( 3/ 3/ (A6

27 Serie di Fourier: rorietà e alicazioi - 6 / L itegrale σ ((, imortate i Ottica Fisica, è del tio di Fresel ed è calcolabile solo i / serie di oteze; la fuzioe itegrada è uiformemete covergete el comatto [, ( ] La F-esasioe di f ( x si scrive σ f ( x : = 3 / (( 3/ 3/ = 6 Per x, l Eq (A7 dà il risultato otevole cosx (A7 = ( 6 3/ / σ (( = 3/ (A8 k ( ( k! ( k Come acceato al Puto 6, vale l -esasioe si ( u u, er la quale, essedo la fuzioe seo uiformemete covergete i tutto R, è corretta la scrittura k k k / ( ( k 3/ ( ( σ (( = u du = ( ( k! ( k!( 4k 3 k = k = k = / Ifie, sostituedo ell Eq (A8 esressioe (A9 di σ (( e semlificado, si trova che k k ( (( ( = ( k!( 4k 3 6 (A3 = k = Aalogamete, sostituedo x ell Eq (A7 e rocededo come co l Eq (A3, si ottiee = k = k k ( (( = ( k!( 4k 3 3 (A3 È iteressate otare come le raresetazioi delle somme (A3 e (A3 differiscao er il solo fattore di sego altero (, sufficiete a redere la somma (A3 doia della (A3 Ua resetazioe classica della Teoria delle Serie di Fourier remette due risultati semlici alla cosiddetta Formula di Dirichlet (v Problema 9 Essi soo riortati, qui di seguito, come Problema 7 7 Si ricavi, {, } Z Z [, ], il valore della somma 7 si verifichio i valori itegrali Soluzioe S : = cosu cosu cosu cosu ; si ( / u si( / u du = du = si( u/ si( u/ (A3 7 Sommado l idetità goiometrica cosu si ( u/ ( / ( si ( / u si ( / u vs l idice [, ], si ha =

28 Serie di Fourier: rorietà e alicazioi - 7 ( cosu si( u/ = = = ( / (( si( 3u / si( u/ ( si( 5u / si( 3u / ( si ( 7u / si ( 5u / ( si( / u si ( / u = ( / ( si ( / u si ( u/ (A33 Dividedo i membri estremi dell Eq (A33 er si ( u/ (ie, co u k e sommado / a etrambi, si ottiee (v, ache, dell autore: Esercizi di Calcolo Itegrale, R- si ( / u cosu = si ( u/ = (A34 7 La fuzioe itegrada, idetica ei due itegrali, è ari Quidi, la sua itegrazioe su itervalli simmetrici vs l origie del riferimeto forisce lo stesso risultato È evidete, dall Eq (A33, che questo è /, essedo ulli gli itegrali di tutti gli addedi-coseo Problema 8 Iiziado dall idetità goiometrica di Werer siu si ( u/ ( / ( cos (( / u cos (( / u, si ricavi, attraverso la formula di rostaferesi della differeza tra cosei, co u k, l idetità associata alla (A34 = siu si (( u/ si ( u/ = (A35 si ( u/ Problema 9 Sia f ua fuzioe data -eriodica, alla quale, sia associata u F-esasioe aroriata Di questa, si cosideri la somma ridotta all -simo termie (v Eq (, Si dimostri la Formula di Dirichlet S ( x ; : = a / ( a cos ( x ϕ b si( x ϕ F = si( / u SF ( x ; = f ( u x du si( u/ (A36 Soluzioe Eslicitado gli F-coefficieti corrisodeti a Z, si scrive a cos ( x ϕ b si( x ϕ = (( / f ( w cos ( w ϕ dw cos ( x ϕ ( w w = ( / f ( si( ϕ dw si ( x ϕ

29 Serie di Fourier: rorietà e alicazioi - 8 = ( / f ( w( cos ( w ϕ cos ( x ϕ si ( w ϕ si ( x ϕ dw = ( / f ( w cos( w x dw Ioltre, a/ = ( /( f ( w dw Quidi, teedo coto del risultato (A34, SF ( x; = ( /( f ( w dw ( / f ( w cos ( w x dw = = = ( / f ( w( / cos ( w x dw si( / ( w x = f ( w dw si( ( w x/ La dimostrazioe si coclude oedo u u ( w : = w x e teedo reseti le Eq (7 e (7 Nella Teoria della Fuzioe Γ, ua dimostrazioe i R [ ] della a Prorietà Fodametale, detta di Riflessioe (o di Comlemetazioe, caratterizzata dalla simmetria vs lo scambio tra argometi ell itervallo (,, uò essere otteuta er mezzo di ua F-esasioe oortua Problema Proosizioe Sia x (, Allora (Prorietà di Riflessioe della Fuzioe Γ, Dimostrazioe Γ ( x Γ ( x = cscx (A37 six Dalla raresetazioe itegrale di Legedre, si scrive, x (,, x s ( x t ( ( Γ ( x Γ ( x s e ds t e dt = x x ( s t s t e dsdt = ( R ( R g( s, t dsdt (A38 La raresetazioe itegrale doia (A37 è covergete oiché la sua searabilità moltilicativa vs le variabili di itegrazioe dà luogo a raresetazioi arziali covergeti uiformemete, quelle del Γ -itegrale di Legedre I geerale, le tre codizioi segueti: a il domiio di itegrazioe ( R è illimitato i R e PJ-misurabile ( Peao-Jorda i seso geeralizzato; b g : ( R R ; c { Ω j }, successioe di regioi Ω j idificate ( j Z, che costituiscoo ua coertura di ( R (eg, l isieme dei quadrati Ωx, y {( x; y [, j ] } o l isieme dei quarti di