Serie di Fourier. in R - Proprietà e applicazioni. CM Portable MATH Notebook Series. claudio magno. revisione marzo 2019

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1 Serie di Fourier i R - Prorietà e alicazioi claudio mago revisioe marzo 9 CM Portable MATH Notebook Series

2 Serie di Fourier i R - Prorietà e alicazioi I Jea Batiste Joseh Fourier (768-83)

3 Serie di Fourier i R - Prorietà e alicazioi II INDICE Itroduzioe (co u o di Storia). II Richiamo sulle itegrazioi delle fuzioi - eriodiche. Gli Itegrali di Werer. Periodi dei modi armoici elemetari e riduzioi a forma armoica. 4 La Serie di Fourier Raresetazioi della Serie di Fourier (F-Serie). 6 Codizioi di covergeza utuale della F-Serie. 6 La raresetazioe esoeziale della F-Serie. 7 Il calcolo dei coefficieti della F-Serie i raresetazioe goiometrica. 8 D - codizioi geeralizzate. L Uguagliaza di Parseval. La Disuguagliaza (atteuata) di Bessel (Teorema). Il Teorema di Riema-Lebesgue. La Covergeza i Media della F-Serie. 3 Il Feomeo di (Wilbraham-) Gibbs. 4 Derivazioe e Itegrazioe delle F-Serie. 5 L F-Itegrale come caso-limite della F-Serie - Iduzioe della F-Trasformata. 6 Alicazioi ioi della Serie di Fourier. Aedice A. Idetità idiciali utili er le somme fiite\serie iterative. 46 B. Raresetazioi fisiche equivaleti degli F-argometi goiometrici. 47 Bibliografia. 48

4 Serie di Fourier i R - Prorietà e alicazioi III Itroduzioe Itroduzioe (co u o di Storia) La Serie di Fourier qui abbreviata i F-serie costituisce lo strumeto covezioale er raresetare ua fuzioe eriodica (e.g., u segale eriodico) come combiazioe lieare di fuzioi siusoidali elemetari, cosei e sei (o, i modo equivalete, di esoeziali comlessi). Tale somma uò cosistere di u umero sia fiito o ifiito di termii oscillati semlici. L idea di scomorre ua fuzioe eriodica i ua somma di fuzioi oscillati semlici risale al 3 o secolo a. C.: furoo gli astroomi alessadrii che roosero u modello emirico dei moti laetari (eriodici) basato sulla comosizioe di eicicli e defereti. La Trasformata di Fourier a temi discreti è ua fuzioe eriodica, sesso defiita er mezzo di ua F-serie. Come esemio ulteriore i di alicazioe, la Z-trasformata si riduce a ua F-serie er il caso imortate z, i.e., z e. La F-serie etra ure ella dimostrazioe classica del Teorema del Camioameto di Nyquist-Shao ella Teoria dei Segali. I geerale, il tema della F-serie rietra come ilastro fodate dell Aalisi di Fourier, caitolo esseziale dell Aalisi Matematica modera. Doo le rime ricerche di Euler (L., ), di d Alembert (J. B. l.-r., ) e di Beroulli (D., 7-78), Fourier itrodusse la F-serie avviado o solo lo studio delle serie trigoometriche i geerale ma, iù secificamete, la soluzioe dell equazioe del calore che si roaga i ua iastra metallica. I rimi risultati, aarsi ella sua Mémoire sur la roagatio de la chaleur das les cors solides (87), furoo ubblicati coclusivamete ella sua Théorie aalytique de la chaleur (8). L equazioe di roagazioe del calore è u equazioe differeziale a derivate arziali della fuzioe T T(, t r ), la temeratura (assoluta) calcolata alla osizioe r ( x; y; z) i u solido cotiuo e omogeeo al temo t, T/ t T, ed è caratterizzata dalla diffusività : /( c), ella quale, la coduttività termica, il calore secifico c e la desità di volume soo costati e uiformi. Prima del lavoro di Fourier, o era ota alcua soluzioe geerale dell equazioe del calore ma soltato alcue soluzioi articolari el caso di comortameti eriodici semlici della sorgete termica. Oggidì, tali soluzioi semlici soo chiamate auto-soluzioi (eigesolutios). L idea di Fourier fu di modellare il comortameto comlicato di ua sorgete termica come sovraosizioe (o combiazioe lieare) di cosei o sei di argometo semlice e di scrivere la soluzioe come sovraosizioe delle auto-soluzioi corrisodeti, la F-serie, auto. Lord Kelvi oorò la visioe di Fourier come u great mathematical oem. Da u uto di vista modero, i risultati di Fourier o soo rigorosi, macado acora, all iizio del 9 o secolo, ua cosaevolezza recisa dei cocetti di fuzioe e di itegrazioe delle equazioi differeziali. Furoo Dirichlet (P. G. L., ), Riema (G. F. B., ) ad acorare le ituizioi di Fourier a basi aaliticamete cosisteti. I cotributi di figure come Gibbs (J. W., ), Ascoli (G., ), Cator (G. F. L. P., ), Arzelà (C., 847-9), Lebesgue (H. L., ), Rudi (W., 9-) e Carleso (L., 98-) hao, oi, arofodito, raffiato e cosolidato i modo defiitivo il cocetto di F-serie, collegadoe le imlicazioi iù sottili all ambito iù geerale dell Aalisi Reale e dell Itegrazioe à-la Lebesgue. Beché la motivazioe origiaria fu quella di risolvere l equazioe del calore, divee chiaro, i seguito, che lo stesso aroccio oteva essere utilizzato i ua varietà amia di roblemi matematici e fisici, i articolare, quelli che coivolgevao equazioi differeziali a coefficieti costati, er le quali, le auto-soluzioi soo di tio siusoidale. L F-serie iterviee i Elettromagetismo, i Ottica Fisica, ell elaborazioe sitetica dei Segali e delle Immagii, i Acustica e i Aalisi delle Vibrazioi, i Fisica Quatistica, ella Teoria delle ellicole sottili, i Ecoometria, etc.. Queste mie ote sitetiche si aggiugoo seza alcua retesa di origialità alla miriade di cotributi, alcui davvero eccelleti, reeribili el Web, ei testi e egli eserciziari di Aalisi Matematica su u tema così fodametale come la F-serie. Mi rivolgo a chi è veramete disoibile al lavoro atteto, umile e utuale co carta e ea. L auto-formazioe efficace sta, ache, ella ratica remuerativa del mettersi alla rova sul saer fare. La Bibliografia fiale del tutto mia soggettiva, idiscutibilmete! è classica ma, ritego, affidabile. C M

5 Serie di Fourier i R - Prorietà e alicazioi. Richiamo sull itegrazioe delle fuzioi -eriodiche È defiita fuzioe -eriodica ( R ) i R qualsiasi alicazioe f tale che, x R, f: x f( x) f( x ).( ) () Proosizioe Se f è -eriodica i R, si deducoo, { x, x, x, }, le idetità Dimostrazioe x x f( x) dx f( x) dx; x x x f( x) dx f( x) dx x Eseguedo la traslazioe x ell uguagliaza (), segue, dalla rorietà di ivariaza traslazioale dell oeratore itegrale e dall essere muta la variabile di itegrazioe, che x x x f( x) dx f( ) d( ) f( ) d x x x x x f( ) d f( x) dx, q. e. d. ; x x er l additività dell oeratore itegrale vs. l itervallo di itegrazioe, si uò scrivere x x x x f( x) dx f( x) dx f( x) dx f( x) dx x f( x) dx I articolare, quado x /, risulta che x. f( x) dx f( x ) dx, dall Id. (), q. e. d.. / f( x) dx f( x) dx. (.) / Ioltre, se f è ari disari, allora, risettivamete, si ha / f( x) dx f( x) dx / / f( x) dx, se f è ari,, se f è disari. (.) ( ) Ache er il seguito, si sottoliea che, ella scrittura dell Eq. () e aaloghe, sia x che soo umeri uri esressi i radiati, quidi, fisicamete adimesioali. I tal seso, va iterretato solo come arametro di rietizioe dell argometo x di f, o come itervallo temorale, e.g., come il eriodo T di u moto eriodico. Ivece, x e, quado si voglia attribuire loro u sigificato fisico, devoo essere moltilicati etrambi er costati fisiche oortue di dimesioi iverse (v. Aedice, B).

6 Serie di Fourier i R - Prorietà e alicazioi. Gli Itegrali di Werer (JOHANN, 468-5) Si cosideri la coia umerica ordiata {, } R \{, }. Durate le semlificazioi di serie goiometriche, soo talvolta ecessari gli itegrali segueti, calcolati trasformado le esressioi itegrade mediate le Formule di Werer:. C ( x): cos( x) cos( x) dx. Dalla formula di Werer coscos ( / )( cos( ) cos( )), co {, } { x, x}, si trova C ( x) ( / ) cos(( ) x) dx ( / ) cos(( ) x) dx si(( ) x) si(( ) x) C; () ( ) ( ) ivece, se {, } { x, x}( {, }), risulta che C ( x) ( cosx) dx ( / )( cos( x)) dx ( / ) dx cos( x) dx x si( x) C x ( six) cos( x) C ; (.). S ( x): si( x) si( x) dx. Dalla formula di Werer sisi ( / )( cos( ) cos( )), co {, } { x, x}, si calcola S ( x) ( / ) cos(( ) x) dx ( / ) cos(( ) x) dx si(( ) x) si(( ) x) C; (3) ( ) ( ) ivece, se {, } { x, x}( {, }), si trova che S ( x) ( six) dx ( / )( cos( x)) dx ( / ) dx cos( x) dx si( x) x C x si( x) cos( x) C ; (3.).3 M ( x): cos( x) si( x) dx. Dalla formula di Werer cossi ( / )( si( ) si( )), co {, } { x, x}, si ottiee

7 Serie di Fourier i R - Prorietà e alicazioi 3 M ( x) ( / ) si(( ) x) dx ( / ) si(( ) x) dx (( ) x) cos(( ) x) C; (4) ( ) ( ) ivece, se {, } { x, x}( {, }), si trova che cos( x) M ( x) si( x) cos( x) dx si( x) dx C 4 cos( x) ( six) ( six) C C C. (4.) 4 Osservazioe Co i risultati recedeti, si calcolao certi itegrali defiiti, frequeti elle alicazioi della Serie di Fourier:.4 / cos t cos C : ( ) ( t) dt, co {, } Z {, } {, } ( ). Riomiata la variabile muta di itegrazioe x t e oste le defiizioi ordiate {, }: {, }, dalle Eq.i () e (.), risultao, risettivamete, C / si(( ) t) si(( ) t), se ( ) ( ) /, se ; (5).5 / : S si( t) si( t) dt, co {, } Z. Si rocede come er il calcolo di C otteedo, dalle Eq.i (3) e (3.),, se S ; (6) /, se.6 / M cos( t) si( t) dt, {, } Z. Co u calcolo aalogo a quello er C e er S, risulta, da etrambe le Eq.i (4) e (4.), M. (7) ( ) Nel testo, soo usati simboli sitetici quali Z Z { }, R R { }, etc..

8 Serie di Fourier i R - Prorietà e alicazioi 4 3. Periodi dei modi armoici elemetari e riduzioi a forma armoica Poiché deve risultare, {, r} Z R, cos( ( t) ) cos(( t ) ), cos( t) cos(( t) r), si deduce che r, mod( ). La scelta miore r defiisce il arametro :, (8) detto il eriodo del modo armoico -simo (o della fuzioe armoica -sima). Per, si ottiee il eriodo del modo (armoico) fodametale, di riferimeto er tutti i modi sueriori,. (8.) Il arametro : è la frequeza agolare (o ciclica) o ulsazioe del modo (armoico) - simo, idicado co la frequeza agolare del modo (armoico)o ulsazioe fodametale. L agolo rareseta la fase iiziale del modo armoico -simo. Il rocedimeto e la coclusioe riferiti alla fuzioe armoica x si( t ) soo idetici. Ora, la combiazioe lieare di modi armoici u ( t): a cos( t ) b si( t ), (9) co Z : /, è suscettibile della riduzioe seguete: avedo defiito C u ( t) C (( a / C ) cos( t ) ( a / C ) si( t )), : ( a b ) /. Poiché a / C, b / C e ( a / C ) ( b / C ), si ossoo orre cos : a / C, si : b / C. (9.) Quidi, u ( t) C ( cos cos( t ) si si( t )) C cos( t ), i.e., u ( t) C cos( t ), (9.) dove, Z, ta ( b / a ) ( /, / ) e : ta ( b / a ). Alterativamete, defiedo : / ta ( b / a ) / cot ( b / a ), l Eq. (9.) muta ella riduzioe armoica u ( t) C si( t ). (9.3)

9 Serie di Fourier i R - Prorietà e alicazioi 5 Problema Sia { a, b} R \{ } { /, / } Q, co,, rimi tra loro; {, } R. I termii dei arametri assegati a, b,,,,,,, si determii il eriodo fodametale (o miore) della fuzioe Soluzioe f : x acos(( / ) x ) bsi(( / ) x ) f( x). Poiché vs. la coia di eriodi aroriati e valgoo le idetità goiometriche cos(( / ) x ), cos(( / ) x ) cos(( / )( x ) ) cos(( / ) x ( / ) ), () si(( / ) x ) cos( / (( / ) x )) cos((( / ) x ) / ), (cos è ua fuzioe ari) cos((( / ) x / ) ), vs. l ultimo membro recedete, cos(( / )( x ) / ) cos((( / ) x / ) ( / ) ), () allora, devoo sussistere le uguagliaze simultaee ( / ), cfr. le Eq. () ( / ), cfr. le Eq. (), dalle quali, si ottegoo i eriodi ( / ) ( / ). () Il raorto tra e è il umero razioale : / /( ). (3) Se i umeri iteri ( ) e ( ) soo rimi tra loro, allora, il eriodo fodametale di f è esresso da ( ) ( ) Z. (3.) Ivece, se i umeri iteri ( ) e ( ) o soo rimi tra loro, sia k: MCD{( ),( )}. Poiché si ha co { m, r} km kr, Z, segue che m e r soo rimi tra loro. Allora, il eriodo fodametale di f risulta m r m r Q. (3.) Osservazioi a. I valori risettivi di a, b, e soo iiflueti su. I arametri a e b modulao uicamete la variazioe del valore f( x ) ma o e determiao la eriodicità. Questa diede solo dai umeri (iteri),,, b. Il eriodo fodametale di ua fuzioe combiazioe lieare fiita del tio x a cos(( / ) x ) b si(( / ) x ) j j, j, j j k k, k, k k. uò essere otteuto iterativamete dai risultati (3.) e (3.) recedeti.

10 Serie di Fourier i R - Prorietà e alicazioi 6 La Serie di Fourier 4. Raresetazioi della Serie di Fourier (F-Serie) Mateedo le varie defiizioi recedeti, si associa la F-Serie ertiete alla fuzioe g, - eriodica / e limitata, avete somma media ( t) i (, ), F u t g( t) C ( t) ( t) (4) F C ( a cos( t ) b si( t )), (5.) forma armoica estesa ordiaria C C cos( t ), (5.) a forma armoica cotratta (v. Eq. (9.), C C si( t ), (5.3) a forma armoica cotratta (v. Eq. (9.3), dove, C: a/ e F è la somma media utuale, se esiste, raresetata dalla F-serie. Ifatti, la corrisodeza formale (4) a g( t ) della F-serie, co i coefficieti a j e b j calcolati i modo rescritto, o imlica che la F-serie sia covergete é, se lo è, che la sua somma sia g( t ). 5. Codizioi di covergeza utuale della F-Serie Il teorema seguete esrime u criterio sufficiete er la covergeza utuale della F-serie: Teorema (di Dirichlet) Se la fuzioe -eriodica g:[ a, b] R è, a tratti, cotiua e regolare, i.e., t ( a, b), a. g C (( t, t )) geeralmete, i.e., trae che i corrisodeza di u umero fiito di uti t j di discotiuità o elimiabile o di º tio ( g( tj) g( tj), j, g C a tratti), b. g' ( t) geeralmete i ( t, t ), i.e., trae che i corrisodeza di u umero fiito di uti t k, tali, erò, che g' ( tk) e\o g' ( tk) allora, la F-serie coverge a g( t ) i media, t R, i.e., F, k (g regolare a tratti gc a tratti), g( t) ( t) ( / )( g( t ) g( t )). (6) I articolare, se g è cotiua ell isieme R, vale, i, l uguagliaza stretta a g( t) F( t) ( acos( t) bsi( t)) (6.)

11 Serie di Fourier i R - Prorietà e alicazioi 7 (si dice: g è F-esadibile i ). La F-serie coverge uiformemete a g se è comatto. Nella forma (5.), la F-serie coverge i R se coesistoo le codizioi a b. (7) Esse imlicao,, che u ( t) a b. Quidi, la F-serie risulta o solo assolutamete ma ache uiformemete covergete a g i R, er il criterio di Weierstrass. Osservazioi Se g è -eriodica ed esadibile i T-serie ( Taylor) i A R, essa è ache esadibile i F-serie i A. I geerale, l asserto iverso è falso. Il simbolo g' di seudo-derivata uilaterale (siistra o destra) i t( t, t ), secifica i valori-limite g' ( t ): lim t t g( t) g( t ) t t e g' ( t ): lim t t g( t) g( t ) t t. Etrambe le seudo-derivate devoo esistere fiite (i.e., C ) affiché g sia F-esadibile i ( t, t ). Si oti, erò, che ciò uò avveire se t è u uto di discotiuità di o tio ( g( t) g ( t ) ) ma o se t è u uto di flesso a tagete verticale o di cuside o di semi-cuside, beché sia g C ( U( t )). 6. La raresetazioe esoeziale della F-Serie Risolvedo il sistema delle Idetità di Euler, i e cos isi, i e cos isi vs. cos e a si, si ottegoo le relazioi equivaleti cos si i i i i( ) ( e e )/ ( / )( e e ), i i i i( ) ( e e )/( i) ( i/ )( e e ). (8) Si cosideri la fuzioe t g( t), cotiua, -eriodica ( / ) e limitata ell isieme comatto R. La sostituzioe delle relazioi (8) alla F-raresetazioe uiformemete covergete (6.) di g( t ), i.e., co t t/ :, dà ( ) ( ) g i i t a i i a e e ib e e ( ) ( / ) ( / ) ( ( ) ( )) i i( ) ( a / ) ( / ) (( a ib ) e ( a ib ) e ). (9) Ora, doo aver osservato che, si ricooscoo le idetità formali ( ) t/,

12 Serie di Fourier i R - Prorietà e alicazioi 8 a : ( / ) g( t) cos( t/ ) dt ( / ) g( t) cos( ( ) t/ ) dt a, b : ( / ) g( t) si( t/ ) dt ( / ) g( t) si( ( ) t/ ) dt b. Quidi, grazie alla covergeza uiforme della F-raresetazioe di g, si uò modificare la scrittura dell esressioe (9) come segue: i i g( t) ( a / ) ( / ) (( a ib ) e ( a ib ) e ) i ( a / ) ( / ) ( a ib ) e ( / ) ( a ib ) e i ( a / ) ( / ) ( a ib ) e ( / ) ( a ib ) e i i i ( a / ) ( / ) ( a ib ) e ( / ) ( a ib ) e, i.e., ifie, defiedo c: a/ e : ( ) i c / a ib e, Z \{ }, i g( t) i( / ) x ce. () 7. Il calcolo dei coefficieti della F-Serie i raresetazioe goiometrica Nell iotesi che la fuzioe g sia -eriodica co /, limitata e regolare a tratti i R, si moltilichio i membri dell Eq. (6.) er cos( t ), Z, e li si itegrio, quidi, ell itervallo comatto [, ]. I, la F-serie coverge uiformemete e le oerazioi di itegrazioe e di somma dei termii di ua serie commutao tra loro. Pertato, quado, si scrive a cos g( t) dt cos dt acos cos( t ) dt, bcos si( t ) dt ( a / ) cos a ( / ) cos., Dall aullameto termie-a-termie delle due somme recedeti e dall additività dell oeratore itegrale vs. l itervallo di itegrazioe, risulta (qui, è / ) / a g( t) dt g( t) dt g( t) dt. (.) Ivece, quado Z, ricorredo agli Itegrali di Werer, si ha a g( t) cos( t) dt cos( t) dt, a cos( t) cos( t) dt sse

13 Serie di Fourier i R - Prorietà e alicazioi 9 Quidi, Z, risulta a b si( t ) cos( t) dt. ( / ) a ( / ).,, / a g( t) cos( t ) dt g( t) cos( t ) dt. (.) Aalogamete, si moltilichio i membri dell Eq. (6.) er si( t ), Z, e li si itegrio su [, ], acora secificado rovvisoriamete che sia /. Quado, si scrive a si g( t) dt si dt asi cos( t ) dt da cui, si ottiee acora l Eq. (8.). Ivece, quado Z, allora, ( a / ) si a ( / ) si, a g( t) si( t) dt si( t) dt Quidi, Z, risulta,, b si si( t ) dt, a cos( t) si( t) dt,, b si( t) si( t) dt b ( / ) b ( / )., sse / b g( t) si( t ) dt g( t) si( t ) dt. (.3) Le Eq.i (.), (.) e (.3) defiiscoo gli F-coefficieti j a e j b el regime armoico ache quado g o risulta regolare a tratti i R. Ifatti, si dimostra che il Teorema di Dirichlet è alicabile i seso geeralizzato, i circostaze elle quali g o è limitata.

14 Serie di Fourier i R - Prorietà e alicazioi Adottado, defiitivamete i questo math-otebook, la raresetazioe astratta esressa dalla variabile idiedete adimesioale x (cfr/c Aedice B) e le fuzioi f e S F, i sostituzioe di g e F, se valgoo, secodo Dirichlet, le segueti D-codizioi geeralizzate: a. se f è -eriodica i R, b. se I è u itervallo limitato e f C( I ) eccetto che i corrisodeza di u umero fiito di uti di discotiuità qualsiasi, c. se f ( x) dx è u itegrale defiito ordiario o geeralizzato (i.e., el cotesto iù rofodo della Teoria della Misura, f R ((, )), idicado co R ((, )) l isieme delle fuzioi Riema-itegrabili assolutamete ell itervallo aerto (, ) ), allora, f rimae esadibile i F-serie x che o sia u uto di discotiuità di º tio, co il valore f( x) S ( x) esresso acora dall Eq. (6). I corrisodeza di u uto di discotiuità F di º tio, il valore di f uò essere assegato arbitrariamete (se valgoo le D-codizioi a, b, c). Pertato, gli F-coefficieti cotiuao a corrisodere alle Eq.i (5.),(5.) e (5.3). Co altre arole, assegata x f( x), le defiizioi delle loro esressioi geerali, R, soo: a: f( x) cos dx C, a: f( x) cos(( / ) x ) dx,, Z b: f( x) si(( / ) x ) dx,. Z () Il cambiameto di variabile t: x ell Eq. di tio armoico (6.)(er la quale, si ricordi, vale l idetità / / ) ricoduce alla raresetazioe geerale astratta (caoica) i x dell Eq. (6.) stessa. Co g( t) f( x), si scrive R a f( x) ( acos(( / ) x ) bsi(( / ) x )), (.) dove, ora, i coefficieti soo esressi, ovviamete, dalle Eq.i () (cfr/c Aedice B). Uo studio sufficiete di ua serie di Fourier richiede, solitamete, l imiego cogiuto del Teorema di Dirichlet e delle D-codizioi geeralizzate. A questo, va aggiuta la ossibilità di ua verifica di calcolo diretta.

15 Serie di Fourier i R - Prorietà e alicazioi 8. L Uguagliaza di Parseval Si suoga che, oltre a valere le D-codizioi geeralizzate er f i (, ) (v. P. ), si abbia ure che f L ((, )), essedo L ((, )) la classe delle fuzioi a quadrato sommabile i (, ), i.e., che f sia tale che ( f( x)) dx à-la Lebesgue. Se, moltilicati i membri dell Eq. (.) er f( x ), li si itegra da a (o su u qualsiasi altro itervallo di amiezza ), allora, teuto coto della cotiuità a tratti di f su (, ) e delle Eq.i (), risulta e, quidi, ( f( x)) dx ( a / ) f( x) dx a f( x) cos(( / ) x ) dx b f( x) si(( / ) x ) dx ( ( x)) dx ( / ) ( a / ) ( a b ). (4) f L Eq. (4) esrime la cosiddetta Uguagliaza di Parseval (des Chêes, M.-A., ), utile, tra l altro, el calcolo della somma di molte serie umeriche corrisodeti a fuzioi ari. La Disuguagliaza (atteuata) di Bessel (Teorema) Si suoga che, oltre a valere le D-codizioi geeralizzate er f i (, ), si abbia ure che f L ((, )). Al solito, siao a e b i coefficieti della F-esasioe di f. Allora, vale la Disuguagliaza (atteuata) di Bessel Dimostrazioe La successioe di fuzioi F a ( a b) ( f( x)) dx. (5) { S ( x; M)} : / M a ( a cos(( / ) x ) b si(( / ) x )) MZ è quella delle somme arziali della F-serie associata a f( x ). Poiché M F Z, risulta MZ (6) ( f( x) S ( x; M)) dx (7) erché la fuzioe itegrada è o-egativa e, i.e., i modo equivalete f( ) SF( ; ) ( SF( ; )) ( f( )) x x M dx x M dx x dx. (7.) Ora, se si moltilicao er f( x) le raresetazioi del termie geerale della successioe (6) i etrambi i membri, le si itegrao da a e si alicao le Eq.i (.) er a e b, si ottiee F M f( x) S ( x; M) dx a / ( a b ). (8)

16 Serie di Fourier i R - Prorietà e alicazioi Ioltre, elevado al quadrato le quatità ei membri dell Eq. (6) e itegradole da a (teedo coto delle Eq.i (.), se i regime armoico eslicito) icludedo gli sostameti di fase, del tutto iiflueti ei calcoli, e ricordadosi degli Itegrali di Werer (P. -3), si trova che F M ( S ( x; M)) dx ( / ) a / ( a b ). (9) Sostituedo le esressioi destre (8) e (9) ella Dsq. (7.) e calcolado il limite M, si ottiee la Disuguagliaza di Bessel (5), q. e. d. (si verifichi tale rocesso, come esercizio utile). Se vale l uguagliaza ella disuguagliaza atteuata (7), si riottiee l Uguagliaza di Parseval. Si uò esare a S (, ) F x M come a ua arossimazioe di f( t ), metre il membro destro della Dsq. (7), diviso er, e rareseta l errore quadratico medio. L Uguagliaza di Parseval idica che, er M, l errore quadratico medio è ifiitesimo, metre la Disuguagliaza di Bessel idica la ossibilità che tale errore quadratico medio teda a u valore fiito (ositivo). I risultati otteuti soo coessi co il cocetto fodametale di comletezza di u sistema di fuzioi ortoormali geeratrici atto a raresetare ua classe secifica di fuzioi, e.g., quelle - eriodiche. L ortoormalità delle fuzioi geeratrici (di umero fiito o ifiito) si maifesta ei valori degli itegrali, defiiti su uo stesso itervallo fiito, dei loro rodotti a coie: gli itegrali valgoo o o. È il caso dell ifiità umerabile delle fuzioi armoiche elemetari esresse dalla tera { cos, cos(( / ) x ), si(( / ) x )}, (3) {, } Z, itegradoe i rodotti a coie i itervalli di amiezza (eriodicità). Il legame stretto tra comletezza di u sistema di fuzioi ortoormali geeratrici e qualità della arossimazioe della fuzioe f emerge dal fatto che, se si esclude ache u solo termie della F-esasioe, l errore quadratico medio o uò mai divetare ifiitesimo, er quati termii vegao comuque cosiderati. Il Teorema di Riema-Lebesgue Se vale la Disuguagliaza (atteuata) di Bessel er f i (, ), allora, valgoo i limiti lim a b cos(( / ) x ) lim f( x) dx si(( / ) x ). Dimostrazioe M L asserto è subito evidete osservado che, se a / ( a b ), questo imlica che a o( ) b o ( ) er, q. e. d..

17 Serie di Fourier i R - Prorietà e alicazioi 3 9. La Covergeza i Media della F-Serie La fuzioe f sia -eriodica, cotiua a tratti i ( /, / ) e F-esadibile. La Formula di Dirichlet, Problema, P. 7, è scomoibile ella forma additiva simmetrica S F si( M / ) u ( x; M) f( u x) du si( u/ ) / / si( M / ) u f( u x) du si( u/ ) ( ) (3) (quado f( u x), si ha S ( ; ) F x M, v. Eq. (66), P. 6). Se si moltilicao, risettivamete, l itegrale defiito i ( /, ) er f( x ), quello defiito i (, / ) er f( x ), co x x e o ( ), e si sommao le esressioi risultati, si trova che / f( x ) si( M / ) u f( x ) si( M / ) u ( f( x ) f( x )) du du. (3.) si( u/ ) si( u/ ) / Ora, sottraedo membro-a-membro l Eq. (3.) dall Eq. (3), si determia la differeza f( ux) f( x ) SF( x; M) ( f( x ) f( x )) si(( M / ) u) du si( u/ ) / / f( ux) f( x ) si(( M / ) u) du. (3.) si( u/ ) Nell iotesi ulteriore di regolarità a tratti di f i ( /, / ), si coclude che ache la fuzioe u f( ux) f( x ) : ( u ) si( u/ ) è cotiua a tratti i ( /, ], essedo f, qui, regolare a tratti. Ioltre, f( ux) f( x ) u/ f( ux) f( x )! lim ( u) lim lim u u u si( u/ ) u u, erché f, er iotesi, è regolare a tratti i ( /, / ). Allora, f, u ( /, ] e, da questo, cosegue che u ( u) è cotiua a tratti i [ /, ]. I modo idetico, si dimostra che la fuzioe x f( ux) f( x ) : ( u ) si( u/ ) è cotiua a tratti i [, / ]. Poi, del rimo addedo itegrale ell Eq. (3.)(er il secodo addedo, valgoo cosiderazioi comletamete aaloghe), si uò riscrivere la fuzioe itegrada come ( ) Il fattore itegrado D ( u): M si( M / ) u è il cosiddetto ucleo (kerel) di covoluzioe itegrale di Dirichlet di ordie M. si( u/ )

18 Serie di Fourier i R - Prorietà e alicazioi 4 ( u) si( M / ) u ( u) si( u/ ) cosmu ( u) cos( u/ ) simu e rilevare che le fuzioi u ( u) si( u/ ) e u ( u) cos( u/ ) soo etrambe cotiue a tratti i ( /, / ), essedolo la fuzioe u ( u). Quidi, i forza del Teorema di Riema-Lebesgue (P. ), etrambi gli addedi itegrali ell Eq. (3.) soo o ( ) er M, ortado alla rorietà fodametale di Covergeza i Media er ua fuzioe -eriodica (cfr/c Eq. (6): se f e f soo etrambe cotiue a tratti i ( /, / ), allora, M lim S ( ; ) ( f( ) f( )) F x M x x. (3) L itera discussioe di questo aragrafo, culmiata ell Eq. (3), adrebbe cofrotata co cura co l Eq. (6) del Teorema di Dirichlet.. Il feomeo di (Wilbraham-) Gibbs La rorietà di uguagliaza i media, esressa dall Eq. (6) e verificata i modo diretto dall Eq. (3), o è u esediete baale er aggiustare la atologia di graf( f ) i corrisodeza di u uto x di discotiuità di salto (o di o tio) ma discede dall imossibilità della somma arziale S ( ; ) F x M costruita sovraoedo M fuzioi cos e si, uiformemete cotiue (di iù, C ) di covergere defiitivamete al valore (3) i ( x) U er M. La scoerta (848) e la rima aalisi critica del comortameto di graf( f ) i U ( x ) è dovuta al matematico iglese Wilbraham (H., ): quado x x, graf( SF( x; M )) maifesta ua sovra\sotto-elogazioe (over\uder-shoot) verticale vs. graf( f ). Tale effetto estremate rimae di amiezza massima, y max, uiforme M metre, er M crescete (co il umero di addedi armoici di S F), si avvicia a x dimiuedo i larghezza, x (ella figura sotto, cfr. M 5 vs.

19 Serie di Fourier i R - Prorietà e alicazioi 5 M 5 el caso dell arossimazioe all oda quadra di salto f( x ) f ( x ) /. La scoerta di Wilbraham vee sostazialmete trascurata er oltre mezzo secolo. Nel 898, il grade fisico serimetale Michelso (A. A., 85-93), eseguedo ua aalisi di Fourier su dati di segale di oda quadra, otò le elogazioi oscillatorie aomale ma le attribuì a errori sistematici dell aarato di misura. Quasi cotemoraeamete, Gibbs (J. W., ) riscorì la differeza aalitica cruciale osservata da Wilbraham tra f e lim SF. Doo uo studio arofodito, Bôcher M (M., ), al MIT, battezzò l elogazioe (co risetto alquato arossimativo delle riorità storiche) semlicemete come il Feomeo di Gibbs, esressioe, co la quale, è ormai coosciuta uiversalmete. Il feomeo, rilevate ella teoria dei segali eriodici, o è limitato alla F-serie ma lo si riscotra ache i altre esasioi, come quelle i serie di autofuzioi di Legedre e di Fourier-Bessel. Il valore massimo di sovra\sotto-elogazioe, y max, uiforme M, si trova eccedere dal valore f( x ) l 895. % 9%. Tale stima discede dal risultato geerale, secodo il quale, se f è, a tratti, sia cotiua che regolare ell isieme aerto A: U ( x )\{ x } e ( ) è il salto (fiito) i x di f, allora, i A, la sovra\sotto-elogazioe tede al valore massimo siu y max du ( ). (33) u Ua discussioe quatitativa formale semlice del Feomeo di Gibbs, basata sul valore costate dell amiezza / d oda quadra e forita di idicazioi er la quadratura umerica (gaussiaa, i recisioe doia) ecessaria, si trova i [ 7 ], P Si veda ache il fodametale [ ], CH. II, 9. Osservazioe L aalisi d oda quadra e\o di rama o è casuale ma coerete co le D-codizioi geeralizzate i A, dove f è ache esadibile come T-oliomio lieare iù u resto à-la Peao. Quidi, risultado i A defiitivamete f( x) f( x ) f( x )( x x ) o ( x x ), le aalisi di gradio f( x ) (amiezza, ordie ) e di rama f( x ) (edeza, o ordie) soo criteri sufficieti.. Derivazioe e Itegrazioe delle F-Serie Ovviamete, le oerazioi di derivazioe e di itegrazioe di ua Serie di Fourier soo soggette alle stesse codizioi aalitiche geerali, come er qualsiasi altra serie di fuzioi. Oltre a questo, vale la codizioe sufficiete di itegrabilità esressa dal Teorema Se f è -eriodica e geeralmete cotiua su [ x, x ] { x, x} [ x, x ], la F-serie associata a f( x ) è itegrabile termie-a-termie da x a x, geerado ua F-serie covergete uiformemete verso la fuzioe rimitiva di f i [ x, x ], x x f( u) du G( x) x.

20 Serie di Fourier i R - Prorietà e alicazioi 6. L F-Itegrale come caso-limite della F-Serie - Iduzioe della F-Trasformata Nella arte coclusiva dell Itroduzioe, si è acceato all imortaza fodametale che l Fserie riveste i roblemi differeziali eriodici riformulabili come roblemi agli auto-valori. Posta l equazioe armoica omogeea ( ( x)) ella forma oeratoriale d ( x) ( x) dx il roblema alla frotiera soddisfacete le codizioi estremali di modo -simo ( Z ) ( ) ( / ) (roblema di Cauchy-Dirichlet) ha come soluzioe o-baale l auto-vettore modale associato all uico auto-valore ( / ). (34) x ( x) si(( / ) x), (34.) Il sistema { } di auto-vettori (34.) è orto-ormale i (, / ), i.e., dagli Itegrali di Werer (3), (3.) e (6), si ottiee che /, ( x) ( x) dx /, se si(( / ) x) si(( / ) x) dx, se. (34.) Se f è ua fuzioe sia cotiua a tratti che regolare a tratti i (, / ), essa uò essere qui raresetata i serie di auto-fuzioi (34.) vs. la fuzioe-eso uitaria (e.g., v. [ ], 5.7), i.e., f( w) a si(( / ) x). (35) Sorge la questioe circa l alicabilità della raresetazioe (35) quado, limite i cui il cocetto ordiario di eriodicità erde di sigificato. Cosiderado iizialmete fiito e teedo coto dell Itegrale di Werer., valgoo le uguagliaze alterative si(( ) / ) si(( ) / ), se, / ( ) / ( ) / sixsixdx / (36) si, se, dove, {, } R. Si ota subito che il membro destro si aulla se e soo multili iteri distiti di /( / ) / ed è uguale a se e soo lo stesso multilo itero di /. Ora, essedo la fuzioe si limitata, quado, il membro destro tede a {, } R ma tede a se. Così, scelta la famiglia di idice (settrale) cotiuo co R, si deduce, dalle Eq.i (36), che { }: { x si( x)}, (37)

21 Serie di Fourier i R - Prorietà e alicazioi 7 lim 4 /, se ( x) ( x) dx. (37.), se Pertato, due fuzioi di idice cotiuo del tio (37) osseggoo la rorietà di orto-ormalità asitotica el semi-itervallo ifiito (, ). Questo orta a suorre che ua raresetazioe massimale di f er x R debba icludere auto-fuzioi di modo cotiuo del tio (37) e, quidi, che la somma ifiita (35) vs. vada sostituita co u itegrale geeralizzato vs. metre tutti i coefficieti a, umerabili e di valore fiito, si codesio el codomiio geeralmete cotiuo di ua fuzioe reale a( ) limitata i R : f( x): a( ) si( x) d. (38) La raresetazioe (38) corrisode a quella di u itegrale doio geeralizzato i ( R ). Se essa esiste f well-behaved (i.e., dotata di rorietà aalitiche miime geerali sufficieti er le oerazioi richieste (e.g., f C )), rimae da determiare la fuzioe a( ). Aalogamete che er i coefficieti a (v. 7), si icomicia co il moltilicare i membri dell Eq. (38) er si( x) (, / ) è u valore qualsiasi e, quidi, si itegrao vs. x le esressioi i tale itervallo, assumedo la commutabilità delle itegrazioi ell itegrale doio a destra: / / si( x) f( x) dx si( x) a( ) si( x) d dx / a( ) si( x) si( x) dx d: I. (39) / Per coveieza, I / è il simbolo sitetico del valore dell itegrale doio ell Eq. (39). Ora, ricorredo dell Eq. (36) er l itegrale itero (39) quado, si ottiee la riduzioe I / si(( ) / ) si(( ) / ) a( ) d a( ) d, che, defiiti v: ( ) / el rimo itegrale e v: ( ) / el secodo, diveta I / / v / siv siv a( v/ ) dv a( v/ ) dv. (4) v Quidi, teuto coto che, si scrive formalmete che lim siv siv / I a( ) dv a( ) dv v v a( ) siv dv a ( ) v. (4.) Il valore / del rimo itegrale è u risultato classico (i C, itegrado al cotoro (e.g. v. [ ], CH. 5, EXR. 35); i R, molto iù oeroso da otteere, v. [ 3 ], ES.I 9 e 34)). L evaesceza del secodo itegrale si deduce dal fatto che graf( siv/ v ) smorza a raidamete l amiezza delle sue oscillazioi (di sego altero!) metre l estremo iferiore di itegrazioe va a sovraorsi su quello sueriore ( / ). Ifie, va ricordata la codizioe di limitatezza di a( ).

22 Serie di Fourier i R - Prorietà e alicazioi 8 Pertato, quado, il risultato (4.) uò essere osto ella forma a( ) limi / f( x) si( x) dx, dalla quale, data l arbitrarietà di R, si uò idurre l esressioe geerale della fuzioe a( ) f( x) si( x) dx. (4) Per chiarezza, coviee riscrivere la raresetazioe (4) vs. ua variabile (muta!) di itegrazioe diversa da x, e.g., u: a( ) f( u) si( u) du. (4.) Lo scoo è quello di distiguere i ruoli oerativi di x, quello di variabile correte, v. Eq. (38), da quello di variabile muta di itegrazioe, v. Eq. (4.). Pertato, sostituedo l esressioe itegrale (4.) ell itegrale (38), risulta, seza ambiguità, el domiio Df R, f( x) f( u) si( u) du si( x) d, (4) detta raresetazioe F-itegral-seo di f i R. Rialicado l itero rocedimeto recedete al roblema alla frotiera che soddisfa le codizioi estremali di modo -simo ( Z ) e avete l auto-vettore modale ( ) (43) ( / ) x ( x) cos(( / ) x) (43.) come soluzioe o-baale, si determia la raresetazioe F-itegral-coseo di f i R, f( x) f( u) cos( u) du cos( x) d attraverso la defiizioe, corrisodete ad a( ), della fuzioe (44) b( ): f( x) cos( x) dx. (4.) Fi qui, si è cosiderata x R. Ivece, se x R, l Eq. (4) muta solo a siistra, mateedo ivariata la forma del membro destro: f( x) f( u) si( u) du si( x) d. Ne segue che, se f è ua fuzioe disari e se si tiee coto del fattore iiziale /, si ha, i R,

23 Serie di Fourier i R - Prorietà e alicazioi 9 f( x) f( u) si( u) du si( x) d. (45) Co u ragioameto aalogo, se f è ua fuzioe ari, la raresetazioe F-itegral-coseo di f estesa a R risulta, dall Eq. (44), f( x) f( u) cos( u) du cos( x) d. (46) Va ricordata ua rorietà imortate, valida fuzioe f : defiite la fuzioe ari, detta arte ari di f, e la fuzioe disari, detta arte disari di f, R R: R x f( x): ( f( x) f( x)) (47.) è immediato verificare che x f( x): ( f( x) f( x)), (47.) f( x) f ( x) f ( x) (47.3) (la lettrice\il lettore è ivitata\o a verificare l Eq. (47.3) er il caso (istruttivo!) i cui f( x) lx ). I tal modo, fuzioe f, si trova rotamete, dall Eq. (47.3), che le Eq.i (45) e (46) divetao, risettivamete, f( x) ( f( u) f( x)) si( u) du si( x) d f( u) si( u) du si( x) d f ( x), (47.4) f( x) ( f( x) f( x)) cos( u) du cos( x) d f( u) cos( u) du cos( x) d f ( x). (47.5) Allora, er siteticità e i vista di ua coereza descrittiva, si defiiscoo le esressioi ( ): f( u) cos( u) du ( ): f( u) si( u) du (48.) (48.) Pertato, co il suorto imlicito geerale dell Eq. (47.3) o, ei casi di arità\disarità eslicita, delle Eq.i (47.4) e (47.5), si costruisce la sequeza di uguagliaze formali equivaleti f( )( cos( ) cos( ) si( ) si( )) f( x ) ( ( ) cos( x) ( ) si( x)) d u u x u x du d, f,

24 Serie di Fourier i R - Prorietà e alicazioi 4 f( u) cos( ( ux)) du d f( u) cos( ( ux)) du d, (49.) f u e e du d, i( ux) i( ux) ( )( + )) er la arità della fuzioe cos, forma comlessa, dalle Idetità di Euler, ( ) i( ux) ( ) f f ( ) i ux u e du d u e dud ( ) ( )( ) ( ) ( ) i ux f f ( ) i ux i( ux) f( u) e dud 4 4 u e du d u e du d 4 4. (49.) Le Eq.i (49.) e (49.) costituiscoo due delle F-raresetazioe itegrali comlete di f( x ) iù comui. Data l aalogia estrema co la F-serie, le richieste aalitiche (D-codizioi itegrali) su f soo, oltre alla cotiuità e alla regolarità geerali a tratti i qualsiasi itervallo fiito, ache l itegrabilità assoluta i R, i.e., che risulti f ( x) dx. Ioltre, i corrisodeza di u uto x di salto di discotiuità, f è defiita i media, come la F-serie (v. Eq. (6)). Quidi, / ix / iu / ix ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) f x e f u e du d e fɶ d. (5) Itrodotto l oeratore-trasformata F { }, l itegrale -arametrico itero all Eq. (5), idicato come la fuzioe f ɶ ( ), orta a defiire la cosiddetta Trasformata di Fourier (F-trasformata) della fuzioe x f( x), / ( ) { ( x)}: ( ) ( ) iu f ɶ F f f u e du: (5) è la chiave di uo dei caitoli iù rofodi e desi di risultati fodametali dell Aalisi Modera sia teorica che, sorattutto, alicata (equazioi differeziali ordiarie e a derivate arziali, Fuzioi Seciali, Teoria della Covoluzioe, Fisica Statistica, Fisica Quatistica, Teoria dei Segali, etc.). La F-trasformata di ua fuzioe f, quado esiste ulla i R, si riduce, formalmete, alla sua Trasformata di Lalace (L-trasformata)(lo si verifichi eslicitamete, come esercizio). Si osservi attetamete che se la F-trasformata di f, Eq. (5), è ivertibile, essa o è simmetrica el fattore esoeziale comlesso resete i fɶ ( ). Ifatti, vs. la defiizioe (5), la defiizioe oeratoriale aroriata di F-ati-trasformata della fuzioe f ɶ ( ) è / ix x f( x) { f( )}: ( ) e f( ) d F ɶ ɶ. (5)

25 Serie di Fourier i R - Prorietà e alicazioi Alicazioi della Serie di Fourier Esemio Calcolo della Somma di Riema di ordie itero ositivo ari. La defiizioe geerale, Z, è ( ):. (53) Il calcolo di ( ) richiede l alicazioe dei risultati itegrali segueti:, : x dx ; (54), : six x cos x dx x six ( x dx) cosx cosx x si x dx x (( ) x dx) ( ) ( ) ( ) x cos x dx (55) ( ) ( ),, che costituisce ua forma iterativa coveiete. Ora, valedo chiaramete il Teorema di Dirichlet i R er la restrizioe f, -eriodica, della fuzioe cotiua ari x x, si scrive l F-esasioe, ella quale, soo reseti uicamete comoeti-coseo, f( x) x dx ( / ) x cos x dx cos x. Quidi, dalle Eq. (54) e (55), si calcola, co, f( x) x dx ( / ) x cos x dx cos x ( ) six cosx 3 ( ) 4 cosx. (56) 3 Se x, l Eq. (56) dà

26 Serie di Fourier i R - Prorietà e alicazioi ( ) 4 ( ) 4, 3 3 da cui, risolvedo risetto alla sommatoria, risulta ( ). (57) 6 I modo idetico al calcolo di ( ), ache la restrizioe -eriodica f della fuzioe cotiua ari x x 4 è F-esadibile i termii di sole comoeti-coseo, avedosi 4 4 f( x) x dx ( / ) x cos x dx cos x 4 4 x dx ( / ) x cosxdxcosx 4 ( ) x cos x dxcos x 4 ( ) ( ) 4 8 cos x cos x dxcos x 5 4 ( ) ( ) 8 cosx 48 cosx 4 5 Per x e teedo coto dell Eq. (57), l Eq. (58) dà ( / ) 48 ( / ) ( / ), 5 3 da cui, risolvedo risetto alla sommatoria, si trova che 48 ( ) six cosx. (58) 4 ( 4) 4. (59) 9 4 Il metodo seguito ella determiazioe di ( ) e di ( 4 ) uò essere alicato al calcolo di tutte le Serie di Riema successive di ordie, i.e., ( 6 ), ( 8 ), etc., assegado x ella F- esasioe della restrizioe eriodica della fuzioe x x all itervallo [, ) e avvaledosi delle somme otteute er le -serie calcolate recedetemete. Così, el caso delle somme delle rime quattro -serie successive all Eq. (59), si trova che ( 6) ( 8) 6, (6.) , (6.) 8 945

27 Serie di Fourier i R - Prorietà e alicazioi 3 ( ) ( ), (6.3) (6.4) Serie e Associate della Serie di Riema ( ) ( ) ( ) : ( ) ( ) 3 4 ( ) ( ). (6) ( ) : ( ) ( ) ( ) ( ) 3 4 ( ) ( ). (6) Combiado le Eq.i (55),(59),(6.),(6.) e (6.3) ell Eq. (6), quado sia,, 3, 4, 5, si ottegoo, ordiatamete, i valori delle somme ( ) ( 4) ( 6) ( 8) ( ) ( ), (63.) 4 ( ) 7, (63.) ( ) 3, (63.3) ( ) 7, (63.4) 8 96 ( ) 73. (63.5) Aalogamete, la combiazioe delle stesse Eq.i (57),(59),(63.),(63.) e (63.3) ell Eq. (6), corrisodeti a,, 3, 4, 5, forisce i valori risettivi delle cosiddette -serie di ordie ari (si veda, e.g., il math-otebook PDF dell autore: Determiazioe di serie di oteze i R dalle Fuzioi Geeratrici di Beroulli e di Euler, P. 6, Esercizio ):

28 Serie di Fourier i R - Prorietà e alicazioi 4 ( ) ( 4) ( 6) ( 8) ( ), (64.) ( ) 8 4, (64.) 4 ( ) 96 6, (64.3) 6 ( ) , (64.4) 8 ( ) (64.5) ( ) 934 Esemio Calcolo delle rime due Somme D di Dirichlet di ordie ositivo disari, Defiizioe geerale: ( ): D ( ), (65) ( ), er x (, ). La fuzioe x f( x) è regolare a tratti i [, ], dove,, er x [, ] quidi, è F-esadibile. Ioltre, essedo ua fuzioe disari, la sua F-esasioe è esressa i termii di sole comoeti-seo, aveti come coefficieti b ( / ) f( x) sixdx ( / ) ( ) sixdx sixdx Pertato, ( / ) si( x ) dx sixdx ( / ) si( x) dx ( / ) sixdx cosx sixdx 4 /( ), secodo che è ari o disari. 4 si3x si5x 4 ( ) six f( x) bsix six si(( ) x). (66) Dalla defiizioe di f i [, ], si ha, er x / e teedo coto dell Id. (A.), 4 si(( / ) ) 4 ( ), i.e., risolvedo vs. la sommatoria (Serie ciclometrica o di GREGORY (J., )), ( ) D( ) ( ta ). (67) 4

29 Serie di Fourier i R - Prorietà e alicazioi 5 x( x), er x (, ). La fuzioe x f( x):, è cotiua i [, ], x( x), er x [, ] dove, quidi, è F-esadibile. Ioltre, f è ua fuzioe disari. Ifatti, osservato che f( x): : x( x), i (, ), risulta f ( x) x ( x ) f( x) i (, ). Quidi, l F-esasioe di f viee esressa i termii di sole comoeti-seo, che hao come coefficieti, Z, b ( / ) f( x) si x dx ( / ) x( x) si x dx x( x) si x dx ( / )( I I ). Ora, osto x: u, segue che I e, ertato, (( u)( u) si( u) d( u)) du ( u( u) siu) du I b ( / ) x( x) sixdx xsixdx ( / ) x sixdx ( / ) I cosx xsixdx x xcosxdx cosx ( ) 4 six x cos x dx x six dx ( ) six ( ) 4 cosx 4 ( ) 3 L F-esasioe di f (cotiua sul suo itervallo di eriodicità) si scrive 4 ( ) 8 si(( ) x) f( x) bsix six. (68) 3 ( ) 3 Dalla defiizioe di f i [, ], si ha, er x / e teedo resete l Id. (A. 5), f( / ) ( / )( / ) / 4 ( ) 8 si(( ) / ) 8 (( ) ) i 8 i ( ) ( ) ( ) 8 ( ), 3 ( ) dalla quale, co la traslazioe idiciale 3 3 3, si ottiee, Z,., ( 3) D 3 ( ). (69) 3 ( ) 3 La raresetazioe geerale i forma chiusa delle somme ( ) D, si trova, e.g., a P. 9, Eq. (63), del math-otebook PDF dell autore: Determiazioe di serie di oteze i R dalle Fuzioi Geeratrici di Beroulli e di Euler.

30 Serie di Fourier i R - Prorietà e alicazioi 6 Problema Si determii il valore S( ) della somma ( ) 3 3 ( ) ( ) Soluzioe Osservato che S( ) e che, sostituedo x / ell Eq. (68), si scrive l uguagliaza 3 / / / / / / / / 8 f( / 4) S 4 S segue immediatamete il risultato: ( ) ( ), S ( ) 3 3. (7) 8 Problema 3 Sfruttado oortuamete l Eq. (7), si determii il valore della somma seguete: Soluzioe S( ): ( ) ( ) Ricooscedo l ivariaza della somma della serie (covergete assolutamete!) del Problema risetto a qualsiasi ridisosizioe dei suoi termii, è legittima la raresetazioe S( ) D( 3) 3 3 ( ) ( ), si ottiee rotamete S ( ) ( ) ( S( ) D( 3)) (7) 56 ( ) 3 3

31 Serie di Fourier i R - Prorietà e alicazioi 7 Problema 4 Dalla F-esasioe -eriodica della restrizioe f della fuzioe x si x, si determii la somma S della serie, Soluzioe. ( 4 ) Poiché f è ua fuzioe ari, la sua F-esasioe è costituita di sole comoeti-coseo. Pertato, si ha a sixdx ( cosx) ; a ( six) sixcosxdx ; oi, Z \{ }, si calcola a Segue che cos(( ) x) cos(( ) x) si xcos x dx ( ( ) ), Z \{ }. ( ) ( ) 4 f( x) cosx cosx. (7) 4 Ora, alicado l Uguagliaza di Parseval (P., Eq. (4)) all Eq. (69), si scrive ( six) dx 8 6, ( 4 ) i.e., co il comletameto del calcolo dell itegrale el membro a siistra, ( x cosxsix) 8 ( ). 4 Ifie, risolvedo risetto alla (somma della) serie, risulta S 8. (73) ( 4 ) 6 Problema 5 5. Si determii u esressioe geerale, che risulti valida Z, er la somma della serie umerica seguete:

32 Serie di Fourier i R - Prorietà e alicazioi 8 S( ): ; ( ) 5. servedosi, dove aroriato, del risultato otteuto al Puto 5. recedete, si determii la somma S della serie, u ( ) ( ) Soluzioe 5. Poiché ( ), allora, S( ) lim lim lim lim lim ; (74) 5. Co il metodo di searazioe i frazioi arziali, si scrive ( ) / A B C u ( )( ), e, quidi, i forma itera equivalete, si ha ( ABC) ( 3AB C) A. Per il Priciio di Idetità dei Poliomi, questa uguagliaza è soddisfatta i modo uivoco sse valgoo le codizioi simultaee Quidi, risultado ABC 3AB C, A i.e., i modo equivalete, sse / / / ( u ), segue che A / B. C / u ( ) 6 u, k, 4 ( ) 4( ) ( ) ( ) ( )( ) k co gli addedi, u k idetificabili ordiatamete. Ora, teedo coto dell Eq. (57), P., si calcolao rotamete le somme delle serie segueti:

33 Serie di Fourier i R - Prorietà e alicazioi 9 u, ; (75.) 4 4 u, ( ) ; 6 (75.3) 5 u, 3 ( ) (75.3) Circa la valutazioe delle somme delle tre serie rimaeti, l Eq. (78) forisce i risultati segueti: u, 4 ; (75.4) ( ) 3 u, 5 ; (75.5) ( ) 8 ( )( ) ( ) ( ) u, 6. (75.6) Quidi, oiché u è uiformemete covergete, S si ottiee elemetarmete come somma delle sei somme arziali (75.),,(75.6). Il risultato è S ( 4 39)/ 6. (76) Problema 6 Dalla F-esasioe i R della restrizioe -eriodica disari f della fuzioe x cosx, si estragga ua serie umerica la cui somma è S / 4. Soluzioe Poiché f è ua fuzioe disari -eriodica, la sua defiizioe è cosx, er x (, ) f( x):. cosx, er x (, ) Vale il Teorema di Dirichlet, co la F-esasioe costituita di sole comoeti-seo. Pertato, Z, si calcola b f( x) si xdx ( cosx) sixdx cosxsixdx ( si( x x) si( x x)) dx ( si( x x) si( x x)) dx cos( ) x cos( ) x cos( ) x cos( ) x ( ) ( ) ( ) ( )

34 Serie di Fourier i R - Prorietà e alicazioi 3 ( ( ) ). Quidi, riducedosi la somma ai soli addedi di idice ari, si trova che f( ) ( ( ) 8 x ) six six 4. (77) Circa la serie umerica richiesta, se si assega x / 4 ell Eq. (77), vale l uguagliaza 8 8 ( ) ( ) si( / ) 4 ( 4 )( 4 3), dall Id. (A.4), ( ), co la searazioe i frazioi arziali Segue immediatamete che ( ) ( ) ( ) ( 4 )( 4 3) (78) Problema 7 Sia f la restrizioe eriodica all itervallo [, ] della fuzioe / x x, defiita i R. 7. Si giustifichi che f è F-esadibile i R. Quidi, si scriva la F-esasioe di f ; 7. secificati i valori f( ) e f( ), si deducao ua raresetazioe i serie doia di 6 / e ua (o-baale) di 3, / risettivamete. Soluzioe 7. La fuzioe ari f è regolare a tratti i [, ], co f ( ) valore o-defiito. Pertato, valedo il Teorema di Dirichlet er f, che risulta F-esadibile i R i termii di sole comoeti-coseo, si ha / / / a / ( / ) f ( x) dx ( / ) x dx ( / ) x dx 3; / oi, Z, si calcola / / / / a ( / ) x cos( / ) dx ( / ) La sostituzioe / six x / x cos xdx six six dx / / / x ( ) ( x) u: ( x) / orta al cambiameto ( dx) ( /( )) itegrale ell Eq. (79.), così da oter riscriverlo ella forma a u du ( ) ( ) / si( ) (( ) ) 3/ 3/ dx. (79.) u du dell oeratore. (79.)

35 Serie di Fourier i R - Prorietà e alicazioi 3 / L itegrale (( ) ), imortate i Ottica Fisica, è del tio di Fresel ed è calcolabile solo i / serie di oteze; la fuzioe itegrada è uiformemete covergete el comatto [,( ) ]. La F-esasioe di f( x ) si scrive f( x): 3 7. Per x, l Eq. (8) dà il risultato otevole / (( ) ) cosx. (8) 3/ 3/ 3/ ( ) / (( ) ). (8) 3/ 6 k ( ) ( k ) Poiché l M-esasioe ( Maclauri) si( u ) u coverge uiformemete i k ( k )! tutto R, dall Eq. (79.), risulta corretta la scrittura k k k / ( ) ( k ) 3/ ( ) ( ) (( ) ) u du ( ) k ( k )!. (8) k ( k)!( 4k 3) / Ifie, sostituedo ell Eq. (85) esressioe (86) di (( ) ) e semlificado, si trova che k k ( ) (( ) ) ( ). (83) k ( k)!( 4k3) 6 Aalogamete, sostituedo x ell Eq. (84) e rocededo come co l Eq. (87), si ottiee k k ( ) (( ) ). (84) k ( k)!( 4k 3) 3 È iteressate otare come le raresetazioi delle somme (83) e (84) differiscao er il solo fattore di sego altero ( ), sufficiete a redere la somma (84) doia della (83). Presetazioi classiche della Teoria delle Serie di Fourier remettoo due risultati semlici alla cosiddetta Formula di Dirichlet (v. Problema ). Essi soo riortati, qui di seguito, come Problema 8 8. Si ricavi, {, M} Z Z [, M], il valore della somma S: / cosu cosu cosmu / M cosu; 8. si verifichio i valori itegrali (cfr/c ( ), P. 3) / si(( M / ) u) si(( M / ) u) du du si( u/ ) si( u/ ). (85) / Soluzioe 8. L idetità goiometrica cosusi( u/ ) ( / )( si(( / ) u) si(( / ) u)), ricavata dalle Idetità di Werer, quado sia sommata vs. l idice [, M], dà

36 Serie di Fourier i R - Prorietà e alicazioi 3 M cosu si( u/ ) ( / )(( si( 3u/ ) si( u/ )) ( si( 5u/ ) si( 3u/ )) ( si( 7u/ ) si( 5u/ )) ( si( M / ) usi( M / ) u)) ( / )( si( M / ) usi( u/ )). (86) Dividedo i membri estremi dell Eq. (86) er si( u/ ) (i.e., co u k) e sommado / a etrambi, si ottiee (v., ache, dell autore: Esercizi di Calcolo Itegrale i R, MR-) M si(( M / ) u) cosu. (87) si( u/ ) 8. La fuzioe itegrada idetica ei due itegrali è ari. Quidi, la sua itegrazioe i itervalli simmetrici vs. u dà lo stesso risultato. Dall Eq. (9), questo è /, essedo ulli gli itegrali defiiti i ( /, / ) di tutti gli addedi-coseo. Segue l asserto. Problema 9 9. Si cosideri la coia umerica {, M} Z Z. Sommado da a M vs. l idice variabile l idetità di Werer relativa al rodotto tra u coseo e u seo, cos( u) si( u/ ) ( / )( si(( / ) u) si(( / ) u)), si ricavi, mediate la formula di rostaferesi della differeza tra sei e sia u k, M cos(( M ) u/ ) si( Mu/ ) cos( u). (88.) si( u/ ) 9. I modo aalogo, iiziado dall idetità di Werer relativa al rodotto tra due sei, si( u) si( u/ ) ( / )( cos(( / ) u) cos(( / ) u)), si determii, co la formula di rostaferesi della differeza tra cosei e sia u k, M si(( M ) u/ ) si( Mu/ ) si( u). (88.) si( u/ ) Le Id. (88.) e (88.), attribuite a DIRICHLET (J. P. G. L., ) ma ote, molto robabilmete, ache a EULER (L., ), si rivelao utili ell itegrazioe delle Serie di Fourier. Problema Sia f ua fuzioe -eriodica, alla quale, sia associata u F-esasioe aroriata. Di questa, si cosideri la somma ridotta M-sima (cfr/c Eq. (6)), S ( x; M): a / M ( a cos( x ) b si( x )). F Si dimostri la Formula di Dirichlet vs. il ucleo DM( u ) di covoluzioe itegrale (v. P. 3)

37 Serie di Fourier i R - Prorietà e alicazioi 33 S F / si(( M / ) u) ( x; M) f( ux) du si( u/ ) / / / f( ux) D ( u) du. (89) M Soluzioe Eslicitado gli F-coefficieti corrisodeti a Z, si scrive a cos( x ) b si( x ) Ioltre, a F / / ( / ) f( w) cos( w ) dw cos( x ) / / / / ( / ) f( w) si( w ) dw si( x ) ( / ) f( w)( cos( w ) cos( x ) si( w ) si( x )) dw / / ( / ) f( w) cosw ( x) dw. / / / ( / ) f( w) dw. Quidi, teedo coto del risultato (68), / / M / / S ( x; M) ( / ) f( w) dw( / ) f( w) cos( wx) dw / M f w / ( / ) ( )( / cos( ( wx))) dw / si(( M / )( wx)) f( w) dw. si(( wx)/ ) / La dimostrazioe termia oedo u u( w): w x ( du dw) e ricordado le Eq.i () e (.), P., essedo f ua fuzioe eriodica. Nella Teoria della Fuzioe, ua dimostrazioe i R ( ) della a Prorietà Fodametale, detta di Riflessioe (o di Comlemetazioe), caratterizzata dalla simmetria vs. lo scambio tra argometi ell itervallo (, ), uò essere otteuta er mezzo di ua F-esasioe oortua. Problema Proosizioe Sia x (, ). Allora (Prorietà di Riflessioe della Fuzioe ), Dimostrazioe ( x) ( x) cscx. (9) six Dalla raresetazioe itegrale di Legedre, si scrive, x (, ), x s ( x) t ( x) ( x) s e ds t e dt x x ( st) s t e dsdt ( R ) ( R ) g( s, t) dsdt. (9)

38 Serie di Fourier i R - Prorietà e alicazioi 34 La raresetazioe itegrale doia (9) è covergete oiché la sua searabilità moltilicativa vs. le variabili di itegrazioe dà luogo a raresetazioi arziali covergeti uiformemete, quelle del -itegrale di Legedre. I geerale, le tre codizioi segueti: a. il domiio (di itegrazioe) ( R ) è PJ-misurabile (i.e., di misura PJ, à-la Peao-Jorda); b. g: R ; c. { j } ( j Z ), successioe di sotto-domiî idificati di che costituiscoo ua coertura di (e.g., l isieme dei quadrati, { xy, j} {( x; y) [, j] }, o dei quarti di cerchio, {, j} {[, / ] [, j]} ), i.e., tale che, j, j è limitata, PJ-misurabile e ( ) ( ), PJ j ( R ), j j j j j g( s, t) R ( j) (i.e., g è Riema-itegrabile i j), PJ lim g ( s, t) dsdt j, j soo sufficieti a garatire che, se ( R ),! lim g( s, t) dsdt g( s, t) dsdt. j j ( R ) Al cambiameto di variabili s: uv/( v) s( u, v), (9) t: u/( v ) t( u, v) corrisode il determiate jacobiao ( s, t)/ ( u, v) st st u/( v), sul domiio trasformato di u, v-itegrazioe, come è verificabile rotamete cotrollado il sego di u co la trasformazioe iversa, e ricordado che { s, t} R. Quidi, mediate le Eq.i (9) e (9), si scrive u v v u ust u( s, t), (9.) v st / v( s, t) x x uv u u u ( x) ( x) du dv e v v ( v) x x u v v e du dv dv v. (93) v La raresetazioe itegrale (93), er x (, ), è covergete; la si uò scomorre come x x x v v v dv dv dv I( x) I ( x). (94) v v v Se si oe v: / w i I ( x), si ottiee il cambiameto ( dv) ( dw/ w ) ( dw/ w )